4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

Transcript

1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το µέγεθος του δείγµατος Να δείξετε ότι Α + 9Β + Γ = 5000 i Να βρείτε την µέγιστη τιµή που µπορεί να έχει η τυπική απόκλιση iν) Αν κάποιο µήνα οι µισθοί µειωθούν κατά 00, να βρείτε τη µέγιστη τιµή του νέου συντελεστή µεταβολής. Οι τέσσερις υπάλληλοι µε µισθό Γ αντιστοιχούν στο 6% του δείγµατος. 6 Αν λοιπόν ν είναι το µέγεθος του δείγµατος, τότε ν = ν = 5 00 x = 0,8A + 0,6B + 0,6Γ 000 = 0,8A + 0,6B + 0,6Γ = 8A + 6B + 6Γ Α + 9Β + Γ = 5000 i Το δείγµα είναι οµοιογενές CV 0, S x 0, Οπότε S max = 00 S 0, S iν) Αν y i είναι οι νέοι µισθοί, τότε y i = x i 00 y= x 00 = = 800 και S y = S x = S S y S Οπότε CV y = CV y = y S y = 800 CV y y 800 Όµως S 00 άρα 800 CV y 00 CV y 8 CV y max = 8

2 . Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει βίδες των οποίων το µήκος ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Υποθέτουµε ότι το 97,5% περίπου από τις βίδες έχει µήκος µεγαλύτερο από,6 cm ενώ το εύρος της κατανοµής είναι,cm. Να βρείτε το µέσο µήκος των βιδών και την τυπική απόκλιση του µήκους Αν µία µέρα το εργοστάσιο φτιάχνει 0000 βίδες α) Να βρείτε πόσες βίδες έχουν µήκος από,8 έως 5, cm β) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές. i Αν µετά από καιρό το 0,% των βιδών έχει µήκος µεγαλύτερο από 5,6 cm, να εξετάστε αν υπάρχει βλάβη στην µηχανή παραγωγής. Από θεωρία γνωρίζουµε ότι στην κανονική κατανοµή ισχύει R 6S, = 6S S = 0, cm Από την παρακάτω καµπύλη της κανονικής κατανοµής 50 % 50 % % %,5 %,5 %,5 % 0,5 %,5 % 0,5 % και τα σχετικά ποσοστά βλέπουµε ότι, το 97,5% των παρατηρήσεων έχει τιµή µεγαλύτερη από x S, άρα x S =,6 x 0, =,6 x = 5 α) Έχουµε x S =,8 και x + S = 5, Από τα ποσοστά της παραπάνω καµπύλης διαπιστώνουµε ότι στο διάστηµα ( x S, x + S ) βρίσκεται το : % + % +,5% = 8,5% Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι ν = 0000 Οι βίδες µε µήκος µεταξύ,8 και 5, είναι 8, = 600 β) Εύκολα βρίσκουµε ότι CV = %, άρα το δείγµα είναι οµοιογενές

3 i Μήκος µεγαλύτερο από 5,6 = x + S, καλώς εχόντων των πραγµάτων, αναµένεται να έχει το 0,5 % των βιδών, επειδή το ποσοστό είναι διπλάσιο κάποια βλάβη θα υπάρχει στην µηχανή παραγωγής.. Έστω Ω = {,,,, 5, 6 } ο δειγµατικός χώρος της ρίψης ενός µη αµερόληπτου ζαριού και η συνάρτηση f (x) = x κ x + x+ µε κ Ω. Αν Ρ() = Ρ() = Ρ(5) = Ρ() = Ρ() = Ρ(6), να βρείτε : Τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω Τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : Α η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος Β η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός i Την πιθανότητα του ενδεχοµένου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R Έστω Ρ() = Ρ() = Ρ(5) = Ρ() = Ρ() = Ρ(6) = µ τότε µ µ µ Ρ() = Ρ() = Ρ(5) = µ και Ρ() =, Ρ() =, Ρ(6) = Όµως Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ(5) + Ρ(6) = µ + µ + µ + µ + µ + µ = µ = 7 Άρα Ρ() = Ρ() = Ρ(5) = 7, Ρ() = Ρ(6) = 7 και Ρ() = 7 Α = {,, 6} οπότε Ρ(Α) = Ρ() + Ρ() + Ρ(6) = = 5 7 Β = {,, 5} οπότε Ρ(Β) = Ρ(Α) = 5 7 = 7 i f (x) = x κ x + = κ 6 Αν > 0 κ > ( εφόσον κ Ω ) Τότε η f έχει δύο ρίζες άνισες και δεν διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R, δηλαδή η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο R Αν = 0 κ = H f έχει διπλή ρίζα το Πρόσηµο της f και µονοτονία της f : x + f f

4 Από τον πίνακα βλέπουµε ότι, για κ = η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Αν < 0 κ < ( εφόσον κ Ω ), τότε f (x) > 0 για κάθε x R Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Έστω Η το ενδεχόµενο η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, τότε Η = {, } οπότε Ρ(Η) = Ρ() + Ρ() = = 6 7. Σ ένα χορευτικό όµιλο συµµετέχουν x αγόρια και (x + ) κορίτσια. Επιλέγουµε ένα άτοµο να εκπροσωπήσει τον όµιλο σε µία εκδήλωση. Να εκφράσετε, σαν συνάρτηση του x, την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση µε 9 και ο όµιλος έχει λιγότερα από 00 µέλη, να βρείτε τον αριθµό των µελών του οµίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. i Ποιος πρέπει να είναι ο αριθµός των αγοριών του οµίλου, ώστε να µεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι και πόση είναι η πιθανότητα αυτή; (θεωρήστε σ αυτή την περίπτωση ότι x >0) Tο πλήθος των ατόµων του οµίλου είναι x + (x + ) To πλήθος των αγοριών του οµίλου είναι x x Η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι Ρ(x) = x + (x+ ) Ρ(x) = 9 x = x + 9x+ 6 9 x + 9x + 6 = 9x x 0 x + 6 = 0 x = ή x = 8 x x + 9x+ 6 = Αν τα αγόρια είναι x = 8, τότε τα κορίτσια είναι (8 + ) =, πράγµα αδύνατο αφού ο όµιλος έχει λιγότερα από 00 µέλη Αν τα αγόρια είναι x =, τότε τα κορίτσια είναι ( + ) = 6 Εποµένως ο όµιλος έχει + 6 = 8 άτοµα Η πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι είναι Ρ(Κ) = 6 8 = 8 9 i x Έστω η συνάρτηση f(x) =, x N* x + 9x+ 6 x + 9x+ 6 x 9x x + 6 f (x) = = (x + 9x+ 6) (x + 9x+ 6) f (x) = 0 x + 6 = 0 x =

5 5 Πρόσηµο της f και µονοτονία της f : x 0 + f + 0 f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει µέγιστο, το f() = 68 Εποµένως η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι µεγιστοποιείται όταν x = και η µέγιστη τιµή της είναι Ρ() = Στο διπλανό πίνακα δίνεται η κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων της βαθµολογίας ν µαθητών Να εκφράσετε την σχετική συχνότητα f σαν συνάρτηση του x Να δείξετε ότι η παράσταση f f έχει µέγιστη τιµή ίση µε 0,0 i Αν f = 0,, να βρείτε το x iν) Εκλέγοντας έναν από τους παραπάνω µαθητές στην τύχη, να βρείτε την πιθανότητα αυτός να έχει βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο από 6. 0, + 0, + x + f = f = 0, 6 x Αλλά f 0 0, 6 x 0 x 0, 6 0 x 0,6 Άρα f (x) = 0, 6 x, 0 x 0,6 f f = x(0,6 x) = x,x + 0,6x Έστω h(x) = x,x + 0,6x, 0 x 0,6 h (x) = x,x + 0,6 h (x) = 0 x,x + 0,6 = 0 x = 0, ή x = 0, [, ) f i - 0, -6 0, 6-8 x 8-0 f Πρόσηµο της h και µονοτονία της h : x 0 0, 0, 0,6 h h Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η h παρουσιάζει τ. ελάχιστο στο x = 0, το h(0) = 0 τ. µέγιστο στο x = 0,, το h(0,) = 0,0 τ. ελάχιστο στο x = 0,, το h(0,) = 0,06

6 6 τ. µέγιστο στο x = 0, 6 το h(0,6) = 0 Από τα παραπάνω βλέπουµε ότι η µέγιστη τιµή της h είναι η 0,0 i Αν f = 0, τότε f = 0,, οπότε x = x f + x f + x f + x f = 0,+5 0,+7 0,+9 0, = 6, iν) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε f + f = 0, + 0, = 0,6 = 60%

7 7 6. Μια τράπεζα χορηγεί διαφόρων τύπων δάνεια στους πελάτες της. Αν επιλέξουµε τυχαία έναν πελάτη, τότε η πιθανότητα να έχει πάρει µόνο στεγαστικό ή µόνο καταναλωτικό είναι 0,7, ενώ η πιθανότητα να µην έχει πάρει κανένα από τα προηγούµενα δάνεια είναι 0,. Να βρείτε την πιθανότητα: ένας πελάτης να έχει πάρει και τα δύο δάνεια και να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα έχει πάρει καταναλωτικό και έχει πάρει στεγαστικό είναι ασυµβίβαστα Αν επιπλέον, η πιθανότητα να έχει πάρει µόνο στεγαστικό είναι 0,6, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχόµενων α) έχει πάρει καταναλωτικό β) έχει πάρει µόνο καταναλωτικό. Έστω K το ενδεχόµενο έχει πάρει καταναλωτικό και Σ το ενδεχόµενο έχει πάρει στεγαστικό Τότε Ρ[(Κ Σ) (Σ Κ)] = 0,7 () και Ρ(Κ Σ) = 0, () (Κ Σ) είναι το ενδεχόµενο o πελάτης έχει πάρει και τα δύο δάνεια () Ρ(Κ) + Ρ(Σ) Ρ(Κ Σ) = 0,7 () () Ρ(Κ Σ) = 0, Ρ(Κ Σ) = 0,9 Ρ(Κ) + Ρ(Σ) Ρ(Κ Σ) = 0,9 () () () Ρ(Κ Σ) = 0, Επειδή Ρ(Κ Σ) = 0, 0 Κ Σ Άρα τα ενδεχόµενα έχει πάρει καταναλωτικό και έχει πάρει στεγαστικό δεν είναι ασυµβίβαστα Ρ(Σ Κ) = 0,6 Ρ(Σ) Ρ(Σ Κ) = 0,6 α) Η () Ρ(Κ) + 0,6 = 0,9 Ρ(Κ) = 0, β) Ρ(Κ Σ) = Ρ(Κ) Ρ(Κ Σ) = 0, 0, = 0,

8 8 7. Έστω Α και Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β), και η συνάρτηση f (x) = ln( x P(A) ) ( x P(A) ) + P(B), x > Ρ(Α) A. Nα µελετήσετε την συνάρτηση ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα 5 Αν η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο σηµείο xo = µε τιµή f(x o ) = 0, να αποδείξετε ότι Ρ(Α) = και Ρ(Β) = i Για τις παραπάνω τιµές των Ρ(Α) και Ρ(Β), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Α 5, f 5 ( ) B. 5 Λαµβάνοντας υπόψη το ερώτηµα ( και επιπλέον ότι P(A B) = να βρείτε την 6 πιθανότητα Να µην πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόµενα Α και Β ii ) Nα πραγµατοποιηθεί ένα µόνο από τα Α και Β A. f (x) = x Ρ( Α) (x Ρ(Α)) = (x Ρ( Α)) x Ρ( Α) f (x) = 0 (x Ρ(Α)) = 0 (x Ρ(Α)) = x Ρ(Α) = ή x Ρ(Α) = x = + Ρ(A) ή x = Ρ(Α) < Ρ(Α) απορρίπτεται (αρνητική) Πρόσηµο της f και µονοτονία της f x Ρ(Α) + Ρ(Α) + f + 0 f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει µέγιστο για x = + Ρ(Α), το f( + Ρ(Α)) = + Ρ(Β)

9 9 A. Από υπόθεση έχουµε + Ρ(Α) = 5 και + Ρ(Β) = 0 Ρ(Α) = και Ρ(Β) = A. i Για τις παραπάνω τιµές των Ρ(Α) και Ρ(Β), η συνάρτηση γίνεται f (x) = ln x x + f (x) = x ( x ) = x x Η εξίσωση της εφαπτοµένης στο Α είναι y 5 f( ) ( ) = f 5 ( x 5 ) Αλλά f( ) = + 5 και f 5 ( ) = 5 Η () γίνεται y = 0 B. Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β) () ln = ln + = 0 + = 0 = = Ρ(Α) Ρ(Β) + P(A B) = 0 = = B. Είναι Ρ(Α Β) = = Οπότε Ρ[(Α Β) (Β Α)] = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = + =

10 0 8. ίνεται η συνάρτηση f (x) x =ν x+, x (0, ) όπου ν ακέραιος µε ν > A. Να εξετάσετε την f ως προς την µονοτονία Να µελετηθεί η συνάρτηση ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι f(x) ν για κάθε x (0, ) B. Θεωρούµε τον δειγµατικό χώρο Ω = {,,,, ν} µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και το ενδεχόµενό του Α, για το οποίο ισχύει ν P(A) + = ν P(A) ( ) και Ν(Α) = ν 9ν 8, όπου Ρ(Α) η πιθανότητα του Α και Ν(Α) το πλήθος των στοιχείων του Α. Να δείξετε ότι Ρ( Α ) = 5 Aν επί πλέον Β είναι ένα ενδεχόµενο του Ω µε P(A B) =, να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου A Β Α. f (x) = ν 8 x = ν x 8 x f (x) = 0 ν x 8 = 0 x 8 = x = ν ν Πρόσηµο της f και µονοτονία της f x 0 /ν f 0 + f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για x = ν, το f( ) ν = ν ν + ν = ν + ν = ν. Α. Από το προηγούµενο ερώτηµα έχουµε ότι, για κάθε x (0, ) είναι f(x) ν. B. ν P(A) + = ν f (Ρ(A)) = ν ( P(A) )

11 Ρ(Α) = ν Ν( Α) Ν( Ω ) = ν Οπότε Ρ(Α) = ν = 0 = 5 ν ν 9 8 = ν ν ν 9ν 0 = 0 ν = 0 ή ν = απορρίπτεται B. Ρ( A Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β ) Ρ(Α Β ) = Όµως = Ρ(Α) + Ρ(Β ) [Ρ(Α) Ρ(Α Β)] = = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) + Ρ(Α Β) = = Ρ(Β) + Ρ(Α Β) () P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 5 + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 5 Ρ(Β) Ρ(Α Β) = 0 Η () γίνεται Ρ( A Β ) = 0 = 9 0

12 9. Έστω ένας δειγµατικός χώρος Ω µε Ν(Ω) = 5000 και ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Αν Α και Α αντίθετα ενδεχόµενα του Ω µε 0 < Ρ(Α) <, Ρ( Α ) δείξτε ότι : + 5 Ρ( Α ) Ρ( Α) Αν η παραπάνω σχέση ισχύει µε το ίσον, τότε να βρείτε το Ν(Α) i Αν κάποιο ενδεχόµενο Β του Ω έχει 000 στοιχεία, δείξτε ότι Α Β. Ρ( Α ) + Ρ( Α ) Ρ( Α) 5 (Ρ(A)) + Ρ(Α ) 5 Ρ(Α)Ρ(Α ) (Ρ(A)) + Ρ(Α) 5 Ρ(Α)( Ρ(Α)) (Ρ(A)) + Ρ(Α) 5 Ρ(Α) + 5 (Ρ(Α)) 0 9(Ρ(A)) + 6 Ρ(Α) 0 [Ρ(A) ] 0 η οποία είναι προφανής [Ρ(A) ] = 0 Ρ(A) = i Ρ(Β) = Ν( Β) Ν( Ω ) = Ρ(A) = Ν( Α) Ν( Ω ) = Ν( Α ) = 5000 Ν(Α) = 5000 Έστω ότι είναι Α Β = Ø, τότε Ρ (Α Β) = 0 Άρα Α Β. Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) = = > που είναι άτοπο

13 0. Έστω οι συναρτήσεις f(x) = x 5x + 6 και g(x) = x+ g(x) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f (x) g(x) Να υπολογίσετε το όριο lim x f (x) i Να βρείτε τις τιµές του α ώστε η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α( α, f(α)) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων iν) Να βρείτε σηµείο της Cg, στο οποίο η εφαπτοµένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y x + = 0 A f = R, A g = [, + ) Για το A g : Πρέπει x + 0 x Για το A : Πρέπει x + 0 και f(x) 0 g f x και x 5x x και x και x Άρα A = [, ) (, ) (, + ) g f g(x) lim x f (x) x+ lim x 5x + 6 = x = ( x+ )( x+ + ) lim x (x 5x + 6)( x + + ) i x = lim x (x )(x )( x + + ) = lim x (x )( x + + ) = Η εφαπτοµένη στο Α(α, f(α)) έχει εξίσωση y f(α) = f (α)(x α) () f(α) = α 5α + 6, f (x) = x 5, f (α) = α 5 Η () γίνεται y ( α 5α + 6) = (α 5) (x α) y = (α 5) x α + 6 Για να διέρχεται από την αρχή των αξόνων, πρέπει 0 = (α 5) 0 α = α + 6

14 iν) y x + = 0 y = x µε λ = α = 6 ή α = 6 Αν ( x, g(x)) είναι το ζητούµενο, σηµείο τότε πρέπει g ( x) = x+ = Εποµένως το ζητούµενο σηµείο είναι Β, g ( ) Αλλά g( ) = + = = = x+ = (x + ) = x = Άρα Β,