ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο π π Α) συν α ηµ α =ηµ α Β) +συνα +συνα α =σφ ηµ α συνα ηµ α συνα Γ) = εφα συνα συνα π α ) ( +ηµα) εφ = συνα. Νδο π π 8π συν συν συν = Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµ ΑσυνΒ=ηµ Α. Νδο είναι ισοσκελές. Αν εφ α= / και α ( π /, π) νδο εφα =.6 Α) Αν συνα = / και α ( π,π / ) να βρεθούν: ηµα, συνα, εφα, σφα Β) Αν ηµα = / και α ( π /, π) να βρεθούν: ηµα, συνα, εφα, σφα Γ) Αν συνα = / και α (, π / ) να βρεθούν: ηµα/, συνα/, εφα/, σφα/ ) Αν συνα = / και α ( π /,π) να βρεθούν: ηµα/, συνα/, εφα/, σφα/.7 Να λυθούν οι εξισώσεις Α) ηµ χ+ ηµχσυνχ = Β) συν χ+ηµχ συνχ=ηµ χ Γ) + συν χ= ηµχσυνχ ) +συν ( χ / ) =συν χ.8 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµασυνβ = συναηµβ. Νδο είναι ορθογώνιο T * *

2 .9 Να υπολογιστούν οι παραστάσεις Α) συνσυν ηµηµ Β) συνσυν + ηµηµ Γ) ηµ(π/)συν(π/) συν(π/)ηµ(π/) ) ηµσυν + συνηµ. Να λυθούν οι εξισώσεις Α) εφ χ +σφχ= Β). Νδο ηµ ( α β) συνβ + ηµβσυν( α β) = ηµα συν χ συνχ=ηµ χ ηµχ+. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι εφα = /, εφβ = / νδο η γωνία Γ είναι π/. Να λυθούν οι εξισώσεις Α) (ηµ χ )(συνχ+ ) = Β) ( εφ χ)( σφ χ ) = Γ) ηµ χ = στο [,π] ) ηµ χ+ 7ηµχ+ = Ε) εφχ σφ χ= Ζ) σφχ+εφχ= ηµχ Θ) συν χ+ ηµ χ= Ι) συν χ+ +ηµ χ+ = 6 Κ) ηµ χ+ = συν χ+ (λ+ ) (k ). ίνονται οι συναρτήσεις f() = k+ + ηµ και g() = 6λ+ συν. Να βρεθούν τα k, λ αν είναι γνωστό ότι, οι συναρτήσεις έχουν την ίδια µέγιστη τιµή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδο της g πt. Οι ετήσιες πωλήσεις µιας σοκολάτας σε χιλ. κοµµάτια δίνονται από τον τύπο f(t) = + συν όπου t σε έτη και t 6. Α) Να βρεθεί το έτος που θα έχουµε το µέγιστο αριθµό πωλήσεων και πόσες θα είναι οι πωλήσεις αυτές Β) Σε ποιό έτος οι πωλήσεις θα φτάνουν τα 6. κοµµάτια.6 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι εφβ = / και εφγ = /. Νδο η γωνία Α είναι ο.7 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει συν Α συνα = ηµα( ηµα). Νδο Β + Γ = ο ή Β + Γ = ο T * *

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Εστω το πολυώνυµο Ρ () = (m ) + (m+ ) + (m+ ) m+ δευτέρου βαθµού. Α) Να βρεθεί η τιµή του m Β) Nα βρεθούν οι ρίζες του Ρ(). Εστω το πολυώνυµο Ρ () = +α +β µε ρίζες και -. Α) Να βρεθεί οι τιµές των α και β Β) Nα βρεθούν όλες οι ρίζες του Ρ() Γ) Να λυθεί η ανίσωση P() >. Εστω το πολυώνυµο Ρ () = ( α +β) + ( α+β ) + ( α+β). Aν η τιµή του πολυωνύµου για = είναι -, να βρεθούν Α) Οι τιµές των α και β Β) Ο βαθµός του Ρ() Γ) Το πολυώνυµο Q() = P(P(-)). Εστω το πολυώνυµο Ρ () = +α + ( β+ )+ 6, µε ρίζα το και Ρ(-) =. Να βρεθούν οι τιµές των α και β. Αν τα πολυώνυµα Ρ () = + ( α ) β και Q() = +β + ( α 6) έχουν κοινή ρίζα την = να βρεθούν οι τιµές των α και β.6 Αν τα πολυώνυµα Ρ() = + ( α ) + ( β+ ) 6β να βρεθούν οι τιµές των α, β, γ, δ και Q () =γ + + δ είναι ίσα,.7 Να βρεθεί η τιµή του κ, για την οποία το πολυώνυµο Ρ () = ( κ+ ) + (-κ κ+ )+κ είναι το µηδενικό πολυώνυµο.8 Για το πολυώνυµο Ρ() ισχύει ( ) Ρ() = + +. Α) Να βρεθεί το Ρ() B) Να λυθεί η εξίσωση Ρ() =.9 Eστω το πολυώνυµο Ρ() = ( α+ ) + (α+ ) α το οποίο έχει και ρίζες ανεξάρτητες του α. Να βρεθούν οι ρίζες αυτές και µετά να βρεθούν όλες οι ρίζες του Ρ. Εστω τα πολυώνυµα Ρ () = και δ () = - Α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ():δ() B) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ():δ() Γ) Nα λυθεί η ανίσωση Ρ() -. Aν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ() µε το είναι +, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() µε το A) +, B) - T * *

4 . To πολυώνυµο Ρ () = ( α+β) + ( α+ β 6)+ α+ β έχει παράγοντα και διαιρούµενο µε + δίνει υπόλοιπο 8. Α) Να βρεθούν οι τιµές των α και β Β) Να παραγοντοποιηθεί το Ρ() Γ) Nα γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ() : ( + ). Εστω το πολυώνυµο Ρ() = ( ) 8 + ( ). Νδο οι παράγοντες του Q() = + είναι και παράγοντες του Ρ(). Aν το πολυώνυµο Ρ() διαιρούµενο µε + και δίνει υπόλοιπο 7 και - αντίστοιχα, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() : ( + 6). Aν το πολυώνυµο Ρ() διαιρείται µε νδο το πολυώνυµο Q() = Ρ( 6) διαιρείται µε -.6 Eστω το πολυώνυµο Ρ () = +α +β+ 8 µε παράγοντας το ( ). A) Nα βρεθούν οι τιµές των α και β Β) Να λυθεί η εξίσωση Ρ() = Γ) Nα βρεθούν οι τιµές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση του πολυωνύµου είναι πάνω από τον άξονα χ χ.7 Eστω το πολυώνυµο Ρ() = -α β A) Nα βρεθούν οι τιµές των α και β Β) Να λυθεί η εξίσωση Ρ() = Γ) Nα λυθεί η ανίσωση Ρ() το οποίο διαιρείται µε + και..8 Eστω το πολυώνυµο Ρ () =µ + µ µ του οποίου η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο (,). A) Nα βρεθεί το µ Β) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία της γραφ.παράστασης µε τον χ χ Γ) Nα βρεθούν τα διαστήµατα όπου η γραφ.παράσταση είναι πάνω από τον χ χ.9 Να λυθούν οι παρακάτω: Α) χ χ = Β) χ χ +χ = χ Γ) ( χ χ+ ) ( χ χ ) = ) χ >χ Ε) 6χ χ + 6χ χ+ 6= Ζ) (6 χ) + (8 χ) = 6 Η) χ+ χ = 6. Να λυθούν οι παρακάτω: 6 Α) ( χ +χ) 7( χ +χ) 8= B) ( χ χ+ 7) ( χ )( χ ) = Γ) χ + χ = χ ) χ +χ +χ+ > Ε) ( χ ) ( χ) + Ζ) χ >χ Η) χ χ + χ χ 9 χ + 6χ χ +χ+ Θ) χ + + = χ χ T * *

5 . Εστω το πολυώνυµο Ρ (χ) µε Ρ ( χ) Ρ( χ ) = χ+, χ R και Ρ ( ) = Α) Νδο Ρ ( ) = και Ρ =Ρ Β) Αν υ το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( χ) : ( χ 8) και υ το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( χ) : ( χ 7), νδο υ υ = 7 Γ) Αν το Ρ (χ) είναι ου βαθµού, νδο Ρ ( χ) = ( χ+ ). Εστω πολυώνυµο Ρ (χ) βαθµού. Νδο το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ ( χ) : ( χ )( χ ) δίνεται από τον τύπο ( Ρ() Ρ() ) χ+ Ρ() () υ ( χ) = Ρ. Εστω το πολυώνυµο Ρ( χ) =χ +αχ +βχ+ γ το οποίο έχει παράγοντα το χ χ+ και α,β,γ R. Νδο α + β + γ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Σε µια α.π. ο ος όρος είναι, και ο ος όρος είναι. Να βρεθεί Α) Ο ος όρος και η διαφορά ω Β) Ο ος όρος Γ) Ποιός όρος είναι ο 97?. Σε µια γ.π. ο ος όρος είναι -, και ο ος όρος είναι /. Να βρεθεί Α) Ο ος όρος και ο λόγος λ Β) Ο νιοστός όρος. Σε µια α.π. είναι α 9 = και S = 6. Α) Να βρεθεί ο ος όρος Β) Να βρεθεί το άθροισµα των πρώτων όρων. Α) Ποιό είναι το άθροισµα των 6 πρώτων όρων της γ.π. -,, -, 8,... Β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους πρέπει να προσθέσουµε για να πάρουµε άθροισµα 8?. Nα βρεθεί η διαφορά ω µιας α.π. για την οποία ισχύει S = S S και α =.6 Να βρεθεί ο λόγος λ µιας γ.π. για την οποία ισχύει S = S και α =.7 Νδο οι αριθµοί (α β), α + β, (α + β) είναι δ.ο.α.π..8. Να βρεθούν τρεις δ.ο.γ.π. µε άθροισµα και γινόµενο 6.9 Να βρεθούν τρεις δ.ο.α.π. µε άθροισµα και γινόµενο. Να βρεθούν τρεις ακέραιοι αριθµοί για τους οποίους ισχύει Ι. Είναι δ.ο.γ.π. ΙΙ. Αν αυξηθεί ο ος κατά 8, προκύπτει α.π. ΙΙΙ. Αν αυξηθεί και ο ος κατά 6, προκύπτει και πάλι γ.π.. Να βρεθεί γ.π. µε S = και α + α 6 + α 7 + α 8 = 8 T * *

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ίνεται η εκθετική συνάρτηση f() = ( λ λ+ ) Α) Να βρεθούν οι τιµές του λ Β) Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία λ+. ίνεται η εκθετική συνάρτηση f() = λ Α) Να βρεθούν οι τιµές του λ Β) Να λυθεί η ανίσωση f( ) > f(+ 6) για λ [,] f() = α. Να βρεθεί το α ώστε η f να είναι: Α) Γνησίως αύξουσα Β) Γνησίως φθίνουσα. ίνεται η εκθετική συνάρτηση ( ). Να λυθούν οι εξισώσεις Α) - = + 6 Γ) 7 = - Β) 6 = 8 ) = 8. Να λυθούν οι ανισώσεις Α) < Β) > 9 Γ) (e + )(e ) > ) 8.6 Εστω η συνάρτηση Q(t) = c e µε Q() =, Q() =. Να βρεθεί: Α) Η τιµή του c B) Ο τύπος της συνάρτησης Q(t) Γ) Oι λύσεις της εξίσωσης Q(t) = 6 λt +.7 e e Aν f() = και.8 Nα λυθούν τα (Σ) y + = 6 Α) + y= - - e e g() = νδο f () + g () = Β) y y = = -6.9 Να βρεθούν οι αριθµοί Α) log / 8, Β) log 8 log log + log 6. Να λυθεί η εξίσωση =. Να βρεθεί ο, όταν Α) log =, Β) log = -, Γ) log = T * 6 *

7 α+β. Αν α,β > και α + β = 6αβ(α + β), νδο log = ( logα+ logβ) -. Εστω η συνάρτηση f() = ln + Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f B) Nα βρεθούν τα κοινά σηµεία της C f µε τον χ χ Γ) Νδο f(-) = -f() (δηλαδή ότι f περιττή) ) Nα βρεθούν τα διαστήµατα όπου η C f είναι πάνω από τον χ χ Ε) Που τέµνει η C f την ευθεία ε: y = ln. Εστω η συνάρτηση f()= ln Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f B) Νδο f(-) = f() (δηλαδή ότι f άρτια) Γ) Να σχεδιαστεί η C f,να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιµών ) Να βρεθούν τα σηµεία στα οποία η g() = f(-) τέµνει την ευθεία ε: y = ln.6 Aν α,β> και α + β = αβ νδο α+β lnα + lnβ= ln. Εστω η συνάρτηση f() = ln(- ) - ln(+ ) Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f B) Νδο η f είναι γνησίως φθίνουσα Γ) Nα βρεθεί η τιµή του, ώστε f() = -ln.7 Να λυθούν οι εξισώσεις Α) log + log( -) = log Β) log( -) + log= log(- ) Γ) log log( - ) = log ) log( + ) + log = Ε) log( - ) = log Ζ) log- Η) = = +.8 Nα λυθούν τα (Σ) Α) log+ logy= 6 log logy= Β) + y= 6 log+ logy=.9 Να βρεθεί ο ώστε οι αριθµοί log, log, log(-) να είναι δ.ο.α.π.. Nδο Α) log + log log log = 77 Β) log + log log log = Γ) log+ log(+ ) + log(+ + ) + log( - + ) = log T * 7 *

8 . Mια ποσότητα Q o ραδιενεργού υλικού µειώνεται µε την πάροδο του χρόνου ακολουθώντας την εκθετική µεταβολή. Α) Να γραφεί ο τύπος της εκθετικής µεταβολής Β) Νδο ο παραπάνω τύπος παίρνει τη µορφή Q(t) = Q o -t/, αν γνωρίζουµε ότι µετά από χρόνια θα έχει αποµείνει η µισή αρχική ποσότητα Γ) Αν µετά από 8 χρόνια, η ποσότητα που απέµεινε είναι kgr, να βρεθεί η αρχική ποσότητα Q o ) Μετά από χρόνια, η ποσότητα που θα έχει αποµείνει θα είναι /8 kgr?. Α) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου Ρ ( χ) =χ χ + log + log α µε α το χ + αν γνωρίζουµε ότι το Ρ (χ) έχει παράγοντα το χ και α > 999 P(e) + 8 Β) Να βρεθεί ο αριθµός ln αν < α < 999 e -. Σε µια γ.π. είναι διάστηµα (,) α = 8, α = 8 +. Να βρεθεί ο ώστε ο λόγος λ της γ.π. να ανήκει στο -α e e. Αν β= α -α e + e +β Α) α= ln β α µε β νδο Β) ο αριθµός ln χ = είναι λύση της εξίσωσης - e e = e e -. Να λυθεί στο διάστηµα (, π) η εξίσωση ln( ηµχ ) + ln( ηµχ) + ln( ηµχ) ln( ηµχ) = ln.6 Νδο Α) log αβ= log α Β) log 6 log76 Π = = log log β ln( -).7 Εστω η συνάρτηση f()= ln( - ) Α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού Β) Να λυθεί η εξίσωση f() = Γ) Aν g() = µε > 6 να λυθεί η ανίσωση f() > g().8 Να λυθεί η εξίσωση + log- log= log( 9) +.9 Εστω η συνάρτηση f() =. Α) Νδο η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Β) Να λυθεί ι) + + = 6, ιι) + + < 6. Nα λυθεί η ανίσωση < T * 8 *