Νοεροί υπολογισμοί με ρητούς: έχει σημασία η βαθμίδα εκπαίδευσης;

Νοεροί υπολογισμοί με ρητούς: έχει σημασία η βαθμίδα εκπαίδευσης; Ιωάννης Παπαδόπουλος 1, Μιχαήλ Καρακώστας 2 και Στυλιανή Παναγιωτοπούλου 3 1, 2, 3 Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, ΑΠΘ, 1 ypapadop@eled.auth.gr, 2 kmichait@eled.auth.gr, 3 sepanagio@eled.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτοί μαθητές της Πρωτοβάθμιας (Στ Δημοτικού) και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης (μαθητές Λυκείου) όπως επίσης και φοιτητές της Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης (φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης (ΠΤΔΕ), Μαθηματικού Τμήματος και Πολυτεχνείου) καλούνται να εκτελέσουν νοερούς υπολογισμούς που εμπλέκουν ρητούς αριθμούς. Αυτό που κυρίως εξετάζεται είναι η προσέγγιση στην οποία ανατρέχουν προκειμένου να υπολογίσουν το εξαγόμενο και κατά πόσο αυτή η επιλογή διαφοροποιείται κατά μήκος των βαθμίδων. Τα δεδομένα της έρευνας δείχνουν την κυριαρχία της χρήσης του αλγόριθμου ανεξαρτήτως βαθμίδας εκπαίδευσης όπως επίσης και το πολύ μικρός εύρος στο πλήθος των χρησιμοποιούμενων προσεγγίσεων. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ: νοεροί υπολογισμοί, ρητοί, αλγόριθμος, στρατηγικές υπολογισμού ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι νοεροί υπολογισμοί στις αριθμητικές παραστάσεις αναφέρονται στη διαδικασία υπολογισμού ενός ακριβούς αριθμητικού αποτελέσματος χωρίς τη χρήση εξωτερικών συσκευών υπολογισμού και καταγραφής και συνήθως απαιτούν νοερές στρατηγικές. Ήδη από το 1924 ο Καραθεοδωρή σε ομιλία του στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία επισημαίνει τη σπουδαιότητά τους και τονίζει πόσο σημαντικό είναι να μπορεί ο μαθητής «ἵνα λογαριάζη ἀπό μνήμης καί ὄχι νά γράφῃ ἁπλᾶς ἀφαιρέσεις ή πολλαπλασιασμούς». Στο χώρο της έρευνας των νοερών υπολογισμών, σημαντικό κομμάτι που έχει απασχολήσει πολλούς ερευνητές, αποτελεί η προσπάθεια καταγραφής των στρατηγικών υπολογισμού καθώς και η κατηγοριοποίησή τους. Το μεγαλύτερο μέρος των ερευνών αυτών επικεντρώνεται στους νοερούς υπολογισμούς που εμπλέκουν φυσικούς αριθμούς στις τέσσερις βασικές πράξεις. Πλέον όμως υπάρχει εκδηλωμένο ενδιαφέρον τόσο στις πράξεις όσο και στη σύγκριση ρητών/δεκαδικών αριθμών. Σε αυτό το πλαίσιο, η συγκεκριμένη έρευνα εστιάζει στις στρατηγικές που χρησιμοποιούν διαφορετικοί ηλικιακά πληθυσμοί για να επιτελέσουν νοερά υπολογισμούς που εμπλέκουν ρητούς 335

αριθμούς. Πιο συγκεκριμένα, τα ερευνητικά ερωτήματα που προσπαθεί να απαντήσει η εργασία αυτή είναι: Ποιο είναι το εύρος των στρατηγικών που χρησιμοποιούνται από τους λύτες όταν αυτοί έρχονται αντιμέτωποι με τον υπολογισμό μίας πράξης ανάμεσα σε ρητούς ή σε έναν φυσικό και έναν ρητό αριθμό; Πώς κατανέμονται αριθμητικά οι στρατηγικές αυτές στο σύνολο του πληθυσμού και πώς διαφοροποιούνται ανάμεσα στους διαφορετικούς πληθυσμούς της έρευνας; ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Η Cathy Seeley (2005), Πρόεδρος του NCTM για την περίοδο 2004 2006, καλεί την εκπαιδευτική κοινότητα να αντιληφθεί τη σπουδαιότητα της ικανότητας εκτέλεσης νοερών υπολογισμών γράφοντας ένα άρθρο στο οποίο έδωσε τον τίτλο Do the Math in Your Head!. Τη σπουδαιότητα αυτή την συσχετίζει όχι μόνο με την ικανότητα να εκτελούν οι μαθητές γρήγορα τους υπολογισμούς αλλά μέσα από μια ευρύτερη προοπτική υποστηρίζει ότι αυτή η ικανότητα εμπλέκει εννοιολογική κατανόηση και ικανότητα στην επίλυση προβλήματος. Επίσης, οι νοεροί υπολογισμοί αποτελούν ένα μέσο υπολογισμού επίκαιρο και χρηστικό, καθώς χρησιμοποιούνται από όλους σε καθημερινή βάση, ως άμεσος και γρήγορος τρόπος υπολογισμού. Έρευνες δείχνουν ότι πάνω από τα τρία τέταρτα των πράξεων που εκτελούν στην καθημερινή τους ζωή οι άνθρωποι βασίζονται σε νοερούς υπολογισμούς (McIntosh, 2006). Επιπλέον, προάγουν τη δημιουργική και ανεξάρτητη σκέψη, αναπτύσσουν την ουσιαστική αίσθηση του αριθμού, αποτελούν τη βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας της εκτίμησης και οδηγούν πιο φυσικά από τις άτυπες γραπτές μεθόδους υπολογισμών προς τη χρήση αλγορίθμων (Thompson, 2010). Όπως έχει ήδη αναφερθεί η μεγάλη πλειοψηφία των ερευνητικών εργασιών είναι επικεντρωμένη στους υπολογισμούς με φυσικούς αριθμούς όπου έχουν καταγραφεί ένα μεγάλο πλήθος διαφορετικών στρατηγικών που χρησιμοποιούνται για τις τέσσερις πράξεις. Αντίθετα, η σχετική με τους ρητούς βιβλιογραφία, ως περισσότερο πρόσφατη, είναι περιορισμένη. Μια συστηματική καταγραφή των σχετικών στρατηγικών για κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά που έγινε από τους Caney και Watson (2003) και αφορά μαθητές των δυο πρώτων βαθμίδων εκπαίδευσης έδειξε ότι πολλές από τις στρατηγικές που χρησιμοποιούνται για τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς, χρησιμοποιούνται και στους ρητούς. Αυτές οι στρατηγικές κατηγοριοποιήθηκαν σε εργαλειακές (instrumental) και εννοιολογικές (conceptual). Οι πρώτες περιλαμβάνουν στρατηγικές βασισμένες σε κάποιο κανόνα και ακολουθούνται μηχανιστικά χωρίς να απαιτούν κατανόηση. Σε αντίθεση, οι δεύτερες που συνήθως είναι δημιουργήματα του λύτη, απαιτούν κατανόηση. Σε περίπτωση, τέλος, που ένας μαθητής χρησιμοποιεί έναν κανόνα τον οποίο όμως κατανοεί, οι δυο ερευνητές μιλούν για μικτή στρατηγική (mixed strategy). Οι Caney και Watson (2003) παρουσιάζουν μια λεπτομερή καταγραφή των διαφόρων στρατηγικών. Οι μαθητές προκειμένου να βρουν το αποτέλεσμα αλλάζουν πράξη (από διαίρεση σε πολλαπλασιασμό ή από αφαίρεση σε πρόσθεση) και μετατρέπουν την αναπαράσταση των αριθμών (από κλάσμα σε δεκαδικό και αντίστροφα, ή από ποσοστό σε κλάσμα). Επιπλέον κάνουν χρήση ισοδύναμων κλασμάτων, νοερών εικόνων, 336

γνωστών αριθμητικών δεδομένων (πχ προπαίδεια), επαναλαμβανόμενης πράξης (πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, διπλασιασμού ή διαίρεσης διά 2), και χρησιμοποιούν τον πλησιέστερο φυσικό. Τέλος κάνουν χρήση των μερών του δεύτερου αριθμού (με βάση είτε την αξία θέσης είτε με την εύρεση δυο προσθετέων που δίνουν τον αριθμό αυτό, πχ στη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας), υπολογίζουν από αριστερά/δεξιά, εκτελούν νοερά τον γραπτό αλγόριθμο, και κάνουν χρήση ενός κανόνα που έχουν απομνημονεύσει. Οι Lemonidis και Kaiafa (2014) δουλεύοντας με μαθητές της Ε και Στ Δημοτικού προτείνουν μια κατηγοριοποίηση των στρατηγικών σε στρατηγικές βασισμένες στην αίσθηση του αριθμού και σε στρατηγικές βασισμένες σε κάποιον κανόνα (διαχωρισμός όμως αντίστοιχος με αυτόν των Caney και Watson που αναφέρθηκε πιο πριν). Οι Carvalho και da Ponte (2017) εξέτασαν τους νοερούς υπολογισμούς μαθητών Στ Δημοτικού με κλάσματα, δεκαδικούς και ποσοστά και κατέληξαν σε δυο βασικά ευρήματα. Από τη μια, ότι οι μαθητές σε σχέση με τα κλάσματα κυρίως έκαναν χρήση της μετατροπής της αναπαράστασης των αριθμών, ή όπου βόλευε έκαναν χρήση σχέσεων που φαινόταν να υπάρχουν μεταξύ των αριθμητικών παραστάσεων και των ιδιοτήτων των πράξεων. Από την άλλη, η ανάλυση των δεδομένων έδειξε ότι οι μαθητές έκαναν χρήση απεικονιστικών αναπαραστάσεων όπως μοντέλα ή εικόνες και περιγραφικών αναπαραστάσεων όπως οι αναλογικές αναπαραστάσεις (συμπεράσματα για τον πραγματικό κόσμο που αναπαρίστανται με νοερά μοντέλα, πχ η χρήση νομισμάτων, του ρολογιού και της ώρας). Τέλος, αξίζει να αναφερθεί ότι τα λάθη που παρατηρούνται σε νοερούς υπολογισμούς με ρητούς μπορεί να είναι δυο ειδών (McIntosh, 2006). Το πρώτο είδος αφορά λάθη διαδικαστικού τύπου (procedural errors) που αναφέρονται σε απλές πράξεις με τους φυσικούς που σχηματίζουν τα κλάσματα (πράξεις μεταξύ των όρων των διαφόρων κλασμάτων). Πρόκειται κυρίως για λάθη απροσεξίας ή εσφαλμένα βήματα εκτέλεσης μιας στρατηγικής παρ όλο που οι μαθητές έχουν επίγνωση του τι πρέπει να κάνουν (πχ σε έναν πολλαπλασιασμό κλασμάτων, πολλαπλασιάζουν τους αριθμητές αλλά το εξαγόμενο του πολλαπλασιασμού δεν είναι σωστό, 6x7=48). Το δεύτερο είδος αφορά λάθη εννοιολογικού τύπου (conceptual errors) που σχετίζονται με περιορισμένη κατανόηση της φύσης των αριθμών που εμπλέκονται (ρητοί) ή των πράξεων που καλούνται να εκτελέσουν. Σε αυτό το πλαίσιο η εργασία αυτή εξετάζει περισσότερο τις στρατηγικές (και λιγότερο τα λάθη παρ όλο που και αυτά έχουν καταγραφεί) που χρησιμοποιούν μαθητές Δημοτικού, Λυκείου, και φοιτητές Παιδαγωγικού, Μαθηματικού και Πολυτεχνείου, όταν έχουν να κάνουν ακριβώς τους ίδιους νοερούς υπολογισμούς που εμπλέκουν μόνο κλάσματα. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Συνολικά συμμετείχαν στην έρευνα 296 άτομα και από τις τρεις βαθμίδες εκπαίδευσης. Πιο συγκεκριμένα συμμετείχαν 79 μαθητές της Στ Δημοτικού από τρία σχολεία της Θεσσαλονίκης και ένα των Μεγάρων Αττικής, 97 μαθητές όλων των τάξεων του Λυκείου από ένα σχολείο του νομού Σερρών (με τους μαθητές Β και Γ Λυκείου να έχουν επιλέξει θετική κατεύθυνση ή την κατεύθυνση των Οικονομικών), και 120 φοιτητές από τους 337

οποίους οι 63 είναι φοιτητές του ΠΤΔΕ του ΑΠΘ και οι 57 φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος και του Πολυτεχνείου του ΑΠΘ. Οι δραστηριότητες ήταν οι ίδιες για όλους τους συμμετέχοντες όπως επίσης ίδια ήταν και η ερευνητική διαδικασία που ακολουθήθηκε για κάθε ομάδα. Σύντομη παρουσίαση των δραστηριοτήτων Στους συμμετέχοντες ζητήθηκε να υπολογίσουν νοερά το αποτέλεσμα 11 παραστάσεων οι οποίες περιείχαν στο σύνολό τους και τις τέσσερις πράξεις, είχαν οργανωθεί σε μια σειρά με προοδευτικά υψηλότερες απαιτήσεις, και είχαν σχεδιαστεί με γνώμονα το να μπορούν να υπολογιστούν τα εξαγόμενα με περισσότερους του ενός τρόπους έτσι ώστε να δίνεται μια δυνατότητα έκφρασης στον κάθε λύτη ανάλογα με τις ικανότητές του. Στη συγκεκριμένη εργασία και για λόγους οικονομίας θα παρουσιαστούν δυο μόνο από τις δραστηριότητες. Η επιλογή των συγκεκριμένων έγινε στη βάση του ότι οι απαντήσεις που συλλέχθηκαν μας δίνουν μια πλήρη συλλογή των διαφορετικών στρατηγικών που εντοπίστηκαν στο σύνολο των απαντήσεων. Εικόνα 1: Υπολογίστε νοερά το αποτέλεσμα Στην πρώτη δραστηριότητα ο λύτης μπορεί να αξιοποιήσει την ιδέα ότι στην ουσία προσθέτει δυο μισά και άρα παίρνει τη μονάδα, μπορεί να δει τα κλάσματα ως αναπαραστάσεις του 0,5, να κάνει χρήση ισοδύναμων κλασμάτων για να δει το 4/8 ως 1/2, να κάνει χρήση μιας νοερής εικόνα όπου να αναπαριστά εξεικονιστικά τα συγκεκριμένα κλάσματα προκειμένου να αντιληφθεί ότι μαζί σχηματίζουν μια πλήρη μονάδα, ή να κάνει χρήση του αλγόριθμου (ΕΚΠ παρονομαστών, ομώνυμα κλάσματα). Στη δεύτερη δραστηριότητα, όπου έχουμε την περίπτωση πολλαπλασιασμού ενός μεικτού αριθμού με έναν φυσικό, ο λύτης μπορεί να δει από την πρώτη στιγμή ότι έχει να υπολογίσει το διπλάσιο του τρεισήμισι, ή να κάνει χρήση μετατροπής της αναπαράστασης από κλάσμα σε δεκαδικό (3,5 x 2), ή να κάνει χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας (3 x 2) + (4/8 x 2), ή τέλος να κάνει χρήση του αλγορίθμου (μετατροπή του μεικτού σε κλάσμα, πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό). Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων Για τη συλλογή των δεδομένων πραγματοποιήθηκαν ατομικές συνεντεύξεις όπου το κάθε άτομο καλούνταν να λύσει όλες τις δραστηριότητες με συγκεκριμένη σειρά, μία προς μία. Οι δραστηριότητες αυτές που ήταν τυπωμένες σε μία καρτέλα η καθεμία, παρουσιάζονταν διαδοχικά στα άτομα χωρίς να τους δίνεται η δυνατότητα γραπτών υπολογισμών ή σημειώσεων, αφού όλοι οι υπολογισμοί έπρεπε να γίνουν νοερά. Τους ζητήθηκε να «σκέφτονται φωναχτά» (think aloud) ώστε να διαφαίνονται οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν, ενώ ξεκαθαρίστηκε ότι ήταν στην ευχέρειά τους να προσπεράσουν όποια δραστηριότητα θεωρούσαν ότι δεν ήταν σε θέση να απαντήσουν. Οι ερευνητές δεν παρείχαν κανενός τύπου βοήθεια ή υπόδειξη σχετικά με την ορθότητα των απαντήσεων. Η μόνη περίπτωση που δόθηκε επεξήγηση ήταν των μεικτών αριθμών και αυτό διότι η 338

έννοια του μεικτού αριθμού συναντάται κυρίως στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα οι μαθητές Λυκείου και οι φοιτητές να συγχέουν τη γραφή του μεικτού αριθμού με την αλγεβρική ανάλογη περίπτωση όπου η διαδοχή συμβόλων όπως το 2x αναπαριστά το γινόμενο του 2 με το x (το διπλάσιο του x). Όλες οι συνεντεύξεις ηχογραφήθηκαν, στη συνέχεια ακολούθησε η απομαγνητοφώνησή τους (transcription of data) και τα απομαγνητοφωνημένα πρωτόκολλα αποτέλεσαν τα δεδομένα της έρευνας. Η (ποιοτική) ανάλυση των πρωτοκόλλων έγινε σε δύο επίπεδα. Σε ένα πρώτο επίπεδο έγινε ομαδοποίηση ανάλογα με το αν η απάντηση ήταν ορθή, λανθασμένη, αναπάντητη ή μη κωδικοποιήσιμη. Σε ένα δεύτερο επίπεδο, κατηγοριοποιήθηκαν οι ορθές απαντήσεις με βάση το πλαίσιο στρατηγικών των Caney & Watson (2003) το οποίο εμπλουτίστηκε σε κάποιες περιπτώσεις με στρατηγικές που εντοπίστηκαν σε αυτήν την έρευνα αλλά δεν περιλαμβάνονταν στο παραπάνω πλαίσιο. Για την αξιοπιστία της ανάλυσης, δύο μέλη της ερευνητικής ομάδας κατηγοριοποίησαν ο καθένας μόνος του το ίδιο σύνολο τυχαίων πρωτοκόλλων. Στη συνέχεια συνέκριναν τις δύο κατηγοριοποιήσεις και συζήτησαν τις τυχόν αποκλίσεις. Σε περιπτώσεις όπου υπήρχε κάποια αμφιβολία ακολουθούσε συζήτηση και συνεννόηση όλων των μελών της ερευνητικής ομάδας. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Δραστηριότητα 1: 1/2 +4/8 Στη συγκεκριμένη δραστηριότητα εντοπίστηκαν τέσσερις στρατηγικές επιτυχούς υπολογισμού. Η μετατροπή της συμβολικής αναπαράστασης, η χρήση ισοδύναμων κλασμάτων, η χρήση νοερής εικόνας, και η χρήση του αλγόριθμου (Η κατανομή των συνολικών απαντήσεων ανά στρατηγική παρουσιάζεται στον Πίνακας 1 ενώ η κατανομή των συμμετεχόντων ανά στρατηγική στον Πίνακα 2). Πίνακας 1: Αριθμός συνολικών απαντήσεων ανά στρατηγική Δραστ. 1 Στρατηγική Αριθ. Συνολ. Απαν. (296) Μετατροπή Συμβολικής Αναπαράστασης 4 Χρήση Ισοδύναμων Κλασμάτων 44 Χρήση Νοερής Εικόνας 1 Χρήση Αλγορίθμου 145 Λάθος 87 Χωρίς Απάντηση 15 Non codable 0 339

Πίνακας 2: Κατανομή συμμετεχόντων ανά στρατηγική Δραστ. 1 ΦΠαιδ ΦΘετ Στρατηγική (63) (57) ΜΔημ (79) Μετατροπή Συμβολικής Αναπαράστασης 0 4 0 0 Χρήση Ισοδύναμων Κλασμάτων 17 23 1 3 Χρήση Νοερής Εικόνας 1 0 0 0 ΜΛυκ (97) Χρήση Αλγορίθμου 39 28 37 41 Λάθος 3 2 38 44 Χωρίς Απάντηση 3 0 3 9 Non codable 0 0 0 0 Από τον Πίνακα 1 γίνεται φανερό ότι κυρίαρχη στρατηγική είναι αυτή της χρήσης αλγορίθμου (145 από 296, περίπου 49%), όπου οι λύτες σκέφτηκαν να κάνουν τα δύο κλάσματα ομώνυμα και στη συνέχεια να προχωρήσουν στην πρόσθεση (4/8+4/8=8/8 ή 8/16+8/16=16/16). Η επόμενη μεγαλύτερη συχνότητα είναι αυτή των λανθασμένων απαντήσεων, που εμφανίζονται περισσότερο στους μαθητές Λυκείου και Δημοτικού, με συνηθέστερο λάθος την πρόσθεση των αριθμητών και παρονομαστών μεταξύ τους (1/2+4/8=5/10). Αντίθετα στη χρήση ισοδύναμων κλασμάτων παρατηρείται μεγαλύτερη συγκέντρωση στις δυο κατηγορίες φοιτητών (από τις 44 σχετικές απαντήσεις, οι 40 ανήκουν σε φοιτητές οι οποίοι πήραν ως ισοδύναμο του 4/8 το κλάσμα 1/2 και στη συνέχεια πρόσθεσαν 1/2+1/2=1). Μόνο 4 φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος και του Πολυτεχνείου μπόρεσαν να δουν ότι πρόκειται για άθροισμα δύο μισών και προτίμησαν να μετατρέψουν την κλασματική μορφή των αριθμών σε δεκαδική κάνοντας την πρόσθεση 0,5+0,5. Τέλος, μόλις ένας φοιτητής του ΠΤΔΕ έκανε χρήση νοερής εικόνας, δηλαδή φαντάστηκε τα δύο κλάσματα ως μέρη ενός κύκλου που όταν τα πάρει μαζί σχηματίζουν ολόκληρο κύκλο. Σύμφωνα με τον Πίνακα 2 περισσότεροι από τους μισούς φοιτητές του ΠΤΔΕ (περίπου 62%) βασίστηκαν στη χρήση του αλγορίθμου, μόλις 1 στους 4 (κατά προσέγγιση) έκανε χρήση ισοδύναμων κλασμάτων, και ένας χρησιμοποίησε τη στρατηγική της νοερής εικόνας. Στους φοιτητές του Μαθηματικού Τμήματος και του Πολυτεχνείου το ποσοστό χρήσης του αλγορίθμου εμφανίζεται μειωμένο σε σχέση με αυτό των φοιτητών του ΠΤΔΕ (49% κάνουν χρήση του) και δίνει τη θέση του στη χρήση ισοδύναμων κλασμάτων (περίπου 4 στους 10). Λιγότεροι από 1 στους 10 (7%) προτίμησε να κάνει χρήση της μετατροπής της συμβολικής αναπαράστασης, μία στρατηγική η οποία εμφανίζεται μόνο στη συγκεκριμένη ομάδα. Όλοι οι συμμετέχοντες δίνουν κάποια απάντηση, και μόλις το 3.5% απαντάει λανθασμένα. Οι μαθητές Δημοτικού εμφανίζονται να επιλέγουν -κατά παρόμοιο τρόπο με τους φοιτητές Μαθηματικού Τμήματος και του Πολυτεχνείου- τη χρήση αλγορίθμου (περίπου οι μισοί), όμως αυτό που εμφανίζεται δραματικά αυξημένο είναι ο όγκος των λανθασμένων απαντήσεων. Ουσιαστικά η εικόνα 340

που δίνουν οι μαθητές του Δημοτικού είναι ότι -σε γενικές γραμμές- οι μισοί κάνουν χρήση αλγορίθμου και οι υπόλοιποι μισοί απαντούν λανθασμένα. Παρόμοια είναι η εικόνα και στους μαθητές Λυκείου. Αυτό που κυριαρχεί στη συγκεκριμένη ομάδα και για τη συγκεκριμένη δραστηριότητα είναι οι λανθασμένες απαντήσεις (λίγο πιο κάτω από τους μισούς) και ακολουθεί ο αλγόριθμος (4 στους 10). Συνολικά το ποσοστό της χρήσης αλγορίθμου φαίνεται να μένει σταθερά υψηλό (και σχεδόν παρόμοιο) σε όλες τις ομάδες. Το ποσοστό της χρήσης ισοδύναμων κλασμάτων εμφανίζεται στις δύο ομάδες φοιτητών αλλά όχι στις ομάδες των μαθητών. Εκεί, τη θέση του φαίνεται να καταλαμβάνει το αυξημένο ποσοστό των λαθών. Φαίνεται να υπάρχει μια ομοιότητα μεταξύ των δύο ομάδων φοιτητών όπως επίσης και μεταξύ των δύο ομάδων των μαθητών. Αυτό που εντυπωσιάζει είναι η αδυναμία να δουν οι συμμετέχοντες στο μεγαλύτερο μέρος τους το προφανές, ότι δηλαδή αυτό που ουσιαστικά ζητείται είναι το άθροισμα «μισό + μισό» ώστε αυθόρμητα και χωρίς καθυστέρηση να δώσουν το «ένα» ως απάντηση. Χωρίς αυτό να σημαίνει ότι δεν είναι σε θέση να το αναγνωρίσουν, εν τούτοις αυτό στο οποίο φαίνεται κυρίως και αυθόρμητα να ανατρέχουν είναι ο αλγόριθμος ακόμη και σε περιπτώσεις σαν και αυτή που δε είναι ανάγκη κάποιος να τον επικαλεστεί. Δραστηριότητα 2η: Στη συγκεκριμένη δραστηριότητα εντοπίστηκαν 5 στρατηγικές: Η μετατροπή συμβολικής αναπαράστασης, η χρήση ισοδύναμων κλασμάτων, η χρήση μερών του αριθμού, η χρήση του αλγόριθμο και η απλοποίηση (Πίνακες 3 και 4). Πίνακας 3: Αριθμός συνολικών απαντήσεων ανά στρατηγική Δραστ. 2 Στρατηγική Αριθμ. Συνολ. Απαν.(296) Μετατροπή Συμβολικής Αναπαράστασης 15 Χρήση Ισοδύναμων Κλασμάτων 2 Χρήση Μερών του Αριθμού 7 Χρήση Αλγορίθμου 97 Απλοποίηση 6 Λάθος 92 Χωρίς Απάντηση 74 Non codable 3 341

Πίνακας 4: Κατανομή συμμετεχόντων ανά στρατηγική Δραστ. 2 ΦΠαιδ ΦΘετ ΜΔημ Στρατηγική (63) (57) (79) Μετατροπή Συμβολικής Aναπαράστασης ΜΛυκ (97) 6 8 0 1 Χρήση Ισοδύναμων Κλασμάτων 1 1 0 0 Χρήση Μερών του Αριθμού 4 2 0 1 Χρήση Αλγορίθμου 18 25 36 18 Απλοποίηση 1 5 0 0 Λάθος 22 10 26 34 Χωρίς Απάντηση 11 5 17 41 Non Codable 0 1 0 2 Και εδώ (Πίνακας 3) είναι εμφανής η συνολική υπεροχή της χρήσης του αλγορίθμου (33%), όπου ο ένας στους τρεις επέλεξε να μετατρέψει το μεικτό αριθμό σε κλάσμα, ακολουθώντας όλα τα βήματα που υποδεικνύει ο αλγόριθμος. Ωστόσο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι το ποσοστό των λανθασμένων απαντήσεων είναι εφάμιλλο του αλγορίθμου (περίπου 31%) καταμερισμένο σχεδόν ομοιόμορφα σε όλες τις ηλικιακές ομάδες. Ένα από τα πιο συνηθισμένα λάθη ήταν:. Ένα πολύ μικρό ποσοστό, της τάξης του 5%, ήταν σε θέση να δει ότι αυτό που στην ουσία ζητούνταν ήταν το διπλάσιο του 3,5. Οι συγκεκριμένοι συμμετέχοντες έφτασαν σε αυτό κάνοντας χρήση της μετατροπής της συμβολικής αναπαράστασης του κλάσματος σε δεκαδικό. Σε πολύ μικρό ποσοστό επίσης εμφανίζεται (α) η χρήση των μερών του αριθμού (2,3%) όπου ο υπολογισμός βασίστηκε στην επιμεριστική ιδιότητα,, και (β) η ρητή αναφορά στη διαδικασία απλοποίησης του κλάσματος όταν στο γινόμενο, το 8 και το 2 διαιρούνται με το 2. Τέλος, ένας στους τέσσερις (25%) δεν μπόρεσε να δώσει καμία απάντηση. To 33% της χρήσης του αλγόριθμου δεν κατανέμεται ομοιόμορφα στις 4 ομάδες. Εμφανίζεται υψηλότερο στους μαθητές Δημοτικού (45,5%) και στους φοιτητές Μαθηματικού Τμήματος και Πολυτεχνείου (43,8%, που όμως δεν έχουν συνηθίσει σε αυτόν τον τρόπο γραφής του μικτού) και είναι πολύ μειωμένο στους μαθητές Λυκείου (18,5% - όχι όμως επειδή χρησιμοποιούν κάτι άλλο αλλά γιατί το 42% από αυτούς δεν απάντησε καθόλου και το 35% έδωσε λανθασμένη απάντηση). Γενικά, πλην των φοιτητών Μαθηματικού Τμήματος και Πολυτεχνείου (περίπου 1 στους 5) σε όλες τις άλλες ομάδες περίπου 1 στους 3 δεν ήταν σε θέση να κάνει σωστά τον υπολογισμό, με το μεγαλύτερο ποσοστό να εμφανίζουν οι μαθητές Λυκείου (35%). Η μετατροπή σε 342

δεκαδικό περιορίζεται στις ηλικιακές ομάδες των φοιτητών (μόλις ένας μαθητής Λυκείου και κανένας Δημοτικού). Παρόμοια είναι η εικόνα και για τη χρήση των μερών του αριθμού (6 φοιτητές και ένας μαθητής Λυκείου). Η χρήση ισοδυνάμων και η απλοποίηση εμφανίζονται ελάχιστα και μόνο από φοιτητές. Γενικά, θα μπορούσαμε να πούμε (α) ότι η συγκεκριμένη δραστηριότητα δυσκόλεψε τους λύτες αφού πάνω από τους μισούς δεν κατάφεραν να δώσουν μια ικανοποιητική απάντηση (57%, αναπάντητες και λανθασμένες) και (β) ότι κι εδώ ο μεγάλος νικητής είναι ο αλγόριθμος. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η αδυναμία των συμμετεχόντων να δουν ότι αυτό που στην ουσία ζητείται είναι το διπλάσιο του 3,5. ΣΥΖΗΤΗΣΗ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αξίζει στο σημείο αυτό να δούμε (Πίνακας 5) συνοπτικά την επίδοση των μαθητών/φοιτητών συνολικά στο σύνολο των δραστηριοτήτων. Πίνακας 5: Κατανομή στρατηγικών στο σύνολο του πληθυσμού Στρατηγική Ποσοστό Στρατηγική Ποσοστό Μετατρ. Συμβ. παράστ 1,71% Αλγόριθμος 43,18% Ισοδύναμα Κλάσματα. 1,81% Απλοποίηση 4,88% Γνωστά δεδομένα 1,32% Λάθος 27,85% Χρήση μερών αριθμού 1% Χωρίς απάντηση 15,93% Νοερή εικόνα 1% Non codable 1,32% Ο πίνακας κάνει προφανή την κυρίαρχη παρουσία του αλγορίθμου σε σχέση με τις υπόλοιπες στρατηγικές. Επίσης αξιοσημείωτο είναι ότι το πλήθος των αναπάντητων δραστηριοτήτων μαζί με τις λανθασμένες απαντήσεις και τις μη κωδικοποιήσιμες ξεπερνούν το ποσοστό της χρήσης του αλγορίθμου (45,1%). Έτσι οι δυο αυτές γενικές κατηγορίες αντιπροσωπεύουν στην ουσία τους 9 από τους 10 συμμετέχοντες (άθροισμα ποσοστών: 88,28%). Προφανώς δεν έχουν όλες οι παραπάνω στρατηγικές την ίδια συχνότητα εμφάνισης σε κάθε ομάδα του πληθυσμού. Παρά όμως τις όποιες αριθμητικές διαφορές, η εντυπωσιακά μεγαλύτερη συχνότητα της στρατηγικής του αλγορίθμου σε σχέση με τις υπόλοιπες, ισχύει σε όλες τις πληθυσμιακές ομάδες και για όλες τις ερωτήσεις. Αν υπολογίζαμε τα ποσοστά μόνο επί των σωστών απαντήσεων θα βρίσκαμε ότι οι δυο ομάδες φοιτητών κρατάν τον αλγόριθμο στο επίπεδο του 70% ενώ οι δυο ομάδες μαθητών στο 90%, ποσοστά ιδιαίτερα υψηλά αν αναλογιστεί κανείς ότι η μια ομάδα φοιτητών αφορούσε Μαθηματικό Τμήμα και Πολυτεχνείο ενώ οι μαθητές Λυκείου ήταν θετικής και οικονομικής κατεύθυνσης. Φαίνεται ακόμη πως όσο μετακινούμαστε προς ανώτερη βαθμίδα εκπαίδευσης τόσο μεγαλύτερη είναι και η ευρηματικότητα που εμφανίζει η επιλογή στρατηγικών. Τη μεγαλύτερη εντύπωση προκαλεί η διαφορά μεταξύ Δευτεροβάθμιας και Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης όπου η ποικιλία στρατηγικών σχεδόν διπλασιάζεται. Αυτή η αύξηση μπορεί να οφείλεται στην απομάκρυνση από το στενό σχολικό πλαίσιο διδασκαλίας το οποίο 343

φαίνεται να ευνοεί τη χρήση αλγορίθμων. Το γεγονός της κυριαρχίας της αλγοριθμικής προσέγγισης αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον αν αναλογιστούμε ότι οι δραστηριότητες ήταν σχεδιασμένες με τρόπο που να ευνοούν την επιλογή διαφορετικών στρατηγικών. Για παράδειγμα, στην πρώτη δραστηριότητα (1/2 + 4/8) η λύση είναι σχεδόν προφανής σε σημείο που ο λύτης δεν χρειάζεται καν να κάνει πράξεις, κι όμως ο αλγόριθμος αποτελεί την δημοφιλέστερη στρατηγική. Το ίδιο και στη δεύτερη ( ), η οποία μπορεί να λυθεί αμέσως και χωρίς περίπλοκες πράξεις αν σκεφτεί κανείς ότι πρόκειται για την απλή πράξη 3,5 x 2. Ωστόσο τα τρία τέταρτα όσων απάντησαν σωστά, χρησιμοποίησαν τον αλγόριθμο ο οποίος για τη συγκεκριμένη περίπτωση ήταν ιδιαίτερα χρονοβόρος και απαιτητικός. Την ίδια εικόνα έχουμε αποτυπώσει και για τις υπόλοιπες δραστηριότητες. Δεν αμφισβητούμε εδώ το γεγονός ότι πιθανόν οι λύτες ήταν σε θέση να αντιληφθούν και να εφαρμόσουν μετά από κάποια σκέψη τις πιθανές εναλλακτικές προσεγγίσεις υπολογισμού. Αυτό που αποτυπώνεται εδώ είναι ότι η πρώτη τους επιλογή υπήρξε η εφαρμογή του αλγορίθμου. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής είναι ιδιαίτερα ενδιαφέροντα και χρήσιμα για τους εκπαιδευτικούς όλων των βαθμίδων αλλά και για ερευνητές καθώς δίνει έναυσμα για περαιτέρω έρευνα. Ερωτήματα που προκύπτουν και αξίζει να ερευνηθούν περαιτέρω είναι: Που οφείλεται η μεγάλη συχνότητα εμφάνισης τόσο της χρήσης του αλγορίθμου όσο και λαθών; Κατά πόσο θα διαφοροποιούνταν οι απαντήσεις αν οι δραστηριότητες ήταν γραπτές; ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Caney, A., Watson, J. M., (2003). Mental computation strategies for part-whole Numbers. Paper presented at the AARE 2003 Conference papers, International Education Research, Auckland, University of Tasmania. Retrieved from https://www.aare.edu.au/data/publications/2003/can03399.pdf Carvalho, R., & da Ponte, J. (2017). Mental computations with rational numbers: students mental representations. Journal of Mathematics Education, 10(2), 17-29. Lemonidis, C., & Kaiafa, I. (2014). Fifth and sixth grades students number sense in rational numbers and its relation with problem solving ability. MENON Journal of Educational Research, 12(1), 61-74. McIntosh, A. (2006). Mental computation of school-aged students: Assessment, performance levels and common errors. Paper presented at The Fifth Swedish Mathematics Education Research Seminar (MADIF-5), Malmö, Sweden. Retrieved from http://www.mai. liu.se/smdf/madif5/papers/mcintosh.pdf Seeley, C. (2005). Do the Math in Your Head! President s Message, NCTM News Bulletin (December). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Thompson, I. (2010). Issues in Teaching Numeracy in Primary Schools. Berkshire: Open University Press. Καραθεοδωρή Σ. Κωνσταντίνος. (1924). Περί των Μαθηματικών εν τη Μέση Εκπαιδεύσει. Δελτίον της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, τόμος Ε, Αθήνα. 344