ΕΑΠ ΦΥΕ40 : Κβαντική Φυσική. Τμήμα Αθήνα-2: Κ. Κορδάς

ΕΑΠ ΦΥΕ40 : Κβαντική Φυσική Τμήμα Αθήνα-2: Κ. Κορδάς Μάθημα 1 α) Ύλη, τρόπος διαβάσματος και εξέτασης β) Μια γενική εισαγωγή στο αντικείμενο γ) To φως (κύμα) ως σωματίδια τα σωματίδια ως κύματα δ) Κυματική εξίσωση Schroedinger, το κύμα ως πιθανότητα, τελεστές, κλπ. Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Κβαντική Φυσική - ΦΥΕ40, Ελλ. Ανοικτό Πανεπιστήμιο, 17 Οκτωβρίου 2015

1. Εξίσωση Schroedinger ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 2

Το σωματίδιο ως κύμα - κυματοσυνάρτηση De Broglie: E=h f E =ħ ω ω= E ħ p= h λ p=ħ k k= p ħ Ένα κύμα μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων σαν κι αυτό: ψ t = ie ħ ψ i ħ t ψ=e ψ ψ x = ip ħ ψ i ħ x ψ= p ψ ψ x,t =e i kx ωt i px Et / ħ =e Τελεστής ενέργειας = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ, που δίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με την ενέργεια Ε. To Ε δεξιά είναι μια ιδιοτιμή της ενέργειας, και η ψ είναι μια ιδιο-συνάρτηση του τελεστή της ενέργειας. Τελεστής ορμής ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 3

Περιγραφή ενός συστήματος με κυματοσυναρτήσεις Έστω ψ μια κυματοσυμάρτηση που περιγράφει ένα σύστημα. Α ψ=αψ Παράδειγμα: Τελεστής ενέργειας Τελεστής = μια πράξη πάνω στην κυματοσυνάρτηση ψ. Aν αυτή η πράξη (= η δράση του τελεστή ) πάων στην ψ, δίίνει πάλι την ψ, αλλά πολλαπλασιασμένη με μια σταθερά α, τότε λέμε ότι Το α είναι μια ιδιοτιμή του τελεστή Α, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Α i ħ t ψ=e ψ i ħ x ψ = p ψ Τελεστής ορμής Το p δεξιά είναι μια τιμή της ορμής, μια ιδιοτιμή του τελεστή της ορμής, και η ψ είναι μια ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ορμής. Με άλλα λόγια: λύνοντας αυτή την εξίσωση βρίσκω ποιές ψ και με ποιά αντίστοιχα p κάθε φορά λύνουν την εξίσωση. Τις ψ τις λέω ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της ορμής, και τα p τα λέω ιδιοτιμές του ίδιου τελεστή. ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 4

Χρονο-εξαρτημένη εξίσωση Schroedinger Schroedinger: ψάχνει κυματική εξίσωση που ικανοποιεί: Ε= p2 2m (όπου p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2 ) Ε ψ = p2 2m ψ i ħ t ψ = ħ2 2m 2 ψ Χρονοεξαρτώμενη Εξίσωση Schroedinger. την εφαρμόζουμε σε οποιαδήποτε συνάρτηση ψ Όπου: 2 2 x + 2 2 y + 2 2 z ο Λαπλασιανός τελεστής= η Λαπλασιανή 2 Η κυμματοσυνάρτηση ψ δεν δηλώνει το πόσο μεγάλη είναι κάποια διαταραχή συναρτήσει της θέσης, αλλά: ψ(x) 2 = η πυκνότητα πιθανότητας = η πιθανότητα ανά μονάδα μήκους (ή ανα μονάδα όγκου αν περιγράφουμε στις 3 διστάσεις) να βρούμε το σωματίδιο σε μιά περιοχή του χώρου ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 5

Χρονο-ανεξάρτητη εξίσωση Schroedinger * Για να βρούμε την ενέργεια Ε του συστήματος, δεν βαζουμε τον τελεστη της ενέργειας, κι έτσι λύνουμε τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schroendinger: E= p2 2m +V ( r ) οπότε :Ε ψ =[ ħ2 2m 2 +V ( r)]ψ 2 ψ + 2m ħ (E V ( r )) ψ =0 H ψ =E ψ, όπου: H ħ2 2m 2 +V ( r ) ο Χαμ ιλτονιανός τελεστής η Χαμιλτονιανή Η T V =κινητική δυναμική ενέργεια ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 6

Στρατηγική για την περιγραφή οποιουδήποτε συστήματος στην κβαντομηχανική (τουλάχιστον εδώ) Λύνουμε πρώτα τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroedinger, και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας Ε i και τις ιδιοσυναρτήσεις ψ i (x), που είναι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής. Όταν μιλάμε για τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις του συστήματος, εννοούμε τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής. Κατόπιν βάζουμε και τη χρονική εξάρτηση κάθε ιδιοσυνάρτησης ως εξής (παρ. 4.1, 4.2, σελ 140-144): ψ i (x, t)=ψ i (x)e i E t / ħ i Μετά, οποιαδήποτε κυματοσυνάρτηση ψ που περιγράφει το σύστημά μας, μπορούμε να τη γράφουμε σαν γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων ψ i ψ =c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 +c 3 ψ 3 +... Ας δουμε όμως πρώτα το νόημα της κυμματοσυνάρτησης και των τελεστών, και επανερχόμαστε στο ρόλο των ιδιοσυναρτήσεων μετά. ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 7

2. α) Στατιστική ερμηνία της κυμματοσυνάρτησης, β) Αναπαράσταση φυσικών μεγεθών με τελεστές στην κβαντομηχανική γ) Εύρεση μέσης τιμής και αβεβαιότητας ενός φυσικού μεγέθους ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 8

Κυμματοσυνάρτηση και κανονικοποίηση Αφου: ψ(x) 2 = ψ*(x) ψ(x) = πυκνότητα πιθανότητας = η πιθανότητα ανά μονάδα μήκους να βρούμε το σωματίδιο σε μιά περιοχή του χώρου Σημείωση: στη γενική περίπτωση η ψ(x) είναι μιγαδική, οπότε το μέτρο της στο τετράγωνο βρισκεται εύκολα ως το γινόμενο της συζυγούς μιγαδικής της, ψ*(x), επί τον εαυτό της, ψ(x). Υποσημ. σελ 121. Αυτό σημαίνει ότι: ψ(x) 2 dx = ψ*(x) ψ(x) dx = ψ* ψ dx η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε θέση μεταξή x και x+dx, όπου αντί για ψ(x) για συντομία να γράφουμε συχνά σκέτο ψ. Οπότε, αφού το σωματίδιο υπάρχει, έχουμε 100% πιθανότητα (=1) να βρεθεί κάπου, οπότε + ψ * (x)ψ ( x)dx=1 + ψ * ψ dx=1 Αν το ολοκήρωμε αυτό κάνει 1, λέμε ότι η ψ είναι ήδη κανονικοποιημένη, αλλιώς πρέπει να την πολλαπλασιάσουμε με κάποιον θετικό πραγματικό αριθμό (δεν έχει φυσικό νόημα να του βάλουμε και φανταστικό μέρος, κοίτα προβλ. 7, σελ 139). Ο αριθμός αυτός κανονικοποιεί την ψ και λέγεται συνετελεστής κανονικοποίησης (π.χ, πρόβλημα 3, σελ 130) ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 9

Φυσικά μεγέθη και τελεστές στην κβαντομηχανική Κάθε φυσικό μέγεθος, Α, αντιπροσωπεύεται στην κβαντομηχανική με έναν (παρ. 1.3, σελ. 117-118, και σελ 134-135). τελεστή Â Κάθε φυσικό μέγεθος Α είναι συνάρτηση της ορμής και της θέσης: πχ, η στροφορμή, σελ. 134-135, ή π.χ., ενέργεια του σωματιδίου (σε μία διάσταση, x ): E = p 2 / 2m + V(x) Για το φυσικό μέγεθος Α, φτιάχουμε τον αντίστοιχο ως εξής: παίρνουμε τη συνάρτηση που περιγράφει την εξάρτηση του φυσκού μεγέθους Α από το φυσικό μέγεθος ορμή και το φυσικό μέγεθος θέση, και γράφουμε τον τελεστή Â ως την ίδια συνάρτηση, αλλά αντί για την ορμή βάζουμε τον τελεστή της ορμής, και αντί για τη θέση βάζουμε τον τελεστή της θέσης (προσοχή: γενικά σε γινόμενο τελεστών, σελ. 118) Α B B Â O τελεστής της θέσης x είναι η ίδια η μεταβλητή x, Έτσι π.χ., φτιάχνουμε: ο τελεστής της ορμής p, είναι: p= i ħ x Τελεστής ενέργειας =Ê H ħ2 +V (x) ο Χαμ ιλτονιανός τελεστής η Χα 2m x μ ιλτονιανή τελεστή Â x=x ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 10

Μέση τιμή & διασπορά τιμών ενός φυσικού μεγέθους, γενικά, για διακριτές τιμές Παράγραφοι 2.4, 2.5, σελ. 124-132, προβλ. 2, 3: Αν η μέτρηση κάποιου φυσικού μεγέθους Α μπορεί να δώσει τις διακριτές τιμές α 1, α 2, α 3, κλπ, την κάθε μία με πιθανότητα εμφάνισης P 1, P 2, P 3, κλπ, (όπου Σ P i =1), τότε κάνοντας πάρα πολλές μετρήσεις του μεγέθους Α, καταλήγω σε μια κατανομή των τιμών α i, κάθε τιμή με πιθανότητα εμφάνισης P i. Η μέση τιμή του φυσικoύ μεγέθους Α είναι: < Α>= i α i P i Η διασπορά των τιμών γύρω από τη μέση τιμή είναι μια ποσοτικοποίηση της απόστασης κάθε τιμής από τη μέση τιμή. Συγκεκριμένα, η διασπορά είναι η μέση τιμή του τετραγώνου αυτής της απόστασης, οπότε: Το ΔΑ το λέμε αβεβαιότητα του μεγέθους Α. Αποδεικνύεται ότι (σελ. 127): διασπορά (ΔΑ) 2 =< (Α < Α >) 2 >= i (Α < Α> ) 2 P i (ΔΑ) 2 < (Α < Α>) 2 >=< A 2 > (< A >) 2 όπου το Α 2 παίρνει τις τιμές α i 2, κάθε μία με πιθανότητα P i ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 11

Μέση τιμή & διασπορά τιμών ενός φυσικού μεγέθους, γενικά, για συνεχείς τιμές Παράγραφοι 2.4, 2.5, σελ. 124-132: Αν η μέτρηση κάποιου φυσικού μεγέθους Α μπορεί να δώσει συνεχείς τιμές α, και η πιθανότητα εμφάνισης μιας τιμής στο διάστημα (α, α+dα) είναι P(α) dα, τότε η P(α) είναι η πυκνότητα πιθανόττητας, δηλ, η πιθανότητα ανά μονάδα του α. Η μέση τιμή του φυσικoύ μεγέθους Α είναι τότε: < Α>= α P (α )da Η διασπορά των τιμών γύρω από τη μέση τιμή βρίκσεται φυσικά με τον ίδιο τρόπο: διασπορά =<(Α < Α >) 2 > (ΔΑ) 2 =< A 2 > (< A >) 2 Το Α 2 παίρνει τις τιμές α 2, με πιθανότητα P(α) dα να πάρειτιμή στο διάστημα από α 2 εως (α+dα) 2 Γενικα μια συνάρτηση G(A) του μεγέθους Α, έχει μέση τιμή (σελ. 126): < G (Α)>= G (α ) P(α )da ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 12

Μέση τιμή & διασπορά τιμών ενός φυσικού μεγέθους στην κβαντομηχανική με τελεστές Παράγραφοι 3.1, 3.2, σελ. 132-139, προβλ. 4,5,6,7: ψ(x) 2 = πυκνότητα πιθανότητας αντίστοιχο του P(α), προηγ. σελ. ψ(x) 2 dx = ψ*(x) ψ(x) dx = ψ* ψ dx = η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε θέση μεταξή x και x+dx αντίστοιχο του P(α) dα πρίν. Η κυμματοσυνάρτηση ψ(x) έχει όλη την πληροφορία για το σύστημά μας. Η κυμματοσυνάρτηση ψ είναι συνάρτηση του x, και η πυκνότητα πιθανότητας ψ* ψ είναι συνάρτηση του x. Κάθε φυσικό μέγεθος Α είναι συνάρτηση της θέσης και ορμής, Α(x,p). Ο αντίστοιχος τελεστής Â είναι η ίδια συνάρτηση του τελεστή της ορμής και της θέσης (οπότε έχει πράξεις με δυνάμεις του x και των παραγώγων ως προς x). Â= A( x, p),όπου: x=x, και p= i ħ x Η δράση ενός τελεστή πάνω στην ψ(x) μας δίνει για άλλη συνάρτηση του x. Οι τελεστές δρούν από τα αριστερά μιας συνάρτησης, Οπότε δεν έχει νόημα να γράφουμε ψ Â, αλλά πρέπει να γράφουμε Â ψ Για να βρώ τη μεση τιμή κάποιου μεγέθους A, κανω το εξής ολοκλήρωμα ως προς x: < Α>= ψ * Â ψ dx ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 13

3. α) Ιδιοτιμές. Ιδιοσυναρτήσεις, ιδιοδιανύσματα β) Εσωτερικό γινόμενο κυμματοσυναρτήσεων γ) Η γενική κυμματοσυνάρτηση ως γραμμικός συνδυασμός των ιδοσυναρτήσεων. ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 14

Στρατηγική για την περιγραφή οποιουδήποτε συστήματος στην κβαντομηχανική (τουλάχιστον εδώ) Λύνουμε πρώτα τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroedinger, και βρίσκουμε τις ιδιοτιμές ενέργειας Ε i και τις ιδιοσυναρτήσεις ψ i (x), που είναι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής. Όταν μιλάμε για τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις του συστήματος, εννοούμε τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής. Κατόπιν βάζουμε και τη χρονική εξάρτηση κάθε ιδιοσυνάρτησης ως εξής (παρ. 4.1, 4.2, σελ 140-144): ψ i (x, t)=ψ i (x)e i E t / ħ i Μετά, οποιαδήποτε κυματοσυνάρτηση ψ που περιγράφει το σύστημά μας, μπορούμε να τη γράφουμε σαν γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων ψ i Με το χρόνο μέσα: ψ =c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 +c 3 ψ 3 +...= c n ψ n ( ε ξ. 3.42) ψ = c n ψ n e i E t / ħ n ( ε ξ. 3.41, σελ. 144) ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 15

Οι ιδιοσυναρτήσεις ως διανύσματα βάσης Για κάθε σύστημα βρίσκουμε τις ιδιοσυναρτήσεις του: ψ 1, ψ 2, ψ 3, κλπ. (παρ. 4.2, 4.3, σελ. 143-151,προβλ. 8) Οποιαδήποτε κυμματοσυνάρτηση ψ που περιγράφει το σύστημά μας μπορούμε να τη γράψουμε σαν γραμμικό συνδυασμό των ιδιοσυναρτήσεων ψ 1, ψ 2, ψ 3, κλπ: ψ =c 1 ψ 1 +c 2 ψ 2 +c 3 ψ 3 +...= c n ψ n Σε μια συμπυκνωμένη γραφή, μπορούμε να ορίσουμε την ψ δίνοντας μόνο τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού: ψ =(c 1, c 2, c 3,...) Μπορούμε να σκεφτούμε τις ιδιοσυναρτήσεις ως ιδιοδιανύσματα του χώρου των κυμματοσυναρτήσεων, δηλ. ως διανύσματα βάσης του χώρου των κυμματοσυναρτήσεων c 1, c 2, c 3,... Πώς θα βρούμε τους συντελεστές ; Κάνουμε πρώτα μια αναλογία με την περιγραφή ενός γεωμετρικού διανύσματος r που το γράφουμε σαν γραμμικό συνδυασμό των μοναδιαίων διανυσμάτων: r=c x x+c y ŷ+c z ẑ Οι συντελεστές βρίσκονται από τα εσωτςρικά γινόμενα: c x = x r, c y =ŷ r, c z =ẑ r ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 16

Εσωτερικό γινόμενο κυμματοσυναρτήσεων Το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων ψ και φ ορίζεται ως (ορισμός, σελ. 168): (ψ, φ) ψ * (x)φ(x)dx Δύο συναρτήσεις ψ, φ είναι ορθoγώνιες όταν (ψ,φ) = 0. Οταν γράφουμε: ψ = c n ψ n ( ε ξ. 3.42) οι συντελεστές είναι (δες σελ 144, εξ. 3.40, και σελ. 169, εξ. 3.68): c n =(ψ n,ψ )= ψ * n (x)ψ ( x) dx Το τετράγωνο του μέτρου της ψ, ψ 2 είναι το εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό της (ψ,ψ). Οπότε, αφού: ψ = c n ψ n, (σελ. 169, εξ. 3.70). έχουμε :(ψ, ψ )= ψ 2 = c n 2 = c * n c n ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 17

Μέση τιμή συναρτήσει των συντελεστών c n Η μέση τιμή ενός μεγέθους Α, είναι: (ψ,αψ) < Α>= ψ * Â ψ dx Αν ο Α έχει ένα σύνολο ιδιοσυναρτήσεων ψ n με αντίστοιχες ιδιοτιμές α n και το σύστημά μου περιγράφεται από την κατάσταση: ψ = c n ψ n τότε η μέση τιμή του μεγέθους Α είναι: < Α>= n α n c n 2 Οπότε η πιθανότητα εμφάνισης της τιμής α n είναι: c n 2 Αρχή φιλτραρίσματος: παρ. 4.4, σελ. 151-157 Ειδική περίπτωση: Ενέργεια. Προβλημα 8, σελ. 150-151 ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 18

Χρονική εξέλιξη μέσης τιμής Σημαντικό: Παράγραφο 4.5, σελ. 157-161, πρόβλημα 11. ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 19

Ερμιτιανοί τελεστές (παρ. 5, σελ. 161+) Στην κβαντομηχανική όλα τα φυσικά μεγέθη περιγράφονται από ερμιτιανούς τελεστές. Για τους ερμιτιανούς τελεστές ισχύουν: Οι ιδιοτιμές τους είναι πραγματικοί αριθμοί (σελ. 166, θεώρημα 4). Οι ιδιοσυναρτήσεις τους ορίζουν μια πλήρη βάση του χώρου των κυμματοσυναρτήσεων άρα, οποιαδήποτε κυμματοσυνάρτηση είναι όντως γραμμικός συνδυασμός τνω ιδιοσυναρτήσεων. Σε ένα εσωτερικό γινόμενο, o τελεστής μπορεί να ενεργεί σε όποιο από τα δύο μέρη θέλουμε, γιατί το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: (ψ, Âφ)=( Â ψ,φ) ψ * ( Â φ) dx= (Α ψ ) * φ dx ΕΑΠ - 17 Οκτ. 2015 Κ. Κορδάς - ΦΥΕ40 - Μάθημα 1γ - Βασικά + Διυσμός Σωματιδίων-ύλης 20