Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

Transcript

1 Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)

2 Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80 ε φ ηµ + συν εφ β) Β= συν + ηµ σφ 4 4 Αν 540 < x < 0, να βρείτε τ ρόσηµ της αράστασης: Α = ηµ xεφx + σφx + 4εφxσφx + ηµxσυνx < ω < 5, να βρείτε τ ρόσηµ της αράστασης: Αν 9 Β = συν 7 ω + ηµ 8 ωεφω + συνωεφ ω 4 Αν ηµx = 5, µε < x <, να βρείτε τυς υόλιυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας x 5 Αν εφα =, µε 0 < α < 450, να βρείτε την τιµή της αράστασης: Α = ηµα συν α εφ α + εφασφα Να αδείξετε ότι: α) (ηµω + 9συνω) + (9ηµω συνω) = 85, β) συν x συνx + 8 > 0 7 Αν 5ηµωηµφ + 9συνωσυνφ = 0, να αδείξετε για τις τιµές υ έχει νόηµα η ισότητα ότι: + = 4 5ηµ ω+ 9συν ω 5ηµ φ + 9συν φ 45 8 Να αλιήσετε τις ακόλυθες αραστάσεις για τις τιµές υ έχυν νόηµα: 5 α) Α=ηµ +ω +συν(5 +ω ) +εφ(9 +ω) σφ ω, εφ(70 ω) συν ( 80 +ω) ε φ(90 +ω) β) Β= ηµ (90 ω ) σ φ( 540 ω ) σ φ( 70 + ω ) 9 Να αδείξετε τις ακόλυθες ισότητες για τις τιµές υ έχυν νόηµα: α) ηµ ω + ηµ + ω =, 4 4 β) ε φ +ω εφ ω = x 0 ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = 5συν α) Να βρείτε τ εδί ρισµύ της συνάρτησης f β) Να βρείτε τ µέγιστ και τ ελάχιστ της συνάρτησης f και σε ιες θέσεις ειτυγχάννται γ) Να βρείτε την ερίδ της συνάρτησης f δ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή εριττή ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική της αράσταση σε διάστηµα λάτυς µιας εριόδυ ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = αηµ(βx), όυ α, β > 0, η ία έχει ερίδ Τ= και αρυσιάζει µέγιστ ίσ µε Να βρείτε τν τύ της συνάρτησης f

3 Να βρείτε τύ της συνάρτησης f υ έχει ως γραφική της αράσταση καθεµία αό τις ακόλυθες ηµιτνειδείς καµύλες: y y = f(x) y x x x x - - y Σχήµα Α Σχήµα Β Να βρείτε τν τύ της συνάρτησης υ έχει ως γραφική της αράσταση καθεµία αό τις ακόλυθες συνηµιτνειδείς καµύλες: y y y y = f(x) y = f(x) y = f(x) x x x 0 x - - y 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: y α) ( συνx )(ηµ x+ ) = 0, β) ( ) γ) (ηµx )(συνx ) = 0, δ) ( ) + ε φx (+σ φx) = 0, - ηµx ( συν x) = 0 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµ x + ηµx = 0, β) συν x+ 5συν x+ = 0, γ) ηµ x = συν x, δ) ηµx = - συν4x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ηµx = συνx, β) ηµ x = συν x 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) συν x + ηµxσυνx = 0, β) ηµ 5 x = ηµx, γ) ηµ x + ηµx = ηµx +, δ) ηµxσυνx + ηµx = ηµ x + συνx 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) ηµx =, x,, β) εφx =, x (, )

4 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 7 α) συν90 = συν0 =, ηµ 0 = ηµ 0 =, σφ75 = σφ45 =, ηµ 0 = ηµ 0 =, συν80 = συν0 =, εφ405 = εφ45 =, άρα Α = 5 β) ηµ = ηµ =, συν = συν =, 7 7 εφ 9 = εφ = εφ =, συν = συν = 0, 7 5 ηµ = ηµ =, σφ = σφ =, άρα ( ) + ( )( ) Β= = = = = ( )( + 0+ ) 4+ + = 8 Αφύ 540 < x < 0, έχυµε ηµx < 0, συνx < 0, εφx > 0, σφx > 0, ότε Α > 0 9 Αφύ 9 < ω < 5, έχυµε ηµω > 0, συνω < 0, εφω < 0, σφω < 0, ότε Α < 0 0 Αφύ < x <, έχυµε ότι συνx < 0 Τότε: συνx= ηµ x = = = 5, 5 5 ηµx 5 συνx εφx = = = = και σφx = = συνx ηµx 5 Αφύ 0 < α < 450, έχυµε ότι ηµα > 0 Τότε: ηµ α = εφ α 9 +εφ α = + = 0, άρα ηµα = 0 0 = 0, 0 ηµα 0 0 συνα = = =, άρα εφα Α = = + = α) (ηµω + 9συνω) + (9ηµω συνω) = = 4ηµ ω + ηµωσυνω + 8συν ω + 8ηµ ω ηµωσυνω + 4συν ω = = 85ηµ ω + 85συν ω = 85

5 β) Θέτυµε συνx = ω, ότε η ανίσωση ισδύναµα γίνεται: ω ω + 8 > 0, η ία ισχύει αφύ τ τριώνυµ ω ω + 8 έχει = 9 < 0, άρα είναι µόσηµ τυ α = Αν συνω = 0, τότε ηµω = ±, ηµφ = 0 και συνφ = ±, ότε η ισότητα ισχύει Αν συνφ = 0, τότε ηµφ = ±, ηµω = 0 και συνω = ±, ότε η ισότητα ισχύει 8 Αν συνωσυνφ 0, τότε 5εφωεφφ + 9 = 0 και εφ ω= 5εφ φ Τότε: 8 + +εφ ω 5εφ φ = = = = 5ηµ ω+ 9συν ω 5εφ ω 9 5εφ ω εφ ω +εφ ω 5εφ φ 5εφ φ +8 = 45( 9 + 5εφ φ) και +εφ φ = =, 5ηµ φ + 9συν φ 5εφ φ 9 5εφ φ+9 + +εφ φ +εφ φ άρα 4 α) 5εφ φ +8 +εφ φ + = + = 5ηµ ω+ 9συν ω 5ηµ φ + 9συν φ + 5εφ φ +9 45( 9 5εφ φ) 4( 5εφ φ +9) ( + ) ( ) ( ) 5εφ φ εφ φ 70εφ φ+ 4 = = = = εφ φ 45 5εφ φ εφ φ ηµ + ω = συνω 5 σφ ω = εφω β) φ(70 ) σφω 5 α), συν(5 + ω ) = συνω, εφ(9 +ω ) =ε φω,, άρα Α = συνω συνω+ εφω εφω= συνω ε ω =, ( 80 ) ηµ (90 ω ) = συνω, σφ( 540 ω ) = σφω, φ( 70 ) σφω( -συνω)( σφ ω) Β= = συνω( σφω)( -εφω) συν + ω = συνω, ε φ(90 +ω ) = σφω, σφ ω σ +ω = εφω, άρα + ηµ +ηµ ηµ ω +ω =ηµ ω ω =ηµ ω + συν ω = 4 4 β) ε φ +ω εφ ω =ε φ +ω εφ +ω =ε φ +ω σφ +ω =

6 α) A f = R β) Η συνάρτηση f έχει µέγιστ τ 5 όταν x συν = x 4κ = κ, κ Z x =, κ Z, ενώ έχει ελάχιστ τ 5 x όταν συν = x 4κ+ = κ +, κ Z x =, κ Z 4 γ) Τ = = δ) Η f είναι άρτια β = β = και α = 7 8 α) 9x f(x) = ηµ + 4, β) x f(x) = ηµ = συν, β) x f(x) = συν 9 α) f(x) 4x 0 α) συνx = 0 ή ηµ x+ = 0 συνx = ή ηµ x = 7 x = κ± ή x = κ+, κ Z β) Για x κ+ και x κ, κ Z, έχυµε: +ε φx = 0 ή +σ φx = 0 ε φx = ή σ φx = x =κ ή x =κ, κ Z 4 γ) ηµx = 0 ή συνx = 0 ηµx = ή συνx = x = κ + ή x = κ, κ Z δ) - ηµx = 0 ή συν x = 0 ηµx = ή συν x = x = κ+ ή x = κ±, κ Z α) Θέτυµε ω = ηµx και η εξίσωση ισδύναµα γίνεται ω + ω = 0, υ έχει διακρίνυσα = 9 και ρίζες ω = ή ω = ηµx = ή ηµ x = 5 x = κ ή x = κ+ ή x = κ +, κ Z β) Θέτυµε ω = συνx και η εξίσωση ισδύναµα γίνεται ω + 5ω + = 0, υ έχει διακρίνυσα = και ρίζες ω = ή ω = συνx = ή συνx =, υ είναι αδύνατες γ) ηµ x = ηµ x x = κ+ x ή x = κ + + x, κ Z κ 5x = κ+ ή x = κ+, κ Z x = + ή x = κ, κ Z 5 0 δ) συν x = συν( 4x) - - -x = κ + - 4x ή -x = κ - + 4x, κ Z x = κ + - ή - x = κ - -, κ Z x=κ + ή 4 α) Αν συνx = 0, τότε ηµx = ±, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη κ x= - +, 4 κ Z

7 Αν συνx 0, η εξίσωση ισδύναµα γίνεται: ηµx = εφx = x = κ +, κ Z συνx β) ηµ x = ηµ x 4ηµ x = ηµ x =± 5 x= κ ± ή x= κ ±, κ Z α) συνx(συνx + ηµx) = 0 συνx = 0 ή συνx = ηµx συνx = 0 ή συνx= συν + x x=κ + ή x κ x = ± +, κ Z x=κ + ή x = κ, κ Z 4 β) ηµ 5 x ηµx = 0 ηµx(ηµ 4 x ) = 0 ηµx = 0 ή ηµx = ± x=κ ή x = κ ±, κ Z γ) ηµ x + ηµx ηµx = 0 ηµx(ηµx + ) (ηµx + ) = 0 (ηµx )(ηµx + ) = 0 ηµx = 0 ή ηµx + = 0 4 α) ηµx = ή ηµx = x=κ + ή x=κ + ή x= κ +, κ Z 4 4 δ) ηµxσυνx + ηµx ηµ x συνx = 0 συνx(ηµx ) ηµx(ηµx ) = 0 (συνx ηµx)(ηµx ) = 0 συνx ηµx = 0 ή ηµx = 0 συνx = ηµx ή ηµx = ηµ x = ηµx ή ηµx = ηµ x=κ +x - ή x=κ + x - - ή x= κ +, κ Z -x = κ - ή κ + 0 = ή x= κ +, κ Z x= - κ + ή x= κ +, κ Z 4 5 x = κ + ή x = κ +, κ Z κ x= + 8 ή κ 5 x= +, 8 κ Z 5 κ 5 κ 5 5 Όµως x,, ότε < + < ή < + <, κ Z 8 8 κ 44 κ 40 < < ή < <, κ Z < κ < ή < κ <, κ Z, άρα κ = ή (κ = ή κ = ) και κατά συνέεια x= + = ή x= + = ή x= + = κ β) Για x κ+, κ Z x +, κ Z, έχυµε 4 κ εφx = εφ x =κ+, κ Z x = +, κ Z Όµως x (, ), ότε

8 κ 9 κ 9 - < + <, κ Z - < <, κ Z - < κ <, κ Z, άρα κ = 4 ή κ = ή κ = ή κ = ή κ = 0 ή κ = ή κ = ή κ =, και κατά συνέεια 9 5 x = + = ή x = + = ή x = + = ή x = + = ή x = 0+ = ή x = + = ή x =+ = ή x = + = 8 8