Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 3 Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως Αβέβαιες Διαδικασίες και Πείραμα. Να κατανοήσουν οι φοιτητές έννοιες όπως Πιθανότητα και Ενδεχόμενο. 4

Περιεχόμενα ενότητας Bασικές Έννοιες. Στατιστικός Ορισμός Πιθανότητας. Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας. Παραδείγματα. Βασικές Πράξεις Ενδεχομένων- Παραδείγματα. Μεταθέσεις-Συνδυασμοί. 5

Βασικές έννοιες (1/8) Στη στατιστική μιλάμε συχνά για αβέβαιες διαδικασίες: Την έκβαση και το αποτέλεσμα δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε ή να προβλέψουμε με ακρίβεια. Ένας άλλος όρος που χρησιμοποιούμε για μια διαδικασία είναι ο όρος πείραμα: Κάθε φορά που εκτελείται το πείραμα λέμε ότι έχουμε μια δοκιμή. Κάποια πειράματα έχουν γνωστό εκ των προτέρων αποτέλεσμα το οποίο δεν αλλάζει όσες δοκιμές και εάν κάνουμε. 6

Βασικές έννοιες (2/8) Για παράδειγμα, το νερό βράζει στους 100ο C και αυτό συμβαίνει όσες φορές και εάν επαναλάβουμε τη διαδικασία. Τέτοιου είδους πειράματα λέγονται προσδιορίσιμα και δεν αποτελούν αντικείμενο μελέτης της στατιστικής. 7

Βασικές έννοιες (3/8) Τυχαίο πείραμα λέγεται το πείραμα του οποίου τα αποτελέσματα δεν μπορούν να προβλεφθούν με ακρίβεια: Αποτελούν κατεξοχήν αντικείμενο μελέτης της στατιστικής. Απλά τυχαία πειράματα: Η ρίψη νομίσματος. Η ρίψη ζαριού. Κάθε πιθανό αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος λέγεται δειγματικό σημείο και συμβολίζεται με s. 8

Βασικές έννοιες (4/8) Tο σύνολο των δειγματικών σημείων συγκροτεί το δειγματικό χώρο ενός τυχαίου πειράματος που συμβολίζεται με S. Από τις αγγλικές λέξεις sample Space. 9

Βασικές έννοιες (5/8) Στη ρίψη νομίσματος έχουμε δύο δειγματικά σημεία, Κεφάλι (Κ) και Γράμματα (Γ). Στη ρίψη ζαριού έχουμε 6 δειγματικά σημεία τα: 1, 2, 3, 4, 5 και 6. Ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου λέγεται ενδεχόμενο και συμβολίζεται με Ε. Μπορεί ένα ενδεχόμενο: Να περιέχει μόνο ένα δειγματικό σημείο, οπότε λέγεται απλό ενδεχόμενο. 10

Βασικές έννοιες (6/8) Μπορεί ένα ενδεχόμενο: Μπορεί να περιέχει περισσότερα από ένα δειγματικά σημεία, οπότε λέγεται σύνθετο ενδεχόμενο. Για παράδειγμα, στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο: E 1 = s = 5. Είναι ένα απλό ενδεχόμενο, αφού περιέχει μόνο το δειγματικό σημείο 5. 11

Βασικές έννοιες (7/8) Ενώ το ενδεχόμενο: E 2 = s = μικρότερο από 6 είναι ένα σύνθετο ενδεχόμενο, αφού περιέχει τα δειγματικά σημεία 1, 2, 3, 4 και 5. Ένα ενδεχόμενο χωρίς κανένα δειγματικό σημείο: Δηλαδή ένα κενό σύνολο που συμβολίζεται με Ø λέγεται αδύνατο ενδεχόμενο. Π.χ. στη ρίψη ζαριού το ενδεχόμενο Ε1 = s = 7 είναι ένα αδύνατο ενδεχόμενο, αφού το ζάρι δεν μπορεί να φέρει 7. Το 7 δεν είναι σημείο του δειγματικού χώρου. 12

Βασικές έννοιες (8/8) Ένα ενδεχόμενο που περιέχει όλα τα δειγματικά σημεία ταυτίζεται με το δειγματικό χώρο S και είναι ένα βέβαιο ενδεχόμενο. Το ενδεχόμενο Ε1 = s =1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 είναι ένα βέβαιο ενδεχόμενο: Εάν ρίξουμε το ζάρι θα έρθει αναγκαστικά 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6. Παράδειγμα: Τυχαίοι αριθμοί για ρίψη ζαριού 100 φορές. 13

Παράδειγμα 1 (1/2) Διάγραμμα 1. Παράδειγμα 1 (1/2) (Πηγή: Συγγραφείς: Νίκος Σαριαννίδης, Γιώργος Κοντέος. Έκδοση: 1η/2012.ISBN: 978-960- 93-3977-3 Διαθέτης (Εκδότης): ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΟΝΤΕΟΣ). 14

Παράδειγμα 1 (2/2) Πίνακας 1.(Προηγούμενη Διαφάνεια. Παράδειγμα 1 (1/2) ). Δειγματικά σημεία ρίψης ζαριού και αποτελέσματα για n ρίψεις ζαριού 15

Στατιστικός ορισμός πιθανότητας Στατιστικός ορισμός πιθανότητας: P = f. n Πιθανότητα = το όριο της σχετικής συχνότητας Pr = lim n f n. 16

Κλασικός ορισμός πιθανότητας (1/6) Πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων ενδεχομένου E1. P(E1)=Πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του δειγματικού χώρου. Βασικές ιδιότητες της πιθανότητας: Σε κάθε ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου S, αντιστοιχεί ένας αριθμός Ρ(E1) που ονομάζεται πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το E1. 17

Κλασικός ορισμός πιθανότητας (2/6) Τυχαία μεταβλητή είναι ένα χαρακτηριστικό, μια μέτρηση η οποία μεταβάλλεται τυχαία σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο μοτίβο ή τρόπο. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Χ, Υ, Ζ κλπ. Ενώ οι τιμές που παίρνουν με τα αντίστοιχα μικρά γράμματα x, y, z κλπ. Σε κάθε τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής αντιστοιχεί μια πιθανότητα να συμβεί. 18

Κλασικός ορισμός πιθανότητας (3/6) Στο παράδειγμα με το ζάρι η τυχαία μεταβλητή Χ = ρίψη ζαριού παίρνει τις τιμές x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6. Η πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή μια τιμή συμβολίζεται με P(X=xi). Στο παράδειγμα με το ζάρι έχουμε: P x i = 1 6, για ι = 1 έως 6. 19

Κλασικός ορισμός πιθανότητας (4/6) Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1: P x 1 + P x 2 + P x 3 + P x 4 + P x 5 + P x 6 = 1 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 =1 Με άλλα λόγια, το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων όλων των δειγματικών σημείων ισούται πάντοτε με 1. 20

Κλασικός ορισμός πιθανότητας (5/6) Η πιθανότητα να πάρει η τυχαία μεταβλητή μια τιμή συμβολίζεται με P(X=xi). Στο παράδειγμα με το ζάρι έχουμε: P x i = 1 6, για ι = 1 έως 6. Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1: P x 1 + P x 2 + P x 3 + P x 4 + P x 5 + P x 6 = 1 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 =1. 21

Κλασικός ορισμός πιθανότητας (6/6) Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1 (συνέχεια): Με άλλα λόγια, το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων όλων των δειγματικών σημείων ισούται πάντοτε με 1. 22

Ιδιότητες (1/4) Ιδιότητες: Η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου Α βρίσκεται πάντοτε μεταξύ του μηδενός και της μονάδας, 0 P E1 1. Η πιθανότητα όλου του δειγματικού χώρου ή αλλιώς του βέβαιου ενδεχομένου ισούται με την μονάδα Ρ(S) = 1. Η πιθανότητα αδύνατου ενδεχομένου ισούται με το μηδέν Ρ(Ø) = 0. 23

Ιδιότητες (2/4) Ιδιότητες (συνέχεια): Δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου S ονομάζονται συμπληρωματικά ή αντίθετα αν η πραγματοποίηση του ενός αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου και το άθροισμά τους μας δίνει το βέβαιο ενδεχόμενο, δηλαδή το δειγματικό χώρο S. Π.Χ. Τα ενδεχόμενα κορόνα και γράμμα. Αν Ε είναι το αντίθετο (συμπληρωματικό) ενός ενδεχομένου Ε, τότε ισχύει η σχέση: P Ε = 1 P(E). 24

Ιδιότητες (3/4) Ιδιότητες (συνέχεια): Ένωση δύο ενδεχομένων E1 και E2, στο δειγματικό χώρο S, ονομάζεται το ενδεχόμενο της εμφανίσεως ενός τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα και συμβολίζεται με Α Β = E1 ή E2. Δύο ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 του ίδιου δειγματικού χώρου S, λέγονται ασυμβίβαστα μεταξύ τους: o Αν η πραγματοποίηση του ενός ενδεχομένου αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου. 25

Ιδιότητες (4/4) Ιδιότητες (συνέχεια): Δύο ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 του ίδιου δειγματικού χώρου S, λέγονται ασυμβίβαστα μεταξύ τους συνέχεια): Π.Χ. Τα ενδεχόμενα 1 και 4 στην ρίψη ενός ζαριού. Αν Ε1 και Ε2 είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου, τότε ισχύει η σχέση: o Ρ Ε1 Ε2 = Ρ Ε1 + Ρ Ε2. o Ε1 Ε2 = 0. 26

Παράδειγμα 1 Τραβάμε ένα φύλλο από μία τράπουλα με 52 φύλλα. Ποια η πιθανότητα να εμφανιστεί άσσος ; Λύση: Επειδή οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 4 (4 άσσοι) και οι δυνατές περιπτώσεις 52 (όσα τα φύλλα της τράπουλας), συνεπάγεται ότι: Ρ (άσσου) = 4/52. 27

Παράδειγμα 2 Αν ρίξουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν δύο Γράμματα ; Λύση: Ο δειγματικός χώρος αυτού του πειράματος τύχης, αποτελείται από οκτώ απλά ενδεχόμενα: S = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}. Υπάρχουν τρία ενδεχόμενα με δύο φορές Γράμματα: ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ. Επομένως: Ρ(2Γ) = 3/8. 28

Παράδειγμα 3 Αν ρίξουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί το πολύ μια φορά Γράμματα (λιγότερες φορές από δυο). Λύση: Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από οκτώ ενδεχόμενα. S = ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ. Υπάρχουν τέσσερα ενδεχόμενα με λιγότερες από δύο φορές "Γράμματα": ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ. Συνεπώς: Ρ(< 2Γ) = 4/8 = 1/2. Ρ(< 2Γ) = 0, 5 ή 50%. 29

Παράδειγμα 4 Αν ρίξουμε ένα νόμισμα τρεις φορές, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν τέσσερις φορές Γράμματα. Λύση: Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από οκτώ απλά ενδεχόμενα. S = ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ. Εάν ρίξουμε τρεις φορές ένα νόμισμα είναι απίθανο να εμφανιστούν τέσσερες φορές Γράμματα. Δηλαδή Ρ(4Κ) = 0/8 = 0. 30

Παράδειγμα 5 Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί μονός αριθμός; Λύση: Δειγματικός χώρος: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα (ίδια πιθανότητα εμφάνιση κάθε αριθμού). Επομένως για: Ε1 = μονός αριθμός = 1,3,5. τότε Ρ (Ε1) = 3/6 = 0, 5. 31

Παράδειγμα 6 Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί αριθμός μικρότερος του 5; Λύση: Δειγματικός χώρος: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Η εμφάνιση του κάθε αριθμού είναι εξίσου πιθανή. Επομένως για: Ε1 = αριθμός μικρότερος του 5 = 1,2,3,4 τότε Ρ(Ε1) = 4/6 = 2/3. 32

Βασικές πράξεις ενδεχομένων Δύο ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 του ίδιου δειγματικού χώρου S, λέγονται ασυμβίβαστα μεταξύ τους: Αν η πραγματοποίηση του ενός ενδεχομένου αποκλείει την πραγματοποίηση του άλλου. Σε δυο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Ε1 και Ε2 η πιθανότητα εμφανίσεως του Ε1 ή του Ε2 ισούται με το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων τους. Δηλαδή: Ρ (Α ή Β) = Ρ (Α U Β) = Ρ (Α) + Ρ(Β). 33

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (1/7) Παράδειγμα 1. Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί ο αριθμός 2 ή αριθμός 6; Λύση: H εμφάνιση του αριθμού 2 αποκλείει την εμφάνιση του αριθμού 6. Το διαζευκτικό ή στις πιθανότητες σημαίνει άθροιση. Συμβολίζουμε τα ενδεχόμενα με τα γράμματα: Ε1 = αριθμός 2, Ε2 = αριθμός 6. Τότε Ρ(Ε1) = 1/6 και Ρ(Ε2) = 1/6. 34

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (2/7) Παράδειγμα 1 (συνέχεια). Αν ρίξουμε ένα ζάρι, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί ο αριθμός 2 ή αριθμός 6; Λύση (συνέχεια): Ρ(Ε1ήΕ2) = Ρ(Ε1)+Ρ(Ε2) = 1 6 + 1 6 = 2 6 = 1 3 = 0, 33 35

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (3/7) Παράδειγμα 2. Σε ένα παιχνίδι που συμμετέχουμε κερδίζουμε εάν κατά τη ρίψη ενός νομίσματος εμφανιστεί το ενδεχόμενο Κεφαλή ή το ενδεχόμενο Γράμματα. Τότε ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε; Λύση: Τα ενδεχόμενα Κεφαλή και Γράμματα είναι ασυμβίβαστα. 36

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (4/7) Παράδειγμα 2 (συνέχεια). Λύση (συνέχεια): Επομένως η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου Κ ή του ενδεχομένου Γ είναι: Ρ Κ ή Γ = Ρ Κ + Ρ Γ = 1 2 + 1 2. Ρ(Κ Ψ Γ) = 1,δηλαδή θα κερδίσουμε με βεβαιότητα. 37

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (5/7) Παράδειγμα 3. Τραβάμε ένα φύλλο από μία τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα, το χαρτί που τραβήξαμε, να είναι βαλές ή άσσος ; Λύση: Η εμφάνιση του βαλέ αποκλείει την εμφάνιση του άσσου, συνεπώς τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα (αμοιβαίως αποκλειόμενα) και επομένως αθροίζουμε τις πιθανότητες. 38

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (6/7) Παράδειγμα 3 (συνέχεια). Τραβάμε ένα φύλλο από μία τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα, το χαρτί που τραβήξαμε, να είναι βαλές ή άσσος ; Λύση (συνέχεια): Χαρακτηρίζουμε τα ενδεχόμενα με τα γράμματα Β(βαλές), Α (άσσος) και υπολογίζουμε τις ατομικές τους πιθανότητες. 39

Βασικές πράξεις: ένωση ενδεχομένων (7/7) Παράδειγμα 3 (συνέχεια). Επομένως είναι: Β = βαλές, Α = άσσος και Ρ(Β) = 4/52, Ρ Α = 4. 52 Τότε, η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Ρ (Β ή Α) = Ρ Β + Ρ Α. Ρ (Β ή Α) = 4/52 + 4/52 = 8/52. 40

Βασικές πράξεις. Τομή ενδεχομένων (1/4) Τομή δύο ενδεχομένων E1 και E2 είναι: Το ενδεχόμενο εκείνο που πραγματοποιείται αν πραγματοποιηθούν και τα δυο ενδεχόμενα E1 και E2 συγχρόνως. Π.χ. στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο Ε1 οι μονοί αριθμοί {1,3,5} και το ενδεχόμενο Ε2 ο αριθμός {3} έχουν ως τομή τον αριθμό 3. Ε1 Ε2 = 3. 41

Βασικές πράξεις. Τομή ενδεχομένων (2/4) Τομή δύο ενδεχομένων E1 και E2 (συνέχεια): Αν τα ενδεχόμενα Α και Β δεν αποκλείονται αμοιβαίως δηλ. η εμφάνιση του Α δεν αποκλείει και την ταυτόχρονη εμφάνιση και του Β τότε η πιθανότητα εμφανίσεως του Α ή του Β θα είναι: Ρ(Α ή Β)=Ρ(Α U Β) =Ρ (Α)+Ρ (Β)-Ρ(Α και Β). 42

Παράδειγμα: Βασικές πράξεις : Τομή ενδεχομένων (3/4) Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να είναι Βαλές ή Μπαστούνι; Λύση: Έχουμε τα ακόλουθα ενδεχόμενα: Β = βαλές και M = μπαστούνι. Οι ατομικές πιθανότητες τους είναι: Ρ(Β) = 4/52, Ρ(Μ) = 13 /52. 43

Παράδειγμα: Βασικές πράξεις : Τομή ενδεχομένων (4/4) Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα με 52 χαρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να είναι Βαλές ή Μπαστούνι; Λύση (συνέχεια): Τα ενδεχόμενα Βαλές = Β και Μπαστούνι = Μ είναι μη ασυμβίβαστά. Επομένως: P(BήM) = P(B) + P(M) P(B και M). P(ΒήΜ) = 13/52 + 4/52 1/52. P(ΒήΜ) = 16/52 = 0,308. 44

Μεταθέσεις Οι τρόποι με τους οποίους διατάσσονται ένας αριθμός ατόμων ή πραγμάτων λέγονται μεταθέσεις. Με άλλα λόγια μετάθεση των διαφορετικών πραγμάτων α1, α2, α3,...,αn ονομάζουμε τις διαφορετικές ομάδες που μπορούν να σχηματιστούν. Οι ομάδες δύναται να διαφέρουν: Ως προς τη σειρά (α1α2,α2α1) με όλους τους δυνατούς τρόπους. Μn = n! = 1 2 3 (n 2) (n 1) n. n!: n παραγοντικό. 45

Παράδειγμα 7 Με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 πόσους διαφορετικούς τετραψήφιους μπορούμε να σχηματίσουμε; Μn = n! = 4! = 1 2 3 4 = 24. 1234, 2134, 3124, 4123, 1324, 2314, 3214, 4213. 1243, 2143, 3142, 4132. 46

Παράδειγμα 8 (1/2) Σε ένα γήπεδο ανακοινώνουμε τα ονόματα των 6 παικτών μιας ομάδας βόλλεϊ και αυτοί ένας ένας εισέρχονται σε αυτό. Πόσοι τρόποι διαφορετικοί υπάρχουν με τους οποίους μπορούμε να φωνάξουμε τους παίκτες; Λύση: Ανακοινώνοντας το πρώτο όνομα έχουμε 6 επιλογές, τα έξι ονόματα των παικτών της ομάδας. Για να ανακοινώσουμε το δεύτερο όνομα έχουμε 5 επιλογές, αφού ένας παίκτης, ο πρώτος που φωνάξαμε το όνομά του, έχει ήδη σηκωθεί. 47

Παράδειγμα 8 (2/2) Προχωρώντας στο τρίτο όνομα έχουμε πλέον 4 επιλογές, στο τέταρτο όνομα 3 επιλογές, στο πέμπτο όνομα 2 επιλογές και στο έκτο όνομα μας έχει μείνει να ανακοινώσουμε το όνομα του τελευταίου παίκτη. Συνολικά λοιπόν, έχουμε: Μn = 6! = 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720. Υπάρχουν 720 διαφορετικοί τρόποι για να ανακοινώσουμε τα ονόματα των 6 παικτών. Το παραπάνω διαβάζεται ως έξι παραγοντικό. 48

Συνδυασμοί (1/2) Όταν έχουμε να επιλέξουμε m στοιχεία από ένα σύνολο n, αλλά δεν μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης, τότε έχουμε συνδυασμούς των n στοιχείων ανά m. Υποθέτουμε n διαφορετικά στοιχεία α1, α2, α3,...,αn εκ των οποίων παίρνουμε m από αυτά. Στο σχηματισμό της κάθε ομάδας δεν παίζει ρόλο η σειρά εμφάνισης των στοιχείων. Εάν έχουμε α1α2 τότε το α2α1 δεν αποτελεί νέα ομάδα. Ισχύει 1 < m < n. 49

Συνδυασμοί (2/2) Οι συνδυασμοί των 4 στοιχείων α, β, γ, δ ανά 2 είναι : αβ, αγ, αδ, βγ, βδ, γδ. 4 2 = 6. Το πλήθος των συνδυασμών των n πραγμάτων ανά m είναι: n m = n!. m!(n m)! 50

Παράδειγμα 9 Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια τριμελής επιτροπή από δώδεκα υποψήφιους; Λύση: Έχουμε συνδυασμούς 12 ανά 3: n m = n! m!(n m)! 12 3 = 12! 3!(12 3)! =. = 9! 10 11 12 1 2 3 9! = 220. 51

Παράδειγμα 10 Όταν συναντώνται 8 φοιτητές, πόσες διαφορετικές χειραψίες μπορούμε να έχουμε; Λύση: Έχουμε συνδυασμούς 8 ανά 2. n m = n! m!(n m)! 8 2 = 8! 2!(8 2)! =. = 6! 7 8 2! 6! = 28. 52

Παράδειγμα 11 Σε ένα φούρνο γίνονται τυρόπιτες χρησιμοποιώντας 7 είδη τυριών. Πόσες τυρόπιτες μπορούν να γίνουν με τρία είδη τυριών; Λύση: Έχουμε συνδυασμούς 7 ανά 3. n m = n! m!(n m)! 7 3 = 7! 3!(7 3)! =. = 4! 5 6 7 1 2 3 4! = 35. 53

Τέλος Ενότητας