ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. R και καθε αριθμο α οριζουμε

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. R και καθε αριθμο α οριζουμε"

Πυθαγόρας Λαιμός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

page 1 of 12 ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμος Για καθε συναρτηση f : S R και καθε αριθμο α οριζουμε Την καμπυλη αδιαφοριας(idifferece curve, level set) της f I = { x Sfx, ( ) = α} α Το

1 page 1 of 12 ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμος Για καθε συναρτηση f : S R και καθε αριθμο α οριζουμε Την καμπυλη αδιαφοριας(idifferece curve, level set) της f I = { x Sfx, ( ) = α} α Το υπερτερο συνολο (upper cotour set,better-tha set) της f B = { x Sfx, ( ) α} α Παραδειγμα1 υπερτερο συνολο,καμπυλη αδιαφοριας f( x, y) = xy, S = R 2, α = 3. I = {( x, y) R, xy = 3}, B = {( x, y) R, xy 3} Παραδειγμα2 τα υπερτερα συνολα και οι καμπυλες αδιαφοριας μιας συναρτησης μπορουν να παρουν οποιοδηποτε σχημα,αναλογα με τις ιδιοτητες της συναρτησης. 2 2 ( ) α 2 2 fxy (, ) = x y, S= R, = 9, I9 = {( xy, ) R+, x y= 3}, B9 = {( xy, ) R+, x y 3} +

2 2 Ορισμος Η συναρτηση f : S R R ειναι οιονει-κοιλη (quasi-cocave) εαν ολα τα υπερτερα συνολα της ειναι κυρτα. μια ισοδυναμη εκφραση ειναι οτι η συναρτηση f : S R R ειναι οιονει-κοιλη εαν το εφικτο συνολο S ειναι κυρτο και για καθε xy, St, [0,1] ισχυει f ( tx + (1 t) y) mi{ f ( x), f ( y )}. Η συναρτηση στο παραδειγμα 1 ειναι οιονει κοιλη,ενω στο παραδειγμα 2 δεν ειναι. Ορισμος Για καθε συναρτηση Υπογραφημα(hypograph) ( ) Υπεργραφημα(hypergraph) ( ) f : S Rοριζουμε το { yx,, y Rx, {y, fx ( )} { yx,, y Rx, {y, fx ( )} Παραδειγμα 3 υπεργραφημα και υπογραφημα Ορισμος Η συναρτηση f : S R R ειναι Κοιλη(cocave ) εαν το υπογραφημα της ειναι κυρτο. η συναρτηση f : S R R ειναι κοιλη εαν το S ειναι κυρτο και για καθε xy, St, [0,1] ισχυει f ( tx + (1 t) y) tf ( x) + (1 t) f ( y ) Κυρτη(covex) εαν το υπεργραφημα της ειναι κυρτο η συναρτηση f : S R R ειναι κυρτη εαν το S ειναι κυρτο και για καθε xy, St, [0,1] ισχυει f ( tx + (1 t) y) tf ( x) + (1 t) f ( y ) Spyros Vassilakis page 2 of 12

3 3 Παραδειγμα 4 κοιλη συναρτηση Παραδειγμα 5 κυρτη συναρτηση Η συναρτηση του παραδειγματος 3 δεν ειναι ουτε κυρτη ουτε κοιλη.ειναι κοιλη στο διαστημα [0,1],και κυρτη στο διαστημα [1,2]. f ειναι κυρτη εαν και μονο εαν η f ειναι κοιλη. Η Καθε κοιλη συναρτηση ειναι και οιονει κοιλη.το αντιστροφο δεν ισχυει Εαν μια συναρτηση ειναι οιονει κοιλη,τοτε το πεδιο ορισμου της S ειναι κυρτο Spyros Vassilakis page 3 of 12

4 4 Παραδειγμα 6 οιονει κοιλες αλλα οχι κοιλες συναρτησεις εαν ολες οι συναρτησεις g1, g2,.., g m ειναι οιονει κοιλες,τοτε το εφικτο συνολο ειναι κυρτο,ως τομη των κυρτων υπερτερων συνολων των g1, g2,.., g m. το εφικτο συνολο μπορει να ειναι κυρτο ακομα και αν καμμια απο τις συναρτησεις g1, g2,.., g m δεν ειναι οιονει κοιλη. η συνθηκη f ( x ) 0 αποκλειει περιπτωσεις οπως η ακολουθη max fx ( ), x 0 Spyros Vassilakis page 4 of 12

5 5 Η συναρτηση f ειναι οιονει κοιλη στο εφικτο συνολο x 0,ως φθινουσα,και ταυτοχρονα δεν ειναι κοιλη.παρολο που η συναρτηση δεν εχει ολικο μεγιστο,καθε σημειο = f ( x ) 0,και αρα τις αναγκαιες συνθηκες ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΟΥ ΟΛΙΚΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ x ( ab, ) ικανοποει Εαν η συναρτηση στοχου ειναι οιονει κοιλη,και το εφικτο συνολο ειναι κυρτο, τοτε το συνολο των ολικων μεγιστων ειναι κυρτο. Spyros Vassilakis page 5 of 12

6 Ορισμος Η συναρτηση f : S R R ειναι αυστηρα οιονει-κοιλη ( strictly quasicocave) εαν Καθε υπερτερο συνολο της ειναι κυρτο. Το περιβλημα του καθε υπερτερου συνολου δεν περιεχει γραμμικα τμηματα.

6 6 Ορισμος Η συναρτηση f : S R R ειναι αυστηρα οιονει-κοιλη ( strictly quasicocave) εαν Καθε υπερτερο συνολο της ειναι κυρτο. Το περιβλημα του καθε υπερτερου συνολου δεν περιεχει γραμμικα τμηματα. μια ισοδυναμη εκφραση ειναι οτι η συναρτηση f : S R R ειναι οιονει-κοιλη εαν το πεδιο ορισμου ειναι κυρτο και για καθε x y St, (0,1) ισχυει f ( tx + (1 t) y) > mi{ f ( x), f ( y )}. ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ ΟΛΙΚΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ Εαν η συναρτηση στοχου ειναι αυστηρα οιονει κοιλη,και το εφικτο συνολο ειναι κυρτο, τοτε υπαρχει το πολυ ενα ολικο μεγιστο ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑΣ Εαν τουλαχιστον ενα απο τα ακολουθα κριτηρια ισχυει,τοτε η συναρτηση f : S R R ειναι κοιλη.στις περιπτωσεις 3 και 7 ισχυει και το αντιστροφο. Spyros Vassilakis page 6 of 12

7 7 1. για καθε xy, St, [0,1] ισχυει f ( tx + (1 t) y) tf ( x) + (1 t) f ( y ) 2. η f ειναι γραμμικη+σταθερα,δηλαδη της μορφης f ( x) = px + α = p x px + α = 1 και f ( x) 0, x S 4. f = αg, α > 0, g κοιλη(θετικος επι κοιλη=κοιλη) 5. f = g+ h, και ghκοιλες, (κοιλη+κοιλη=κοιλη) 6. f( x) = gux ( ( )), ucocave, g icreasig ad cocave (Ο αυξων κοιλος μετασχηματισμος μιας κοιλης συναρτησης ειναι κοιλη συναρτηση) 7. το προσημο καθε κυριας ελασσονος(pricipal mior) ταξεως κ του εσσιανου πινακα της f ειναι το ιδιο με του ( 1) k,η ειναι 0. Μια κυρια ελασσων (pricipal mior) ταξεως κ αποκταται αφαιρωντας απο τον εσσιανο πινακα οποιεσδηποτε -k γραμμες και τις ιδιες στηλες. Υπαρχουν ακριβως ελασσονες. 2 1 τετοιες ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΟΙΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1.λογαριθμικη log( x), x > 0 2. εκθετικη 3. εκθετικη α x, x > 0,οπου το α ειναι παραμετρος, α( α ) α > 1 0 x, x 0,οπου το α ειναι παραμετρος, α( α 1) διωνυμικη αx + βx + γ, οπου το α ειναι παραμετρος,α 0. x 5. > α + α, x, οπου το α ειναι παραμετρος,α 0. x 6. εκθετικη e, x 0, οπου το α ειναι παραμετρος,α 0. α x > 7. y + μια απο τις παραπανω συναρτησεις. a b 8. Cobb-Douglas xy, x> 0, y > 0,οπου το abειναι, παραμετροι, 0 a,0 ba, + b 1 9. Leotief { x y} mi α, β, α > 0, β > 0 r r 1/ r 10. Costat elasticity of substitutio (CES)( x + y ), x> 0, y > 0, οπου το r ειναι παραμετρος, 0< r 1, διοτι Spyros Vassilakis page 7 of 12

8 8 Hessia = x ( + ) 1 r 2 r ( x r + y r ) y r ( r 1) x ( 2 r) + 2 x r y r + y ( ) r 1) ( ) x( y x ( ) r 1 ( x r + y r ) ( r 1) 2 r + 2 x r y r + y ( ) x ( + ) r 1) ( ) x( y 2 r 1 r y ( + ) 2 r det( Hessia ) = 0 1 r 2 r ( x r + y r ) y r ( r 1) 0 x ( 2 r) + 2 x r y r + y ( 2 r) y ( + ) 1 r 2 r ( x r + y r ) x r ( r 1) x ( 2 r) + 2 x r y r + y ( ) 10. Ο αυξων μετασχηματισμος μιας κοιλης συναρτησης δεν ειναι αναγκαστικα κοιλη συναρτηση.η ux ( ) = x, x > 0 ειναι κοιλη και η gz () = z, z > 0ειναι αυστηρως αυξουσα,αλλα η συναρτηση vx ( ) = gux ( ( )) = x = x δεν ειναι κοιλη. 4 r 1 ( x r + y r ) r ( r 1) x ( 2 r) + 2 x r y r + y ( 2 r) 1 2 r ( x r + y r ) r x r ( r 1) x ( 2 r) + 2 x r y r + y ( 2 r) 2 r 0 1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑΣ Εαν τουλαχιστον ενα απο τα ακολουθα κριτηρια ισχυει,τοτε η συναρτηση f : S R R ειναι οιονει κοιλη.για το πρωτο κριτηριο ισχυει και το αντιστροφο.το πεδιο ορισμου S πρεπει να ειναι κυρτο σε ολα τα ακολουθα κριτηρια 1. για καθε xy, St, [0,1] ισχυει f ( tx + (1 t) y) mi{ f ( x), f ( y )} 2.η f ειναι κοιλη 3. = 1 και η f ειναι αυξουσα συναρτηση Spyros Vassilakis page 8 of 12

9 9 4. = 1 και η f ειναι φθινουσα συναρτηση 5. = 1,η f εχει ενα και μοναδικο ολικο μεγιστο a και ειναι αυξουσα αριστερα του a,φθινουσα δεξια του. 6.η f ειναι μονοτονικος μετασχηματισμος μιας οιονει κοιλης συναρτησης,δηλαδη v= g u, g strictly icreasig, u quasi-cocave Παραδειγμα.η uxy (, ) = x+ y ειναι κοιλη στο συνολο x> 0, y > 0,και η gz () = z 2 ειναι αυστηρως αυξουσα στο συνολο z > 0,αρα η συναρτηση ( ) 2 vxy (, ) = guxy ( (, )) = x+ y = x+ y+ 2 xy ειναι οιονει κοιλη 7.κριτηριο του περιφραγμενου εσσιανου πινακα(bordered hessia matrix) BH( x ). για καθε x S και καθε k= 3,.., + 1 εχουμε ( 1) det( BH ( x )) 0 k 1 k > οπου BH( x ) ειναι ο πινακας διαστασεων ( + 1) ( + 1) BH () x = 0 f () x f x f x () Τ () Spyros Vassilakis page 9 of 12

10 10 [ ] f ( x) = f ( x), f ( x),.., f ( x) = jacobia of f 1 2 f11( x) f12( x) f1 ( x) = f21( x) f22( x) f2 ( x) f ( x) = hessia of f f1( x) f2( x) f( x) BH ( ) k x =ο πινακας που αποτελειται απο τις κ πρωτες γραμμες και στηλες του BH( x ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Cobb-Douglas f( x, y) = xy, x > 0, y > 0, οχι κοιλη,διοτι f( + ) = f( ) = 4< 5 = f( ) + f ( ) Οιονει κοιλη,διοτι ο περιφραγμενος εσσιανος πινακας ειναι 0 y x BH:= y 0 1 x 1 0 με οριζουσα 2xy,αρα η f ειναι οιονει κοιλη στο συνολο x> 0, y > 0,και συμφωνα με το κριτηριο fx ( ) = x 2, x > 0 οχι κοιλη,διοτι f ( x ) = 2> 0 Οιονει κοιλη,διοτι αυξουσα 3. fx ( ) = 1 2 x x 2,0 x 1 οχι κοιλη,διοτι f ( x) = x (2 x ) > 0 Οιονει κοιλη,διοτι φθινουσα 4. Cobb-Douglas (, ) = a b fxy xy, x> 0, y > 0, οπου το abειναι, παραμετροι, 0 a,0 ba, + b> 1 οχι κοιλη,διοτι Spyros Vassilakis page 10 of 12

11 11 Hessia := a 2 a y b ( a 1) x ( a 1) a y ( b 1) b a 1 a y ( b 1) b x a y ( b 2) b ( b 1 ) x ( ) x ( ) det( Hessia ) := ( xa ) 2 a ( y b ) 2 b ( a + b 1) x 2 y 2 <0 Οιονει κοιλη,διοτι 0 x ( a 1) a y b x a y ( b 1) b bordered_hessia := x ( a 1) a y b x ( a 2) a y b ( a 1) x ( a 1) a y ( b 1) b x a y ( b 1) b x ( a 1) a y ( b 1) b x a y ( b 2) b ( b 1 ) (-1) 2 det( bordered_hessia ) := x ( 3 a 2) y ( 3 b 2) a b ( a + b ) >0 Η,με αλλο κριτηριο, Οιονει κοιλη,διοτι a b a+ b a b a+ b a+ b = xy x y =αυξων μετασχηματισμος κοιλης συναρτησης. r r 5. Costat elasticity of substitutio (CES) ( ) ειναι παραμετρος, r > 1 Οχι οιονει κοιλη διοτι 1/ r fxy (, ) = x + y, x> 0, y > 0, οπου το r 3 r (-1) 2 det( bordered_hessia ) = A ( r 1 ) ( x ( 2 r) y r + y ( 2 r) x r ) <0 A 3 x 2 y 2 6.bell curve οπου A= x r + y r Spyros Vassilakis page 11 of 12

12 12 οχι κοιλη,διοτι η δευτερη παραγωγος ειναι θετικη για x > 1 2 f ( x) = 2 e ( x2 ) ( x 2 ) οιονει-κοιλη διοτι η πρωτη παραγωγος f ( x) = 2xexp( x 2 ) ειναι θετικη για x < 0,αρνητικη για x > 0 Spyros Vassilakis page 12 of 12

Σχετικά έγγραφα

ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. R και καθε αριθμο οριζουμε. Την καμπυλη αδιαφοριας(indifference curve,level set) της f

Page 1 of 13 covexity Ορισμος Για καθε συναρτηση ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f : S R και καθε αριθμο οριζουμε Την καμπυλη αδιαφοριας(idifferece curve,level set) της f I { xs, f( x ) } Το υπερτερο