ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό. A// B AB0 Παράλληλα διανύσματα έχουν A BC AB AC Επιμεριστικό. d db da Παραγώγιση A B A B dt dt dt 2
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Για δεξιόστροφο σύστημα: Για αριστερόστροφο σύστημα : iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ iˆ k ˆiˆ ˆj k ˆiˆˆj 3
ΡΟΠΗ Εφαρμογή δύναμης σε σώμα του δίνει επιτάχυνση. Τι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση σε σώμα; ύναμη πάλι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση. Η ροπή της δύναμης είναι το αίτιο της γωνιακής επιτάχυνσης και συνεπώς της περιστροφικής κίνησης. Πότε Μια δύναμη προκαλεί και ροπή; Αυτό το σώμα είναι στερεωμένο έτσι ώστε να μπορεί να περιστραφεί περί άξονα O, στο επίπεδο. Ενεργούν 3 δυνάμεις. Η δυνατότητα καθεμιάς να προκαλέσει περιστροφή εξαρτάται από το μέτρο της και από την απόσταση (μοχλοβραχίονας) του φορέα της από το σημείο O. 4
ΡΟΠΗ Η Ροπή είναι διανυσματική ποσότητα. Το μέτρο της ροπής που προκαλείται από μια δύναμη ορίζεται από: Fl rf sin F tan r Όπου r = απόσταση μεταξύ του σημείου στερέωσης και του σημείου εφαρμογής της δύναμης. l = r sin() = μοχλοβραχίονας = απόσταση του σημείου στερέωσης από τον φορέα της δύναμης. F = μέτρο της δύναμης. = η γωνία μεταξύ της του r και της δύναμης. F tan = F sin() = εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης. 5
ΡΟΠΗ Γενικότερος ορισμός της ροπής απαιτεί τη χρήση του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων. Όταν μια δύναμη εφαρμόζεται σε ένα σημείο με διάνυσμα θέσης r ως προς σημείο O, η ροπή που επάγει η δύναμη αυτή ως προς αυτό το σημείο ορίζεται από: Ιδιότητες της ροπής r F Μονάδες της ροπής N m. Ίδια με την μονάδα ενέργειας Joule όμως πάντοτε εκφράζεται ως N m. Μπορεί κάποιος να χρησιμοποιεί τη σύμβαση ώστε να θεωρεί ως θετικές τις ροπές που επιφέρουν στροφή αντίθετη προς του δείκτες (δεξιόστροφο) του ρολογιού ενώ αρνητικές εκείνες που επιφέρουν στροφή κατά τους δείκτες ρολογιού. Η ροπή δύναμης πάντοτε ορίζεται ως προς σημείο. 6
ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Θεωρούμε στερεό σώμα περιστρεφόμενο ως προς άξονα. Το στερεό είναι μια συλλογή από επιμέρους σωματίδια σε σταθερές αποστάσεις μεταξύ τους και που όλα φυσικά υπακούουν τον 2 ο νόμο του Νεύτωνα. Άξονας περιστροφής είναι ο Z-άξονας. ά m 1 είναι η μάζα του σωματιδίου και r 1 η απόσταση του από τον άξονα περιστροφής. Η συνολική δύναμη που ενεργεί στο σωματίδιο μπορεί να αναλυθεί σε 3 συνιστώσες τις: F 1,rad ακτινική, F 1tan 1,tan εφαπτομενική και την F 1 κατά αάτον άξονα περιστροφής. Οι F 1,rad και F 1 δεν έχουν ροπή ως προς τον άξονα. Ο 2 ος Νόμος για το σωματίδιο είναι: F 1,tan ma 1 1,tan και επειδή a 1,tan r 1 r F1,tan mr 1 1 όπου η γωνιακή επιτάχυνση 7
ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Η ροπή της F 1,tan είναι και η ροπή της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σωματίδιο 1: F r mr I 2 1 1,tan 1 1 1 1 Αθροίζοντας για όλα τα σωματίδια που απαρτίζουν το σώμα: 2 i mr i i I i i i i I 2 ος Ν Νεύτωνα για περιστροφική κίνηση στερεού Ισχύει για στερεά σώματα! Τα σωματίδια σε μη στερεά δεν έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση π.χ. ρευστό. μετράται σε rad/s 2 Η συνολική ροπή σε κάθε σωματίδιο οφείλεται στην συνολκή δύναμη που ασκείται σε αυτό, το οποίο είναι το διανυσματικό άθροισμα των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων. 8
ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Από τον 3 ο Νόμο του Νεύτωνα, οι εσωτερικές δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων του στερεού είναι ίσες και αντίθετες. Ενεργούν δε κατά μήκος της γραμμής που ενώνει τα σωματίδια, άρα έχουν τον ίδιο φορέα, οι αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής είναι ίδιες, οπότε οι ροπές κάθε τέτοιου ζεύγους είναι ίσες και αντίθετες. ΜΟΝΟ εξωτερικές ροπές (ροπές εξωτερικών δυνάμεων καθορίζουν την περιστροφή στερεού! 9
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ Επέκταση σε συνδυασμένη κίνηση μεταφορική και περιστροφική. Ο άξονας περιστροφής κινείται. Κάθε δυνατή κίνηση στερεού μπορεί να παρασταθεί ως συνδυασμός μεταφορικής κίνησης του CM και περιστροφικής κίνησης ως προς άξονα που περνά από το CM. Αυτό εφαρμόζεται ακόμα και όταν το CM επιταχύνεται. Μπορούμε να αντιμετωπίζουμε τη μεταφορική κίνηση του CM και την περιστροφή γύρω από άξονα ξεχωριστά αλλά στο τέλος αυτές οι κινήσεις πρέπει να σχετιστούν. 10
ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Η Κινητική ενέργεια σώματος που κυλίεται χωρίς ολίσθηση δίνεται από το άθροισμα της περιστροφικής κινητικής ενέργειας γύρω από το CM συν την μεταφορική κινητική ενέργεια του CM: 1 1 K M I 2 2 2 2 cm cm Κινητική ενέργεια στερεού σώματος με μεταφορική και περιστροφική κίνηση ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΑΥΤΉΣ Για σωματίδιο του σώματος η θέση σε αδρανειακό σύστημα θα δίνεται από: r r r R i c i i c i i c 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 Ki mi i mic mr i k Mcm Icm 2 2 2 2 2 Αν μεταβάλλεται το ύψος του σώματος καθώς κινείται, πρέπει να προστεθεί και το έργο του βάρους δηλ. η βαρυτική δυναμική ενέργεια. Αυτή είναι: U Mgy cm 11
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ Έστω σώμα κυκλικής διατομής ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς ολίσθηση τότε το διάστημα που διανύει κατά μήκος της επιφάνειας είναι το ίδιο με το μήκος του τόξου πάνω στο αντικείμενο που ήρθε σε επαφή με την επιφάνεια (π.χ. χ s = R). Το ίδιο διάστημα διανύει και το CM. ds d s R cm R R dt dt cm R Συνθήκη κύλισης χωρίς ολίσθηση 12
ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟ ΑΞΟΝΑ Εξετάζουμε την κίνηση σε σύστημα αναφοράς αδρανειακό που επιφάνεια κύλισης είναι σε ηρεμία. Κίνηση χωρίς ολίσθηση σημείο επαφής είναι στιγμιαία ακίνητο. Άρα η ταχύτητα του σημείου επαφής ως προς το CM πρέπει να έχει το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά ωε προς την ταχύτητα του CM. Αυτό ικανοποιείται όταν v cm =R. Η ταχύτητα ενός σημείου του τροχού είναι το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του CM και της ταχύτητας του σημείου αυτού ως προς το CM. Σημείο επαφής: στιγμιαία σε ηρεμία. Σημείο 3 στην κορυφή κινείται προς τα εμπρός με διπλάσια ταχύτητα από εκείνη του CM. Σημεία 2 και 4 έχουν ταχύτητες που διευθύνονται στις 45 ο ως προς την οριζόντια γραμμή. 13
ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ- ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Στην περίπτωση αυτή η κίνηση του σώματος θα διέπεται ταυτόχρονα και από τις δυο μορφές του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα: Fext Ma Μεταφορική cm I cm Περιστροφική Για να ισχύουν αυτές οι εξισώσεις πρέπει να ικανοποιούνται οι εξής δυο συνθήκες: 1. Ο άξονας περιστροφής μέσω του CM πρέπει να είναι άξονας συμμετρίας 2. Ο άξονας περιστροφής δεν πρέπει να αλλάζει διεύθυνση 14
ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ- ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Επιτάχυνση κυλιομένης σφαίρας: F ext Ma Μεταφορική I cm cm Περιστροφική F Mgsin f Ma (1) x fr I CM (2) ICM acm Επειδή: acm R,(2) f 2 R ICM acm g sin (1) Mg sin Ma 2 CM acm R ICM 1 Στην περίπτωση σφαίρας: 2 MR CM 5 2 a CM gsin ενώ f Mg sin 7 5 15
ΤΡΙΒΗ ΚΥΛΙΣΗΣ Στο προηγούμενο παράδειγμα είχαμε την περίπτωση (α) και ο τροχός και η επιφάνεια θεωρήθηκαν απολύτως στερεά: 1 ον ) Η δύναμη της τριβής δεν παράγει έργο (σημείο επαφής έχει ταχύτητα μηδέν). 2 ον ) η κάθετη δύναμη περνά από το κέντρο συνεπώς δεν δημιουργεί ροπή. Στα πραγματικά στερεά έχουμε παραμορφώσεις. Περίπτωση (β): 1 ον ) η κάθετη δύναμη δημιουργεί ροπή, τριβή κύλισης, που αντιτίθεται στη περιστροφή και 2 ον ) Η δύναμη της τριβής παράγει έργο. 16
ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Έστω μια εφαπτομενική δύναμη F tan που ασκείται σε σημείο της περιφέρειας περιστρεφόμενου δίσκου. Το έργο που παράγεται κατά την μετατόπιση κατά ds είναι: dw F ds, όμως ds Rd dw F Rd αλλά tan F R, συνεπώς: dw d tan Το έργο που παράγεται από την ροπή σε αντικείμενο που υφίσταται μια γωνιακή μετατόπιση από 1 στο 2 δίνεται από: Σημ.: Παρατηρείστε την ομοιομορφία των εκφράσεων έργου δύναμης (W=FS) και ροπής. W 2 d 1 Έργο ροπής Εάν η ροπή είναι σταθερή τότε το έργο δίνεται από: tan W ( ) ( 2 1 Έργο σταθερής ροπής 17
ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Θεώρημα Έργου Ενέργειας για την περιστροφική κίνηση: W tot 2 1 I d 1 I 2 2 1 2 2 I1 2 Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας στερεού ισούται με το έργο που παράγουν οι εφαρμοζόμενες εξωτερικές δυνάμεις στο σώμα. Ο ρυθμός παραγωγής ή κατανάλωσης έργου είναι η ισχύς P 18
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Ορισμός: Στροφορμή L σωματιδίου ως προς σημείο O είναι το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος θέσης r ως προς το σημείο O και της γραμμικής ορμής του σωματιδίου. L r p r m Στροφορμή Σωματιδίου Η στροφορμή εξαρτάται από την εκλογή του O, αφού εμπεριέχει το διάνυσμα θέσης ως προς την αρχή. Μονάδα στροφορμής: kg m 2 /s 19
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Η στροφορμή ενός σώματος ή συστήματος σωματιδίων ως προ άξονα θα είναι το διανυσματικό άθροισμα των στροφορμών όλων των σωματιδίων που το απαρτίζουν. Το i σωματίδιο κινείται σε κυκλική τροχιά κάθετη προς τον άξονα περιστροφής. Li ri pi rim i L L r p i i i i Πως εκφράζεται η στροφορμή ενός συστήματος σωματιδίων και κατ επέκταση ενός σώματος; Όπως στην περίπτωση της ορμής ας αρχίσουμε από το σύστημα CM και από το απλούστερο σύστημα 2 υλικών σημείων 20 i
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Μελετούμε σύστημα 2 υλικών r σημείων. Έκφραση της συνολικής CM 2 m 2 r στροφορμής τους ως προς 1 αδρανειακό παρατηρητή Ο, συναρτήσει της στροφορμής ως r r προς το CM. r c 2 c 1 Πρώτα σημειώνουμε τις Ο y σχέσεις των διανυσμάτων θέσης και ταχύτητας μεταξύ των 2 συστημάτων αναφοράς. m 1 r 2 2 1 x r 1 r1 rc, r2 r2 rc 1 1 c, 2 2 c m 11m 1 1m 1c, m 22m 2 2m 2c p pm, p p m 1 1 1 c 2 2 2 c 21
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ r CM 2 m r 2 1 m 1 r r 2 r c 2 c 1 x 1 Ο y L L1L2 r1 p1r2 p2 r ( pm ) r ( p m ) 1 1 1 c 2 2 2 Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι: L ( r p ) ( r p ) c 1 1 2 2 Spin ή εσωτερική στροφορμή Εκτελούμε τις πράξεις και έχουμε: L r 1 p1mr 1 1c r2 p2 m2r2 c ( r 1rc) p 1mr 1 1c ( r 2 rc) p 2 m2r2c ( r 1 p 1) ( rc p 1) ( r 2 p 2) ( rc p 2 ) mr 1 1c m2r2 c ( r p) ( r p) r ( p p) ( mr mr ) 1 1 2 2 c 1 2 11 2 2 c c 22
x CM Ο ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΥΣΤΥΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Μ=m 1 +m 2 c r c P M Στροφορμή συστήματος ως προς c y c Παρατηρούμε ότι: r ( p p) 0 c 1 2 Οπότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: L L r M c c c L L r P c c c σημείο ισούται με την στροφορμή του συστήματος ως προς το CM συν τη στροφορμή ενός σώματος ως προς το σημείο που βρίσκεται στο CM με μάζα αυτή του συστήματος και με ταχύτητα την ταχύτητα του CM. 23
ΣΧΕΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΡΟΠΗΣ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟΥ Για σωματίδιο που υπό την επίδραση συνολικής δύναμης F dl d ( r p ) dr dp p r ( p) ( r p) dt dt dt dt όμως ο όρος p m 0. Συνεπώς: dl dt rma rf dl dt εύτερος νόμος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής L ενός σωματιδίου ισούται με την ροπή της συνολικής δύναμης που δρα επάνω του 24
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από τον Z-άξονα με γωνιακή ταχύτητα Θεωρούμε λεπτό επίπεδο φύλλο που βρίσκεται στο XY επίπεδο. Κάθε σωματίδιο του φύλου κινείται σε κύκλο με κέντρο το στην αρχή O, και η ταχύτητα του v i είναι κάθε στιγμή στο διάνυσμα θέσης r i r Οπότε, =90, και η ταχύτητα του σωματιδίου είναι i Το διάνυσμα της στροφορμής L i υπολογίζεται από το τριπλό εξωτερικό γινόμενο: L r m mr ( r) i i i i i i i i 25
Υπολογισμός L i ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Θεωρούμε το σύστημα αναφορά του σχήματος. L r m mr ( r ), r ( x, y,0), (0,0, 0 ) i i i i i i i i i i iˆ ˆj kˆ ( r ) 0 0 iy jx i i i xi yi 0 iˆ ˆ j kˆ mr( r) m x y 0 m( x y ) kˆm r kˆ 2 2 2 i i i i i i i i i i i y i x i 0 Η ολική στροφορμή του φύλλου είναι το άθροισμα των L i των σωματιδίων: 2 i i i L L mr I 26
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Προεκτείνουμε τη συζήτηση και για σημεία εκτός του επιπέδου XY, τα διανύσματα θέσης έχουν και Z συνιστώσα. L r m mr ( r), r ( x, y, ), (0,0, ) i i i i i i i i i i i iˆ ˆj kˆ ( r) 0 0 iy jx i i i x y i i i iˆ ˆj kˆ mr i i ( ri) mi xi yi i y x 0 2 2 m ( ix ˆ ˆjy ) m ( x y ) k ˆ i i i i i i i Για σώμα που ο Z-άξονας είναι άξονας συμμετρίας τότε ο πρώτος όρος έχει και τον αντίθετο του και αθροίζετε στο μηδέν οπότε: i i L I Στροφορμή στερεού για περιστροφή γύρω από άξονα συμμετρίας 2 2 ˆ 2 2 L ( m ( ix ˆ ˆjy ) m ( x y ) k) m ( x y ) k ˆ ) I i i i i i i i i i i i 27
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 28
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ Για κάθε σύστημα σωματιδίων (στερεού ή μη), ο ρυθμός μεταβολής της συνολικής στροφορμής ισούται με το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που ενεργούν σε όλα τα σωματίδια. Οι ροπές των εσωτερικών δυνάμεων αλληλοαναιρούνται λ εάν αυτές οι δυνάμεις δρουν πάνω στις γραμμές που ενώνουν ανά δυο τα σωματίδια, συνεπώς το άθροισμα περιλαμβάνει μόνο τις ροπές των εξωτερικών δυνάμεων: dl dt Για κάθε σύστημα σωματιδίων Εάν το σύστημα των σωματιδίων είναι στερεό σώμα περιστρεφόμενο γύρω από άξονα συμμετρίας (άξονας-z), τότε L =I και το I είναι σταθερό. Εάν ο άξονας είναι σταθερός στο χώρο, τότε τα διανύσματα L και αλλάζουν μόνο κατά μέτρο, όχι κατά διεύθυνση. dl dt Id dt I Εάν το σώμα δεν είναι στερεό, η ροπή αδράνειας I μπορεί να αλλάζει, οπότε το L αλλάζει ακόμη και αν το είναι σταθερό. 29
ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ Εάν ο άξονας περιστροφής δεν είναι άξονας συμμετρίας του σώματος η στροφορμή L, δεν έχει γενικά την διεύθυνση του άξονα περιστροφής. Ακόμη και αν το είναι σταθερό, η διεύθυνση της L αλλάζει και για αυτό απαιτείται ροπή για να διατηρηθεί η περιστροφή. Εάν ο τροχός αυτοκινήτου δεν είναι ζυγοσταθμισμένος, αυτή η ροπή παρέχεται από την τριβή στο ρουλεμάν, η οποία προκαλεί την σταδιακή φθορά τους. Ζυγοστάθμιση τροχού σημαίνει κατανομή της μάζας ώστε ο άξονας περιστροφής να συμπέσει με άξονα συμμετρίας, τότε η L κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα περιστροφής, και δεν απαιτείται ροπή για διατηρεί την περιστροφή του τροχού. 30
ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Όταν η συνολική εξωτερική ροπή που ενεργεί σε σύστημα είναι μηδέν τότε: Η ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΕΊΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ ( ΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ) dl 0, L. dt Αρχή ιατήρησης Στροφορµής Αυτή η αρχή είναι ένας ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΣ ΝΟΜΟΣ διατήρησης, ΙΣΧΥΕΙ για ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΚΛΙΜΑΚΕΣ από την πυρηνική την ατομική ως την γαλαξιακή κλίμακα: Υποθέστε ότι κάποιος περιστρέφεται ως προς κατακόρυφο άξονα συμμετρίας που περνά από το CM του ενώ έχει σε έκταση τα χέρια του με γωνιακή ταχύτητα ω 1. Η ροπή αδράνειας του σε αυτή την στάση είναι I 1 κάποια στιγμή συμπτύσσει τα χέρια οπότε μικραίνει η ροπή αδράνειας σε I 2. Εξωτερική δύναμη μόνο το βάρος που δεν παράγει ροπή: I1 2 L I 11 I 2 2 I 2 1 31
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Young et. al. 10.39, 10.80, 10.82, 10.83, 10.87, 10.94, 10.100 100 32