5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων, τότε όλα τα στοιχεία του συνόλου του δειγματικού χώρου έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής και λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα Σ ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων ( Α) P (Α) = =. πλήθος δυνατών περιπτώσεων ( Ω) Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ί- σος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει 0 P ( Α ). Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας προκύπτουν: ( Ω) ( ) P (Ω) = = και P ( ) = = 0 ( Ω) ( Ω) Βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων Σ ένα πείραμα τύχης, για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α ) = Σ ένα πείραμα τύχης, για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U B) + Ρ(Α I Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

2 78 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΟΗΣΗΣ. Σε ποια από τα παρακάτω πειράματα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ι- σοπίθανα ; α) Από ένα κουτί που περιέχει όμοιες μπάλες, από τις οποίες είναι πράσινες, κόκκινες και άσπρες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της. β) Από ένα κουτί που περιέχει όμοιες μπάλες, από τις οποίες είναι πράσινες, κόκκινες και άσπρες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της. γ) Από τη λέξη «χαρά» επιλέγουμε τυχαία ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι. δ) Από τη λέξη «χώρα» επιλέγουμε τυχαία ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι. ε) Επιλέγουμε τυχαία ένα φύλλο από μια τράπουλα και σημειώνουμε ποιο είναι. ΑΠΑΤΗΣΗ Στο α και στο δ γιατί στις δύο αυτές περιπτώσεις η επιλογή δεν έχει πλεονέκτημα έναντι μιας άλλης (στο α είναι -- και στο δ τα γράμματα είναι διαφορετικά). Στις άλλες περιπτώσεις (στην β είναι --, στην γ το α είναι δύο φορές, στην ε έχουμε τετράδες) δεν συμβαίνει αυτό.. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα γράμμα της αλφαβήτου, τότε η πιθανότητα να είναι φωνήεν είναι 7 7 α) β) γ) δ) α επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΤΗΣΗ Είναι το γ, γιατί οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 7(τόσα είναι τα φωνήεντα) και οι δυνατές περιπτώσεις (τόσα είναι τα γράμματα της αλφαβήτου). α χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α μπορεί να είναι Ρ(Α) =,0. β) Αν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι 80 %, τότε γράφουμε Ρ(Α) =80. γ) Το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα και το αδύνατο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 0. δ) Αν η πιθανότητα να βρέξει είναι %, τότε η πιθανότητα να μη βρέξει είναι 68 %. ΑΠΑΤΗΣΗ

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 79 α) Το α είναι λάθος (Λ), γιατί 0 P ( Α ). 80 β) Το β είναι λάθος (Λ).Το σωστό είναι P ( Α) = = 0,8 <. 00 γ) Το γ είναι σωστό (Σ) δ) Το δ είναι σωστό (Σ),γιατί το ένα ενδεχόμενο είναι συμπληρωματικό του άλλου.. Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Α είναι, τότε η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι α) β) γ) δ) α επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΤΗΣΗ Αν Α το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί το Α τότε είναι: P ( Α ) = P( Α) = = = άρα είναι το γ.. Για δυο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν P ( Α ) =,P (Β)= και P (Α I B)=. Ένας μαθητής υπολόγισε ότι P ( Α U B ) = 6. Είναι σωστή η απάντησή του; α αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. ΑΠΑΤΗΣΗ Γνωρίζουμε ότι για οποιοδήποτε ενδεχόμενο ισχύει: P ( Α Β) + P( Α Β) = P( Α) + P( Β) οπότε έχουμε ότι: 8 P ( Α Β) = P( Α Β) + P( Α) + P( Β) = + + = άρα η απάντηση του είναι λάθος.

4 80 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΤΕΙΟΜΕΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Επιλέγουμε στην τύχη έναν ακέραιο αριθμό από το έως και το. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι α) άρτιος ; β) πολλαπλάσιο του ; α) Αν θεωρήσουμε Α το ενδεχόμενο να είναι άρτιος από το έως το έ- χουμε ότι: Ω = {,,,,,6,7,8,9,0,,, } και Α = {,,6,8,0, } 6 Άρα είναι P ( Α) =. β) Αν θεωρήσουμε Β το ενδεχόμενο να είναι πολλαπλάσιο του από το έως το έχουμε ότι: Ω = {,,,,,6,7,8,9,0,,, } και Β = {,8, } Άρα είναι P ( Β) =. ΑΣΚΗΣΗ Σε μια κλήρωση υπάρχουν 00 λαχνοί. Πόσο % πιθανότητα έχει να κερδίσει κάποιος που αγόρασε 6 λαχνούς ; Αν θεωρήσουμε Α το ενδεχόμενο να κερδίσει κάποιος που αγόρασε 6 λαχνούς από 00 λαχνούς τότε: 6 6 0, P ( Α) = = = ή 0,% ΑΣΚΗΣΗ Σε μια τράπουλα φύλλων υπάρχουν φιγούρες. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα φύλλο, ποια είναι η πιθανότητα να μην είναι φιγούρα ; Αν θεωρήσουμε Α το ενδεχόμενο το φύλλο να είναι φιγούρα και Α το ενδεχόμενο το φύλλο να μην είναι φιγούρα τότε: 0 0 P( Α ) = P( Α) = = = = 7%.

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 8 ΑΣΚΗΣΗ Σ ένα κουτί υπάρχουν 0 όμοιες μπάλες, από τις οποίες οι 8 είναι γαλάζιες, οι 7είναι κίτρινες και οι είναι άσπρες. Βγάζουμε στην τύχη μια μπάλα. α βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : Η μπάλα να είναι κίτρινη. Β : Η μπάλα να μην είναι άσπρη. Γ : Η μπάλα να είναι γαλάζια ή άσπρη. ( Α) 7 = ( ) 0 P ( Α) =. Ω ος τρόπος ( ) ( Β) P Β = = ( Ω) 0 ος τρόπος Έστω Β το ενδεχόμενο η μπάλα να είναι άσπρη ( ) ( ) ( Β ) 0 P Β = P Β = = = =. ( Ω) ( ) ( Γ) P Γ = = ( Ω) 0 ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό πίνακα φαίνεται η βαθμολογία των μαθητών ενός τμήματος στα Μαθηματικά. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό α) β) μικρότερο του γ) μεγαλύτερο ή ίσο του 6 δ) 9 ή 0. Αν Β είναι ο βαθμός του μαθητή στα Μαθηματικά τότε Βαθμός Μαθητές

6 8 α) ( ) ( Β = ) P Β = = =. ( Ω) β) ( ) ( Β < ) 8 P Β < = =. ( Ω) γ) ( ) ( Β 6) 0 P Β 6 = =. ( Ω) δ) ( ) ( Β = 9 ή Β = 0) P Β = 9 ή Β = 0 = = ( Ω) ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη ; Κατασκευάζουμε το δενδροδιάγραμμα του πειράματος Κ Γ Κ Γ Κ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Κ Γ Γ Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = { ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} Αν Α το ενδεχόμενο να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη τότε: Α = { ΚΚΚ, ΓΓΓ} Επομένως είναι: ( ) ( Α) P Α = = = Ω 8 ΑΣΚΗΣΗ 7 ( ) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. α βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : Φέρνουμε και τις δύο φορές 6. Β : Φέρνουμε την ίδια ένδειξη και τις δύο φορές. Γ : Φέρνουμε μια τουλάχιστον φορά.

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 8 Το δενδροδιάγραμμα του πειράματος είναι: Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = {,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,6,6,6,6,6, 66} Επομένως για τα τρία ενδεχόμενα έχουμε Α = {66}, Β = {,,,,, 66}, Γ = {,,,,,,,,,6, 6} ( ) ( Α) P Α = =. ( Ω) 6 ( ) ( Β) 6 P Β = = =. ( Ω) 6 6 ( ) ( Γ) P Γ = =. Ω ΑΣΚΗΣΗ 8 ( ) 6 Από τους μαθητές μιας τάξης μόνο οι έλυσαν μια άσκηση. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να μην έχει λύσει την άσκηση ; Αν ο πρώτος μαθητής που επιλέξαμε δεν έλυσε την άσκηση και από τους υπόλοιπους επιλέξουμε ένα δεύτερο μαθητή, τότε ποια είναι η πιθανότητα να έχει λύσει την άσκηση ; Αν Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην έχει λύσει την άσκηση τότε: ( ) ( Α) P Α = = ( Ω) Αν Β το ενδεχόμενο μετά την επιλογή ενός μαθητή ο οποίος δεν έλυσε την άσκηση ο μαθητής να έχει λύσει την άσκηση τότε: P ( Β) Β = Ω ( ) = = ( ), γιατί (Ω)=-=. 6

8 8 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 9 Η πιθανότητα να μην πάει κάποιος στο θέατρο είναι τριπλάσια από την πιθανότητα να πάει. Ποια είναι τελικά η πιθανότητα να πάει στο θέατρο ; Αν Α το ενδεχόμενο να πάει κάποιος στο θέατρο,τότε Α το ενδεχόμενο να μην πάει κάποιος στο θέατρο. Επομένως εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( Α) + P( Α ) = ή P( Α) + P( Α) = ή P( Α) =. ή P( Α) = ή = = %. 00 ΑΣΚΗΣΗ 0 Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν P ( Α ) =, P ( Β ) = και 0 0 P (Α U B) = 7. α βρείτε την πιθανότητα P ( Α I B ). 0 Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( Α Β) + P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P Α Β = P Α + P Β P Α Β P ( ) ( ) ( ) ( ( Α Β) = + = ΑΣΚΗΣΗ Αν P ( Α )=, P ( Β ) = και P ( Α U B ) =, να βρείτε την πιθανότη- τα P ( Α I B ). ) Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P Α Β + P Α Β = P Α + P Β P P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) ( Α Β) = P( Α) + P( Β ) P( Α Β) ( Α Β) = + = + 7 =

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 8 ΑΣΚΗΣΗ H πιθανότητα να γνωρίζει κάποιος Αγγλικά είναι %, να γνωρίζει Γαλλικά είναι % και να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες είναι %. Ποια είναι η πιθανότητα να γνωρίζει μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες ; Αν Α το ενδεχόμενο να γνωρίζει κάποιος Αγγλικά και Β το ενδεχόμενο να γνωρίζει κάποιος Γαλλικά τότε το ενδεχόμενο να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες είναι Α Β και το ενδεχόμενο να γνωρίζει μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες είναι Α Β. Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( Α Β) + P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 8 P( Α Β) = + = ή 8% ΑΣΚΗΣΗ O καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους μαθητές ενός τμήματος, είχαν διαβήτη, 8 είχαν κανόνα και 0 είχαν διαβήτη ή κανόνα. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή ποια είναι η πιθανότητα να έχει διαβήτη και κανόνα ; Αν Α το ενδεχόμενο ο μαθητής να έχει διαβήτη και Β το ενδεχόμενο να έχει κανόνα τότε το ενδεχόμενο έχει και τα δύο είναι Α Β και το ενδεχόμενο να έχει διαβήτη ή κανόνα είναι Α Β. Εφαρμόζοντας τον βασικό κανόνα λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P Α Β + P Α Β = P Α + P Β P P ( ) ( ) ( ) ( ) ( Α Β) = P( Α) + P( Β) P( Α Β) 8 0 ( Α Β) = + = = ή 0% ΓΕΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται τα σύνολα Ω = { x, όπου x 8}, Α = { x Ω, όπου x άρτιος} και Β = { x Ω, όπου x διαιρέτης του 8}. α) Nα γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. β) Nα προσδιορίσετε τα σύνολα Α U Β, Α I Β και τα Α, Β ως προς βασικό σύνολο το Ω. γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα

10 86 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ i) α ανήκει στο Α ii) να μην ανήκει Β iii) α ανήκει στο Α και στο Β iv) να ανήκει στο Α ή στο Β. α) Από την εκφώνηση του προβλήματος έχουμε : Ω = { 0,,,,,,6,7,8 },A = { 0,,,6,8}, B = {,,,8} β) Είναι δε : Β Α U Β = { 0,,,6,8 }= Α Α I Β = {,,8} Α = {,,,7} και Β = 0,,,6,7 γ) Οι ζητούμενες πιθανότητες είναι : { } i) P(Α) = 9. Αφού από τα 9 στοιχεία Α του Ω από τα οποία επιλέγουμε, τα ανήκουν στο Α. Το διάγραμμα Venn φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. ii) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου Β επομένως έχουμε P(B ) = 9 iii) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α I Β. Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι P(Α I Β) = P(B) = =. Αφού από τα 9 στοιχεία του Ω από τα 9 οποία επιλέγουμε, τα ανήκουν στο Β. iv) Ζητάμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α U Β. Σύμφωνα με τα παραπάνω είναι P (Α U Β) = P (A) = =. Αφού από τα 9 στοιχεία του Ω από 6 9 τα οποία επιλέγουμε, τα 6 ανήκουν στο A.. Σ ένα καταψύκτη υπάρχουν παγωτά, από τα οποία είναι βανίλια, σοκολάτα, φράουλα και φιστίκι. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει η Μαρία τυχαία ένα παγωτό με γεύση φράουλας που μόνο αυτό δεν της αρέσει ; Δύο μέρες αργότερα παγωτό βανίλια, παγωτά σοκολάτα και παγωτό φράουλα έχουν καταναλωθεί. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πάρει η Μαρία τυχαία ένα παγωτό που να της αρέσει ; Εάν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο η Μαρία να επιλέξει παγωτό φράουλα επειδή υπάρχουν τρία τέτοια παγωτά σε σύνολο παγωτών η ζητούμενη πιθανότητα είναι : P(A) = = Ω

11 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 87 Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει, ότι στον καταψύκτη δύο μέρες αργότερα υπάρχουν, παγωτά βανίλια, σοκολάτα, φράουλα και φιστίκι. Συνολικά λοιπόν 8 παγωτά. Από τα 8 παγωτά του καταψύκτη της αρέσουν τα 6, αφού η μοναδική φράουλα που βρίσκεται στον καταψύκτη δεν της αρέσει. Αν λοιπόν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο να πάρει παγωτό που της αρέσει, ζητάμε την 6 P(B) = = 8. Τα 80 παιδιά της Γ τάξης ενός Γυμνασίου επέλεξαν να διδαχτούν μια δεύτερη ξένη γλώσσα ανάμεσα στα Γαλλικά και τα Γερμανικά. Τα 8 από τα 0 αγόρια επέλεξαν τα Γερμανικά, ενώ 6 κορίτσια επέλεξαν τα Γαλλικά. α ) α συμπληρώσετε τον πίνακα Γαλλικά Γερμανικά Αγόρια Κορίτσια β) Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί. α βρείτε την πιθανότητα i) να είναι αγόρι ii) να έχει επιλέξει τα Γερμανικά iii) να είναι αγόρι και να έχει επιλέξει τα Γαλλικά iv) να είναι κορίτσι ή να έχει επιλέξει τα Γερμανικά. Ι ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι : Τα αγόρια της τάξης είναι 0 και τα κορίτσια είναι επομένως 0. Αφού8 αγόρια επέλεξαν ως δεύτερη γλώσσα τα Γερμανικά επέλεξαν τα Γαλλικά. Παρόμοια συμπεραίνουμε ότι αφού 6 από τα κορίτσια επέλεξαν Γαλλικά τα επέλεξαν Γερμανικά. Με τα στοιχεία αυτά συμπληρώνουμε τον πίνακα. Αγόρια Κορίτσια Γαλλικά 6 Γερμανικά 8 II) Ζητάμε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Εάν συμβολίσουμε με Α το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να είναι 0 αγόρι τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(A) = = 80 8

12 88 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ β) Εάν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να έχει επιλέξει ως γλώσσα τα Γερμανικά τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(Β) = = 80 γ) Εάν συμβολίσουμε με Γ το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να είναι αγόρι και να έχει επιλέξει ως γλώσσα τα Γαλλικά τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(Γ) = = 80 0 δ) Εάν συμβολίσουμε με Δ το ενδεχόμενο το παιδί που επιλέγεται να είναι κορίτσι και να έχει επιλέξει ως γλώσσα τα Γερμανικά τότε η ζητούμενη πιθανότητα P(Δ) = = ο ο ο ο. Από το σύνολο {, 6, 6, 9 } που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενός τριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο ; Τα ζεύγη που μπορούμε να επιλέξουμε και τα οποία αποτελούν τον δειγματικό χώρο του πειράματος είναι Ω = {(,6 ), (,6 ), (,9 ), ( 6,6 ), ( 6,9 ), ( 6,9 )}. Από τα ζεύγη αυτά το μοναδικό του οποίου τα στοιχεία έχουν άθροισμα 90 0 είναι το ζεύγος με στοιχεία 0 και 0. Αν λοιπόν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο τα μέτρα των δύο γωνιών να είναι μέτρα γωνιών ορθογωνίου τριγώνου δηλ. Α = {( 0, 0 )} τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι P(A) =, αφού το σύνολο Α έχει ένα στοιχείο και το Ω έχει 6 στοιχεία. 6. Από το σύνολο { 8,, 6, 0} επιλέγουμε τυχαία τρεις διαφορετικούς αριθμούς. Ποια είναι η πιθανότητα οι τρεις αυτοί αριθμοί να εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου; Οι τριάδες αριθμών που προκύπτουν από τα στοιχεία του παραπάνω συνόλου και οι οποίες αποτελούν το δειγματικό χώρο του πειράματος είναι : Ω = {( 8,,6), ( 8,,0),( 8,6,0, (,6,0) )}. Παρατηρώντας τις τριάδες αυτές, διαπιστώνουμε ότι η μόνη της οποίας τα στοιχεία δεν μπορούν να εκφράζουν πλευρές τριγώνου είναι η δεύτερη δηλ. η (8,,0) αφού τα δύο πρώτα από τα στοιχεία της έχουν άθροισμα το τρίτο στοιχείο. Είναι 8+ = 0. Αν λοιπόν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο η

13 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 89 τριάδα των αριθμών να εκφράζει μήκη πλευρών τριγώνου τότε Α = {( 8,,6), ( 8,6,0, (,6, 0))}. Η ζητούμενη πιθανότητα P(A) = 6. Από το σύνολο {,,, } επιλέγουμε τυχαία δύο αριθμούς τον ένα μετά τον άλλο και με αυτούς σχηματίζουμε ένα κλάσμα. Ο πρώτος είναι ο αριθμητής και ο δεύτερος είναι ο παρονομαστής του κλάσματος. α βρείτε την πιθανότητα το κλάσμα α) να εκφράζει ακέραιο αριθμό β) να είναι μικρότερο της μονάδας. Για την εύρεση του δειγματικού θα μας βοηθήσει ο παρακάτω πίνακας α- φού για την σύνταξη του λάβουμε υπόψη μας ότι εάν ένα στοιχείο επιλεγεί τότε δεν μπορεί να επιλεγεί και πάλι. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Επομένως ο δειγματικός χώρος Ω είναι : Ω = {(,), (, ), (, ), (, ), (, ), (,),(, ), (,),(,),(, ), (,),(,) } α) Εάν συμβολίσουμε με Α το ενδεχόμενο οι αριθμοί που θα επιλεγούν να ορίζουν κλάσμα που να εκφράζει ακέραιο, τότε: Α = {(,),(, )(,, )(,,) }. Τότε P(A) = = =. β) Εάν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο οι αριθμοί που θα επιλεγούν να ορίζουν κλάσμα που να είναι μικρότερο της μονάδας τότε: Β = {(,), (, ), (, ), (, ), (,),(,),} Τότε η πιθανότητα του ενδεχομένου 6 Β είναι P(B) = = 7. Αν για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν 7 Ρ ( Α U Β) = και Ρ ( Α ) + Ρ ( Β ) =, να υπολογίσετε την 0 0 πιθανότητα Ρ ( Α I Β). Είναι Ρ ( Α ) + Ρ ( Β ) = () 0

14 90 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Επειδή όμως για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει P(A)+P(A ) = ή P(A ) = P(A) η () γράφεται P(A) + P(B) = ή + = P(A)+ P(B) ή + = P(A)+ P(B) ή P(A)+ P(B) = () Είναι όμως Ρ ( Α U Β) = P(A)+P(B) Ρ ( Α I Β) ή Ρ ( Α I Β) = P(A)+P(B) 9 7 Ρ ( Α U Β) ή Ρ ( Α I Β) = = = Ο ίκος ισχυρίζεται ότι, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, η πιθανότητα να έ- χουν άθροισμα 8 είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να έχουν 7 άθροισμα. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του ; Για να βρούμε εάν είναι σωστός ο ισχυρισμός του θα βρούμε τις πιθανότητες των δύο αυτών ενδεχομένων και θα τις συγκρίνουμε. Για την εύρεση του δειγματικού χώρου θα μας βοηθήσει ο παρακάτω πίνακας 6 (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,) (,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,) (6,) (6,6) Επομένως Ω = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (,6 ),(, ), (,),(, ), (,),(, ), (,6),(, )(,,)(,, )(,,),,,6,,,,,,,,,,,,6,,,,,,,,,,,,6, 6,, 6, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ), ( 6, ), ( 6,),( 6,),( 6,6)} άθροισμα 8 τότε το Α = {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Εάν συμβολίσουμε Α το ενδεχόμενο οι ενδείξεις των δύο ζαριών να έχουν,6,,,,,,, 6, οπότε η ζητούμενη πιθανότητα του Α είναι P(A) = 6 Παρόμοια εάν συμβολίσουμε με Β το ενδεχόμενο οι ενδείξεις των δύο ζαριών να έχουν άθροισμα 7 τότε Β = {(,6), (, ), (,),(, ), (,, ( 6, ) 6 είναι P(Β) = = Ο ισχυρισμός του δεν είναι σωστός. 6 6 )} οπότε η ζητούμενη πιθανότητα του Β

15 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 9 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ α συμπληρώσετε το σταυρόλεξο Οριζόντια. Ο χώρος αυτός εκφράζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης.. Το ενδεχόμενο αυτό δεν πραγματοποιείται ποτέ. Το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται πάντοτε. Με τα διαγράμματά του παριστάνουμε τα σύνολα.. Τα ενδεχόμενα αυτά δεν πραγματοποιούνται ποτέ ταυτόχρονα. 6. Πράξη με σύνολα Κάθετα. Με τη χρήση του διαγράμματος αυτού προσδιορίζουμε το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης. Είναι τα σύνολα Α={ι,δ,α} και Β={γράμμα της λέξης δαδί}. Λέγεται έτσι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω.. Ένα σύνολο παριστάνεται με. των στοιχείων του.. Το σύνολο χωρίς στοιχεία. 6. Το σύνολο που προκύπτει από την ένωση δύο συμπληρωματικών ενδεχομένων. 7. Πράξη με ενδεχόμενα. 8. Χρησιμοποιείται για την εύρεση του δειγματικού χώρου

16 9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Ε Σ Ε 7 Α Α Δ Υ Α Τ Ο Τ Γ Ο Ο Ρ Ρ Μ Ο Β Ε Β Α Ι Ο Η Δ Φ Ι Δ Η 8 Α Β Ε 6 Π Γ Χ Β Ι Ρ Ο Α Α Σ Υ Μ Β Ι Β Α Σ Τ Α Μ Ε Ι Κ Μ 6 Ε Ω Σ Η Κ Α Α Ο Ο Σ

17 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ( ΠΙΘΑΟΤΗΤΕΣ ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμα ο α. Θεωρία. Με ποιους τρόπους παριστάνεται ένα σύνολο;. Πότε ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β;.Τι ονομάζεται ένωση δύο συνόλων Α και Β; β. Άσκηση Με βασικό σύνολο το Ω = {α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι,κ,λ,μ}, δίνονται τα σύνολα : Α = {x Ω, όπου x φωνήεντο } και Β = {x Ω, όπου x γράμμα της λέξης κλίμα }. α γραφούν τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να γίνει το διάγραμμα Venn.. α προσδιορισθούν τα σύνολα : Α Β, Α Β, Α,Β Θέμα ο α. Θεωρία.Τι ονομάζεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;.πότε ένα ενδεχόμενο ονομάζεται βέβαιο;.πότε δύο ενδεχόμενα ονομάζονται ασυμβίβαστα ;.Ποιά σχέση συνδέει τις πιθανότητες δύο συμπληρωματικών ενδεχομένων Α και Α. β. Άσκηση Εάν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P(Α ) =, P(Β ) = και P(Α Β) = να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου P(Α Β).

18 9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμα ο α. Θεωρία. Με πόσους τρόπους παριστάνεται ένα σύνολο;. Τι ονομάζεται κενό σύνολο;. Τι ονομάζεται τομή δύο συνόλων Α και Β; β. Άσκηση Με βασικό σύνολο το Ω = {ν,ξ,ο,π,ρ,σ,τ,υ,φ,χ,ψ,ω}, δίνονται τα σύνολα : Α = {x Ω, όπου x φωνήεν } και Β = {x Ω, όπου x γράμμα της λέξης πρόσωπο }. α γραφούν τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να γίνει το διάγραμμα Venn.. α προσδιορισθούν τα σύνολα : Α Β, Α Β, Α,Β Θέμα ο α. Θεωρία.Τι ονομάζεται δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης;.πότε ένα ενδεχόμενο ονομάζεται αδύνατο;.τι ονομάζεται συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου Α;.Ποιές είναι οι δυνατές τιμές της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α; β. Άσκηση Εάν για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P(Α ) =, P(Β ) = 6 και P(Α Β) = να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου P(Α Β).

19 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 9 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ.Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα..στοιχεία..ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιέχει τα.... στοιχεία των δύο συνόλων και συμβολίζεται.τομή δύο συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο που περιέχει τα στοιχεία των δύο συνόλων και συμβολίζεται.το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο.. Το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση του ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο. 6.Δύο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται όταν Α Β =. 7.Για δύο ενδεχόμενα Α και Α ισχύει P(A)+P(A ) = ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩ ΕΠΙΛΟΓΩ. Δίνονται τα σύνολα Α = {,,,,} και Β = {,,,6,7}. Ποιο από τα παρακάτω σύνολα αποτελεί την τομή των δύο συνόλων Α και Β ; ) {,,6,7}, ) {,,}, ) {,,6,7,}, ) {,,,7}. Με βασικό σύνολο Ω = {x με x μονοψήφιο φυσικό αριθμό} και Α = {,,,7,9} ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι το Α ) {,,7,8}, ) {,,,6}, ) {0,,,6,8,}, ) {,,,,7}. Με βασικό σύνολο Ω = {x με x γράμμα της λέξης γυμνάσιο} και Α = {α,ι,ο,υ} ποιος από τους παρακάτω αριθμούς εκφράζει την P(Α).,,,, 6. Με βασικό σύνολο Ω = {x με x γράμμα της λέξης μαθηματικά} και : Α = { x με x φωνήεντο της λέξης μαθηματικά } Β = { x με x σύμφωνο της λέξης μαθηματικά } ποιος από τους παρακάτω αριθμούς εκφράζει την πιθανότητα P(Α Β). 6, 0,,, 7 Καθώς και ποιος την πιθανότητα P(Α Β),,,,, 0, 6 7,

20 96 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΤΗΣΗΣ ή ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑ- ΘΟΣ Στις παρακάτω προτάσεις άλλες είναι σωστές και άλλες είναι λάθος. α βάλετε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λάθος..δίνονται τα σύνολα Α = {α,η,θ,ι,κ,μ,τ} και Β = {x, με το x Σ Λ να είναι γράμμα της λέξης μαθηματικά } Είναι Α = Β.Εάν Α = {,,} και Β = {x, με το x να είναι μονοψήφιος Σ Λ Φυσικός αριθμός}, τότε Α Β.Εάν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β τότε Α Β = Α Σ Λ.Εάν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β τότε Α Β = Α Σ Λ Εάν Α και Β δύο σύνολα τότε Α Α Β Σ Λ 6 Εάν Α και Β δύο σύνολα τότε Α Α Β Σ Λ Σ Λ 7.Εάν για το ενδεχόμενο Α ισχύει P(A) =, τότε P(Α ) =