ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: x x f ( x), να δείξετε ότι αβ+=0. f x x a x a a ( ) ( ),,. α. Αν τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία Α(,0) και Β(3,0), να βρείτε τα α και β. β. i. Για α=- και β=3, να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι πάνω από τον χχ. ii. Να λύσετε την εξίσωση: f( x ) 6 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. f( x) 4 x x β. Να δείξετε ότι f(x)=f(-x) για κάθε χ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της. γ. Να δείξετε ότι: f ( a) f ( b) 0, ό α και b ρίζες της εξίσωσης : x k k δ. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται η συνάρτηση με τύπο: g( x) f ( x ) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση (ε): τότε: x a x a a 0, [,0) (0,]. ( ) 0,. Αν ρ, ρ οι ρίζες της (ε) και ισχύει ότι : ρ =ρ α. Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες για κάθε α πραγματικό και να τις εκφράσετε σαν συνάρτηση του α. β. Να υπολογίσετε τα ρ,ρ και α. ΘΕΜΑ 5 ο Να λύσετε τις παρακάτω εξισωσανισώσεις: a. x 3 x 0 b. 3 x x x c. x x ΘΕΜΑ 6 ο x x Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f( x) x. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της. Βασίλης Μπακούρος Σελίδα

β. Να αποδείξετε ότι f(-x)=f(x). γ. Να λύσετε την ανίσωση: f( x) ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της. x x gx ( ) x x 3 γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της f με την ευθεία με εξίσωση y=. δ. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα ψψ. ΘΕΜΑ 8 ο Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η σχέση: πραγματικό αριθμό x. ( a 3) x 5x a 3 0, να ισχύει για κάθε ΘΕΜΑ 9 ο Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: y x, ( ) y x 4, ( ) α. Να δείξετε ότι οι ευθείες δεν μπορεί να είναι παράλληλες για οποιοδήποτε λ. β. Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες να τέμνονται σε σημείο του άξονα ψψ, καθώς και το σημείο τομής τους. ΘΕΜΑ 0 ο Δίνονται τα τριώνυμα : T x x x K x x x x ( ) 3 ( ),. α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το Τ(χ) έχει δύο ίσες ρίζες. β. Να βρείτε τα λ και μ ώστε το Τ(χ) να έχει δύο ίσες ρίζες και το Κ(χ) να έχει δύο άνισες και αντίστροφες ρίζες. γ. Για λ=-5 και μ=, να υπολογίσετε τις δύο αντίστροφες ρίζες του Κ(χ). ΘΕΜΑ ο Δίνεται ότι : -<χ< καθώς και οι παραστάσεις : A x x x x 3 α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. β. Να λύσετε την εξίσωση Α=Β. γ. Να αποδείξετε ότι AB 0, ά x. ΘΕΜΑ ο Α. Αν γνωρίζετε ότι : dx (, ) να δείξετε ότι: α. d( x,0) 3 d( 6,3 x) 3 Βασίλης Μπακούρος Σελίδα

β. d( x,) 7 Β. Αν d( x, y) d( x, y ) 0, να δείξετε ότι: d( x, y) d( x, ) d( y,0). ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση: ax a x a a ( ) 0, 0,. Δίνεται ακόμα ότι μία ρίζα της είναι το. α. Να βρείτε την τιμή του β και να αποδείξετε ότι έχει δύο άνισες ρίζες. β. Να βρείτε την τιμή του α, αν γνωρίζετε επιπλέον ότι: ρ +ρ =, όπου ρ και ρ οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης. ΘΕΜΑ 4 ο T( x) x 3a x a, a. Δίνεται το τριώνυμο: α. Να βρείτε τη διακρίνουσα σαν συνάρτηση του α. β. Να βρείτε το α ώστε το Τ(χ) να έχει: i. Δύο ίσες ρίζες ii. Δύο άνισες αντίθετες ρίζες. iii. Δύο άνισες αντίστροφες ρίζες. iv. Σταθερό πρόσημο και να βρείτε το πρόσημο αυτό. ΘΕΜΑ 5 ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: παράσταση διέρχεται από το Α(0,). α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι α=. β. Να λύσετε την ανίσωση: f( x) 0. γ. Αν x(,), να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. δ. Αν (0,) f ( x) x ax a x x, a 0, της οποίας η γραφική x, να λύσετε την ανίσωση: f x f x 3. f f x x ά x. x x ε. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 6 ο Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 3

f ( x) x, g( x), h( x) x, x. Με τη βοήθεια του σχήματος: x α) Να λύσετε τις ανισώσεις : g(x)<h(x) και f(x)>h(x) β) Να βρείτε ποιες από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές. γ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x)< δ) Να εξηγήσετε για ποιο λόγο η εξίσωση g(x)=0 είναι αδύνατη ενώ η f(x)=0 έχει διπλή ρίζα. ΘΕΜΑ 7 ο Σε ένα σχολείο φοιτούν 00 άτομα. Από τους μαθητές, 50 άτομα μιλούν Αγγλικά, 0 άτομα μιλούν Γαλλικά ενώ 60 άτομα μιλούν μόνο Αγγλικά. Διαλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. Αν επιλέξουμε ένα μαθητή στην τύχη, να βρείτε την πιθανότητα: α) Να μιλά και τις δύο ξένες γλώσσες β) Να μιλά μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες. γ) Να μη μιλά καμιά από τις δύο ξένες γλώσσες. δ) Να μιλά ακριβώς μία από τις δύο γλώσσες. ΘΕΜΑ 8 ο Δίνεται το τριώνυμο με τύπο: f x x ax a a ( ), (0,3). Να δείξετε ότι το τριώνυμο διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε x.. Να βρείτε το α ώστε η εξίσωση : a f ( x) ( x a) ( a ) να έχει δύο ίσες ρίζες. 3. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η ελάχιστη τιμή του f(x) να είναι τουλάχιστον 3. 4 ΘΕΜΑ 9 ο x, x, x Δίνεται οι συναρτήσεις: f ( x ) g( x ) x 3, x 3, x α) Να κατασκευάσετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές τους παραστάσεις. β) Με τη βοήθεια της γραφικής, να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x). γ) Με τη βοήθεια της γραφικής, να λύσετε την ανίσωση: f(x)>g(x) ΘΕΜΑ 0 ο Δίνεται η αριθμητική πρόοδος για την οποία γνωρίζουμε ότι: a 4, a 9. α) Να δείξετε ότι a 5, 3. β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με -6. γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: 5 4... 6 δ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: a a a... a 5 8 3 4 9 ε) Να βρείτε πόσους το πολύ όρους της προόδου πρέπει να πάρουμε, ώστε το άθροισμά τους να ξεπερνά τον αριθμό (-55). Δίνεται ότι: 769 3 Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 4

ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι αριθμοί: 4 x, x, 8 x. α) Να βρείτε την τιμή του χ ώστε να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. β) Αν γνωρίζετε ότι ο πρώτος όρος της παραπάνω προόδου είναι ο αριθμός (-64), να βρείτε ποιοι όροι είναι οι τρεις που δόθηκαν. γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: a a a... a ΘΕΜΑ ο Σε μια γεωμετρική πρόοδο, είναι a 4, a 768. 4 9 α) Να αποδείξετε ότι a 3. β) Ποιος όρος της προόδου ισούται με 307; 3 6 γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: 3 ( 6) ( 4)... 307 δ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: a a a... a ΘΕΜΑ 3 ο 3 5 α) Να βρείτε την τιμή του χ, ώστε οι αριθμοί:, x, x να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. β) Αν ο μεσαίος από αυτούς είναι ο 5 ος όρος της προόδου, να βρείτε τον ο όρο της. γ) Υπολογίστε το άθροισμα: a a a... a 4 5 6 0 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση: x ( x),. (*). Να δείξετε ότι η (*) έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε λ. x x. Αν για τις ρίζες x, x (*) ύ : 5, x x να βρείτε το λ. 3. Να βρείτε την εξίσωση με ρίζες τα x, x. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω η συνάρτηση με τύπο: f x x x ( ) 8 6. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.. Να λύσετε την ανίσωση f( x) 3. Να λύσετε την εξίσωση f ( x) x 3 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει η σχέση f( ) f( ) 0 Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 6 ο Δίνεται η παράσταση: k 3 k A 3. Για τις τιμές του k που επαληθεύουν την εξίσωση Α=0, να λυθεί η εξίσωση: kx kx k 9 0. (). Για τις τιμές του κ που επαληθεύουν την ανίσωση Α<0, να βρείτε το πλήθος των ριζών της () δικαιολογώντας την απάντησή σας. ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται η εξίσωση : x (a )x (a a ) 5 0. Να δείξετε ότι έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε α πραγματικό.. Αν γνωρίζετε ότι x x, όπου x,x ρίζες της εξίσωσης, να υπολογίσετε το α και τις ρίζες της. ΘΕΜΑ 8 ο Δίνεται η εξίσωση: x x 0,. α. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι πρώτου και για ποιες δεύτερου βαθμού; β. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ρίζες, καθώς και τις ρίζες αυτές. γ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες ετερόσημες ρίζες. δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο αρνητικές ρίζες. ε. Να βρείτε το λ ώστε το πρώτο μέλος της εξίσωσης να παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε πραγματικό αριθμό χ. στ. Βρείτε αν υπάρχουν τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο αντίθετες ρίζες. ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η εξίσωση: x τετραγώνων των ριζών της ισούται με 3. 3 x 4 0,, για την οποία ισχύει ότι το άθροισμα των Α. Να βρείτε τις ρίζες και το λ, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι οι δύο ρίζες της είναι θετικές. Β. Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του λ που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση: (x ) x 3 0 ΘΕΜΑ 30 ο 4. Δίνεται η εξίσωση: x x 0, {} α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για κάθε β. Αν ρ και ρ ( όπου η ρ εξαρτάται από το λ) είναι οι ρίζες της, να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 6

4 ΘΕΜΑ 3 ο x 3 x 4 0,. Δίνεται η εξίσωση: α. Να εκφράσετε τη διακρίνουσα ως συνάρτηση του λ και να τη φέρετε σε μορφή γινομένου πρωτοβάθμιων παραγόντων. β. Να βρείτε για ποιες αρνητικές ακέραιες τιμές του λ η εξίσωση είναι αδύνατη. γ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο θετικές ρίζες. δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. ε. Αν η αρχική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, να δείξετε ότι η εξίσωση: x ( 4 ) x 0, έχει επίσης πραγματικές ρίζες. ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) 3 x x x x 4x 3. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι f(x) Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 7 x x x 3 β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. γ. Να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τομής της C f με την ευθεία με εξίσωση y 3x δ. Να λύσετε την ανίσωση: x 3f(x) x 6f() 0 ΘΕΜΑ 33 ο Δίνονται ο δειγματικός χώρος Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης, καθώς και τα σύνθετα ενδεχόμενά του Α, Β που περιγράφονται ως εξής: x x x 3x 4 0, A x x x 4 B x x ύ x 8x 0 α. Να βρείτε τα σύνολα Ω, Α και Β. β. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A, B, A B, A B, A B. γ. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα ακριβώς από τα ενδεχόμενα Α,Β καθώς και την πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β. ΘΕΜΑ 34 ο Έστω δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία γνωρίζουμε ότι A B, καθώς και ότι οι πιθανότητες των δύο ενδεχομένων, είναι οι ρίζες της εξίσωσης α. Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B).. 6x 5x 0.

β. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α και Β. γ. Να βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς P(A B ) P(A B ). ΘΕΜΑ 35 ο Δίνονται οι ακέραιοι αριθμοί : 3x 5, x 5, 6x οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου. α. Να βρείτε το x, τους όρους καθώς και το λόγο της προόδου. β. Αν χ=- και οι όροι,, 3x 5 x 5 6x ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε: i. Ta P(A), P(A B), P(A B) P(B). ii. Τις πιθανότητες: P(A B), P(A B ) P((A B) (B A)) ΘΕΜΑ 36 ο Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος:, P(A), P(B), P(A B),,... 6 είναι οι πιθανότητες P(A), P(A B), P(A B) δύο α. Να βρείτε το λόγο της προόδου καθώς και τις πιθανότητες των ενδεχομένων P(A), P(A B), P(A B) P(B). β. Να δείξετε ότι η πιθανότητα πραγματοποίησης του (Β-Α) είναι επίσης όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου. γ. Ανάμεσα στα P(A) P(A B), να παρεμβάλλετε τρεις όρους, ώστε οι 5 αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. ΘΕΜΑ 37 ο ( ) : y k k x 3k ( ) : y 3k k x 3 και k είναι Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: η πιθανότητα του ενδεχομένου Β ενός δειγματικού χώρου Ω. α. Να βρείτε την τιμή του k ώστε να είναι παράλληλες χωρίς να συμπίπτουν. β. Αν επιπλέον η (ε ) περνά από το σημείο όπου Α ενδεχόμενο του ίδιου δειγματικού χώρου, τότε να υπολογίσετε: i. Τις τιμές των ενδεχομένων P(A), P(A B), P(A B) P(B). 5,P(A) και τέμνει τον χχ στο σημείο 0P(A B),0, ii. Την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β. iii. Την πιθανότητα να πραγματοποιείται το Β ή να μην πραγματοποιείται το Α. Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 8

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ a. A [,0) (0,) (,]. ό ' (,0) (,0). Θ:. ώ ύ ί x x 0, ό p. Θ: a. a, 3., (3, ). x 4, x, x 6. Θ3: a. A [,0) (0,]. x [ 4, ) (,) (, 4] Θ4: a. a,,.,, 3. Θ5: 3 a. x,0,. ή ή x. ύ x 3 Θ6: a. f(x) x x. x 3,,3 x x 3 Θ7: a. g(x) x 3. x 4. x (, 3), 3, Θ8: Θ9: a a., ύ. ή (0, 0) (0, 3) 4 Θ0: a. ή 5. 5. x 5 6 a. A x B x. x. AB x 0 Θ: a., a 0. a 3 Θ3: Θ4: 3 a. 8a 4a 3. i. a a 4 ii. ύ iii. a 0 ή a 3 iv. a, 4 Θ5.. x 0. f(x) x. x [,) Θ6. a. x ή x 0, x,0,. f ά, g,h έ. x Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 9

9 7 3 0 0 0 5 Θ7. a. P(A B). P(A B). P(A B ). P A B B A Θ8. 3 a. ή 4 0 (0,3), f(x) 0. 0 4. [,3) Θ0.. 3. S 644. S 36. v 3 8 Θ. a. ή ή x.. v, a,a,a. S 650 3 6 Θ.. v. S 047. S 4095 6 a. x. a. S S 54 4 Θ3. 0 3 Θ4. a. 4 8 0, ύ 6 0. 6 ή 3. x 8x 0 ή x 5x 5 0 7 Θ5.. A. x 3,5 3. x ή x 4. a 4, 0 f 3 5.k 4 ή k 0. k 0, ύ k 4, x ή x Θ6. 3. k 0,4, 36k 0, ά ά ί. Θ7.. 8 3 0., x Βασίλης Μπακούρος Σελίδα 0