ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

Transcript

1 ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

2 ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές της Β Λυκείου του ου Λυκείου Μοσχάτου στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Οι ενότητες αφορούν την διδακτέα και εξεταστέα ύλη - Στην ενότητα δίνεται η δυνατότητα για μια καλή επανάληψη θεωρίας Στην ενότητα οι ασκήσεις είναι καθαρά επαναληπτικού χαρακτήρα σε επίπεδο κυρίως Γ- θέματος. (ίπλα στο κάθε θέμα ο χαρακτηρισμός του) ΠΗΓΕΣ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη) Σχολικό Βιβλίο MATHEMATICA (επαναληπτικά θέματα ) Υ.Γ. Κάθε κριτική, σχόλιο,παρατήρηση ή διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη. Με εκτίμηση Βαγγέλης Α Νικολακάκης vaggelisnikolakakis@hotmail.com

3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ ν ν α. Έστω πολυώνυμο P αν αν α α με α,α,,αν R και R. Πότε λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός ρ είναι ρίζα του P β. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις: i. Αν α>, τότε ο αριθμός ln είναι θετικός. ii. Αν θr, τότε ισχύει η ισοδυναμία: ημ = ημθ = κπ θ, κζ. iii. Αν < α < τότε η συνάρτηση f() = α χ είναι γνησίως φθίνουσα στο R iv. Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς α, β ισχύει: ln(α+β) = lnα lnβ. v. Σε οποιοδήποτε πολυώνυμο P() η αριθμητική τιμή Ρ() είναι ο σταθερός όρος του πολυωνύμου. ΘΕΜΑ Α. Αν Ρ( χ ) πολυώνυμο και χ-ρ διώνυμο, να δειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( χ ) : (χ-ρ ) είναι ίσο με Ρ( ρ ) Β. α.)αν χ- παράγοντας του Ρ( χ ) = χ 3 + κ 3 χ + κχ - 4 τότε το κ είναι : Α. Β. -3 Γ.-. β) Αν θ, θ, θ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να συμπληρώσετε τις ισότητες : ln θ + ln θ = ln θ - ln θ = ln e = log = lne = log = ΘΕΜΑ 3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος Α. Η εξίσωση ημχ = έχει ως λύσεις τις χ = κπ, κ Ζ Β Ισχύει συν(α-β) =συνα συνβ ημα ημβ Γ. Στην Αριθμητική πρόοδο: -,3,8, ο όρος α 5 είναι 65. Ο γεωμετρικός μέσος των 5 και είναι το Ε. Ο βαθμός του πολυωνύμου Q(χ) = χ 3 + 3χ + είναι 3 ΘΕΜΑ 4 Α. Αν α> µε α, θ> και kεir, να δείξετε ότι ισχύει: log α θ k = klog α θ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος α) Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς, ισχύει 3

4 log log log β) Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικήςπροόδου (αν) είναι S γ) Αν υ() είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης τουπολυωνύμου () δια του δ(), όπου δ() και υ() είναι µη μηδενικά πολυώνυμα, τότε ο βαθμός τουυ() είναι μικρότερος από τον βαθμό του δ(). δ) Εάν α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει β =αγ. Γ. Να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας στις παρακάτω ισότητες, τα κενά που σημειώνονται µε... α. β. γ. ημ συν = α. όπου α>, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος log =..... όπου θ> και α> µε α log a a =... όπου α> µε α και ε IR. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακακαι να τον συµπληρώσετε µε το είδος της μονοτονίαςτων συναρτήσεων ηµ και συν. 3 ΘΕΜΑ 5 ν ν Α. Έστω πολυώνυμο P αν αν α α με α,α,,αν R και R. Πότε λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός ρ είναι ρίζα του P Β. Να δείξετε ότι αν ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P τότε το P έχει παράγοντα το ρ και αντιστρόφως Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος Η συνάρτηση f ρ συνω με ρ,ω R και ρ,ω έχει μέγιστο ρ ελάχιστο το ρ και π περίοδο Τ ω θ,θ, και α log θ log θ log θ θ. Αν ισχύει: α α α ν ν. Αν το πολυώνυμο P α α α α ν ν, α,α,,αν Ζ με α έχει α ) ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ τότε ρ / α (δηλαδή το ρ διαιρεί το σταθερό όρο 3. Η συνάρτηση g α με α τιμών το R έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 4. Για τη συνάρτηση h ln ισχύει: h για κάθε και,, και σύνολο h για κάθε 4

5 ΘΕΜΑ 6 Α. Να αποδείξετε ότι log α (θ θ ) = log α θ + log α θ θ, θ >, α> και Β. Να συμπληρώσετε τα κενά στην παρακάτω πρόταση. Η συνάρτηση f( = e έχει πεδίο ορισμού το.. και σύνολο τιμών το Είναι γνησίως., η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα ψ ψ στο (,..) και έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα.. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος α. Η συνάρτηση f() = συν είναι περιοδική με περίοδο Τ = π β. Ισχύει χ = log για κάθε πραγματικό αριθμό. γ. Αν εφχ = εφθ τότε χ = κπ + θ, κ Z δ. Αν το πολυώνυμο Ρ(χ) έχει παράγοντα το χ- ρ τότε ο ρ είναι ρίζα του Ρ(χ) ε. Αν χ < ψ και < α < τότε α χ < α ψ ΘΕΜΑ 7 v Α. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α α v... α α με ακέραιους συντελεστές. v v Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α Β. Να χαρακτηρίσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λάθος: α. Αν α με α, τότε για κάθε R ισχύει log a β. Αν θ τότε για κάθε R ισχύει log θ θ γ. εφ a εφα εφ α δ. Αν ημ ημθ τότε κπ θ, κ Ζ ε. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών a. ΘΕΜΑ 8 Aν α> και τοτε για οποιαδηποτε, να αποδειξετε οτι ισχυει log a ( ) loga loga Α.Ποτε μια ακολουθια αριθμων λεγεται Αριθμητικη προοδος. Α3 Να επιλεξετε με ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ τις παρακατω προτασεις. α) Αν ρ είναι ριζα του πολυωνυμου Ρ(χ) τοτε Ρ(ρ)= β) Η συναρτηση f(χ)=log α με α> και εχει πεδιο ορισμου το R γ) Η συναρτηση f ( ) a με α> εχει συνολο τιμων το (, ) δ) Τρεις μη μηδενικοι αριθμοι α,β,γ είναι διαδοχικοι οροι Γεωμετρικης προοδου αν και μονο αν.. ε) Ένα πολυωνυμο Ρ(χ) εχει παραγοντα το (χ-ρ) αν και μονο αν Ρ(ρ)= 5

6 ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Β Γ- ) ΘΕΜΑ B Να λυθεί η εξίσωση σφ 3 συν = συν σφ 3 ΘΕΜΑ Γ ίνεται το πολυώνυμο Ρ() = k + με k πραγματικό αριθμό. α) Αν το πολυώνυμο Ρ() έχει ρίζα τον να βρεθεί ο k. β) Αν k = i. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P() :( +) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. ii. Να λυθεί η εξίσωση: Ρ() =. ΘΕΜΑ 3 Γ Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν α = 3 και α 5 = 47 α) Να δείξετε ότι : α = 5 και ω = 3 β) Να βρεθεί ποιος όρος της αριθμητικής προόδου είναι ίσος με 56. γ) Να υπολογισθεί το άθροισμα των πρώτων όρων της. ΘΕΜΑ 4 B ίνεται το πολυώνυμο P() = α) Με την βοήθεια του σχήματος Ηοrner να γίνει η διαίρεση P(): (-) δηλ. να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο. β) Να λυθεί η εξίσωση P() = ΘΕΜΑ 5 Γ Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν α = 3 και α 5 = 47 α) Να δείξετε ότι : α = 5 και ω = β) Να βρεθεί ποιος όρος της αριθμητικής προόδου είναι ίσος με 56. γ) Να υπολογισθεί το άθροισμα των πρώτων όρων της. ΘΕΜΑ 6 Α. Να λύσετε τις ανισώσεις: < και >. Β. ίνεται η συνάρτηση f() = ln(4 3 + ). i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι f() f( ) = 3ln. iii) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες f() = f() iv) Αν κr ώστε 4 κ 3 κ + =, να συγκρίνετε τους αριθμούς f( ) και f(κ). 6

7 ΘΕΜΑ 7 B 3 Αν χ (, ) και 4ημ χ + 4ημχ + = i) Να βρεθεί το ημχ και το συνχ ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία χ (, 3 ) ώστε ημχ +συνχ = ΘΕΜΑ 8 Γ ίνεται το πολυώνυμο Ρ( χ )=χ 3 χ - χ i) Nα δειχθεί ότι έχει ρίζες τους αριθμούς, και παράγοντα το χ + ii) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( χ ): ( -χ + ) iii) Να λυθεί η ανίσωση Ρ( χ ) + χ 7χ ΘΕΜΑ 9 B ίνεται η συνάρτηση π f ημ, R της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα.. Να βρεθεί το μέγιστο, το ελάχιστο και η περίοδος της f f,π. Να λυθεί η εξίσωση στο διάστημα ΘΕΜΑ Γ ίνεται το πολυώνυμο Ρ() = (5α-) +8-3α-6, όπου α ε IR. α. Να κάνετε την διαίρεση του Ρ() δια του - και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα. β. Να βρείτε την τιµή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. γ. Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ()= καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ() είναι κάτω από τον άξονα. ΘΕΜΑ B ίνεται η συνάρτηση f() = αημ(χ+ ), α R 3 Α. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α( 4,) να βρείτε το α Β. Αν α = τότε: α) να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f β) Να λυθεί η εξίσωση f() = - log ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση Γ 3 f κ λ, κ, λ R. Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές κ, λ ώστε να ισχύουν οι σχέσεις f έχει παράγοντα το και Η Το υπόλοιπο της διαίρεσης f : να είναι ίσο με 4. Για κ 3 και λ i) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα 7

8 ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση μορφής ρ με ρr g f 5 δεν έχει παράγοντα της ΘΕΜΑ 3 ίνεται η συνάρτηση f() = με α) Να λυθεί η ανίσωση: f(3) + f() log(f()) + log(f()) - log(f(3)) β) Να δείξετε ότι: log(f()) γ) Να βρεθεί η τιμή του > για την οποία ισχύει: f() + f() + f() f(99) = f(5 ln) - ΘΕΜΑ 4 Γ ίνεται το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ 3 + 4χ + χ 6 Α. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ): (χ ) Β. Να αποδείξετε ότι το χ + 3 είναι παράγοντας του Ρ(χ) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(χ) : (χ + 3). Γ. Να λυθεί η ανίσωση Ρ(χ) < ΘΕΜΑ 5 ίνεται η f( χ ) = log ( χ χ ) i) Να δειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α=(,+ ) ii) Να δειχθεί ότι f( χ ) = χ + log ( χ ) iii) Να λυθεί η εξίσωση f( χ ) = χ iv) Να λυθεί η ανίσωση f( χ ) χ + log ΘΕΜΑ 6 Γ ινονται οι συναρτησεις f()=ln και g()=log,. Γ. Av a f ( e ) f ( e) f ( e ) και να δειξετε ότι α= και β= g( ) g( ) g( ) g() Γ Αν ο α (του προηγουμενου ερωτηματος) είναι ο πρωτος ορος και ο β είναι δευτερος ορος μιας Γεωμετρικης προοδου να βρειτε το αθροισμα των εξι πρωτων ορων της. Γ3. Βρειτε τον πρωτο ορο της παραπανω Γεωμετρικης προοδου που υπερβαινει το. ΘΕΜΑ 7 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( ) Β. ίνεται η συνάρτηση g()=5. Να λύσετε την εξίσωση: g()+g(+)+g(+)+...+g(+49)= 5(5 5 ) 4 8

9 ΘΕΜΑ ίνεται το πολυώνυμο: ln k e e με,. Αν το πολυώνυμο Ρ() είναι 3 ου βαθμού και έχει παράγοντα το - a) Να βρείτε τα κ, θ b) Να λύσετε την ανίσωση Ρ() < ΘΕΜΑ 9 ίνεται η συνάρτηση f() ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να βρεθεί το πρόσημο του αριθμού f( ). γ) Να λυθεί η εξίσωση f(). δ) Να λυθεί η ανίσωση f(e ) f( ) f( ) f( ). ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f () Α. Να αποδείξετε ότι α < β Β. Αν α =4 και β = 3 τότε: α) να δείξετε ότι f() = 3 ln a ln ln ln a β) να λύσετε την εξίσωση f( + ) = 9 3, με < α< β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f ln e 4e 3 της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Να βρεθεί το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα. 3. Να δικαιολογήσετε (αλγεβρικά) γιατί δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f που να βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΘΕΜΑ Γ ίνεται το πολυώνυμο 3 α. Να λύσετε την εξίσωση P P β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης P με τους άξονες και yy γ. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα. 9

10 ΘΕΜΑ 3 e ινεται η συναρτηση f ( ) ln e 5. Να βρειτε το πεδιο ορισμου της f()..να λυσετε την εξισωση f()=ln. 3.Να λυσετε την ανισωση f ( ). ΘΕΜΑ 4 Γ ίνεται η συνάρτηση f e. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R π Να λύσετε την εξίσωση ημ f f 4 e Να λύσετε την εξίσωση εφ f στο διάστημα ΘΕΜΑ 5 ίνεται η συνάρτηση f log log ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ) Να λύσετε την εξίσωση f 3) Να λύσετε την ανίσωση f ΘΕΜΑ 6 Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει: α. Να αποδείξετε ότι. ln ln π 3π, τότε: β. Να υπολογίσετε τους α, β αν ο γεωμετρικός μέσος των α, β είναι ο αριθμός e 3. γ. Να λυθεί στο [, π) η εξίσωση: ΘΕΜΑ 7 ίνεται η συνάρτηση f ln(4 8) ln β. Να λυθεί η εξίσωση f ln 7 γ. Να λυθεί η ανίσωση f ln 7 ΘΕΜΑ 8 ίνεται η συνάρτηση f () = (lnα ) a) Να βρείτε τις τιμές του R, για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R.

11 b) Να βρείτε τις τιμές του R για τις οποίες η συνάρτηση f είναι (γνησίως αύξουσα) c) Αν α = e να βρείτε το θ ώστε να ισχύει: f (συν θ-) + f (συν 4 θ) = 3 ΘΕΜΑ 9 Γ α) Αν a, και ισχύει log( ) log( a ) β) Να βρείτε τα a, αν είναι γνωστό ότι το πολυώνυμο a να δείξετε ότι 3 P( ) log a log 3 όταν διαιρεθεί με το, αφήνει υπόλοιπο 7 ΘΕΜΑ 3 ίνεται το πολυώνυμο υπόλοιπο ( ) 5. α) Βρείτε τα a,. β) Λύστε την εξίσωση P ( ). 3 P( ) a το οποίο όταν διαιρεθεί με το 4 δίνει γ) θεωρούμε την αριθμητική πρόοδο ( a ) με πρώτο όρο την μικρότερη ρίζα της εξίσωσης P ( ) και διαφορά τη μεγαλύτερη ρίζα. Βρείτε: α) Ποιος όρος ισούται με το 4. β) Πόσοι όροι έχουν άθροισμα 5. γ) Το άθροισμα ΘΕΜΑ 3 ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ln e 3. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f ln 4 και f ln iii) Να λύσετε την ανισότητα f ln ln e (δ) Να λυθεί η ανίσωση e e e f 6 f 4 ΘΕΜΑ 3 ίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ln e. ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. 3) Να λυθεί η εξίσωση f 3 f. 4) Να λυθεί η ανίσωση f f 5) Να δείξετε ότι f f για κάθε R