ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

2 Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015

3 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 49 Βιβλία 49 Ιστοσελίδες 49 Ιστοσελίδες 49

4

5 1. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1ο ιαγώνισµα 1. Να δειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ, δηλαδή υ = P (ρ). 2. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις : (αʹ) Από τους παρακάτω τύπους : i. συν2a = 1 2ηµ2 a ii. συνa = 2συν 2 a2 1 iii. συν 2 a = 1 συν2a 2 σωστοί είναι : i. µόνο ο πρώτος ii. µόνο ο δεύτερος iii. ο πρώτος και ο δεύτερος iv. ο πρώτος και ο τρίτος v. όλοι (ϐʹ) Αν οι αριθµοί α1, β1, γ1 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής πρόοδου, τότε α+γ i. β1 = 2 2 ii. β1 = α+γ iii. β2 = α1 + γ1 β iv. 2 = α1 + γ1 v. β1 = α2 + γ2 (γʹ) Εστω η συνάρτηση f (x) = 2x. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή i. η f έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα (0, ) ii. η f έχει σύνολο τιµών το σύνολο R iii. η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο πεδίο ορισµού της iv. η γραφική παράσταση τέµνει τον x0 x στο σηµείο A(1, 0)

6 v. η γραφική της παράσταση έχει ασύµπτωτη τον αρνητικό ηµιάξονα των x. 3. Ερωτήσεις συµπλήρωσης Αν α, θ > 0 και α 1, να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες : (αʹ) log α 1 =... (ϐʹ) log α α =... (γʹ) log α α =... 1 (δʹ) log α α =... (εʹ) log α α x =... (ϛʹ) α log α θ =... Να λυθεί το σύστηµα : { log x + log ψ = 1 3 x 2 9 ψ 4 = 9 Θέµα 3ο 1. Αν οι αριθµού α 1 = 2ηµ2θ, α 2 = 2συνθ, α 3 = ɛφθ, µε θ (0, π 2 ) είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου να αποδειχθεί ότι θ = π Να ϐρεθεί ο λόγος λ και οι τέσσεροις πρώτοι όροι της πρόοδου. Θέµα 4ο 1. Να ϐρεθούν οι τιµές των α, β R, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 2αx β + α να έχει παράγοντα το x + 3 και το υπόλοιπο τις διάρεσης αυτού µε το x + 1 να είναι Αν είναι α = 7 και β = 8 (αʹ) να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 (ϐʹ) να λυθεί η ανίσωση P (x) > 15 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

7 2ο ιαγώνισµα 1. Αν α, β γωνίες µε συνα 0, συνβ 0, συν(α + β) 0, να αποδειχθεί ότι ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Αν ɛφθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης ɛφx = α δίνονται από τον τύπο x = κπ + θ, όπου κ Z (ϐʹ) Αν α, β τυχαίες γωνίες, τότε ισχύει : συν(α β) = συνα συνβ ηµα ηµβ (γʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε το P (ρ). (δʹ) Τρείς αριθµού α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν ισχύει 2β = α + γ. (εʹ) Αν θ 1, θ 2 > 0, τότε ισχύει log(θ 1 + θ 2 ) = log θ 1 + log θ 2 (ϛʹ) Εστω θ > 0. Αν log θ = x, τότε 10 x = θ. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 21x x Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να κάνετε τη διαίρεση 2. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0. P (x) : (x 11) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

8 Θέµα 3ο ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν ) µε α 3 = 19, α 7 = Να αποδείξετε ότι α 1 = 13 και ω = Να υπολογίσετε το άθροισµα α 8 + α α Να ϐρείτε τον Κ για τον οποίο οι α 1, α 14, α κ, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Θέµα 4ο 1. Να λύσετε την εξίσωση 3 3u 19 9 u u+2 81 = Να λύσετε στο διάστηµα [0, 2π] την εξίσωση 3 3συνx 19 9 συνx συνx+2 81 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

9 3ο ιαγώνισµα 1. Αν α ν γεωµετρική πρόοδος µε λ 1, να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων S ν δίνεται από τη σχέση : S ν = α 1 λν 1 λ 1 2. Ερωτήσεις πολλαπλής επολογής. Στις επόµενες προτάσεις να µεταφέρετε στο γραπτό σας τον αριθµό τους και δίπλα ακριβώς, το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (αʹ) Η παράσταση ηµα ηµ3α + συνα συν3α ισούται µε : i. ηµ2α ii. συν2α iii. συν4α iv. συν2α (ϐʹ) Αν (x), δ(x), π(x) και υ(x) µη µηδενικά πολυώνυµα για τα οποία ισχύουν : (x) = δ(x) π(x) + υ(x) και ϐαθµός του υ(x) µικρότερος του ϐαθµού του δ(x), τότε από τις παρακάτω προτάσεις : i. ϐαθµόςδ(x)+βαθµόςπ(x) =ϐαθµός (x) ii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης (x) : π(x) είναι υ(x) iii. ϐαθµόςπ(x) <ϐαθµός (x) σωστές είναι : i. µόνο η πρώτη ii. µόνο η δεύτερη iii. η πρώτη και η δεύτερη iv. η πρώτη και η τρίτη (γʹ) Η παράσταση ɛφα ηµ3α 1+ɛφα ɛφ3α ισούται µε : i. ɛφ4α ηµα ηµ3α ii. 1+συνα συν3α iii. ɛφ2α iv. 2ɛφα (δʹ) Το πολυώνυµο P (x) = αx 3 + βx 2 + 3x + α: i. είναι ϐαθµού 3 ii. είναι ϐαθµού 2 αν α = 0 iii. Εχει ϱίζα το 0 αν β = 0 iv. έχει ϱίζα το 1 αν β = 3. (εʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x: i. έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. ii. είναι γνησίως ϕθίνουσα στο πεδίο ορισµού της iii. η γραφική παράσταση τέµνει τον xx στο σηµείο A(1, 0) iv. Η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη τον ϑετικό ηµιάξονα Ox. (ϛʹ) Αν α,β,γ διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε : i. β = α+γ ii. γ β = β α 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

10 β iii. α = β α iv. 2 β = 1 α + 1 γ 1. Να δείξετε ότι : ηµ(2x π 4 )συν(x + π 4 ) + ηµ(x + π 4 )συν(2x π 4 ) = ηµ3x 2. Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(2x π 4 )συν(x + π 4 ) + ηµ(x + π 4 )συν(2x π 4 ) = ηµx Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

11 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + (λ 1)x 2 + (2λ 3)x + 3 3λ 1. Να αποδειχθεί ότι έχει παράγοντα το x 1 για κάθε x R 2. Να ϐρεθεί ο λ R αν ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του P (x). 3. Για λ = 1 να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0 Θέµα 4ο 1. Να αποδειχθεί ότι οι αριθµοί : log 2, log(2 2), log 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου της οποίας να ϐρεθεί η διαφορά. 2. Να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των 9 πρώτων όρων αυτής είναι : S 9 = 27 log 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

12 4ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ, δηλαδή υ = P (ρ). 2. (αʹ) Να δώσετε τον ορισµό της λογαριθµικής συνάρτησης. (ϐʹ) Να γράψετε στο τετράδιό σας την ένδειξη Σ αν είναι σωστή. ή Λ αν είναι λαν- ϑασµένη για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις : i. ηµ2α = ηµα συνα ii. Αν α > 0 και α 1 τότε για κάθε x R και για κάθε θ > 0 ισχύει ότι : Αʹ. log α α = α Βʹ. α log α θ = θ iii. Αν α > 0 και α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει ότι : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 iv. Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυνώνυµο είναι 1ου ϐαθµού. 1. Να αποδείξετε ότι 2. Να λυθεί η εξίσωση ηµ2α 1 + συν2α = ɛφα ηµ2x 1 + συν2x = 1 3. Να ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστηµα [0, 2π] Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 (α + 1)x 2 + (α 1)x + 2 το οποίο έχει παράγοντα το x Να ϐρείτε την τιµή του α R 2. Για α = 2 να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P (x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση P (x) = x 2 Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = κ + log(x 2 3), κ R 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. 2. Να υπολογίσετε την τιµή του κ ώστε f(2) = log Για κ = 2 (αʹ) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε ψ = log (ϐʹ) Να λυθεί η f(x) > 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

13 5ο ιαγώνισµα 1. Αν συνα 0, συνβ 0, συν(α + β) 0 να αποδείξετε ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) συν2α = συν 2 α ηµ 2 α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α (ϐʹ) Η εξίσωση 7x x x 12 = 0 έχει ϱίζα τον αριθµό 1 (γʹ) Αν θ > 0 τότε ln θ = x e x = θ (δʹ) Το πολυώνυµο P (x) = 3x 3 + 7x 2 4x 3x είναι 2 oυ ϐαθµού. (εʹ) Αν θ 1, θ 2 > 0, τότε ln( θ 1 θ 2 ) = ln θ 1 ln θ 2 Για τις γωνίες α,β ισχύουν ότι : π 2 α π και 0 β π 2. Αν ηµα = 4 5 τότε 1. Να αποδείξετε ότι : ηµ(α + β) = Να αποδείξετε ότι : συν(α + β) = Να αποδείξετε ότι : ɛφ2α = 24 7 Θέµα 3ο και συνβ = 12 13, ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 x 2. Αν το πολυώνυµο P (x) έχει ως παράγοντες του x 1 και x + 1, τότε : 1. Να αποδείξετε ότι : α = 1 και β = Αν α = 1 και β = 3 να λύσετε την εξίσωση P (x) = Αν α = 1 και β = 3 να λύσετε την ανίσωση P (x) 0. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e 2x 2e x + 5) και g(x) = ln 5 + ln(e x 1). 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f(x) και g(x). 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

14 6ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι συν2α = 1 2ηµ 2 α. 2. Τι ονοµάζουµε και πως συµβολίζουµε τον λογάριθµο ενός ϑετικού αριθµού ϑ ως προς ϐάση το α µε α > 0 και α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) ηµ(α + β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. (ϐʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2, µε 1 α > 0 και θ 1, θ 2 > 0. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µή µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (δʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και y = α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. (εʹ) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 έχει σύνολο τιµών το R. ίνεται η εξίσωση : αηµ2x + βηµ 2 x 2 x = π 2 : 1. Να αποδείξετε ότι β = 2α. 2. Αν β = 2α να λυθεί η εξίσωση. = α µε α > 0, β > 0. Αν µια λύση της είναι η Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 µε α, β R. Αν το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας του f(x) και η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = 2 είναι µηδέν : 1. Να υπολογίσετε τις τιµές των α και ϐ. 2. Για α = 1, β = 4 να ϐρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του f(x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση x 3 x 2 4x + 4 = Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) = x 3 x 2 4x + 4 ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log 2 (x + 1) Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες/ 3. Αν το σηµείο A( 1 2.λ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να δείξετε ότι λ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

15 7ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι ɛφ(α + β) = ɛφα+ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ, µε συν(α + β) 0 και συνα συνβ ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x, µε α > 1. Να γραφεί το πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών και η µονοτονία της συνάρτησης f. 3. Να µεταφερθούν στο γραπτό σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις ή τύποι : (αʹ) συν2α =... (ϐʹ) Αν P (ρ) = 0 τότε ο ρ λέγεται του πολυωνύµου P (x) και x ρ είναι του πολυωνύµου P (x). (γʹ) log α θ κ = (δʹ) log α α =......, log α 1 = Να ϐρεθούν οι α, β R ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 4 αx 3 + βx 4 να έχει παράγοντες τα πολυώνυµα x + 1, x Για α = 1 και β = 2 να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0. Θέµα 3ο 1. Να αποδειχθεί ότι : 2. Να λυθεί η εξίσωση : 1 + ηµ2x συν2x συν2x = 1 + ηµ2x συν2x συν2x 2ηµx συνx ηµx = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

16 Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπο f(x) = log(2 2x 8) και g(x) = log(2 x + 4). 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των f, g. 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = Να λυθεί η ανίσωση f(x) > g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

17 8ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθούν : (αʹ) συν2α = συν 2 α ηµ 2 α (ϐʹ) συν2α = 1 2ηµ 2 α 2. Να µεταφερθούν στην κόλα σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις : (αʹ) ηµx = ηµθ x = ή x = (ϐʹ) Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) (διαρετέος),δ(x) (διαιρέτης) µε δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ώστε : (x) = και ϐαθµός του υ(x) του ϐαθµού του ή υ(x) είναι το πολυώνυµο. (γʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = µε α 1 και θ 1, θ 2 > 0. (δʹ) log α α = , µε α > 0 και α 1 (εʹ) Αν α > 1 τότε ισχύει : 0 < x 1 < x 2 log α x log α x 2 (ϛʹ) ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x. Αν 0 < α < 1 τότε η f(x) είναι γνησίως ίνεται η παράσταση A = (ηµx + συνx) 2 + ηµ2x. 1. Να αποδειχθεί ότι : A = 1 + 4ηµxσυνx. 2. Να λυθεί η εξίσωση : A = 1. Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + x 2 + κx + 2, κ R 1. Αν το πολυώνυµο P (x) έχει ϱίζα το 2 να ϐρεθεί ο κ. 2. Αν κ = 1 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση P (x) : (x + 1) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (ϐʹ) Να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπο f(x) = log(5 3 x + 9) και g(x) = log(9 x 3 3 x ). 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των f, g. 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

18 9ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε τους τύπους :ηµ2α = 2ηµα συνα, συν2α = συν 2 α ηµ 2 α 2. Να µεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συµπληρωµένες σωστά : (αʹ) Κάθε και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε (γʹ) Μια ακολουθία λέγεται , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πολλαπλασιασµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικό α- ϱιθµό. (δʹ) Αν α > 0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει log α (θ 1 θ 2 ) = ίνεται η αριθµητική πρόοδος : 1, 2, 5, 8,... Να ϐρεθούν : 1. Ο πρώτος όρος α 1 και η διαφορά ω. 2. Ο όρος α Το άθροισµα S 15 των 15 πρώτων όρων της. 4. Ο αριθµητικός µέσος των όρων της 17 και 23. Ποιος όρος της ακολουθίας είναι αυτός ο αριθµός Θέµα 3ο ίνεται πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + x 2 αx + 2,όπου α R. 1. Να ϐρεθεί η τιµή του α ώστε το πολυώνυµο P (x) να έχει παράγοντα το x Για α = 5, να ϐρεθούν µε το σχήµα Horner το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. 3. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 Θέµα 4ο 1. Να λύσετε την εξίσωση : 2 3x = 4 x Αν ξέρετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι x 1 = 1 2 και x 2 = 2, να λύσετε την εξίσωση : 2 3ηµx = 4 ηµ2 x 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

19 10ο ιαγώνισµα 1. Να χαρακτηρίσετε καθένα από τα παρακάτω ως Σ(Σωστό) ή Λ(Λάθος) (αʹ) ɛφ(α + β) = ɛφα ɛφβ 1+ɛφα ɛφβ (ϐʹ) συν2α = ηµ 2 α συν 2 α (γʹ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln( x) είναι το διάστηµα (, 0) (δʹ) Η συνρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα. (εʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. 2. (αʹ) Να δείξετε ότι αν α > 0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύουν log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 (ϐʹ) Να δείξετε ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 efα ɛφβ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : (αʹ) 2ηµx = 3 (ϐʹ) ɛφx = 3 (γʹ) 2συν 2 x + 1 = 3συνx Να αποδείξετε ότι : 1 + συν2α + 2ηµ 2 α = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

20 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 2x 2 3x Να ϐρείτε πολυώνυµο Q(x) έτσι ώστε P (x) + Q(x) = 0 2. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας των πολυωνύµων P (x) και Q(x). 3. Να γράψετε το πηλίκο της διαίρεσης του P (x) + Q(x) µε το P (x) Q(x) Θέµα 4ο 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (αʹ) 2 5x = (ϐʹ) 2 = 64 x (γʹ) 9 x x + 6 = 0 2. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(x 2 1) 3. Να λυθεί η εξίσωση : log(x + 1) + log x = log 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20

21 11ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να µεταφερθούν στην κόλα σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις : (αʹ) συνx = συνθ x = ή x = (ϐʹ) ɛφ2α = (γʹ) log α ( θ 1 θ 2 ) = µε α > 0, α 1 και θ 1, θ 2 > 0. (δʹ) log α 1 = , µε α > 0 και α 1 (εʹ) Αν 0 < α < 1 τότε ισχύει : 0 < x 1 < x 2 log α x log α x 2 3. Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) (διαιρετέος),δ(x) (διαιρέτης) µε δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο). (αʹ) Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης : (ϐʹ) Ποιοι είναι οι περιορισµοί για το υ(x); (x) = ίνεται η παράσταση A(x) = ηµ(2x + π 3 ) + ηµ(2x π 3 ) 1. Να αποδειχθεί ότι : A = ηµ2x 2. Να λυθεί η εξίσωση : A = συνx Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 21

22 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 4x 2 + x 6 1. Να αποδείξετε ότι x 1 είναι παράγοντας του P (x) 2. Να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0 3. Να λυθεί η ανίσωση : P (x) x 1 > 1 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(x) = log(2 x 1) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f(x) 2. Να λυθεί η ανίσωση : log(2 x + 26) > 1 + f(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 22

23 12ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι :συν2α = 1 2ηµ 2 α 2. Τι ονοµάζουµε και ως συµβολίζουµε τον λογάριθµο ενός ϑετικού αριθµού ϑ ως προς ϐάση α µε α > 0 και α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) ηµ(α + β) = ηµασυνβ συναηµβ. (ϐʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 µε 1 α > 0 και θ 1, θ 2 > 0. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µή µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (δʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και y = α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. (εʹ) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 έχει σύνολο τιµών το R. ίνεται η εξίσωση :αηµ2x+βηµ 2 x 2 = α(1) µε α, β > 0. Αν µια λύση της είναι η x = π 2 : 1. Να αποδειχθεί ότι β = 2α. 2. Αν β = 2α να λυθεί η εξίσωση (1). Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 µε α, β R. Αν το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας του f(x) και η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = 2 είναι µηδέν : 1. Να υπολογίσετε τις τιµές των α και ϐ. 2. Για α = 1 και β = 4 ϐρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του f(x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση x 3 4x = x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) = x 3 x 2 4x + 4 ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log 2 (x + 1) Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες. 3. Αν το σηµείο A( 1 2, λ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, δείξτε ότι λ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 23

24 13ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ) ή µε Λάθος (Λ) (αʹ) Για κάθε γωνία α κπ + π 2 ισχύει 1 + ɛφ2 α = 1 συν 2 α. (ϐʹ) Η εξίσωση x 4 + 4x = 0 έχει τέσσερις ϑετικές ϱίζες. (γʹ) Οι αριθµοί 10, 19, 28, 37 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. (δʹ) Η συνάρτηση µε τύπο f(x) = 2 x τέµνει τον άξονα yy στο A(2, 0). (εʹ) Αν log x = 3 τότε x = Εστω ότι οι αριθµοί α 1 = x 3 + 1, α 2 = 3x 2, α 3 = 11x 7 είναι τρεις πρώτοι όροι αριθµητικής προόδου. 1. Να ϐρεθεί το x. 2. Αν x = 2 να ϐρεθεί ο α 12 και το άθροισµα των είκοσι πρώτων όρων S 20. Θέµα 3ο 1. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις : A = ηµ( π 4 x) συνx ηµxσυν(π 4 x) 2. Να λυθεί η εξίσωση A = B B = ηµx (1 + συν2x) ηµ2x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 24

25 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln( ex 2 e x + 4 ) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λύσετε την εξίσωση : ln( e2x 2e x e x ) = ln 5 ln Να λύσετε την ανίσωση : f(x) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 25

26 14ο ιαγώνισµα 1. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυώνυµου για x = ρ. Είναι δηλαδή : υ = P (ρ). 2. Εστω α ϑετικός αριθµός, α 1. Τι ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε ϐάση a; 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση : (αʹ) Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιοδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 (ϐʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. (γʹ) Ο αριθµός ρ είναι ϱίζα ενός πολυωνύµου P (x) αν και µόνον αν P (ρ) = 0. (δʹ) Κάθε συνάρτηση της µορφής f(x) = α x, α > 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R. (εʹ) Αν α > 0, α 1 και θ > 0 τότε : α log α θ = θ 1. Εστω η πολυωνυµική συνάρτηση f(x) = x 4 + 4x 3 x 2 + αx + β η οποία διαιρείται µε τα πολυώνυµα x + 1 και x 2. (αʹ) είξτε ότι α = 16 και β = 12 (ϐʹ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) τέµνει το x x στα σηµεία A( 3, 0), B( 2, 0), Γ( 1, 0) και (2, 0). 2. Αν µια γεωµετρική πρόοδος έχει πρώτο όρο α 1 την τετµηµένη του σηµείου Α και δεύτερο όρο α 2 την τετµηµένη του σηµείου Γ, δείξτε ότι ο α 20 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 26

27 Θέµα 3ο 1. Να δείξετε ότι x ln 5 = 5 ln x.x > 0 2. Να λύσετε την εξίσωση : 5 2 ln x = 5 + 4x ln 5 3. Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : και f(x) = 3 5 ln x g(x) = 2 x ln Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = (2 α) x, x R, α R. 1. είξτε ότι η συνάρτηση ορίζεται σε όλο το R και είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R όταν α (1, 2) 2. Αν α (1, 2) να λύσετε την ανίσωση f(x 3 + 2) < f(3x) 3. Για α = 3 2 να λύσετε την εξίσωση f(1) = f(ηµx) στο διάστηµα (0, 2π) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 27

28 15ο ιαγώνισµα 1. Να συµπληρωθούν τα κενά : (αʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = (ϐʹ) log α ( θ 1 θ 2 ) = (γʹ) log α θ κ = (δʹ) log 1 = (εʹ) ln e = Το ηµ2α ισούται µε : (αʹ) 2ηµα συνα (ϐʹ) 2συν 2 α 1 (γʹ) συν 2 α ηµ 2 α (δʹ) 1 2ηµ 2 α Να λυθεί η εξίσωση e 2x = e x+1 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 3x 2 +2x+7. Να υπολογίσετε το P (0) και να εξετάσετε αν ο αριθµός 1 είναι ϱίζα του πολυωνύµου. Θέµα 4ο Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης συν110 o συν70 o ηµ110 o συν70 o Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 28

29 16ο ιαγώνισµα 1. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου 2. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι : α ν = α 1 + (ν 1) ω 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε το Σ(σωστό ) ή Λ (λάθος). (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x ορίζεται για x > 0 (ϐʹ) Ισχύει η ισοδυναµία ln θ e x = θ (γʹ) Ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 (δʹ) Αν το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα x ρ τότε P (ρ) = 0 Αν το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + βx 8, όπου α, β R έχει παράγοντα το x + 2 και ϱίζα τον αριθµό 1: 1. Να ϐρείτε τους α,β 2. Για α = 5, β = 2 να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση : 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > f(1) f(x) = log(11x 2 7x + 10) log x 2 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 29

30 Θέµα 4ο Ο έκτος όρος αριθµητικής προόδου είναι α 6 = 7 και ο δέκατος α 10 = Να ϐρείτε τον όρο α 1 και την διαφορά ω. 2. Αν α 1 = 3, ω = 2 να ϐρείτε : (αʹ) τον α 1007 και (ϐʹ) το άθροισµα α 20 + α α 50 (γʹ) Να λύσετε την εξίσωση : e x 2e x + α 3 = 0, όπου α 3 είναι ο τρίτος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30

31 17ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ). 2. Να γράψετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα σας δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη : (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα (0, + ) (ϐʹ) Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = e x έχει πεδίο ορισµού το R. (δʹ) Αν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε β = α+γ 2 (εʹ) Ισχύει ότι ln e = 0 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 7x + 3α και Q(x) = x 2 3x + β όπου α, β R. Αν το x 1 είναι παράγοντας του P (x) και ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του πολυωνύµου Q(x) τότε : 1. Να ϐρεθούν τα α,β. 2. Για α = β = 2 (αʹ) Να λυθεί η εξίσωση P (x) = Q(x). (ϐʹ) Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση του P (x) να ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31

32 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log(2 x 1) 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λυθεί η ανίσωση log(2 x + 26) > 1 + f(x). 3. Να ϐρείτε τις τιµές του x ώστε οι όροι : log 2, f(x), log(2 x + 3) µε τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Θέµα 4ο Σε µια γεωµετρική πρόοδο α 1, α 2, , α ν ο τέταρτος, ο πέµπτος, και ο έκτος όρος είναι οι αριθµοί : 2, ηµα, ηµα αντίστοιχα όπου α (0, π). 1. Να δείξετε ότι α = π 2 2. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο α 1 και το λόγο λ της γεωµετρικής προόδου. 3. Να ϐρείτε τον όρο της προόδου που είναι ίσος µε Να αποδείξετε ότι :. α 2 + α α 10 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 32

33 18ο ιαγώνισµα 1. ίνεται η συνάρτηση f(x) = ηµx. Κάντε έναν πίνακα τιµών της, την γραφική της παράσταση στο διάστηµα [0, 2π] και αναφέρατε αν είναι γνησίως αύξουσα ή ϕθίνουσα στα διαστήµατα [0, π 2 ], [ π 2, 3π 2 ], [ 3π 2, 2π] 2. Είναι Σωστές ή Λάθος οι ακόλουθες προτάσεις (αʹ) εν ορίζεται ɛφ0 o (ϐʹ) Αν P (ρ) = 0, τότε το ρ λέγεται ϱίζα του πολυωνύµου P (x). (γʹ) Για α 0 και ν ℵ ισχύει α ν = 1 α ν (δʹ) Η f(x) = α x, µε α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. (εʹ) log 10 = 1 (ϛʹ) Αν α > 0, α 1, τότε log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + α 2 x 2 + 3x 4α. 1. Αν το P (x) έχει ως ϱίζα το 1, να ϐρείτε το α. 2. Για α = 2, ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 + x α. Θέµα 3ο ίνεται η εξίσωση log x 2 = log(4 3x). 1. Να λυθεί η εξίσωση. 2. Αν x 1 ονοµάσετε την µεγαλύτερη από τις λύσεις της να αποδείξετε ότι 17 log x log 10 log 100 = 1 Θέµα 4ο Να λύσετε την εξίσωση x 3 + 3x 2 2x 2 = x 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33

34 19ο ιαγώνισµα 1. Αποδείξτε ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ) µε λόγο λ είναι S ν = α 1 λν 1 λ 1 Ποιο είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων αν λ = 1; 2. Χαρακτηρίστε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις : (αʹ) Ενα σταθερό πολυώνυµο έχει ϐαθµό 0. (ϐʹ) Αν ο ακέραιος ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου ενός πολυωνύµου P (x) µε ακέραιους συντελεστές, τότε ο ρ είναι ϱίζα του P (x). (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < a 1 έχει σύνολο τιµών το R (δʹ) Η συνάρτηση g(x) = ln x έχει πεδίο ορισµού το (0, + ). Εστω το πολυώνυµο P (x) = x 3 2αx + β 2 1 το οποίο έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x). µε το x + 1 είναι Να ϐρεθούν τα α και ϐ. 2. Για α = 2 και β = 1 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση του P (x) µε το x + 1 και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (ϐʹ) Να λυθεί η ανίσωση P (x) > 0. Θέµα 3ο Εστω ότι οι αριθµοί α = x 4, β = x + 4, γ = 3x 4 µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. 1. Να ϐρεθεί η τιµή του x 2. Για x = 8 (αʹ) Αν ο ϐ είναι ο έκτος όρος της προόδου να ϐρεθεί ο πρώτος όρος. (ϐʹ) Να ϐρεθεί το άθροισµα των 10 πρώτων όρων. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(e x 2). 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Αν η γραφική παράσταση της f περνά από το σηµείο A(ln 3, 1): (αʹ) Να αποδείξετε ότι α = 1 (ϐʹ) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον xx. (γʹ) Να λύσετε την ανίσωση f(2x) f(x) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34

35 20ο ιαγώνισµα 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = ( 1 α )x, α < 1 είναι γνησίως αύξουσα. (ϐʹ) Αν α,γ,β τρεις διαδοχικοί όροι µιας γεωµετρικής προόδου τότε ο α γ είναι ο γεωµετρικός µέσος των τριών αυτών αριθµών (γʹ) Ισχύει 9 = ln e 9 2 (δʹ) Η εξίσωση συνx = 2 έχει ακριβώς µία λύση στους πραγµατικούς αριθµούς. (εʹ) Αν α < β τότε ln α < ln β. 2. Να γράψετε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. 3. Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ τότε το ρ είναι ϱίζα του πολυωνύµου, δηλαδή P (ρ) = ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx + 6.Αν γνωρίζω ότι το x 1 είναι ένας παράγοντας του πολυωνύµου τότε να ϐρεθεί η τιµή του α. 2. Για α = 7, να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυµο P (x). 3. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0. Θέµα 3ο 1. Ο ν-ος όρος µίας ακολουθίας δίνεται από τον τύπο α ν = 3 2ν. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω = Να ϐρεθεί ποιος είναι ο 10ος όρος της ακολουθίας. 3. Πόσους όρους χρειάζοµαι για να πάρω άθροισµα 80; ( ίνεται 324 = 18) 4. Να λυθεί η εξίσωση : Θέµα 4ο ω + 1 ω = x2, όπου ω η διαφορά της παραπάνω ακολουθίας. ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(e x 1 1) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = ln(e 1) 3. Να λυθεί η ανίσωση : f(x 2 + 6) < ln(e 5x 1 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35

36 21ο ιαγώνισµα 1. Αν 0 < α 1, τότε για οποιουσδήποτε αριθµούς θ 1, θ 2 > 0, να αποδείξετε ότι ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 2. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή. ή Λάθος, αν είναι λανθασµένη. (αʹ) e x = θ ln θ = x, θ > 0 (ϐʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, µε α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο πολυωνύµων είναι πάντα ίσως µε το γινόµενο των ϐαθµών τους. (δʹ) Ο ν-ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + (ν + 1) ω (εʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. Αν α 4 = 2συνx, α 5 = 4συνx + 3, α 6 = 3, x (0, π) είναι ο τέταρτος, πέµπτος και ο έκτος όρος αντίστοιχα µιας αριθµητικής προόδου, τότε : 1. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο α 1 και την διαφορά ω της παραπάνω προόδου. 2. Να υπολογίσετε το άθροισµα A = α 21 + α α 49 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln 2 x 2+x. 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της. 2. Να αποδείξετε ότι f(x) + f( x) = 0, για κάθε τιµή του x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f. 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = f( 1 5 ) + f( 1 4 ) + f( 1 3 ) + f( 1 2 ) + f(0) + f(1 2 ) + f(1 3 ) + f(1 4 ) + f(1 5 ) 4. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + 1 2f( x) = f( 1) Θέµα 4ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 (ln α)x 2 + (ln α 2 )x 3, α > 0 1. Αν είναι γνωστό ότι το x 1 είναι παράγοντας του P (x) να ϐρείτε το α. 2. Για α = e, (αʹ) Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 (ϐʹ) Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης P (x) ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. (γʹ) Αν κ = ln 2 1 και λ = log log 3 να αποδείξετε ότι P (κ) P (λ) < 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 36

37 22ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε του τύπους : (αʹ) συν2α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α (ϐʹ) ηµ 2 α = 1 συν2α 2 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη : (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, 0 < α < 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα. (ϐʹ) Η συνάρτηση f(x) = ln x έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R. (γʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ = log α x και ψ = α x µε 0 < a 1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xoψ και xoψ. (δʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (εʹ) Ενα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να συµπληρώσετε στο τετράδιο σας, τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω ισότητες : (αʹ) log α α x = όπου 0 < α 1 (ϐʹ) ln θ = x e... = (γʹ) ηµ2α = (δʹ) Αν όλοι οι συντελεστές ενός πολυωνύµου P (x) είναι ίσοι µε µηδέν τότε το P (x) είναι ίσο µε το Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 37

38 Να αποδείξετε ότι : 1. συν(α β) συν(α + β) = ɛφα ɛφβ συν(α β) + συν(α + β), για όλες τις τιµές των α και ϐ που ορίζεται η παράσταση. 2. Να λυθεί η εξίσωση συν(x π 3 ) συν(x + π 3 ) συν(x π 3 ) + συν(x + π 3 ) = 3 Θέµα 3ο, για x κπ + π 2, κ Z ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 2x 2 5x + α και Q(x) = x 2 + x + β. Αν το P (x) έχει ϱίζα τον αριθµό 3 και το Q(x) έχει παράγοντα το x + 1 τότε : 1. Να αποδείξετε ότι α = 6 και β = 0 2. Για α = 6 να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 3. Για α = 6 και β = 0 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση του P (x) δια του Q(x) και να γραφεί η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. (ϐʹ) Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = log(2 2x 8) και g(x) = log(4 + 2 x ). 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των f και g 2. Να λυθεί η ανίσωση : f(x) > g(x) 3. Να λυθεί η εξίσωση : 2f( x 2 ) = g(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 38

39 23ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι : αν α > 0, α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει :log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Ο ν-οστός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + ν ω. (ϐʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (q) µε τοx ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ). (γʹ) Το άθροισµα δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι µη µηδενικό πολυώνυµο, τότε ο ϐαθµός του είναι ίσος µε το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων. (δʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). 3. Να µεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συµπληρώνοντας τα κενά. (αʹ) Ισχύει η ισοδυναµία : συνx = συνθ (ϐʹ) Για κάθε θ > 0 ισχύει η ισοδυναµία : ln θ = x (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, µε 0 < α 1 έχει πεδίο ορισµού το και σύνολο τιµών το ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 9x x + κ, όπου κ R. 1. Αν ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του P (x), να ϐρείτε την τιµή του κ. 2. Για κ = 4 να λύσετε την εξίσωση :P (x) = Να λύσετε την εξίσωση :2ηµ 3 ω 9ηµ 2 ω = 4 12ηµω Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39

40 Θέµα 3ο ίνονται οι αριθµοί α = 1, β = e 3x, γ = 3e 2x και η εξίσωση : 2ψ 3 3ψ = 0 (1.1) 1. Να λύσετε την εξίσωση (1). 2. Να ϐρείτε την τιµή του x ώστε οι αριθµοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. 3. Για x = 0 να υπολοδιστεί η διαφορά ω της παραπάνω αριθµητικής προόδου. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + ln(x 1) 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λύσετε την εξίσωση :f(x) = x 2 + [ln(x 1)] (αʹ) Να δείξετε ότι ισχύει : f(e x + 1) = e x + x 1 για κάθε x R (ϐʹ) Να λύσετε την ανίσωση f(e x + 1) > e 2x 10 + x 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40

41 24ο ιαγώνισµα 1. ώστε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. 2. Αν 0 < α 1, θ > 0, κ R να αποδείξετε ότι log α θ κ = κ log α θ 3. (αʹ) Να συµπληρώσετε τα δεύτερα µέλη, ώστε να προκύψουν ισότητες : i. log α (θ 1 θ 2 ) = ii. log α ( θ 1 θ 2 ) = iii. log α α x = iv. log α 1 = v. log α α = µε θ 1, θ 2 > 0 και 0 < α 1 (ϐʹ) Να γράψετε τους τύπους : i. του αριθµητικού µέσου ϐ των α, γ, όταν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. ii. του γεωµετρικού µέσου ϐ των α, γ, όταν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Εστω το πολυώνυµο P (x) = x 3 2αx 2 + βx + 4 το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 είναι Να ϐρείτε τις τιµές των α και β. 2. Για α = 1 και β = 7 ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x Για α = 1 και β = 7 να λύσετε την ανίσωση P (x) > 4x + 10 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41

42 Θέµα 3ο Αν σε µια γεωµετρική πρόοδο είναι λ = 2, α ν = 96 και S ν = 189 να ϐρείτε : 1. Το πλήθος των όρων της 2. Τον πρώτο όρο της 3. Το άθροισµα S = α 1 + α 3 + α α 101 Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = 2 ln(x 1) 1 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 και να κάνετε τον πίνακα προσήµου της f. 3. Να ϐρείτε τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα xx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 42

43 25ο ιαγώνισµα 1. Αν 0 < α 1 και θ 0 να δειχτεί ότι για κάθε κ R ισχύει ότι : log α θ κ = κ log α θ 2. Πότε µια ακολουθία (α ν ), ν N λέγεται αριθµητική πρόοδος 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος, γράφοντας στο ϕύλλο απαντήσεών σας δίπλα στον αριθµό της πρότασης την κατάλληλη από τις παραπάνω ενδείξεις που νοµίζετε. (αʹ) Κάθε σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Αν 0 < α 1 και θ > 0 Η εξίσωση α x = θ έχει περισσότερες από µία λύσεις. (γʹ) Αν θ > 0 τότε ισχύει ln e θ = θ (δʹ) Το σύνολο τιµών της παράστασης f(x) = log x είναι το διάστηµα (0, + ). (εʹ) Για οποιουσδήποτε όρους α, ϐ, γ µιας αριθµητικής προόδου ισχύει 2β = α+γ. ίνονται οι αριθµοί 1, ηµ 2 x, συνx, x (0, π 2 ) 1. Αν µε την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να δείξετε ότι x = π Για x = π 3 (αʹ) να ϐρείτε τους τρείς παραπάνω αριθµούς και να δείξετε ότι η διαφορά ω της αριθµητικής προόδου στην οποία ανήκουν είναι ω = 1 4 (ϐʹ) Αν ο δέκατος όρος της αριθµητικής προόδου είναι το 1 4 να δείξετε ότι ο πρώτος όρος είναι το Να ϐρείτε το άθροισµα όλων των όρων της αριθµητικής προόδου που ϐρίσκονται ανάµεσα στον έβδοµο και τον δέκατο έβδοµο όρο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43

44 Θέµα 3ο ίνεται η πολυωνυµική συνάρτηση : f(x) = (10 log 2 2)x log θ x 3 4x 2 x log θ + 1 µε θ > 0. Να δείξετε ότι : 1. Η πολυωνυµική συνάρτηση είναι τρίτου ϐαθµού. 2. Αν το x 1 είναι παράγοντας της πολυωνυµικής συνάρτησης τότε θ = Για θ = 10, πολυωνυµική συνάρτηση έχει τη µορφή f(x) = 2x 3 4x 2 x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f να µην ϐρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση, της g(x) = x 1. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log log log log x 1 x µε q > 1. Να δείξετε ότι : 1. f(x) = log x 2. 2f( α+β 2 ) f(α) + f(β) 3. Να λύσετε την ανίσωση [f(x)] 2 + f(x 2 ) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44

45 26ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ) 2. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, έτσι ώστε να προκύψουν οι λύσεις των εξισώσεων : (αʹ) ηµx = ηµω x = ή x = (ϐʹ) συνx = συνω x = ή x = Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Το µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Αν οι αριθµοί α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου τότε ισχύει : β = α+γ 2. (γʹ) Ο ν-οστός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω, είναι ο : α ν = α 1 + (ν 1) ω. (δʹ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = log x είναι το R. (εʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x είναι πάντα γνησίως αύξουσα. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 6x 2 + αx + β το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και όταν διαιρείται µε το x + 1 δίνει υπόλοιπο Να δείξετε ότι : α = 11, β = 6 2. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 3. Να λύσετε την ανίσωση P (x) 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45

46 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = (3 α+1 ) x, x R και α Αν το σηµείο M(1, 3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να ϐρείτε το α. 2. Για α = 0 να λύσετε τις εξισώσεις : (αʹ) f(x) + f(2x) = 2 (ϐʹ) f(2ηµx) = 3 Θέµα 4ο ln x 1 ln x. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα xx. 4. Αν α ν αριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο α 1 = f(e 2 ) και διαφορά ω = f(e 3 ) να ϐρείτε τον α 21. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46

47 27ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι : Ενα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και µόνο αν, το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) log(θ 1 θ 2 ) = (ϐʹ) log( θ 1 θ 2 ) = (γʹ) log θ κ = όπου θ, θ 1, θ 2 > 0 3. Να χαρακτηρίσετε µε Σωστό ή Λάθος κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) Η συνάρτηση ψ = ηµx είναι περιοδική µε περίοδο 2π. (ϐʹ) Η συνάρτηση ψ = ηµx είναι γνησίως αύξουσα το [0, π 2 ) (γʹ) Αν ɛφx = ɛφθ τότε x = θ (δʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) δια του x + ρ είναι υ = P (ρ) (εʹ) Αν P (ρ) 0 τότε το P (x) δεν έχει παράγοντα το x ρ. (ϛʹ) Αν α x 1 < α x 2 τότε x 1 < x 2 για κάθε α > 0 (Ϲʹ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = α x τέµνει τον άξονα ψ, ψ στο σηµείο A(0, 1) για κάθε α > 0. ίνονται τα πολυώνυµα :P (x) = (κ µ)x 3 µx 3 και Q(x) = 2x 3 + (2κ 1)x + µ 2 που είναι ίσα. 1. Να δείξετε ότι : κ = 1, µ = 1 2. Για τις παραπάνω τιµές να ϐρεθεί το πολυώνυµο P (x). 3. Να δείξετε ότι το x = 1 είναι ϱίζα του P (x) και µάλιστα η µοναδική. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47

48 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 1 x2, µε x R. 1. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα xx για κάθε τιµή του x. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 1 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 1 32 Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις g(x) = ηµx και h(x) = συν(ln x 3π). 1. Να δείξετε ότι g(e π 2 ) + g(e π ) = 2 g(e π 6 ) 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τον άξονα xx. 3. Να ϐρείτε το κοινό σηµείο(ή τα κοινά σηµεία) των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και h στο διάστηµα [1, e π ]. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48

49 Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες

50