Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Ιδανικά ρευστά Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 7 Απριλίου 2019 1 Καταστατικές εξισώσεις ιδανικού ρευστού Ιδανικό ρευστό είναι ένα υποθετικό ρευστό το οποίο έχει ιξώδες μηδέν και άρα κάνει άτριβη ροή. Το βασικό γνώρισμα της άτριβης ροής είναι ότι σε αυτήν δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις. Ετσι, υιοθετόντας το μοντέλο του ιδανικού ρευστού δεχόμαστε ότι τόσο κατά την κίνηση όσο και κατά την ισορροπία του ρευστού δεν εμφανίζονται διατμητικές τάσεις. Αυτό σημαίνει ότι δύο γειτονικά στρώματα του ρευστού μπορούν να βρίσκονται σε σχετική κίνηση χωρίς να εμφανίζονται εσωτερικές τριβές. Οι καταστατικές εξισώσεις που καθορίζουν το μοντέλο του ιδανικού ρευστού είναι: σ ij = pδ ij, (1) από όπου παρατηρούμε ότι ο τανυστής τάσης είναι διαγώνιος με ίσα στοιχεία σ 11 = σ 22 = σ 33 = p(x 1, x 2, x 3, t). Το διάνυσμα τάσης έχει συνιστώσες p 1 = np, p 2 = np, p 3 = np και άρα σε τυχόν σημείο το διάνυσμα τάσης συνδέεται με το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα με τη σχέση p = p n, (2) email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com 1
που σημαίνει ότι σε ένα ιδανικό ρευστό το διάνυσμα τάσης είναι πάντα κάθετο στην επιφάνεια που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο του ρευστού. Επομένος η κατάσταση τάσης του ιδανικού ρευστού σε κάθε σημείο του προσδιορίζεται μόνο απο ένα μέγεθος την υδροστατική πίεση του ρευστού. Οι εξισώσεις κίνησης ιδανικού ρευστού δίνονται από τις σχέσεις: ρ du 1 ρ du 2 ρ du 3 = ρf 1 p x 1, = ρf 2 p x 2, = ρf 3 p x 3, (3) ή υπό διανυσματική μορφή dū = f 1 gradp, (4) ρ όπου ū η ταχύτητα του ρευστού, f η πυκνότητα των δυνάμεων μάζας, ρ η πυκνότητα του ρευστού και p η υδροστατική πίεση. Οι παραπάνω εξισώσεις ονομάζονται εξισώσεις Euler. Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να γραφούν με τη βοήθεια του διανύσματος στροβιλών ω ū t + grad(1 2 u2 ) + 2( ω ū) = f 1 gradp, (5) ρ όπου οι συνιστώσες του διανύσματος στροβιλών δίνονται από τις σχέσεις: ω 1 = 1 2 ( u 3 x 2 u 2 x 3 ), ω 2 = 1 2 ( u 1 x 3 u 3 x 1 ), ω 3 = 1 2 ( u 2 x 1 u 1 x 2 ). (6) 2
2 Δύο περιπτώσεις κίνησης ιδανικού ρευστού Η κίνηση ενός ιδανικού ρευστού περιγράφεται από την εξίσωση συνέχειας και τις τρεις εξισώσεις Euler. Εχουμε 4 γνωστές εξισώσεις κίνησης όμως το πρόβλημα βρίσκεται στο γεγονός ότι οι άγνωστες συνερτήσεις είναι 5: πυκνότητα, πίεση και οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας. Οπως έχουμε συζητήση και σε προηγούμενο μάθημα η λύση στο παραπάνω πρόβλημα δίνεται με τη βοήθεια ειδικών καταστατικών εξισώσεων. 2.1 Ασυμπίεστο ρευστό Πολλές φορές μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πυκνότητα σε ένα σωματίδιο δεν μεταβάλλεται, με άλλα λόγια ότι το ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο. Η μαθηματική περιγραφή της παραπάνω υπόθεσης δίνεται με τη σχέση dρ = 0. (7) Η εξίσωση (7) είναι η πέμπτη εξίσωση που χρειαζόμαστε για να επιλύσουμε το σύστημα. 2.2 Βαροτροπική μεταβολή Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν ιδανικά ρευστά που σε ένα σημείο τους η πίεση τους εξαρτάται από την πυκνότητα στο σημείο αυτό. Η μαθηματική περιγραφή της παραπάνω υπόθεσης δίνεται με τη σχέση p = f(ρ), (8) η οποία είναι η πέμπτη εξίσωση που χρειαζόμαστε για να επιλύσουμε το σύστημα. 3
3 Το ολοκλήρωμα κίνησης του Bernouli Στην περίπτωση που έχουμε βαροτροπική ροή στην οποία δυνάμεις μάζας προέρχονται από δυναμικό (είναι συντηρητικές), η ροή είναι αστρόβιλη και μόνιμη υπάρχει ολοκλήρωμα της κίνησης που ονομάζεται ολοκλήρωμα κίνησης του Bernouli και δινεται από τη σχέση 1 2 u2 + Ω + dp ρ(p) = constant, (9) όπου ū η ταχύτητα του ρευστού, Ω το δυναμικό ανά μονάδα μάζας, ρ η πυκνότητα του ρευστού και p η υδροστατική πίεση. γίνεται Στην περίπτωση ομογενούς ρευστού το ολοκλήρωμα κίνησης του Bernouli 4 Ασκήσεις 1 2 u2 + Ω + p ρ = constant. (10) 1. Να αποδείξετε ότι στην περίπτωση βαροτροπικής ροής υπάρχει ένα ολοκλήρωμα κίνησης των διαφορικών εξισώσεων του Euler (Το ολοκλήρωμα Cauchy- Lagrange) αν ι) οι δυνάμεις μάζας προέρχονται από δυναμικό (είναι συντηρητικές) και ιι) η ροή είναι αστρόβιλη. 2. Να βρεθεί το πεδίο ταχυτήτων του νερού σε μια μεγάλη δεξαμενή γεμάτη με νερό ύψους H στην οποία από το σημείο O της βάσης της ξεκινάει ένας οριζόντιος σωλήνας μεγάλου μήκους L που κλείνει στο άκρο του με στρόφιγγα. 3. Να βρείτε την ταχύτητα εκροής ενός ρευστού από το δοχείο του σχήματος (1). 4. Να βρείτε την ταχύτητα εκροής, ενός ασυμπίεστου σταθερής πυκνότητας ρευστού που κάνει μόνιμη αστρόβιλη κίνηση, από το σωλήνα του σχήματος (2). 4
Σχήμα 1: Σχήμα 2: 5. Μια κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου D = 1m, περιέχει νερό μέχρι ύψους h = 2.5m. Κοντά στ βάση της δεξαμενής υπάρχει μια μικρή οπή, διαμέτρου d = 0.1m, από την οποία εξέρχεται το νερό στην ατμόσφαιρα με ομοιόμορφη ταχύτητα. Οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογιστεί ο ρυθμός εκροής του νερού από τη δεξαμενή. 6. Το δυναμικό από το οποίο προέρχεται το πεδίο ταχυτήτων ενός ιδανικού ασυμπίεστου ρευστού είναι Φ = x 3 1 3x 1 x 2 2. Να επαληθευεί ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο. Να βρεθεί το πεδίο ταχυτήτων. Να βρεθεί η κατανομή της πίεσης αν στο σημείο (0, 0, 0) είναι p = p 0 και Ω = gx 3, όπου το Ω το δυναμικό των δυνάμεων μάζας. 7. Αν θεωρηθεί ότι η ατμόσφαιρα είναι ιδανικό ρευστό και έχει σταθερή θερμοκρασία T 0, να αποδειχθεί η σχέση ρ ρ 0 = p p 0 = e ( g a T 0)x 3, όπου ρ 0, p 0 5
η πυκνότητα και η πίεση αντίστοιχα, στο επίπεδο x 3 = 0 και x 3 το κατακόρυφο ύψος (δίνεται p = aρt, όπου a σταθερα). 8. Να βρεθεί η συνάρτηση πίεσης P (p) για το βαροτροπικό ρευστό με καταστατική εξίσωση p = λρ k, όπου λ, k σταθερές. 6