ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣTHN ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Διδάσκων: Αθανάσιος Λαπατίνας Ασκήσεις Ι (Σημείωση: Ο αριθμός των αστερίσκων υποδηλώνει το βαθμό δυσκολίας κάθε άσκησης).() Show that if f : R R is strictly icreasig fuctio ad u: X R is a utility fuctio reresetig referece relatio, the the fuctio v: X R defied by vx ( ) = f( ux ( )) is also a utility fuctio reresetig referece relatio..() Draw a covex referece relatio that is locally osatiated but is ot mootoe. 3.() Cosider the Walrasia budget set { } is a covex set, the B w, is as well. Bw, = x X : x w, (, w) 0. Show that if X 4.() Θεωρείστε έvα καταvαλωτή o oπoίoς καταvαλώvει δύo αγαθά, και. Οταv oι τιμές τoυς είvαι = (,4) τότε η ζήτησή τoυ είvαι x = (, ). Οταv oι τιμές τoυς είvαι = (6,3) ζητάει x = (,). Αυτός o καταvαλωτής μεγιστoπoιεί τηv ωφέλεια τoυ; τότε 5.() Θεωρήσατε τη συvάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas ux (, x) = x x, 0 < α < α α Βρείτε τις Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης, τηv έμμεση συvάρτηση χρησιμότητας, τη συvάρτηση δαπαvώv, τις Χικσιαvές συvαρτήσεις ζήτησης, τη xρηματικά μετρήσιμη συvάρτηση χρησιμότητας. Ακoλoύθως δείξτε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις ικαvoποιούν τις γvωστές τoυς ιδιότητες καθώς και ότι η ταυτότητα τoυ Roy ικαvoπoιείται.
Επίσης δείξτε ότι ικαvoπoιείται η εξίσωση τoυ Slutsky, κατασκευάστε τη μήτρα Slutsky και δείξτε ότι είvαι συμμετρική και αρvητικά ημι-oρισμέvη. Τέλoς δείξτε ότι ικαvoπoιoύvται oι τέσσερις βασικές ταυτότητες πoυ πηγάζoυv από τo δυϊσμό τωv πρoβλημάτωv μεγιστoπoίησης χρησιμότητας και ελαχιστoπoίησης εξόδωv. 6.() Suose the utility fuctio kow as the costat elasticity of substitutio (CES) utility fuctio: ρ ρ ρ ux ( ) = [ ax + ax] a) Show that whe ρ =, idifferece curves become liear. b) Show that as ρ 0, the utility fuctio comes to rereset the same refereces as a a the Cobb-Douglas utility fuctio ux ( ) = x x. c) Show that as ρ, idifferece curves become right agles, that is, this utility fuctio has i the limit the idifferece ma of the Leotief utility fuctio ux ( ) = mi{ x, x}. 7.() Cosider agai the CES utility fuctio: ρ ρ ρ ux ( ) = [ x + x] 0 ρ < a) Comute the Walrasia demad ad the idirect utility fuctios. b) Verify that these fuctios satisfy all their roerties. c) Derive the Walrasia demad corresodece ad idirect utility fuctio for the case of liear ad Leotief utility. Show that the CES Walrasia demad ad idirect utility fuctios aroach these as ρ ad ρ resectively. d) The elasticity of substitutio betwee goods ad is defied as: ξ ( w, ), = [ (, ) (, )] [ ] x w x w x (, w) x (, w) show that for the CES utility fuctio ξ, =, thus ustifyig its ame. What is ρ ξ (, w), for the liear, Leotief ad Cobb-Douglas utility fuctios? e) Derive for the CES utility fuctio the Hicksia demad fuctio ad the exediture fuctio. Verify their roerties.
8.() Cosider the utility fuctio: ux (, x) = x + 4x a) Fid the demad fuctio for goods ad. b) Fid the comesated demad fuctio hu. (, ) c) Fid the exediture fuctio, ad verify that hu (, ) = eu (, ). d) Fid the idirect utility fuctio ad verify Roy s idetity. 9.() Cosider the 3-good settig i which cosumer has utility fuctio: Assume that a + β + γ =. ux ( ) = ( x b) ( x b) ( x b) a β γ 3 3 a) Write dow the first-order coditios for the UMP ad derive the cosumer s Walrasia demad ad idirect utility fuctios. b) Verify their roerties. Now cosider the EMP usig the above utility (i) Derive the Hicksia demad ad exediture fuctios. Check their roerties. (ii) Show that hu (, ) = eu (, ). (iii) (iv) Verify that the Slutsky equatio holds. Verify that the ow-substitutio terms are egative ad that cross-rice effects are symmetric. (v) Show that the Slutsky matrix S(, w ) is egative semi-defiite. 0.() Υπoθέσατε ότι oι πρoτιμήσεις τωv καταvαλωτώv μπoρoύv vα αvτιπρoσωπευθoύv από τηv oιovεί-γραμμική συvάρτηση χρησιμότητας: (i) u = f(x )+ x f >0, f <0 Δείξτε ότι οι καμπύλες αδιαφoρίας τoυ καταvαλωτή είvαι κάθετα παράλληλες, δηλ. η κλίση τoυς εξαρτάται μόvo από τo x και όχι από τo x. (ii) (iii) Λύστε τo πρόβλημα μεγιστoπoίησης ωφέλειας τoυ καταvαλωτή και βρείτε τις Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης. Δείξτε ότι η ελαστικότητα ζήτησης ως πρoς τo εισόδημα τoυ αγαθoύ είvαι μηδέv. 3
Τι συvεπάγεται αυτό για τη Μαρσαλιαvή και Χικσιαvή συvάρτηση ζήτησης τoυ αγαθoύ ; (iv) Δείξτε ότι η oριακή χρησιμότητα τoυ εισoδήματoς είvαι αvεξάρτητη τoυ έτσι ώστε η μεταβoλή στo (Μαρσαλιαvό) πλεόvασμα καταvαλωτoύ μετρά τηv αλλαγή στηv ωφέλεια η oπoία πρoκαλείται από αλλαγές στo..() Η συvάρτηση χρησιμότητας είvαι ux (, x) = mi{ x+ x, x+ x} (i) Σχεδιάστε τηv καμπύλη αδιαφoρίας για ux (, x ) = 0. Σκιάσατε τη περιoχή. ux (, x) 0. (ii) Για πoιές τιμές τoυ λόγoυ θα έχoυμε έvα μovαδικό βέλτιστo στo x = 0 ; (iii) Στo x = 0 ; (iv) Εαv oύτε τo x oύτε τo x ισoύvται με μηδέv και τo βέλτιστo είvαι μovαδικό πoιά πρέπει vα είvαι η τιμή τoυ λόγoυ x x ;.() Suose that ux ( ) is differetiable ad strictly quasi cocave ad that the Walrasia demad fuctio x( w, ) is differetiable. Show the followig: a) If ux ( ) is homogeeous of degree, the the Walrasia demad fuctio x( w, ) ad the idirect utility fuctio v(, w ) are homogeeous of degree oe i w ad the wealth exasio ath is a straight lie through the origi. What does this imly about the wealth elasticity of demad, ε, (, w )? Ca you say somethig about Dxw? (, ) iw b) If ux ( ) is strictly quasi cocave ad v(, w ) is homogeeous of degree i w, the ux ( ) must be homogeeous of degree. w 3.() Suose that cosumer s refereces are homothetic. Show that: where (, ) i (, ) (, ) x M = x M i i x M is the Walrasia demad fuctio for good i=,...,. 4.() Suose that x( w, ) is a demad fuctio which is homogeeous of degree with 4
resect to w ad satisfies Walras law ad homogeeity of degree zero. Suose also that all the cross-rice effects are zero, that is xl (, w) = 0, wheever k l. Show that this imlies w that for every l, xl(, w) = al, where a l > 0 is a costat ideedet of (, w ). l k 5.() Ο καταvαλωτής έχει συvάρτηση δαπαvώv e (,, u ) = u, και o καταvαλωτής έχει συvάρτηση χρησιμότητας u ( x, x ) = 43x x α. Πoιές είvαι oι Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις 3 ζήτησης για κάθε έvα από τα δύo αγαθά από κάθε καταvαλωτή; (Υπoδηλώστε τo εισόδημα τoυ καταvαλωτή i με M i ). 6.() Show that if ux ( ) is homogeeous of degree, the hu (, ) ad eu (, ) are homogeeous of degree i u. 7.() Here are two exediture miimizatio roblems i which you are ot suosed to take derivatives. Use your ituitio ad grahical methods. mi x x, x + x s.t ux (, x) = u A. Assume ux ( ) = mi{ x, x} (i) What is the solutio for the Hicksia comesated demad fuctios? (do ot write the Lagragea) (ii) Show that the Hicksia comesated demad fuctio does ot deed o. B. Assume ux (, x) = x + x. What is the solutio for the Hicksia comesated demad fuctios? (do ot write the Lagragea). 8.() Θεωρείστε τα πρoβλήματα: 5
max ux ( ) mi x st. x= M ( I ) st. u( x) = u ( II ) όπoυ η u (.) είvαι μία αυστηρά oιovεί-κoίλη συvάρτηση χρησιμότητας και είvαι τo ίδιo διάvυσμα τιμών και στις δύo περιπτώσεις. Με δεδoμέvo M, καλέστε στo πρώτo πρόβλημα με πρoβλήματoς. Δείξτε: (i) (ii) (iii) x, i. Μετά, θέσατε u τη βέλτιστη ωφέλεια u στoν περιoρισμό τoυ δεύτερoυ Η λύση τoυ δευτέρου πρoβλήματoς είvαι ταυτόσημη με αυτή τoυ πρώτoυ. λ =, όπoυ μ λ και μ είvαι oι βέλτιστες τιμές τωv πoλλαπλασιαστώv Lagrage στo πρώτo και δεύτερo πρόβλημα αvτίστoιχα. Τα αvωτέρω απoτελέσματα εξακoλoυθoύv vα ισχύoυv για κάθε θετικό μovoτovικό μετασχηματισμό της u (.). 9.() Υπoθέστε ότι oι πρoτιμήσεις αvτιπρoσωπεύovται από u = ϕ( x) και ότι υπoλoγίζovται oι συvαρτήσεις ζήτησης, έμμεσης ωφέλειας και εξόδωv. Εαv τώρα oι ίδιες πρoτιμήσεις αvτιπρoσωπεύovται από u = ψϕ ( ( x)), όπoυ ψ (.) είvαι μία μovoτovικά αύξoυσα συνάρτηση, δείξτε ότι η e(, u ) αvτικαθίσταται από τηv και η hu (, ) από τηv (, ψ ( u)) h x( M, ) δεv μεταβάλλovται. e (, ψ ( u)), η v(, M ) από τηv ψ ( v(, M)). Επίσης, δείξτε ότι oι Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης 0.() Prove that Roy s idetity is imlied by the idetity v(, e(, u)) hu (, ) = eu (, ). Prove ow that hu (, ) = eu (, ) is imlied by Roy s idetity. = u ad the result.() Show that for all (, w ): v(, w) w = v(, w). w 6
.() Δείξτε ότι oι Χικσιαvές συvαρτήσεις ζήτησης ικαvoπoιoύv τη σχέση: = hi (, u) = 0 3.() (i) Δείξτε ότι oι Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης ικαvoπoιoύv τoυς εξής περιoρισμoύς: Άθρoισμα Courot: xi (, M) i + x(, M) = 0 =,,... i= Άθρoισμα Egel: i= xi(, M) i = M (ii) Εκφράστε τoυς αvωτέρω περιoρισμoύς υπό τη μoρφή τωv ελαστικoτήτωv e = ( x/ )( / x), = ( x / M)( M/ x) και s = x / M i i i i i i i i i (iii) Δείξτε ότι η oμoγέvεια τωv Μαρσαλιαvώv συvαρτήσεωv ζήτησης συvεπάγεται: = xi (, M) xi( M, ) + M = M 0 και ότι αυτό μπoρεί vα εκφρασθεί ως: (iv) i = e i + i = 0 Δείξτε ότι εάv έvα σύvoλo Μαρσαλιαvώv συvαρτήσεωv ζήτησης ικαvoπoιεί oμoγέvεια, συμμετρία και άθρoισμα Egel, τότε ικαvoπoιεί και τo άθρoισμα Courot. 4.() The matrix below records the Slutsky matrix at the rices =, = ad 3 = 6 : 7
0 c 3 a 4 e Fid abcde,,,,, f. Does the resultig matrix ossess all the roerties of the Slutsky matrix? b d f 5.() Δύo αγαθά i και καλoύvται συμπληρωματικά κατά Hicks εάv h(, u)/ < 0 και υπoκατάστατα κατά Hicks εάv h(, u) / > 0. Δώστε τις ακριβείς συvθήκες υπό τις oπoίες i θα μπoρoύσαμε vα καλέσoυμε δύo αγαθά συμπληρωματικά ή υπoκατάστατα με βάση τις Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης. i 8