Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06- Στην περίπτωση που Δ<0 (ή ζ<1, ή c<c cr ) οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: ( ) i λ = ω ζ ± ζ 1, n 1 Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή u = Ae + A e λ t 1 λ t 1 και αντικαθιστώντας τις λύσεις λ 1 και λ ( 1 ) u = e Ae + A e ζω t iω t iω t n (1) όπου Α 1 και Α είναι σταθερές και ω = ω 1 ζ n ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες Euler η εξίσωση (1) γράφεται ( cosω sinω ) u = e A t + B t ζω nt Δ06-3 όπου Α και Β είναι σταθερές που μπορούν να προσδιοριστούν απότιςαρχικέςσυνθήκεςτουπροβλήματοςu(0) και u&(0) : u(0) + ζωnu(0) A = u(0) και B = & ω Αντικαθιστώντας τις σταθερές Α και Β, η λύσητου προβλήματος ελεύθερης ταλάντωσης μονοβάθμιου συστήματος με απόσβεση είναι ζω u& (0) + ζω (0) n t nu u = e u(0) cos ωt + sinωt ω () ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06-4 η οποία μπορεί να γραφτεί και στη μορφή όπου ζωn u = ρe t sin( ω t ϕ) u& (0) + ζωnu(0) ρ = u (0) + ω και ϕ = & 1 u(0) + u(0) ζωn tan ω u(0) ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06-5 Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της ελεύθερης ταλάντωσης μονοβάθμιου συστήματος με απόσβεση ζ=0.05 (5%), ως συνάρτηση της μετατόπισης u με το χρόνο t. Επίσης, για λόγους σύγκρισης, σχεδιάζεται η ελεύθερη ταλάντωση μονοβάθμιου συστήματος χωρίς απόσβεση ζ=0. Και οι δύο ταλαντώσεις, με και χωρίς απόσβεση, έχουν τις ίδιες αρχικές συνθήκες u(0) και u&(0), γι αυτόκαιοιδύογραφικές παραστάσεις ξεκινούν με την ίδια τεταγμένη και κλίση για t=0. ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06-6 Από την εξίσωση () φαίνεται ότι η κυκλική ιδιοσυχνότητα της αποσβεσμένης ταλάντωσης είναι ω και δίνεται από τη σχέση ω = ω 1 ζ n H κυκλική ιδιοσυχνότητα της αποσβεσμένης ταλάντωσης ω είναι πάντα μικρότερη της κυκλικής ιδιοσυχνότητας της ταλάντωσης χωρίς απόσβεση ω n (αφού ζ<1). Η ιδιοπερίοδος της αποσβεσμένης ταλάντωσης είναι Τ =π/ω και σχετίζεται με την ιδιοπερίοδο της ταλάντωσης χωρίς απόσβεση Τ n με τη σχέση T = T n 1 ζ H ιδιοπερίοδος της αποσβεσμένης ταλάντωσης Τ είναι πάντα μεγαλύτερη της ιδιοπεριόδου της ταλάντωσης χωρίς απόσβεση Τ n (αφού ζ<1). ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06-7 Παρόλο που η απόσβεση προκαλεί μείωση στην κυκλική ιδιοσυχνότητα από ω n σε ω, και αύξηση της ιδιοπεριόδου από Τ n σε Τ, αυτές οι αλλαγές είναι αμελητέες για το εύρος τιμών του ζ που χρησιμοποιούνται σε συνήθη δομικά έργα (ζ<0.10). Εκείνο που είναι σημαντικό είναι η επίδραση της απόσβεσης στο ρυθμό με τον οποίον η ελεύθερη ταλάντωση φθίνει. Το πλάτος u 0 της ελεύθερης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση παραμένει σταθερό σ όλους τους κύκλους ταλάντωσης, ενώ το πλάτος της ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση φθίνει εκθετικά με το χρόνο, e ζω n ±ρ t, όπου u& (0) + ζωnu(0) ρ = u (0) + ω ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06-8 Εξασθένηση (προοδευτική μείωση) πλάτους ταλάντωσης Αν τη χρονική στιγμή t ημετατόπισηείναιu(t) τότε μετά από έναν κύκλο ταλάντωσης Τ, η μετατόπιση θα είναι ίση με ( ) ut+ T = ρe ω t+ T ϕ ζωn( t+ T) ( ) sin ( ) και επειδή Τ =π/ω, π ζωn( t + ) ω πζ ζωnt 1 ζ e e sin t πζ 1 ζ (( ) ) ut ( + T) = ρe sin ω t+ π ϕ ( ) = ρ ω ϕ = ute () Παίρνοντας το λόγο u(t)/u(t+τ ) έχουμε ut () ut ( + T) = e πζ 1 ζ ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06-9 Η πιο πάνω σχέση για δύο διαδοχικά μέγιστα u i και u i+1 (δες σχήμα) γράφεται u u i e πζ u ln u 1 ζ i = = = i+ 1 i+ 1 δ πζ 1 ζ Η ποσότητα δ καλείται λογαριθμική μείωση του πλάτους. ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ06-10 Όταν το ζ είναι μικρό, τότε 1 ζ = 1 και παίρνουμε την προσεγγιστική εξίσωση δ = πζ Στοσχήμαφαίνονταιηακριβήςκαι προσεγγιστική σχέση μεταξύ δ και ζ. Είναι εμφανές ότι για ζ<0.0 η προσεγγιστική εξίσωση δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ06-11 Η ποσότητα δ μπορεί να υπολογιστεί και στην περίπτωση που τα μέγιστα δεν είναι διαδοχικά αλλά έχουν μεσολαβήσει j κύκλοι ταλάντωσης μεταξύ τους 1 u δ = ln 1 = πζ j uj + 1 Είναι προφανές ότι όσο μεγαλύτερη απόσβεση διαθέτει ένα σύστημα, τόσο πιο γρήγορα μειώνεται το εύρος ταλάντωσης. Για παράδειγμα, οι κύκλοι ελεύθερης ταλάντωσης που απαιτούνταιώστετοαρχικόπλάτοςναμειωθείστομισόείναι j 50% 0.11 ζ Αυτό σημαίνει για ένα σύστημα με ζ=5%, το πλάτος μειώνεται κατά 50% κάθε. κύκλους ελεύθερης ταλάντωσης. = ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ06-1 Οι πιο πάνω σχέσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα για τον προσδιορισμό των δυναμικών χαρακτηριστικών υφιστάμενων κατασκευών. Το σύστημα διαταράσσεται από τη θέση ισορροπίας και κατόπιν αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα ενώ ταυτόχρονα καταγράφεται η κίνησή του. Ο συντελεστής απόσβεσης μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση 1 u 1 i u&& i ζ = ln ή ζ = ln π j u i+ j π j u&& i+ j Η ιδιοπερίοδος του συστήματος Τ μπορεί να προσδιοριστεί αν μετρηθεί ο χρόνος που απαιτείται για έναν κύκλο ταλάντωσης. Οπότε, η κυκλική ιδιοσυχνότητα ω =π/τ. Με γνωστά τα ζ και ω υπολογίζονται τα και T = π / ω n n ω = ω / 1 ζ n ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ06-13 Ενέργεια Συστήματος σε Ελεύθερη Ταλάντωση Η ενέργεια που προσδίδεται στο σύστημα κατά την έναρξη της κίνησης του, με αρχικές συνθήκες u(0) και u&(0), είναι 1 1 EI = k u(0) + m u(0) & Σε κάθε χρονική στιγμή t η ολική ενέργεια του συστήματος που εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση, αποτελείται από την κινητική ενέργεια Ε Κ και τη δυναμική ενέργεια Ε S (ελαστική ενέργεια ελατηρίου): 1 = + = & 1 ET() t EK() t ES() t m u() t + k u() t Για ταλάντωση χωρίς απόσβεση δείξαμε ότι (3) u(0) ut () = u(0)cosω nt+ & sinωnt ω n (4) ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος:Δ06-14 Ενέργεια Συστήματος σε Ελεύθερη Ταλάντωση (...) Αντικαθιστώντας την εξίσωση (4) στην (3) παίρνουμε 1 1 E () t = E () t + E () t = k u(0) + m u& (0) = E T K S I Δηλαδή, η ολική ενέργεια σ ένα σύστημα που εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση παραμένει σταθερή καθόλη τη διάρκεια της κίνησης και είναι ίση με την ενέργεια που προσδίδεται στο σύστημα κατά την έναρξη της κίνησης. Σε συστήματα με ιξώδη απόσβεση, η ολική ενέργεια θα είναι μία φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου λόγω της ενέργειας που χάνεται εξαιτίας της απόσβεσης Ε, που για χρόνο από 0 μέχρι t 1 ισούται με u u t 1 E = f () t du = cudu = cu dt & 0 0 0 & ΠΠΜ30: Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών 008 Παναγιώτης Ρουσής