Συλλογή Ασκήσεων Υδροστατικής

Συλλογή Ασκήσεων Υδοστατικής Άσκηση. ℵ Να βεθεί η τιμή της πίεσης που δείχνει το πιεσόμετο, σε mmhg. Δίνονται οι πυκνότητες υδαγύου Hg 600kg/m, νεού Ν 000 kg/m και αέα Α,9 kg/m. 0 cm cm + 0 Επίλυση Αχικά επιλέγουμε μια στάθμη αναφοάς υψομέτων (0) και τη φοά των θετικών (βλέπε σκαίφημα). Στη συνέχεια, με βάση αυτό το σύστημα αναφοάς, γάφουμε τις υδοστατικές εξισώσεις, που θα ισχύουν σε κάθε μέσο (νεό, αέας, υδάγυος, αέας) εάν ακολουθήσουμε μια διαδομή (----) μέσα από ευστά (υγά & αέα), δηλαδή από το σημείο άγνωστης πίεσης () ή Α στο σημείο της γνωστής πίεσης (), η οποία στη συγκεκιμένη πείπτωση είναι ίση με την ατμοσφαιική ( atm ). Α) Πλήης και ακιβής ανάλυση Κάθε μία από τις παακάτω εξισώσεις υδοστατικής συνδέει τις υδοστατικές πιέσεις που επικατούν στις συνοιακές στάθμες του κάθε μέσου (διεπιφάνειες μεταξύ δύο μέσων). ( ) g για το νεό (.α) ( ) g για τον αέα στο κλειστό δοχείο (.β) ( ) Hgg για τον υδάγυο (.γ) ( ) g για τον ατμοσφαιικό αέα στο μανομετικό σωλήνα (.δ) Το πααπάνω σετ εξισώσεων μετά από πόσθεση κατά μέλη δίνει: Hg g( ) + ( ) + ( ) + ( ) () ℵ Άσκηση 9 (Κεφ. σελ.79-80) από το Βιβλίο «Μηχανική των Ρευστών» του Π. Κοωνάκη Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

Στην πααπάνω εξίσωση, άγνωστα μεγέθη είναι τα, ( - ) και ( - ). Εάν γνωίζαμε τις τιμές των δύο τελευταίων θα επιλύαμε με ακίβεια ως πος. Επειδή όμως δε γνωίζουμε τις τιμές ( - ) και ( - ), μποούμε να κάνουμε το παακάτω υπολογιστικό «τέχνασμα». Παατηούμε, από τις σχεδιαστικές αναλογίες του σκαιφήματος, ότι τα ( - ) και ( - ) (που έχουν συγκίσιμη τιμή με την τιμή των ( - ) και ( - ) δηλαδή έχουν «ίδια τάξη μεγέθους» ), πολλαπλασιάζονται με το λόγο πυκνοτήτων αέα-νεού ( Α / Ν ), ο οποίος, ως αιθμός, έχει πολύ μικότεη τιμή από το αλλά και από το λόγο πυκνοτήτων υδαγύουνεού ( Hg / ). Δηλαδή ( ), ( ), ( ), ( ) m 0 < < Επομένως, για τις τάξεις μεγέθους αυτών των μεταβλητών ισχύει O O O () ( ) ( ) ( ) ( ) 0 O Επίσης,9 0 kg / m,9 0 << 000kg / m Hg 600kg / m 000kg / m,6 > () και O O(,9 0 ) Hg και O O(,6) O(,6 0 ) () Για να πααλείψουμε ή κατήσουμε όους από το άθοισμα () πέπει να συγκίνουμε τις τάξεις μεγέθους των όων του. Κάθε όος του αθοίσματος () αποτελείται από γινόμενο δύο πααγόντων των οποίων τις τάξεις μεγέθους τις εκτιμήσαμε πααπάνω. Έτσι, η τάξη μεγέθους κάθε όου του αθόισματος () εκτιμάται ως: ( ) 0 O O O O ( ) O( ) + O 0 Hg Hg ( ) O( ) + O 0 + ( ) O( ) + O 0 Συνεπώς, ο ος και ο ος όος του αθοίσματος στην αγκύλη της εξίσωσης () είναι αμελητέοι σε σχέση με τον ο και τον ο, αφού διαφέουν κατά [0-(-)] τάξεις μεγέθους (ο ος & ο ος είναι.0000 φοές μικότεοι από τον ο ) και [-(-)] τάξεις μεγέθους (ο ος & ο ος είναι 0.0000 φοές μικότεοι από τον ο ) αντίστοιχα. Έτσι δικαιολογείται γιατί θα μποούσαμε να είχαμε καταστώσει τις εξισώσεις επίλυσης του ποβλήματος συντομότεα με την ποσεγγιστική ανάλυση που ακολουθεί παακάτω. Β) Ποσεγγιστική ανάλυση ( ) g για το νεό (.α) Βλέπε Σημείωση στο τέλος της Ασκησης Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

για τον αέα στο κλειστό δοχείο (.β) ( ) Hgg για τον υδάγυο (.γ) για τον ατμοσφαιικό αέα στο μανομετικό σωλήνα (.δ) οι οποίες με πόσθεση κατά μέλη δίνουν Hg g( ) + ( ) (6) g Hg ( ) + ( ) με αντικατάσταση των τιμών Άα kg m kg m atm 000 9,8 [ 0,m +,6 0,m ] 0 Pa 000 9,8,8m m s m s kg m t 0 Pa 800, m 0 Pa 800, 0 Pa 800,Pa 899,6Pa m s m 899,6 Pa 0,89 atm (7) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

ΤΑΞΗ ΜΕΓΕΘΟΥΣ Κάθε αιθμός μποεί να γαφεί ως b a 0 με a < 0. Το σύμβολο Ο σημαίνει «τάξη μεγέθους» και οίζεται ως Ο ( ) b Στην ουσία το Ο() είναι ένας τελεστής (ένα εγαλείο) που μετά τις δυνάμεις του 0 ενός αιθμού π.χ. 0 ( ) O( 0 ) 0 O, ( ) O(, 0 ) ( ) O( 0 ), O O 0, ( ) O(, 0 ) O 0,00 ( ) O(,8 0 ) O,8 Επίσης είναι ποφανές ότι ( ab) O( a) O( b) και O( a / b) O( a) O( b) O +, Ένας εναλλακτικός τόπος για την εύεση της τάξης μεγέθους, b, ενός αιθμού, με a < 0 είναι και ο [ log ] int( log ) b 0 0 όπου οι αγκύλες [ ] ή το int( ) σημαίνουν την πάξη «ο μικότεος ακέαιος» Έτσι ( ) [ log ] int( log ) O 0 0 b a 0, π.χ. ( 879,) Ο(,879 0 ) Ο ή και Ο ( 879,) [ log0 879,] [,780] ( 9807, ) Ο(,9807 0 ) Ο ή και Ο 9807, int log0 9807, int,60 ( ) ( ) ( ) Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

Άσκηση. To κυλινδικό δοχείο Α έχει τιπλάσια διάμετο από τη διάμετο του κυλινδικού δοχείου Β (D D ). Το απόβαο του δοχείου Β είναι Β k και το απόβαο του δοχείου Α είναι Α Α Α Β. Απαντήστε στα παακάτω: (α) Eάν τοποθετηθεί έμα, του ίδιου βάους W6 k και στα δύο δοχεία, δώστε τη βύθιση του Α σχετικά με τη βύθιση του Β ( /?) (β) Ποιά πέπει να είναι η αναλογία βάους, ew /W, των εμάτων στα δοχεία Α & Β, ώστε οι πυθμένες των δύο κυλίνδων να έχουν το ίδιο βύθισμα ( )? Α Β W Α W Β Επίλυση (α) Eάν τοποθετηθεί έμα, του ίδιου βάους W6 k και στα δύο δοχεία, δώστε τη βύθιση του Α σχετικά με τη βύθιση του Β ( /?) Διαγάμματα ελευθέου σώματος (Δ.Ε.Σ.) έματος & δοχείου Α Κατανοµή υδοστατικών πιέσεων στη βεχόµενη επιφάνεια του βυθισµένου δοχείου Α.Ε.Σ. έµατος.ε.σ. δοχείου Α Α W Α R W R Α Α +,ma g g πd Α / Ισοοπία δυνάμεων στη δ/νση : Δ.Ε.Σ. έματος 0 R W 0 R W () Δ.Ε.Σ. δοχείου Α 0 g πd R 0 g πd + W ( + W) gπd () Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

Ομοίως, από τα ΔΕΣ έματος & δοχείου Β, ποκύπτει η σχέση για το βύθισμα,, του δοχείου Β. ( + W) () gπd Διαιώντας κατά μέλη τις δύο εκφάσεις ποκύπτει η γενική έκφαση ( + W ) ( + W ) D ( + W ) D gπd ( + W ) () gπd η οποία μετά από αντικατάσταση των δεδομένων αναλογιών μεταξύ των δοχείων Α & Β γίνεται ( + ) ( + ) ( + W) D ( + W)( D ) ( + W) ( + W) W D () W D 9 και μετά από αντικατάσταση των δεδομένων τιμών των απόβαων και του έματος γίνεται ( + W) ( + W) ( k + 6k) 0k 0 ( k + 6k) 9 7k 6 (6) 9 9 (β) Ποιά πέπει να είναι η αναλογία βάους, ew /W, των εμάτων στα δοχεία Α & Β, ώστε οι πυθμένες των δύο κυλίνδων να έχουν το ίδιο βύθισμα ( )? Εάν τα έματα Α & Β έχουν διαφοετικά βάη, (W & W ), τότε οι σχέσεις για το βύθισμα κάθε δοχείου γίνονται ( + W ) και gπd ( + W ) (7) gπd Επομένως για να έχουν το ίσο βύθισμα τα δύο δοχεία ( + W ) ( + W ) (8) gπd gπd και για τις δεδομένες αναλογίες μεταξύ των δύο δοχείων ποκύπτει ( + W ) ( + W ) gπd gπd D D W + 9W W W k e + 9 + 9 (0) W W W W (9) Όταν τα απόβαα των δοχείων Α & Β θεωηθούν αμελητέα ( 0), οι σχέσεις () & (9) γίνονται: W και W 9W e 9 9 W Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09 6

Άσκηση. Σε έναν αδευτικό υδατόπυγο η κωνική δεξαμενή, ύψους [+(Ν/)]m και μέσης διαμέτου D0m, στηίζεται σε πυλώνα ύψους Η[+(Ν/)]m από την επιφάνεια του εδάφους. H α βείτε την ελάχιστη ( 0,min ) και τη μέγιστη ( 0,ma ) πίεση του νεού που θα αναπτύσσεται στο άκο κατώτεο άκο του αγωγού εκοής της δεξαμενής στην επιφάνεια του εδάφους. (Ο αγωγός εκοής ξεκινάει από τον πυθμένα της δεξαμενής και καταλήγει στην επιφάνεια του εδάφους για την τοφοδοσία του αδευτικού συστήματος). Επίλυση Απλό πόβλημα υδοστατικής Το σχήμα και οι διαστάσεις του υδατόπυγου δεν παίζουν κανένα όλο. Μόνο τα ύψη στις ακαίες στάθμες του νεού, H και (H+). Μέγιστη πίεση P ma g(h+) και ελάχιστη πίεση P min gh Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09 7

Άσκηση. Σε μια μεγάλη στεθεή πλάκα ποσαμόζεται ένα τοοειδές σώμα (δηλαδή το / από ένα κυλινδικό δακτύλιο) οθογωνικής διατομής b (R -R ), όπου b7mm είναι η αξονική διάσταση του κυλίνδου (το μήκος του κυλίνδου), R 00mm και R 00mm η εξωτεική & εσωτεική ακτίνα του κυλινδικού δακτυλίου, και Ο το κέντο του κυλίνδου που συμπίπτει με την ακμή της στήιξης του ζυγού. Αυτό το τοοειδές σώμα βυθίζεται σε νεό που ηεμεί σε διαφοετικές κάθε φοά τελικές στάθμες. Το ύψος κάθε στάθμης μετιέται από το κατώτεο μέος του σώματος με την απόσταση d. Αχικά η δεξαμενή γεμίζεται με νεό μέχι το κατώτεο σημείο του τοοειδούς σώματος. Στη συνέχεια, ποστίθεται νεό στη δεξαμενή και η τελική στάθμη της επιφάνειας του νεού ανέχεται σε κάποιο ύψος d ως πος την αχική στάθμη. Να ποσδιοισθεί το μέγεθος, η διεύθυνση /φοά και το σημείο εφαμογής (κέντο πίεσης) της συνισταμένης των υδοστατικών δυνάμεων που αναπτύσσονται στο τμήμα του κυλινδικού τοοειδούς σώματος, που βυθίζεται σε νεό για διαφοετικά ύψη d της στάθμης του νεού 0<d <R. R Ο d Άντιγα μέτησης στάθμης (ύψους d ) R d Τοοειδές σώμα (/ κυλινδικού δακτυλίου) οθογωνικής διατομής b (R -R ) Επιφάνεια Ε Επίλυση Ο ποσδιοισμός του κέντου πίεσης της συνισταμένης δύναμης θα γίνει με εφαμογή των γνωστών εκφάσεων της υδοστατικής Η τιμή της συνισταμένης υδοστατικής δύναμης υπολογίζεται από την έκφαση g () όπου είναι η πυκνότητα του νεού και είναι το βάθος του κέντου βάους της βεχόμενης επιφάνειας του τόου. Η θέση του κέντου πίεσης, ΚΠ, μποεί να ποσδιοισθεί αναλυτικά από την έκφαση ( ) () ΚΠ XX όπου XX η δευτεοβάθμια οπή αδάνειας της επιφάνειας Ε ως πος άξονα Χ πάνω στην επιφάνεια του νεού και παάλληλο στον ΟΟ. Η Ι XX μποεί να υπολογισθεί από την έκφαση XX + () XoXo Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09 8

όπου Ι XoXo η δευτεοβάθμια οπή αδάνειας της επιφάνειας ως πος κεντοβαικό άξονα, παάλληλο στον άξονα ΟΟ. Ο R d ΚΠ Άντιγα μέτησης στάθμης (ύψους d ) R K d KΠ Επιφάνεια Ε Εικόνα Σχεδιάγαμμα των γεωμετικών μεγεθών που είναι απααίτητα για την υδοστατική ανάλυση του τοοειδούς σώματος Tο βάθος του κέντου βάους,, και το βάθος του κέντου πίεσης, κπ, υπολογίζονται ως ακολούθως Πάντα θα ισχύει R d + d Διακίνουμε δύο πειπτώσεις (Α) μέος της επιφάνειας Ε είναι βυθισμένη, δηλαδή όταν R <d <R 0<d <(R -R ) d o o d b (Β) ολόκληη η επιφάνεια Ε είναι βυθισμένη δηλαδή όταν 0<d <R (R -R )<d <R oo d R R ( R R ) b ΠΡΟΣΟΧΗ! Ολες οι διαστάσεις και μεγέθη θα πέπει να υπολογίζονται για το βεχόμενο τμήμα της οθογώνιας επίπεδης επιφάνειας Ε (βλέπε και Εικόνες & ). Λεπτομέειες για τους τύπους (), () & (6) παουσιάζονται στο αντίστοιχο τυπολόγιο του e- class του μαθήματος tts://education.teiat.gr/claroline/document/document. και στη συνέχεια επιλέξτε «Σημειώσεις-Τυπολόγια» και ανοίξτε το αχείο «PressurenclinedSurf_moments.df» Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09 9

R R (s ) s Ο (s ) (s ) () s () () (s ) Εικόνα Διάγαμμα της κατανομής της πίεσης του νεού επί της βυθισμένης επιφάνειας του σώματος. Απεικονίζονται τα χαακτηιστικά των διαγαμμάτων πίεσης τόσο στην κατακόυφη επίπεδη επιφάνεια, (), όσο και στις δύο κυλινδικές επιφάνειες (σε ακτίνες R & R ), (s ) & (s ). Επίσης, απεικονίζεται ο συσχετισμός των χαακτηιστικών των διαγαμμάτων κατανομής πίεσης που βοηθά στο γαφικό σχεδιασμό της κατανομής της πίεσης στις βυθισμένες επιφάνειες του σώματος, (s ) & (s ), με βάση τη βαθομετική κατανομή της πίεσης, (). Ο Ο Ο Ο κπ κπ d d (Α) κπ Εικόνα Τισδιάστατη απεικόνιση δύο διαφοετικών πειπτώσεων βύθισης του τοοειδούς δακτυλίου στο νεό. (Α) Μεική βύθιση της κατακόυφης επιφάνεια του δακτυλίου (Β) Πλήης βύθιση της κατακόυφης επιφάνεια του δακτυλίου. Δεξιά σε κάθε σκαίφημα εμφανίζεται (με γαλάζιο χώμα) η βεχόμενη κατακόυφη επιφάνεια του δακτυλίου Σε όλες τις πειπτώσεις οι θέσεις του γεωμετικού κέντου βάους () της βεχόμενης επιφάνειας και του κέντου πίεσης (κπ) στο οποίο εφαμόζεται η συνισταμένη υδοστατική δύναμη δίνονται ως βάθη από την εκάστοτε στάθμη του νεού. (Β) κπ Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09 0

Άσκηση.6 Σε μια δεξαμενή χησιμοποιείται ένα ευθύγαμμο κυλινδικό φάγμα μήκους L. Το φάγμα διαχωίζει δύο διαφοετικές στάθμες νεού όπως Β στο διπλανό σκαίφημα. Το φάγμα συγκατείται στη θέση του από μια συνεχή ευθύγαμμη ω άθωση Α και από μια ντίζα Β. Να ευεθούν: R (α) για ποιά γωνία, ω, της ντίζας Β, η δύναμη,, η οποία πααλαμβάνεται είναι η ελάχιστη δυνατή, (β) για τον ποσανατολισμό του εωτήματος (α), να ευεθούν τα φοτία που αναπτύσσονται στην άθωση Α. Δίνονται: Πυκνότητα νεού: 000 kg/m, σχετική πυκνότητα υλικού κυλινδικού φάγματος * Επίλυση Με ένα κατακόυφο επίπεδο θα διαιέσουμε τον κύλινδο και τη δεξαμενή σε δύο τμήματα, (Ι) και (ΙΙ), ώστε να υπολογίσουμε ξεχωιστά τις υδοστατικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στο αιστεό και δεξί τμήμα του κυλίνδου. ω ΙΙ Β ω Β κπ κπ Ι κπ Ι κπ Α Ο κπ κπ ΙΙ κπ ΙΙ Εικόνα. Οι υδοστατικές δυνάμεις που εξασκούνται στα δύο τμήματα του κυλίνδου. Ποσέξτε τα δύο διαφοετικά συστήματα συντεταγμένων και Ο, στο αιστεό και δεξί τμήμα του κυλίνδου αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό των υδοστατικών δυνάμεων θα χησιμοποιήσουμε τη σχετική θεωία για κεκλιμένες καμπύλες επιφάνειες. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

Στο Τμήμα (Ι) Η συνισταμένη υδοστατική δύναμη στο αιστεό τμήμα αναλύεται σε δύο συνιστώσες, την οιζόντια και την κατακόυφη. Τα μέτα τους δίνονται από τις γνωστές εκφάσεις όπου π g g( RL) R gr L και gv gr L () RL είναι το εμβαδό της ποβολής της βυθισμένης ημι-κυλινδικής επιφάνειας ως πος κατακόυφο επίπεδο παάλληλο στον άξονα του κυλίνδου, R είναι η τεταγμένη του κέντου βάους της βυθισμένης ημικυλινδικής επιφάνειας, και V πr L είναι ο όγκος του νεού που εκτοπίζεται από το βυθισμένο τμήμα του κυλίνδου στο αιστεό τμήμα της δεξαμενής. Έτσι, τα μέτα των υδοστατικών δυνάμεων δίνονται από τις εκφάσεις π gr L και gr L () Οι ευθείες εφαμογής των ποηγούμενων υδοστατικών δυνάμεων απέχουν αποστάσεις από την ελεύθεη στάθμη του νεού στο αιστεό τμήμα, και κπ από το κατακόυφο επίπεδο που πειέχει τον άξονα του κυλίνδου, τα οποία δίνονται από τις εκφάσεις ( ) L( R) R LR z0z0 + + zz κπ R () RLR κπ R π κπ Η συνισταμένη των και θα πενά από τον άξονα του κυλίνδου. (Γιατί?) () Στο Τμήμα (ΙΙ) Η συνισταμένη υδοστατική δύναμη στο δεξί τμήμα αναλύεται σε δύο συνιστώσες, την οιζόντια και την κατακόυφη. Τα μέτα τους δίνονται από τις εκφάσεις g και gv () όπου Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

RL είναι το εμβαδό της ποβολής της βυθισμένης /-κυλινδικής επιφάνειας ως πος κατακόυφο επίπεδο παάλληλο στον άξονα του κυλίνδου, R / είναι η τεταγμένη του κέντου βάους της βυθισμένης ημικυλινδικής επιφάνειας, και V πr L είναι ο όγκος του νεού που εκτοπίζεται από την ύπαξη του βυθισμένου τμήματος του κυλίνδου στο δεξιό τμήμα της δεξαμενής. Έτσι, τα μέτα των υδοστατικών δυνάμεων δίνονται από τις εκφάσεις π gr L και gr L (6) Οι ευθείες εφαμογής των ποηγούμενων υδοστατικών δυνάμεων απέχουν αποστάσεις από την ελεύθεη στάθμη του νεού στο δεξιό τμήμα, και κπ από το κατακόυφο επίπεδο που πειέχει τον άξονα του κυλίνδου, τα οποία δίνονται από τις εκφάσεις R LR + LR z0z0 + ( ) zz κπ R (7) R LR R π κπ κπ (8) Με γνωστά τα μέτα και τις ευθείες εφαμογής των υδοστατικών δυνάμεων, ο υπολογισμός των αντιδάσεων στην άθωση Α και της φότισης της ντίζας αποτελεί ένα απλό ισοστατικό πόβλημα. Θα λυθεί εξετάζοντας το Διάγαμμα Ελευθέου Σώματος του κυλίνδου συνολικά (Τμήματα Ι & ΙΙ). Β ω Β Ι W κπ Ο κπ Ι κπ κπ Α κπ ΙΙ κπ ΙΙ Α Εικόνα. Διαγάμματα ελευθέου σώματος του κυλίνδου και της άθωσης Α. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09

( R ) + + ( R ) M 0 R cos ω κπ κπ κπ κπ 0 R π R π R cos ω R RgR L gr L + gr L + R R gr L 0 π π R R + R cos ω R R gr L cos ω gr L (9) 6 Παατηούμε ότι το γινόμενο Β cosω είναι σταθεό. Επειδή 0<cosω<, η ελάχιστη τιμή του gr L, ποκύπτει για cosω δηλαδή για ω0. (β) Για ω0 οι αντιδάσεις Α και Α, της άθωσης Α έχουν τιμή: και ω 0 Mo 0 R cosω + R 0 + 0 gr L (0) ω 0 0 + + sin ω + 0 * [ ] πgr π * π gr L + gπr L gr L L + * [ ] gr L π () Η κατακόυφη αντίδαση στην άθωση Α μηδενίζεται όταν η σχετική πυκνότητα του κυλίνδου γίνει */. Μ. Βαλαβανίδης, Αναπλ. Καθ/τής ΠΑΔΑ 9//09