1ο Κεφάλαιο. Συστήµατα. 1. Να λύσετε γραφικά τα παρακάτω συστήµατα: 2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης:

Transcript

1 Άλγεβρα Β Λυκείου Γραµµικά συστήµατα ο Κεφάλαιο Συστήµατα Α. Γραµµικό σύστηµα Χ. Να λύσετε γραφικά τα αρακάτω συστήµατα: α) ψ= + β) ψ= γ) -ψ= ψ= -ψ= + ψ=. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο της αντικατάστασης: α) - ψ= β) - ψ= γ) - ψ= 5 + 4ψ= 4 9 -ψ= 4 + ψ= -. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα µε τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών: α) + ψ= - β) - ψ= 7 γ) - 5ψ= ψ= ψ= - 4-7ψ= - 4. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) + ψ= 5 β) - ψ= 6 + ψ= 7 - ψ= -6 γ) - ψ= + 4+ ψ= - 5 δ) + 5= ψ - 6+ = ψ - ε) - ψ= 4-6ψ= 4 στ) 4+ ψ= 5 -ψ+ -ψ= + ψ - Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

2 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: ψ = 4 α) - - ψ 4 β) = + ψ 4 + ψ 8 -ψ 5= = 0 ψ Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) - ( -ψ) = - ( -ψ) ψ -(- ψ) = + ψ( -) β) - ψ(ψ -) = - (ψ -) ψ - ( - ψ) = -ψ( -) + 7. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: = ψ = - ψ - α) 4 β) = = ψ 6-6ψ - 8. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: ψ = 4 - ψ -= α) β) ψ = - ψ -= 4 9. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: ψ = - ψ - = α) β) ψ = 5 - ψ - = Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

3 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: 4 5 -ψ = 4 ( -) - ψ = 0 α) β) + ψ = 5 4 ( -) + 5ψ =. Να βρείτε το σηµείο τοµής των ευθειών: α) ε : -ψ+ = 0 και ε : -ψ- = 0 β) ε : -ψ- = 0 και ε : 5+ψ-7 = 0. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ου διέρεται αό τα σηµεία: α) Α(,) και Β(,-) β) Α(,) και Β(,). ίνεται η εξίσωση +(α-β)+α-β=0. Αν το άθροισµα των ριζών της είναι και το γινόµενο των ριζών της είναι, να βρείτε τα α και β. 4. ίνεται η συνάρτηση α f() =. Αν η γραφική της β αράσταση διέρεται αό τα σηµεία Α(-,-) και Β(-,): α) Να βρείτε τα α και β β) Να βρείτε το εδίο ορισµού της 5. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου, αν είναι γνωστό ότι το εµβαδόν του δε µεταβάλλεται όταν το µήκος του ελαττωθεί κατά 5 cm και το λάτος του αυξηθεί κατά 5 cm. Όταν όµως το µήκος του ελαττωθεί κατά 4 cm και το λάτος του αυξηθεί κατά 5 cm, το εµβαδόν του αυξάνεται κατά 4 cm. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

4 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 B. Είλυση διερεύνηση γραµµικού συστήµατος Χ 6. Nα υολογίσετε τις αρακάτω ορίζουσες: α) β) - γ) δ) Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) β) = - 8. Να λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: - α) <0 β) Για τις διάφορες τιµές του λ να λύσετε τα συστήµατα: α) λ+ ψ= λ β) λ+ ψ= λ+ + ψ= λ - (λ -)+ ( + )ψ = (λ+ ) γ) (λ+ )+ 4ψ= 8 - λ + (λ+ 4)ψ= 8 λ 0. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) λ+ ψ= β) λ - ψ= λ + λψ= - λ ψ= λ -. Για τις διάφορες τιµές του λ να λύσετε τα συστήµατα: α) λ + ψ= λ β) (λ+ ) ψ= λ+ + 4ψ= + ( λ )ψ = Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

5 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0. Να βρείτε για οιες τιµές της αραµέτρου λ το αρακάτω σύστηµα είναι αόριστο: + λψ= λ+ ψ= λ λ+ ψ=. Αν το σύστηµα + ψ= σύστηµα -λψ= λ είναι αδύνατο. λ 4ψ= είναι αόριστο, να δείξετε ότι το -λψ= λ 4. Να βρείτε το λ ώστε το σύστηµα λ ψ= µοναδική λύση (,ψ) για την οοία να ισύει: +ψ=5 0-7 να έει λ+ ψ= 5. Έστω ότι το σύστηµα + ψ= α) Να βρείτε τις τιµές του λ β) Αν 0 + ψ 0 = να βρείτε το λ. λ έει µοναδική λύση ( 0,ψ 0 ). 6. Να βρείτε τα λ και µ ώστε τα συστήµατα: -λψ= λ+ ψ= 0 και + ψ= (λ -) µψ= να είναι συγρόνως αδύνατα. α+ β ψ= γ 7. Αν για το σύστηµα α + β ψ= D + D + D ψ = D+ 4D 5 α) Να δείξετε ότι: (D -) + (D ) + Dψ = 0 β) Να βρείτε τα και ψ. γ ισύει: Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 5 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

6 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 α+ β ψ= γ 8. Αν για το σύστηµα α + β ψ= D γ ισύει: + D + D = (D D - D D -), να δείξετε ότι το σύστηµα έει ψ ψ+ µοναδική λύση την οοία και να την βρείτε. Γ. Γραµµικά συστήµατα Χ 9. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: + ψ - z= 0 + ψ+ z= α) -ψ+ z= β) + ψ+ z= + ψ - z= 4 -ψ+ z= 0. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: ψ - z= ψ+ z= α) + ψ+ z= β) -ψ z= - - z= 4 - ψ - z= 0. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: ψ+ z= ψ+ z= - α) ψ z= - β) + ψ z= 0 - ψ= - - ψ+ z= -. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: ψ+ z= 0 ψ+ z= 0 α) + ψ z= 0 β) + ψ z= 0 - ψ+ z= 0 -ψ+ z= 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 6 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

7 Άλγεβρα Β Λυκείου Μη γραµµικά συστήµατα. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) -ψ= β) -ψ= γ) + ψ= - 4 ψ + 5= 0 + ψ= 60 ψ= 6 4. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) + ψ = β) + ψ = 5 ψ= -6 ψ= - 5. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) + ψ ψ= 7 β) + ψ + ψ= 9 + ψ= - -ψ= 6. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) ψ = 0 β) 5 ψ ψ -= 0 ψ= = 9 7. Να λύσετε το σύστηµα: ψ + ψ + ψ = 5 - = 5 8. Να δείξετε ότι δεν υάρουν ραγµατικοί αριθµοί α,β ώστε να ισύει: α + β =6 και α+β=6. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 7 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

8 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 ο Κεφάλαιο Moνοτονία, ακρότατα και συµµετρίες συνάρτησης Α. Μονοτονία συνάρτησης 9. Να µελετήσετε ως ρος την µονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() = + β) f() = Να µελετήσετε ως ρος την µονοτονία τις συναρτήσεις: α) f() = + β) f() = γ) f() = Να µελετήσετε ως ρος την µονοτονία την συνάρτηση f()= στο διάστηµα (-, ) ( -) 4. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = f()-g() είναι γνησίως αύξουσα στο Α. 4. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, να δείξετε ότι: f(α +) f(α) 44. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, να δείξετε ότι: f( +) < f() 45. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R,να λύσετε τις ανισώσεις: α) f(x-) f(-5) β) f( - ) < f(5) Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 8 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

9 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 B. Aκρότατα συνάρτησης 46. Να βρείτε τα ακρότατα των αρακάτω συναρτήσεων: α) f() = 4 - β) f() = (-) -5 γ) f() = δ) f() = - ε) f() = στ) f()= Να βρείτε τα ακρότατα των αρακάτω συναρτήσεων: α) f() = β) f() = γ) f() = ίνεται η συνάρτηση: f() = + - α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να εξετάσετε την f ως ρος την µονοτονία γ) Να βρείτε την ελάιστη τιµή της f δ) Να βρείτε το f(5) ε) Να λύσετε την ανίσωση: f() > 7 Γ. Άρτιες και εριττές συναρτήσεις 49. Να εξετάσετε αν οι αρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή εριττές: α) f() = β) f() = γ) f() = - + δ) f() = Να εξετάσετε αν οι αρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή εριττές: + α) f() = β) f() = γ) f() + = + Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 9 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

10 Άλγεβρα Β Λυκείου ίνεται η συνάρτηση f() = α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια Αν η συνάρτηση f() = - (α-) +5 είναι άρτια να βρείτε το α. 5. Αν οι συναρτήσεις f και g έουν εδίο ορισµού το R και είναι εριττές, να δείξετε ότι η συνάρτηση: α) h() = f()+g(x) είναι εριττή β) φ() = f() g() είναι άρτια ο Κεφάλαιο Τριγωνοµετρία.. Tριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας 54. Να εκφράσετε σε rad τις γωνίες: α) β) 0 γ) 45 δ) 60 ε) 90 στ) 0 ζ) 0 η) 50 θ) 80 ι) 70 ια) 40 ιβ) 760 ιγ) 60 ιδ) -475 ιε) Να µετατρέψετε σε µοίρες τις αρακάτω γωνίες: α) rad 49 ε) rad 4 4 β) rad 5 στ) rad 6 5 γ) rad 7 ζ) rad 6 δ) rad 6 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 0 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

11 Άλγεβρα Β Λυκείου Αν 0<α< και 0<β< 4 να βρείτε τα ρόσηµα των αραστάσεων: α) Α=ηµα β) Β=συνβ γ) Γ=ηµ(-4β) δ) =συν(α-β) 57. Αν << να βρείτε το ρόσηµο της αράστασης: 4 Α = ηµ - εφ - συν + συν 58. Να υολογίσετε την τιµή της αράστασης: Α = συν 0+ συν + ηµ + εφ 59. Για οιες τιµές του έουν νόηµα οι αρακάτω τριγωνοµετρικοί αριθµοί: + α) ηµθ = - β) συνθ = -5+5 γ) ηµθ = Να βρείτε τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή των αρακάτω αραστάσεων: α) ψ = +ηµ β) ψ = -+5ηµ γ) ψ = 5-συν δ) ψ = +συν ε) ψ = στ) ψ = + ηµ συν 6. ίνεται η εξίσωση 4-4(+ηµθ)+ηµθ = 0. α) Να δείξετε ότι για κάθε γωνία θ η εξίσωση έει δύο ρίζες ραγµατικές και άνισες. β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι - +. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

12 Άλγεβρα Β Λυκείου Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 6. Aν συνω= 5 και 80 <ω<70, να υολογίσετε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω. 6. Αν εφω= 4 και τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω. <ω<, να βρείτε τους άλλους 64. Αν 6ηµ -συν-5=0 και <<, να βρείτε το ηµ. 65. Αν ηµ= και <<, να υολογίσετε την τιµή της 5 αράστασης Α = ηµ εφ + + συν σφ 66. Να αοδείξετε ότι: ηµα συνα α) + = + σφα + εφα ηµα+ συνα β) ηµα -συνα ηµα+ συνα = εφα - εφα+ συνα+ σφα γ) = + ηµα σφα σφα δ) = συν α εφα+ σφα 67. Να αοδείξετε ότι: εφα+ σφβ σφβ α) = εφβ+ σφα σφα β) -εφα + εφα = σφα - σφα+ γ) συνα + ηµα + ηµα + συνα = συνα Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

13 Άλγεβρα Β Λυκείου Να αοδείξετε ότι: - ηµ α α) ηµ 4 α + ηµ α συν α + συν α = β) = συν α - γ) (+σφα) +(-σφα) = ηµ α δ) ηµ α συν α συν α ηµ α + = -συν α -ηµ α 69. Να αοδείξετε ότι: συνα ηµα α) = εφα ηµα συνα β) ηµα + συνα ηµα + -συνα = ηµα 70. Να αοδείξετε ότι: ηµ α) = συν + συν β) συν = + ηµ ηµ 7. Να αοδείξετε ότι: α) εφ+ σφ = β) ηµ συν εφ + σφ + = ηµ συν ψ Αν =ηµθ και ψ=συνθ να δείξετε ότι = 9 7. Για οιες τιµές του κ υάρει γωνία ω, ώστε να ισύει: κ - κ ηµω= και συνω =. κ+ κ+ ηµθ -ψ συνθ= ηµθ 74. ίνεται το σύστηµα: συνθ+ ψ ηµθ= συνθ α) Να δείξετε ότι το σύστηµα έει µοναδική λύση για κάθε γωνία θ. β) Να λύσετε το σύστηµα. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

14 Άλγεβρα Β Λυκείου ίνεται η εξίσωση: -(συνθ+ηµθ)+συνθ ηµθ=0 µε ηµθ συνθ α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έει δύο ρίζες ραγµατικές και άνισες. β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να δείξετε ότι: + = 76. ίνεται η εξίσωση: -ηµα +-συνα=0 µε 0<α<. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έει δύο ρίζες ραγµατικές και άνισες. β) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε το ηµα ώστε + = 77. Να δείξετε ότι: συν ηµ ηµ - συν = 78. Αν ψ = 6ηµ+8συν, να δείξετε ότι ψє[-0,0]... Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 79. Να αοδείξετε ότι: i) συν(90 +ω) = -ηµω ii) εφ(90 +ω) = -σφω iii) σφ(90 +ω) = -εφω iv) ηµ(70 -ω) = -συνω v) συν(70 -ω) = -ηµω vi) ηµ(70 +ω) = -συνω 80. Να συµληρώσετε τις αρακάτω ισότητες: i) ηµ(+α)=... ii) συν(-α)=... iii) ηµ(5+α)=... iv) ηµ(7-α)=... v) συν(9+α)=... vi) εφ(-α)=... vii) ηµ(8-α)=... viii) συν(0-α)=... ix) εφ(4-α)=... x) σφ(5-α)=... Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

15 Άλγεβρα Β Λυκείου Να δείξετε ότι: συν( -) συν(+ ) α) = σφ ηµ( ) ηµ( -) εφ(+ ) εφ( ) β) = σφ( ) εφ(-) 8. Να αοδείξετε ότι: α) ηµ 6 + ηµ 4 + ηµ 64 + ηµ 56 = 5 β) εφ εφ εφ εφ = Να δείξετε ότι: εφ(+) σφ(-)+ηµ (-) = 84. Να δείξετε ότι: ηµ (-)+ηµ ( +)+εφ 5 σφ 5 = Να αλοοιήσετε τις αραστάσεις: ηµ( -θ) συν( + θ) εφ( -θ) α) A = 5 συν( + θ) σφ(-θ) σφ( + θ) β) ηµ(+ θ) σφ( θ) συν(+ θ) Β= συν( + θ) εφ(+ θ) συν( + θ) 86. Να αοδείξετε ότι: εφ( -θ) σφ(+ θ) εφ(-θ) εφ( θ) α) = εφ(+ θ) σφ( -θ) σφθ εφ( θ) Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 5 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

16 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 ηµ( -θ) ηµ( θ) συν( -θ) εφ( θ) β) = ηµ( + θ) ηµ( -θ) συν(+ θ) εφ( + θ) 87. Αν Α,Β,Γ γωνίες τριγώνου, να αοδείξετε ότι: α) ηµ Α+συν (Β+Γ) = Α Β+ Γ β) ηµ + ηµ = Α Β+ Γ γ) εφ εφ = δ) εφα σφ(β+γ) = Να υολογίσετε τις αραστάσεις: 5 ηµ + συν ηµ α) A = ηµ συν ηµ 4 6 o o o ηµ5 -εφ5 + συν0 β) B= o o o ηµ5 + σφ5 + συν40.. Tριγωνοµετρικές Συναρτήσεις 89. Να κάνετε τις γραφικές αραστάσεις των αρακάτω συναρτήσεων: α) f() = ηµ+ β) f() = συν- γ) f() = ηµ δ) f() = -συν ε) f() = -+ηµ στ) f() = συν Αν η γραφική αράσταση της f()= αηµ διέρεται αό το σηµείο Α(-, 6) α) Να βρείτε το α β) Να βρείτε την ελάιστη και τη µέγιστη τιµή της f γ) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 6 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

17 Άλγεβρα Β Λυκείου Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ηµ4+συν6 είναι εριοδική και έει ερίοδο Τ = Στην συνέεια να βρείτε την ελάιστη και µέγιστη τιµή της. 9. Να µελετηθούν και να αρασταθούν γραφικά οι αρακάτω συναρτήσεις σε λάτος µιας εριόδου α) f() = ηµ β) f() = -4συν 9. Αν 0< < < να συγκριθούν οι αριθµοί: - - α) σφ και σφ. β) συν και συν ίνεται η συνάρτηση f() = αηµ( ) + β µε єr και α>0, βєr. Αν η f έει µέγιστη τιµή το και η γραφική της αράσταση τέµνει τον ψ ψ στο, να βρείτε τον τύο της f. 95. Ένα σώµα κρέµεται µε ένα ελατήριο αό το ταβάνι και αέει αό το άτωµα m. Όταν το σώµα ανεβοκατεβαίνει, το ύψος του αό το άτωµα σε µέτρα δίνεται αό τον τύο h(t) = +συν t, όου t ο ρόνος σε sec. α) Να υολογίσετε τη διαφορά ανάµεσα στο µέγιστο και στο ελάιστο ύψος. β) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης γ) Να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f για 0 t 6 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 7 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

18 Άλγεβρα Β Λυκείου Tριγωνοµετρικές εξισώσεις 96. Nα λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ = - ηµ5 β) ηµ = ηµ(+0 ) γ) ηµ+5=0 δ) συν(+50 ) = ηµ(+0 ) ε) συν = -συν0 ) 97. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: α) συν- = 0 β) ηµ( - 4 ) = 0 γ) εφ( - 6 ) - = 0 δ) σφ - 6 = Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ = β) συν = γ) εφ = - δ) σφ = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ = ηµ( + ) β)συν = συν( - 4 ) γ) εφ( - ) εφ( + 6 ) = 0 δ) σφ σφ(- )= 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 8 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

19 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ = συν β) ηµ(- ) = - συν γ) εφ(- ) + σφ(- 6 ) = 0 δ) σφ(- 4 ) + εφ(+ 4 ) = 0 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ (συν-)=0 β) συν (ηµ-)=0 γ) ηµ συν + ηµ = + συν δ) ηµ εφ = ηµ εφ ε) ηµ συν - ηµ - συν + 6 = 0 στ) ηµ συν = ηµ 0. Nα λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ = β) 4συν = 0 4 γ) εφ = 0 δ) σφ = 0 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ ηµ = 0 β) 4συν 4συν + = 0 γ) συν - 7ηµ + = 0 δ) συν + ηµ + = 0 ε) συν + = ηµ + 4συν στ) εφ (- )εφ - = 0 ζ) σφ - 4 σφ + = 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 9 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

20 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ = συν β) σφ = συν γ) εφ = ηµ δ) εφ + = συν συν ε) συν = εφ στ) ηµ - = σφ ηµ 05. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις στα αντίστοια διαστήµατα α) εφ =, στο [0, ) β) συν =, στο [, 4] γ) συν + = 0, στο [-, ] 06. Οι ετήσιες ωλήσεις ενός βιοµηανικού ροϊόντος (σε εκατοντάδες κοµµάτια) δίνονται αό τον τύο S = ηµ 6 t, όου t ο ρόνος σε έτη µε t = να αντιστοιεί στο 00 και 0 t 0. α) Να βρείτε οιο έτος οι ωλήσεις είναι κοµµάτια β) Να βρείτε οιο έτος έουµε το µεγαλύτερο αριθµό ωλήσεων και όσες είναι αυτές..5. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος και διαφοράς γωνιών 07. Να υολογίσετε τις τιµές των αρακάτω εξισώσεων: 4 4 α) συν συν - ηµ ηµ Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 0 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

21 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 β) ηµ5 συν0 + συν5 ηµ0 γ) συν ηµ 4 4 ηµ συν 7 7 δ) ηµ5 ηµ50 +ηµ85 ηµ40 ε) 6 εφ εφ εφ εφ 7 7 στ) o o σφ0 σφ70 + o o σφ0 σφ Να υολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών: α) 95 β) rad 09. Nα αλοοιηθούν οι αραστάσεις: α) ηµ7 συν συν7 ηµ β) ηµ(+0 )συν(0 -) + ηµ(80 -)συν(+70 ) 0. Αν ηµα = µε 0<α< και συνβ = - µε <β<, να 5 υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών α+β και α-β. 5. Αν ηµα = 7 µε <α< και εφβ = - 5 µε <β<, να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς συν(α-β) και εφ(α+β). Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

22 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0. Αν ηµ+ηµψ = κ και συν+συνψ = λ, τότε: κ + λ α) Να δείξετε ότι: συν(-ψ) = β) Για κ=- και λ = να βρείτε τη διαφορά -ψ. Να αοδείξετε ότι: συνω -ηµω α) εφ(45 -ω) = συνω+ ηµω εφ α -εφβ β) εφ(α+β) εφ(α-β) = -εφ α εφβ 4. Να αοδείξετε ότι: α) συν + συν(0 +) + συν(40 +) = 0 β) συν(α+β) ηµ(α-β) = ηµασυνα ηµβσυνβ γ) (συν-ηµ) εφ( 4 +) = συν + ηµ δ) ηµ(-ψ) + συν(+ψ) = (ηµ+συν) (συνψ-ηµψ) 5. Να αοδείξετε ότι: ηµ(α- β) α) = εφα-εφσυν(α- β) συν(α+ β) + συν(α- β) β) = σφα+ σφβ ηµ(α+ β) + ηµ(α- β) 6. Να δείξετε ότι η αράσταση Α = ανεξάρτητη του α. ηµ(α+ β) + συν(α- β) ηµα+ συνα είναι 7. Αν α+β = 4 και εφα = να βρεθεί η εφβ Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

23 Άλγεβρα Β Λυκείου Αν α-β = 60 και εφβ = να υολογίσετε την εφα. 9. Αν α+β+γ = 90, να αοδείξετε ότι: α)εφα εφβ + εφβ εφγ + εφγ εφα = β) σφα + σφβ + σφγ = σφασφβσφγ 0. Αν α+β =γ, να δείξετε ότι: εφγ εφα εφβ = εφαεφβεφγ. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισύει σφα= και σφβ=, να δείξετε ότι Γ=5. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι: εφα + εφβ + εφγ = εφα εφβ εφγ. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει ηµ(α-β) = συνα ηµβ, να δείξετε ότι αυτό είναι ορθογώνιο. 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισύει συν(α+β) = ηµα ηµβ, να δείξετε ότι αυτό είναι ισοσκελές. 5**. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και εφα, εφβ οι ρίζες της εξίσωσης: = 0 α) Να δείξετε ότι εφ(α+β) = β) Να βρείτε τη γωνία Γ 6. Nα λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ(+ 6 ) = συν β) σφ(+ 4 ) + σφ(- 4 ) = εφ Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

24 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 ηµ(+ ) γ) = συν(+ ) + συν(- ).6. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί διλάσιας γωνίας 7. Να υολογίσετε την τιµή των αρακάτω αραστάσεων: α) ηµ συν β) συν - 8 γ) - ηµ 5 εφ δ) - εφ Αν ηµα = 5, αє(,), να υολογίσετε τις τιµές των αραστάσεων: α) Α = ηµα+συνα β) Β = ηµ α + 4συν α 4 9. Αν ηµα = -, αє(, ), συνβ = 5 5 υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς: α) ηµ(α+β) β) εφ(α+β), βє(0, ), να 0. Αν α, βє(0, 4 ), εφα = 7 και εφβ =, να δείξετε ότι α+β = 4 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

25 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0. Αν 5ηµ +5ηµ-=0 και << αρακάτω τριγωνοµετρικούς αριθµούς: α) ηµ,συν, εφ, σφ β)ηµ4, συν4, ηµ8 και ηµ, να υολογίσετε τους. Αν ηµα-συνα = 5, να υολογίσετε το ηµα.. Να αοδείξετε ότι: ηµα-ηµα α α) = εφ ηµα+ ηµα ηµα+ ηµα β) = εφα + συνα+ συνα 4. Να αοδείξετε ότι: + συνα+ ηµα α) = σφα - συνα+ ηµα β) γ) δ) + ηµα- συνα α = εφ + ηµα+ συνα ηµα συνα α = εφ + συνα + συνα ηµ4θ συνθ συνθ θ = εφ + συν4θ + συνθ + συνθ 5. Να δείξετε ότι : α+β συνα(συνα+συνβ) + ηµα(ηµα-ηµβ) = συν 6. Να δείξετε ότι: 4 α)συν συν συν = Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 5 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

26 Άλγεβρα Β Λυκείου β) συν συν συν συν = Να δείξετε ότι: συν 4 + ηµ 4 = 8 7-4συνθ+ συν4θ + 4συνθ+ συν4θ 4 8. Να δείξετε ότι: = εφθ 9. Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ + συν = 0 β) ηµ = ηµ γ) συν + ηµ = 0 δ) συν συν + = 0 ε) συν 5συν + =0 40. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισύει συν A = ηµ B συν Γ δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές., να 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ - συν = β) ηµ + συν = Εαναλητικά Θέµατα 4. Για τη γωνία α ισύει: 5συνα-4συνα-7=0. α) Να δείξετε ότι συνα=- 5 β) Αν ειλέον ισύει α / να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµα, συνα και εφα. (ο Θέµα 000) Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 6 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

27 Άλγεβρα Β Λυκείου α) Για κάθε ραγµατικό αριθµό να αοδείξετε ότι: συν (ηµ+4ηµ) = (συν+4συν+) ηµ β) Να λύσετε την εξίσωση: συν+4συν+=0 (ο Θέµα 00) 44. α) Να λύσετε την εξίσωση: ηµ - συν = 0 συνα α β) Να αοδείξετε ότι : = εφ, για όλες τις τιµές του α ηµα+ ηµα ου ορίζεται η ισότητα. (ο Θέµα 004) συν + 45**. Έστω η συνάρτηση f() = ηµ α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της f β) Να δείξετε ότι η f είναι εριττή γ) Να λύσετε την εξίσωση : f() = ηµ 46**. Έστω (ηµα+ηµβ) = 5 και (συνα+συνβ) = α) Να δείξετε ότι: συν(α-β) = β) Αν αє(0, ) και βє(-, 0) τότε να δείξετε: i) α-β = ii) εφα(- εφβ) = + εφβ 47**. Αν ισύει: 4ηµα συνα =, συνα 0 α) Να δείξετε ότι : εφα = 4 β) Να υολογίσετε τα συνα και ηµα γ) Να λύσετε την εξίσωση: εφ(-α) = 7 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 7 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

28 Άλγεβρα Β Λυκείου **. Έστω η συνάρτηση: f() = α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της f β) Να δείξετε ότι: f() = συν ηµ συν συν+ ηµ γ) Να λύσετε την εξίσωση: f() + f(-) = ηµ + A. Βασικές Γνώσεις 4ο Κεφάλαιο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 49. Να βρείτε τα κ,λ,µ ώστε τα ολυώνυµα P() = (κ-) - µ και Q() = (λ-µ)+µ- να είναι ίσα. 50. Να βρείτε το λ ώστε τα ολυώνυµα P()=(λ-) + (λ - 5λ)+λ και Q()= (λ -) -4+ λ + να είναι ίσα. 5. Να βρεθούν οι τιµές του κ, ώστε το ολυώνυµο Q()=(κ -4) +(κ -5κ+6) +(κ -8)+κ-4 να είναι το µηδενικό ολυώνυµο. 5. Να βρείτε τις τιµές του λ, ώστε το ολυώνυµο Ρ()=(λ-) +(λ -9) +(λ -5λ+6) + λ να είναι σταθερό. 5. Να βρείτε το βαθµό του ολυωνύµου P()=(4λ -9λ) +(4λ -9) -λ+ για τις διάφορες τιµές του λ. 54. Αν το ολυώνυµο P() = (λ -00λ) +(λ -0λ)+0λ- είναι ρώτου βαθµού, να βρείτε το λ. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 8 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

29 Άλγεβρα Β Λυκείου Να βρείτε το α ώστε το ολυώνυµο P()=6α +8α --α να έει ρίζα το Να βρείτε τα α,βєr, ώστε το ολυώνυµο Ρ()=7α -8α -+β- να έει ρίζες τους αριθµούς 0 και Να ροσδιορίσετε τα α,βєr, ώστε για το ολυώνυµο Q()=(β+α) +α +(α+β-)(α-β) να ισύουν Q(0)=0 και Q()= 58. Nα βρείτε τους ραγµατικούς αριθµούς α και β ώστε το ολυώνυµο P() = α -9 ++β να έει άθροισµα συντελεστών 4 και ρίζα το. 59. Αν Ρ() = - και Q() = - +- να βρείτε τα ολυώνυµα: α) P()+Q() β) P()-Q() γ) P() Q() δ) (Ρ()) 60. Έστω τα ολυώνυµα Ρ() = -+ και Q() = - Να βρείτε τα αρακάτω ολυώνυµα και το βαθµό τους: α)ρ(q()) β)q(ρ()) γ) Q(Q()) 6. Αν για το ολυώνυµο P() ισύει P(-)= 9-6+ να βρείτε το P(). 6. Αν το ολυώνυµο Ρ() έει ρίζα το - να δείξετε ότι το ολυώνυµο Q() =Ρ(+)+( +)Ρ(+) έει ρίζα το -. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 9 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

30 Άλγεβρα Β Λυκείου Αν η αριθµητική τιµή του Ρ() για =- είναι, να δείξετε ότι το ολυώνυµο Q() = Ρ( --5)+Ρ(+4)+Ρ(-)- έει ρίζα το Να βρείτε ολυώνυµο Ρ() ώστε να ισύει: (-)Ρ() = Να βρείτε ολυώνυµο Ρ(), ου βαθµού µε ρίζες 0,- και να ισύει Ρ(-) = 66. Να βρείτε ολυώνυµο Ρ() για το οοίο ισύει: [Ρ()] +Ρ() = 4 - B. ιαίρεση Πολυωνύµων 67. Να κάνετε τις αρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε ερίτωση: α) ( ) : (-) β) ( 4 - +) : ( ++) γ) ( - -+) : (-) δ) ( 4-5 +) : ( -) 68. Έστω το ολυώνυµο Ρ() το οοίο όταν το διαιρέσουµε µε το +5 δίνει ηλίκο - και υόλοιο -. α) Να βρείτε το ολυώνυµο Ρ() β) Να βρείτε την τιµή Ρ(-) 69. Έστω το ολυώνυµο Ρ()= -α +α-α. Αν το υόλοιο της διαίρεσης Ρ() : +α είναι 8, να βρείτε το α>0 και το ηλίκο της διαίρεσης. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 0 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

31 Άλγεβρα Β Λυκείου Aν για το ολυώνυµο Ρ() ισύει Ρ()=4 και Ρ(- )=, να βρείτε το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το ολυώνυµο Αν για το ολυώνυµο Ρ() ισύει Ρ(0)=0, Ρ()= και Ρ(- )= να βρείτε το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το Το ολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε το - αφήνει υόλοιο και διαιρούµενο µε το -5 δίνει υόλοιο 7. Να βρείτε το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το Το ολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε τα, +, - αφήνει υόλοια,, αντίστοια. Να βρείτε το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το. 74. Αν το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι να βρείτε το υόλοιο της διαίρεσης του ολυωνύµου Q()=Ρ(9+7)+ 0 µε το Αν το ολυώνυµο Ρ()= α +β+α - έει αράγοντες τους και +, να βρείτε τα α και β. 76. Αν το ολυώνυµο Ρ()= α +β+α έει αράγοντα το +-, να βρείτε τα α και β. 77. Να βρείτε το λ ώστε το υόλοιο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ()= (λ-) -(λ+)+4λ- µε το + να είναι Να βρείτε τα α και β ώστε το Ρ()=α (α+β) + β-4 να έει αράγοντα το (+)(-). Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

32 Άλγεβρα Β Λυκείου Με τη βοήθεια του σήµατος Horner, να δείξετε ότι το ολυώνυµο Ρ()= +4 έει αράγοντα το ολυώνυµο (-). 80. Να βρείτε τα α και β ώστε το Ρ()= α 5 +β+9 να έει αράγοντα το (-). 8. Με τη βοήθεια του σήµατος Horner να δείξετε ότι το ολυώνυµο Ρ() = διαιρείται µε το (-)(-) και να βρείτε το αντίστοιο υόλοιο. 8. Έστω το ολυώνυµο Ρ() = α +β το οοίο έει αράγοντα το και το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι. α) Να βρείτε τα α και β. β) Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του Ρ() µε το +. Γ. Πολυωνυµικές εξισώσεις ανισώσεις 8. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) + - = 0 β) - -+ = 0 γ) = 0 δ) 8 ( -7+) = (-)(-4) ε) = Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 5 = β) = 0 γ) 0 04 = 0 δ) (+) +7 = 0 ε) = 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

33 Άλγεβρα Β Λυκείου Να δείξετε ότι οι αρακάτω εξισώσεις δεν έουν ακέραιες ρίζες: α) + - = 0 β) = Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x)= µε τον άξονα '. 87. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f()= +7 και g()= Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f()= +5 µε την ευθεία ψ= Nα λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) - +0 > 0 β) + +0 > 4 +5 γ) < 0 δ) ε) + > 5- στ) 4 - (-) 90. Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() = βρίσκεται άνω αό τον άξονα. 9. Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της συνάρτησης f()= 4 +6 βρίσκεται κάτω αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης g()= + +. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

34 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0. Εξισώσεις και Ανισώσεις ου ανάγονται σε ολυωνυµικές 9. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) ηµ +συν +ηµ+ = β) + = - γ) 5+ 0= 8 δ) + + = -6 ε) + + -= 7 9. Να λύσετε την αρακάτω ανίσωση: + > 0 - Ε. Εαναλητικά Θέµατα 94. ίνεται το ολυώνυµο Ρ() = α +(β-) --β+6. α) Αν ο αριθµός είναι ρίζα του ολυωνύµου Ρ() και το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι ίσο µε, τότε να δείξετε ότι α= και β=4. β) Για τις τιµές των α και β ου βρήκατε να λύσετε την εξίσωση Ρ()=0 (ο Θέµα 000) 95. ίνεται το ολυώνυµο Ρ()= κ -(κ+λ) +λ+. α) Αν Ρ(- )=7 και Ρ(-)=, να δείξετε ότι κ=-6 και λ=-5 β) Να γίνει η διαίρεση του Ρ(), για κ=-6 και λ=-5, µε το ολυώνυµο + και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. γ) Να λυθεί η ανίσωση Ρ() > 7, για κ=-6 και λ=-5. (ο Θέµα 00) Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

35 Άλγεβρα Β Λυκείου Για το ολυώνυµο Ρ()= 4-8 +(5α-) +8-α-6, αєr. α) Να κάνετε τη διαίρεση του ολυωνύµου Ρ() µε το - και να γράψετε τη σετική ταυτότητα. β) Να βρείτε την τιµή του α, ώστε η αραάνω διαίρεση να είναι τέλεια. γ) Για α=, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ()=0 καθώς και τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της ολυωνυµικής συνάρτησης Ρ() βρίσκεται κάτω αό τον άξονα. (ο Θέµα 004) 97. ίνεται το ολυώνυµο Ρ() = -(α+) +(β+)-α, α,βєr. α) Αν ο αριθµός είναι ρίζα του Ρ() και το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι -8, να βρεθούν τα α και β. β) Για α= και β= 7 i) Nα λυθεί η εξίσωση Ρ()=0 ii) Να γίνει η διαίρεση του Ρ() δια του ολυωνύµου + και να γραφεί το Ρ() µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. iii) Nα λυθεί η ανίσωση Ρ() ίνεται το ολυώνυµο Ρ() = +α +β+4, α,βєr. Αν το Ρ() έει αράγοντες τους +, - α) Να δείξετε ότι α=- και β=0 β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ()=0 γ) Έστω C η γραφική αράσταση της συνάρτησης Ρ(). Να βρείτε: i) τις συντεταγµένες του σηµείου στο οοίο η C τέµνει τον άξονα ψ ψ. ii) τις τιµές του για τις οοίες η C βρίσκεται κάτω αό τον άξονα. 99. ίνεται το ολυώνυµο Ρ()= +α +β-0, α,βєr. α) Αν το ολυώνυµο Ρ() έει αράγοντα το + και το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το + είναι -6, να δείξετε ότι α= και β=6. β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ()=0 γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ()>0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 5 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

36 Άλγεβρα Β Λυκείου *. ίνεται το ολυώνυµο Ρ()=(λ -4λ) +(λ -λ) λ+,λєr. α) Να βρείτε το βαθµό του Ρ() για τις διάφορες τιµές του λ. β) Για λ=, να βρείτε το Ρ() και να δείξετε ότι η γραφική αράσταση της συνάρτησης Ρ() διέρεται αό το σηµείο (,-). γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ()< Έστω το ολυώνυµο Ρ() = -α +β. Αν το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το -4 είναι το - α) Να βρείτε τα α και β. β) Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης γ) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης δ) Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της ολυωνυµικής συνάρτησης Ρ() βρίσκεται άνω αό την ευθεία ε:ψ= Έστω η συνάρτηση f() = + α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης β) Να αλοοιήσετε τον τύο της f γ) Να λύσετε την ανίσωση f()> ΣΤ. Συνδυαστικά Τριγωνοµετρίας Πολυωνύµων 0**. Αν το ολυώνυµο Ρ() = 8εφα -5εφβ +4- έει αράγοντες τους - και - α) Να δείξετε ότι εφα = 4 και εφβ = β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ()>0 γ) Να υολογίσετε την εφ(α-β) 04**. Έστω το ολυώνυµο Ρ() = συνθ +, θє(0,) το οοίο διαιρείται ακριβώς µε το +ηµθ α) Να βρείτε το θ β) Αν το υόλοιο της διαίρεσης του Ρ() µε το -εφα είναι, να βρείτε την εφα. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 6 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

37 Άλγεβρα Β Λυκείου Έστω το Ρ()= +ηµθ συνθ. α) Να δείξετε ότι το Ρ() έει αράγοντα το -ηµθ β) Να βρείτε το ηλίκο () της διαίρεσης του Ρ() µε το -ηµθ γ) Αν το υόλοιο της διαίρεσης του () µε το - είναι, να βρείτε το θ. 06. α) Να λυθεί η εξίσωση: ψ 6 ψ + = 0 β) Να λυθεί η εξίσωση: ηµ 6 = - συν 5ο Κεφάλαιο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α. Εκθετική Συνάρτηση 07. Να αραστήσετε γραφικά τις αρακάτω συναρτήσεις: α) f() = e + β) f() = e + γ) β) f() = e Έστω η συνάρτηση -5α f() = α+ α) Για οιες τιµές του α για τις οοίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R. β) Να βρείτε τις τιµές του α ώστε η f να είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα 09. ίνονται οι συναρτήσεις f()= (e + e - ) και g()= (e - e - ). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι εριττή γ) Να δείξετε ότι ισύει: f ()- g () =, για κάθε єr. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 7 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

38 Άλγεβρα Β Λυκείου Nα λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις: α) = 8 β) = 9 8 γ) = 7 δ) - = 64 ε) στ) = 4 = Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: + α) 9 = 7 β) = γ) 9 = 9 δ) + + = 0 ε) 5 4 = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: + - α) + 8 = 6 + β) 9 + = 6 + γ) = 80. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) 4 = 0 β) = 0 + γ) = 0 δ) e + e = 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 8 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

39 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) 7 5 = β) = + 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: + α) + 4= 0 + β) e + e = e e + γ) + = 0 συν δ) 9 συν + 9 = 4 6. Nα λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) < 8 β) 9> 0 γ) e δ) e + + < 0 ε) e + > 0 στ) Να λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) < 8 6 β) > 4 e e γ) 7 < Να λύσετε τις ανισώσεις: α) > β) < Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 9 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

40 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) < 0 β) e (+ e) e + e > 0 γ) > 0 δ) e + e < 0 0. Να λύσετε τις ανισώσεις: e α) > 0 e + e e β) < 0 e. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) 9 ψ β) 5 γ) 5 = 8 = -ψ 5-4ψ 4 -ψ- ψ+ = -9 7 = + ψ = = Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) 5 β) ψ ψ+ + 4 ψ+ ψ+ = 06 = 5 = 9 = 69 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 40 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

41 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0. Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης : f() = Αν η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() α- α α+ = 6 9 4, διέρεται αό το σηµείο Α(-,0) α) Να βρείτε το α β) Να λύσετε την ανίσωση: f(e ) < 6-4 e Β. Λογαριθµική Συνάρτηση 5. Για οιες τιµές του ισύει: α) log = β) logx = γ) lnx = δ) log = - ε) logx = - στ) lnx = Nα υολογίσετε τους αρακάτω λογαρίθµους: α) log 5 5 β) log000 γ) lne δ) log 4 7. Να υολογίσετε τις αρακάτω αραστάσεις: α) Α = log 006 [log 4 (log 6)] β) Β = γ) Γ = 4 log 5 + log log log 0, 7+ log 0, Να αοδείξετε τις αρακάτω ισότητες: α) log 7- log 4 - log 4 + log 5 5 = β) log + log 6- log 7 = γ) log + log log6 = log 4 5 δ) log + 6ln e log 0 = Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

42 Άλγεβρα Β Λυκείου Να αοδείξετε ότι: α) 4 log log ln + 00 e = 5 β) ln-ln e log 5 = 9 + log5 ln00 γ) e = Nα αραστήσετε γραφικά τις αρακάτω συναρτήσεις: α) f() = ln β) f() = ln+ γ) f() = ln(-) δ) f() = ln(-)+ ε) f() = log(+)-. Nα βρεθεί το εδίο ορισµού των αρακάτω συναρτήσεων: α) f() = ln(-) β) f() = log( -5+6) - γ) f() = ln 5 - δ) f() = ln( - 6) ε) f() = lοg(e - e) -. ίνεται η συνάρτηση f() = ln + α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να δείξετε ότι η f είναι εριττή. ίνεται η συνάρτηση f() = log( -4) α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια 4. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) ln(-) = ln(+) β) ln(+) + ln(-) = ln4 γ) log log(+6) = log δ) log(-) log(- ) = log(4-) log Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

43 Άλγεβρα Β Λυκείου Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) log[log(-5)] = 0 β) log 5-4+ log + = + log0,8 γ) log = 0 δ) ln = 0 6. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) log(-6) + log(-7) = log5 β) ln = ln γ) ln = ln 7. Nα λύσετε τις εξισώσεις: α) log + 5log - = 0 β) ln + ln = 0 γ) 4ln - = 0 8. Nα λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) = β) e = 7 γ) = 0 9. Nα λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: α) ln(e +) = β) ln(e +) = +ln 40. Nα λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: ln ln ln α) 4 e = 0 log log log β) = 0 4. α) Να δείξετε ότι: ln = ln β) Να λύσετε την εξίσωση: 4 ln - 9 ln +8 = 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 4 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

44 Άλγεβρα Β Λυκείου ίνεται η συνάρτηση f() = log( -9+8) log α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής αράστασης της f µε τους άξονες. 4. Να λύσετε τα αρακάτω συστήµατα: α) + lnψ= β) ln(ψ) = ln ψ= e + e ln lnψ= ln 44. Να λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) log(-) > log(-) β) ln > ln(+) γ) log( -9) < log(4-4) 45. Να λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) < β) > γ) e < Να λύσετε τις αρακάτω ανισώσεις: α) ln - 5ln β) lοg - 5log + 4 < 0 γ) ln > 47. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + ln(e -) = ln0 β) ln(e -) + = ln 48. ίνεται η συνάρτηση f() = ln(5 - ) α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της f µε τους άξονες γ) Να λύσετε την ανίσωση f() > 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 44 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

45 Άλγεβρα Β Λυκείου ίνεται η συνάρτηση f() = ln[ln(-)] α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να λύσετε την εξίσωση f() = 0 γ) Να λύσετε την ανίσωση f() < ίνεται η συνάρτηση f() = (lnα ) α) Να βρείτε το α ώστε η f να ορίζεται σε όλο το R β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Εαναλητικά Θέµατα - 5. ίνεται η συνάρτηση f() = ln + α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της f β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι εριττή γ) Να συγκρίνετε τους αριθµούς f(0) και f( ) δ) Να λύσετε την εξίσωση: f()+f(+) = 0 (4ο Θέµα εαναλητικών 00) e 5. ίνεται η συνάρτηση f() = ln e + 5 α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της β) Να λύσετε την εξίσωση: f()=ln γ) Να λύσετε την ανίσωση: f()>0 (4ο Θέµα 00) 5. ίνονται οι συναρτήσεις f()=ln(e -e +) και g()=ln+ln(e -). α) Να βρείτε τα εδία ορισµού των f() και g() β) Να λύσετε την εξίσωση f() = g() γ) Να λύσετε την ανίσωση f() > g() (4ο Θέµα 00) Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 45 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

46 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 ln+ 54. ίνεται η συνάρτηση f() = ln - α) Να βρεθεί το εδίο ορισµού της f και το σηµείο τοµής της γραφικής της αράστασης µε τον άξονα. β) Να δείξετε ότι f( )= f(), για κάθε >0, e, e. γ) Να λύσετε την εξίσωση: f() + f( ) = για κάθε >0, e, e. 55**. ίνεται η συνάρτηση f() =ln(+α-β), α,βєr. A. Aν ln6 + f( ) ln5 = ln, τότε α) Να αοδείξετε ότι α-β = β) Να λύσετε την εξίσωση: ηµ(e f() ) συν(e f() ) = Β. Αν η γραφική αράσταση της f τέµνει τον άξονα στο σηµείο Α(,0), τότε: α) Να αοδείξετε ότι: α-β = 0 β) Να λύσετε την ανίσωση: f() 6 < ln(e 4 ) 56**. Έστω η συνάρτηση f() = ln(e -) α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της f β) Να λύσετε την εξίσωση: f() = ln7 + f() γ) Να αοδείξετε ότι: 0 f() f() f(00) e 0 e + e + e e = e **. Έστω η συνάρτηση f() = ln, >0 α) Να λύσετε την εξίσωση: f(-ηµ) f(συν) = f() β) Αν α>0 και f(α)+f(α )+...+f(α 00 ) = 5050, να αοδείξετε ότι α=e γ) Να λύσετε την ανίσωση: f() f() + f() -> 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 46 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

47 Άλγεβρα Β Λυκείου **. ίνεται η συνάρτηση f µε τύο f() = ln(e + +e + ) α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της και να δείξετε ότι η γραφική της αράσταση τέµνει τον άξονα ψψ στο σηµείο Α(0, +ln) β) Να λύσετε την εξίσωση f() = γ) Να βρεθούν τα διαστήµατα ου η γραφική αράσταση της f βρίσκεται κάτω αό την ευθεία ψ= 59**. Έστω,ψ θετικοί αριθµοί µε α) Να δείξετε ότι ισύει: lnψ log = logψ ln β) Αν ισύει η ισότητα: lnψ logψ ln log =, να βρείτε οια σέση συνδέει τους αριθµούς και ψ. γ) Αν είναι ψ= και το ψ είναι λύση της εξίσωσης: ψ ψ e + = ( 00) 0, να βρείτε τους αριθµούς και ψ. δ) Αν για το ολυώνυµο P() = -4+4 ισύει P(ln), να δείξετε ότι ψ є [e, e 6 ]. e + 60**. ίνεται η συνάρτηση f() = α, της οοίας η e γραφική αράσταση διέρεται αό το σηµείο Α(ln, ). α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να αοδείξετε ότι α= γ) Να αοδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι εριττή δ) Να λυθεί η ανίσωση f()> 6. α) Να δείξετε ότι: α lnβ = β lnα, για κάθε α,β>0. β) Να λύσετε την ανίσωση: ln ln - < γ) Έστω η συνάρτηση : f() = α ln Να βρείτε το α ώστε 5f() f(5) > 0 Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 47 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+

48 Άλγεβρα Β Λυκείου 0-0 6**. ίνεται το ολυώνυµο Ρ() = (lnκ-) (e-) e + + ηµθ, θє(0,) Αν το ολυώνυµο είναι ου βαθµού και έει αράγοντα το - α) Να βρείτε τα κ και θ β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ() < 0 γ) Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() = e +(e-)e e + βρίσκεται κάτω αό τον άξονα. 6**. ίνεται η συνάρτηση f() = ln(e -). α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται άνω αό τον άξονα. γ) Να συγκρίνετε τους αριθµούς f(ln) και f() δ) Να λύσετε την εξίσωση: f() f() = f() 64. ίνεται η συνάρτηση: f() = log(-) log(+8) α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να δείξετε ότι: f(0) = log9 log5 γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της f µε τον άξονα δ) Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω αό τον άξονα. 65. ίνεται το ολυώνυµο Ρ()= - lnα + 5 lnα -, α>0. α) Αν το - είναι αράγοντας του Ρ(), τότε να βρείτε το α β) Για α=e i) Να δείξετε ότι το (-) είναι αράγοντας του ολυωνύµου Ρ() ii) Να βρείτε τα διαστήµατα του για τα οοία η γραφική αράσταση της συνάρτησης Ρ() βρίσκεται άνω αό τον άξονα. Θανάσης Κοάδης Μαθηµατικός 48 Φροντιστήριο Μ.Ε. 9+