Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017

2 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά Επιλογή μονάδων και καθολικού συστήματος συντεταγμένων Αρίθμηση κόμβων και μελών Βαθμοί ελευθερίας του φορέα Υπολογισμός τοπικού μητρώου δυσκαμψίας των μελών Μόρφωση καθολικού μητρώου δυσκαμψίας φορέα Μόρφωση διανύσματος επικόμβιων μετατοπίσεων Μόρφωση διανύσματος εξωτερικών επικόμβιων δράσεων Επίλυση γραμμικού συστήματος (υπολογισμός επικόμβιων μετατοπίσεων) Εύρεση αγνώστων αντιδράσεων Κεφάλαιο Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας 13.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού συστήματος συντεταγμένων Αρίθμηση κόμβων και μελών Βαθμοί ελευθερίας του φορέα Υπολογισμός μητρώων μετασχηματισμού των μελών στο επίπεδο Mητρώo μετασχηματισμού στοιχείου Mητρώo μετασχηματισμού στοιχείου Υπολογισμός τοπικού μητρώου δυσκαμψίας των μελών Υπολογισμός εμβαδού διατομής Α e, και μήκους L e για τα στοιχεία 1 και Υπολογισμός τοπικού μητρώου δυσκαμψίας των στοιχείων 1 και Υπολογισμός καθολικού μητρώου δυσκαμψίας των μελών Σύνθεση καθολικού μητρώου δυσκαμψίας του φορέα Διάνυσμα επικόμβιων μετατοπίσεων Μόρφωση διανύσματος εξωτερικών επικόμβιων δράσεων Επίλυση γραμμικού συστήματος (υπολογισμός επικόμβιων μετατοπίσεων) Εύρεση αντιδράσεων στις στηρίξεις... 1

3

4

5 Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά Για το φορέα του σχήματος, ο οποίος συντίθεται από ελατήρια, ζητείται να υπολογιστούν οι μετατοπίσεις των κόμβων. Δίνονται: k1 = 8 x 10 KN/m k = 8 x 10 6 KN/m k3 = x 10 KN/m P = -00 KN P3 = 0 KN P4 = 0 KN ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. /1

6 Κεφάλαιο 1: Ελατήρια σε σειρά 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού συστήματος συντεταγμένων Οι μονάδες μέτρησης των θεμελιώδων μεγέθων που υπεισέρχονται στους υπολογισμούς έχουν ως εξής: Μήκος: [L] = m Δύναμη: [F] = KN Τοποθέτουμε το καθολικό σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1. Σχήμα 1.1: Καθολικό σύστημα συντεταγμένων 1. Αρίθμηση κόμβων και μελών Η αρίθμηση των κόμβων και των μελών γίνεται αυθαίρετα. Ο φορέας του σχήματος αποτελείται από 4 κόμβους και 3 στοιχεία (βλ. Σχήμα 1.). Σχήμα 1.: Αρίθμηση κόμβων και μελών 1.3 Βαθμοί ελευθερίας του φορέα Η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας του φορέα γίνεται βάσει της αρίθμησης των κόμβων και φαίνεται στο Σχήμα 1.3. Σε κάθε κόμβο αντιστοιχεί ένας βαθμός ελευθερίας στο επίπεδο: μια οριζόντια μετατόπιση ως προς το καθολικό σύστημα που επιλέξαμε στο Βήμα 1. Σχήμα 1.3: Βαθμοί ελευθερίας φορέα ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 6/1

7 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ 1.4 Υπολογισμός τοπικού μητρώου δυσκαμψίας των μελών Το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας k e ενός ελατηρίου σταθεράς k με κόμβο αρχής i και κόμβο τέλους j (βλ. Σχήμα 1.4): Σχήμα 1.4: Ελατήριο με κόμβο αρχής i και κόμβο τέλους j δίνεται από τη σχέση: k e i j k k k k i k k j 11 1 = 1 k k (1.1) Επομένως για το στοιχείο 1 του φορέα το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας είναι: 1 k 1 k1 k1 1 k 1 k 1 Αντικαθιστώτας τη τιμή της σταθεράς για το ελατήριο 1 προκύπτει: k Ομοίως για τα υπόλοιπα στοιχεία το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας είναι: k k Π.Γ. Αστερής Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 7/1

8 Κεφάλαιο 1: Ελατήρια σε σειρά 1. Μόρφωση καθολικού μητρώου δυσκαμψίας φορέα Το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας του φορέα είναι: K ολικό k1 k k1 k1 k k 0 0 k k k3 k k3 k KNm KNm 1.6 Μόρφωση διανύσματος επικόμβιων μετατοπίσεων Το διάνυσμα των επικόμβιων μετατοπίσεων του φορέα είναι: δ δ1 δ δ3 δ Μόρφωση διανύσματος εξωτερικών επικόμβιων δράσεων Το διάνυσμα των εξωτερικών επικόμβιων δράσεων του φορέα είναι: P1 R1 P 00 P 0 P = P ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 8/1

9 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ 1.8 Επίλυση γραμμικού συστήματος (υπολογισμός επικόμβιων μετατοπίσεων) Άρα, η εξίσωση ισορροπίας του φορέα περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: P = Kδ P δ1 P δ P δ3 P δ 4 (1.) Κατά συνέπεια το διάνυσμα των άγνωστων μετατοπίσεων του φορέα προκύπτει από τη σχέση: δ = K P (1.3) -1 Αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες ποσότητες προκύπτει ότι: δ R1 δ δ δ (1.4) όπου R 1 η άγνωστη αντίδραση στο κόμβο 1. Για την επίλυση του συστήματος αυτού αρκεί να θέσουμε στον δεσμευμένο βαθμό ελευθερίας (δείκτης δυσκαμψίας k 11 ), του καθολικού μητρώου τιμή ίση με τη μονάδα, μηδενίζοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της αντίστοιχης γραμμής και στήλης του καθολικού μητρώου, καθώς επίσης μηδενίζοντας και την αντίστοιχη γραμμή του διανύσματος φόρτισης. Έτσι το διάνυσμα των επικόμβιων μετατοπίσεων υπολογίζεται από τις παρακάτω σχέσεις: 1 δ δ δ δ δ δ m δ δ Π.Γ. Αστερής Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 9/1

10 Κεφάλαιο 1: Ελατήρια σε σειρά 1.9 Εύρεση αγνώστων αντιδράσεων Αντικαθιστώντας το διάνυσμα των επικόμβιων μετατοπίσεων τις τιμές των δ 1, δ, δ 3, δ 4 στην Εξ. (1.) προκύπτει ότι: P P P P KN ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 10/1

11 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ Ασκήσεις Για το φορέα του σχήματος, ο οποίος συντίθεται από τέσσερα ελατήρια σε σειρά, ζητείται: α) Πόσοι είναι οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του φορέα; β) Ποιές είναι οι διαστάσεις του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας του φορέα; γ) Σε ποιά στοιχεία του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας του φορέα συνεισφέρει το ελατήριο 3; δ) Ποιές είναι οι κύριες ιδιότητες του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας του φορέα; ε) Να υπολογιστούν οι μετατοπίσεις των κόμβων καθώς και η αντίδραση στη στήριξη. Δίνονται: k 1 = (8 + a) x 10 KN/m, k = (8 + b) x 10 6 KN/m k 3 = ( + c) x 10 6 KN/m k 4 = (3 + d) x 10 KN/m P = (a*b 400) KN P 3 = (b*c + 0) KN P 4 = (c*d + 300) KN P = (d*a + 0) KN Όπου a, b, c, d είναι τα τελευταία 4 ψηφία του Αριθμού Μητρώου Σπουδαστή. Π.Γ. Αστερής Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 11/1

12

13 Κεφάλαιο Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας Για το δικτύωμα του σχήματος να βρεθούν οι μετατοπίσεις στους κόμβους και οι αξονικές εντάσεις των μελών του για τη φόρτιση P. Δίνονται: H = 3 m L = 3 m P = 100 KN E =.1 x 10 8 KN/m Τα μέλη έχουν κυκλικές διατομές με ακτίνες R 1 = 3cm και R = 4cm αντίστοιχα. Π.Γ. Αστερής Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 13/1

14 Κεφάλαιο : Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού συστήματος συντεταγμένων Οι μονάδες μέτρησης των θεμελιώδων μεγέθων που υπεισέρχονται στους υπολογισμούς έχουν ως εξής: Μήκος: [L] = m Δύναμη: [F] = KN Τοποθέτουμε το καθολικό σύστημα συντεταγμένων όπως φαίνεται στο Σχήμα.1. Σχήμα.1: Τοποθέτηση καθολικού συστήματος συντεταγμένων. Αρίθμηση κόμβων και μελών Η αρίθμηση των κόμβων και των μελών γίνεται αυθαίρετα. Ο φορέας του σχήματος αποτελείται από 3 κόμβους και στοιχεία δικτυώματος (Σχήμα.α). Οι συντεταγμένες των κόμβων του φορέα είναι: Χ Υ Κόμβος 1: Κόμβος : Κόμβος 3: Οι κόμβοι του κάθε στοιχείου είναι: Κόμβος αρχής Κόμβος τέλους Στοιχείο 1: 1 Στοιχείο : 3 ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 14/1

15 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ (α) (β) Σχήμα.: (α) Αρίθμηση κόμβων και μελών και (β) βαθμοί ελευθερίας φορέα.3 Βαθμοί ελευθερίας του φορέα Η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας του φορέα γίνεται βάσει της αρίθμησης των κόμβων και φαίνεται στο Σχήμα.β. Σε κάθε κόμβο αντιστοιχούν δύο βαθμοί ελευθερίας στο επίπεδο, μια οριζόντια και μια κατακόρυφη μετατόπιση ως προς το καθολικό σύστημα που επιλέξαμε στο Βήμα 1..4 Υπολογισμός μητρώων μετασχηματισμού των μελών στο επίπεδο Σχήμα 0.3: Τοπικά συστήματα συντεταγμένων για το κάθε μέλος και γωνία μετασχηματισμού To μητρώο μετασχηματισμού για ένα στοιχείο δικτυώματος στο επίπεδο έχει τη γενική μορφή: cosθ sin θ 0 0 sin θ cosθ 0 0 [ ] 0 0 cosθ sin θ 0 0 sin θ cosθ (.1) ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 1/1

16 Κεφάλαιο : Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας όπου θ είναι η γωνία που προκύπτει από την αριστερόστροφη περιστροφή του τοπικού άξονα x ως ότου ταυτιστεί με τον καθολικό άξονα X. Έτσι για τα στοιχεία του φορέα οι γωνίες μετασχηματισμού προκύπτουν ως εξής:.4.1 Mητρώo μετασχηματισμού στοιχείου 1 o H o 3 o o o θ1 360 arctan 360 arctan L / 3 / o o Επομένως cosθ1 cos και sin θ1 sin Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην Εξ. (.1) το μητρώο μετασχηματισμού 1 του στοιχείου 1 λαμβάνει την εξής μορφή: [ ] (.).4. Mητρώo μετασχηματισμού στοιχείου H o θ arctan arctan L / o o Επομένως cosθ cos και sin θ sin Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην Εξ. (.1) το μητρώο μετασχηματισμού του στοιχείου λαμβάνει την εξής μορφή: [ ] (.3). Υπολογισμός τοπικού μητρώου δυσκαμψίας των μελών To τοπικό μητρώο δυσκαμψίας για το στοιχείο δικτυώματος έχει τη γενική μορφή: EA i [ K i] L i i (.4) όπου A i είναι το εμβαδό της διατομής της ράβδου, αντίστοιχο μήκος της. E i το μέτρο ελαστικότητας και L i το ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 16/1

17 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ..1 Υπολογισμός εμβαδού διατομής Α e, και μήκους L e για τα στοιχεία 1 και A1 R (3 cm ) cm 8.6cm m. L ( x x ) ( y y ) (1. 0.0) ( ) m 3.341m Όμοια για το στοιχείο προκύπτει ότι: A R m και L ( x x ) ( y y ) (3.0 1.) (0 3) 3.341m Υπολογισμός τοπικού μητρώου δυσκαμψίας των στοιχείων 1 και Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην Εξ. (.4) λαμβάνουμε το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας του κάθε μέλους: και EA KN m [ K 1] L1 (.) EA KN m [ K ] L (.6).6 Υπολογισμός καθολικού μητρώου δυσκαμψίας των μελών Το καθολικού μητρώο δυσκαμψίας [ K e] του κάθε στοχείου δίνεται από τη σχέση: [ K ] [ ] [ K ][ ] (.7) e e e e Αντικαθιστώντας τις Εξ. (.) και (.) στην Εξ. (.7) προκύπτει το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου 1: ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 17/1

18 Κεφάλαιο : Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας [ K ] [ ] [ K ][ ] Κάνοντας τις πράξεις λαμβάνουμε το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου 1: K 1 KN m (.8) Όμοια το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου προκύπτει αντικαθιστώντας τις Εξ. (.3) και (.6) στην Εξ. (.7): [ K ] [ ] [ K ][ ] (.9) K KN m ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 18/1

19 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ.7 Σύνθεση καθολικού μητρώου δυσκαμψίας του φορέα Το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας [ K ] ολόκληρου του φορέα προκύπτει από τα καθολικά μητρώα δυσκαμψίας των στοιχείων του φορέα αθροίζοντας τα επιμέρους στοιχεία τους στις αντίστοιχες θέσεις. Αντικαθιστώντας τα επιμέρους καθολικά μητρώα δυσκαμψίας των στοιχείων προκύπτει ότι το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας όλου του φορέα είναι: [ K ] (.10).8 Διάνυσμα επικόμβιων μετατοπίσεων Το καθολικό διάνυσμα των επικόμβιων μετατοπίσεων {δ} του φορέα είναι: δ δ1 1 δ δ 3 3 δ4 4 δ δ Μόρφωση διανύσματος εξωτερικών επικόμβιων δράσεων Ομοίως το διάνυσμα των εξωτερικών επικόμβιων δράσεων {P} του φορέα στο καθολικό σύστημα είναι: P1 P1 1 P P P P 0 4 P P P P 6 3 P = Όπου P 1, P και P, P 6 είναι οι εξωτερικές επικόμβιες δράσεις στις στηρίξεις όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος στο Σχήμα 8. ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 19/1

20 Κεφάλαιο : Επίλυση επίπεδου δικτυώματος με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας Σχήμα 0.4: Διάγραμμα ελεύθερου σώματος.10 Επίλυση γραμμικού συστήματος (υπολογισμός επικόμβιων μετατοπίσεων) Η εξίσωση ισορροπίας του φορέα περιγράφεται από τη ακόλουθη σχέση: P K δ (.11) Αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες ποσότητες στην Εξ. (.11) λαμβάνουμε: P δ1 P δ δ δ4 P δ P δ6 Κατά συνέπεια το διάνυσμα των επικόμβιων μετατοπίσεων του φορέα προκύπτει από τη σχέση: 1 δ K P (.1) δ P 1 δ P δ δ δ P δ P6 (.13) όπου P 1, P, P και P 6 είναι οι άγνωστες αντιδράσεις στις στηρίξεις. ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 0/1

21 Σημειώσεις ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ Για την επίλυση του συστήματος αυτού αρκεί να θέσουμε στους δεσμευμένους βαθμούς ελευθερίας (δείκτες δυσκαμψίας k 11, k, k, k 66 ) του καθολικού μητρώου τιμή ίση με τη μονάδα, μηδενίζοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της αντίστοιχης γραμμής και στήλης του καθολικού μητρώου, καθώς επίσης μηδενίζοντας και την αντίστοιχη γραμμή του διανύσματος φόρτισης. Έτσι η Εξ. (.13) γίνεται: δ δ δ δ δ δ Εκτελώντας τις μητρωικές πράξεις προκύπτει ότι το διάνυσμα των επικόμβιων μετατοπίσεων είναι ίσο με: δ1 0 δ 0 3 δ δ m δ 0 δ Εύρεση αντιδράσεων στις στηρίξεις Αντικαθιστώντας το διάνυσμα των επικόμβιων μετατoπίσεων δ στη Εξ. (.11) λαμβάνουμε το διάνυσμα των εξωτερικών επικόμβιων δράσεων ως εξής: P P P P P P δηλαδή: P1 0 P 100 P P4 0.0 P 0 P ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σελ. 1/1