ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση x 1x 0 είναι αδύνατη.. Η εξίσωση 3. Για κάθε α,β 0 αx xα 0 με α 0 έχει δύο ρίζες άνισες. και ν, μ φυσικοί αριθμοί ισχύει: ν k μ k νμ α β αβ k 4. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με fxαx β τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A0,β. 5. Ισχύει x x και x x για κάθε xr (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παράσταση: Α x4 6 x Β1. Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος. (Μονάδες 13) Β. Για x = 5, να αποδείξετε ότι: A A6 0 (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση λ x λx λ 1 0, με παράμετρο λ. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: Γ1. η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 13) Γ. το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση fx x 5 x 6 x 3 Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. (Μονάδες 6) Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει: fx x. (Μονάδες 9) Δ3. Για x A, να λύσετε την εξίσωση: f x 4f x 5 0 (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Αν x,x 1 οι ρίζες της εξίσωσης αx βx γ 0, α 0, όπου R,, και 0 να αποδειχθούν οι τύποι: Sx1 x και x1x Μονάδες 15 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: 1. Αν α > β > 0 τότε 1 1.. Αν τότε 3. Αν α < 0 και ν θετικός περιττός ακέραιος, τότε x v x v 4. Αν είναι. 0 τότε είναι 0 ή 0 5. Αν θ > 0, τότε ισχύει x θ x θ ή x θ Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι παραστάσεις: Α x x 6x9 x x 3 με 0 < x < 3 και 3 3 B 8 1 8 1. Β1. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α x x 6x9 x x 3 είναι ανεξάρτητη του x. Μονάδες 9 Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3 3 B 8 1 8 1. Μονάδες 7 Β3. Αν Α = και Β = 3, να λύσετε την ανίσωση B3 453 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση x λ xλ0, λ R. Γ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε τιμή του λ. Μονάδες 10 Γ. Για ποια τιμή λ η εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες. Μονάδες 5 Γ3. Αν x,x 1 οι ρίζες της εξίσωσης, όταν λ = 1, να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού που έχει για ρίζες τις 1 x1 3 και x 3. Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συναρτήσεις fx 4x και gx x1 x x 3 Δ1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους. Μονάδες 6 Δ. Να απλοποιήσετε τον τύπο της g και να αποδείξετε ότι gx 3x, με x 1. Δ3. Να λύσετε την ανίσωση: f x g x 1, στο κοινό πεδίο ορισμού των f και g. Μονάδες 5 Μονάδες 8 Δ4. Να βρείτε τα κοινά σημεία κάθε μιας από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g με τους άξονες συντεταγμένων. Μονάδες 6
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: ν α ν β ν α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση αx βx γ 0 με α 0 έχει διπλή ρίζα όταν Δ > 0. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αx βx γ 0 με α 0 είναι το 3. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης fx1 x είναι το A,1 γ Ρ α 4. Ισχύει α α για κάθε πραγματικό α. 5. Η εξίσωση v x v α με α 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό έχει μία ακριβώς λύση, την x α (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β 8x λ 4 x λ 0 Δίνεται η Β1. Να αποδείξετε ότι είναι Δ 4λ (Μονάδες 5) Β. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές, άνισες. (Μονάδες 5) Β3. Για ποια τιμή του πραγματικού λ, η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; (Μονάδες 5) Β4. Για λ = 4, να λύσετε την εξίσωση. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Γ Γ1. Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση A x x 1 αν x 1 (Μονάδες 15) Γ. Να λυθεί η ανίσωση: 1x 5 (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συναρτήσεις fxx 5x k, k R και gxx 6 Αν f, τότε: Δ1. Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού k. (Μονάδες 5)
Δ. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα x x. (Μονάδες 8) Δ3. Να λυθεί η ανίσωση: fx 0 (Μονάδες 5) Δ4. Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Αν x,x 1 οι ρίζες της εξίσωσης αx βx γ 0, α 0. Να αποδείξετε ότι: Ρ γ, όπου α P το γινόμενο των ριζών της παραπάνω εξίσωσης. Μονάδες 15 Α. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Ισχύει η ισοδυναμία: x α x α ή x α.. Η εξίσωση αx βx γ 0 με α 0 έχει δύο ρίζες άνισες όταν α > 0. ν 3. Για κάθε α,β 0 και ν φυσικό αριθμό ισχύει: α ν β ν αβ 4. Η εξίσωση x έχει μοναδική λύση όταν ν άρτιος και α < 0. 5. Αν θ < 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία x θ x θ ή x θ Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β Σε μια αριθμητική πρόοδο, ο πρώτος όρος είναι ίσος με 5 και ο δέκατος όρος είναι ίσος με. Β1. Να βρείτε τη διαφορά ω. Μονάδες 10 Β. Να βρείτε τον τριακοστό πρώτο όρο. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Γ x 3 7 x Γ1. Να λυθεί η εξίσωση x 5 3 Γ. Αν x, να βρείτε την τιμή της παράστασης:. Μονάδες 10 A x 4x4 x 4x4 013 Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το τριώνυμο x 5x 51, 0 Δ1. Αν x είναι το τριώνυμο για 1, να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f x 1999x. Μονάδες 7 Bx Δ. Για ποιες τιμές του R το αρχικό τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές ίσες. Μονάδες 9 Δ3. Για ποιες τιμές του R το αρχικό τριώνυμο είναι αρνητικό για κάθε x R Μονάδες 9
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ): 1. Αν η διακρίνουσα του τριωνύμου διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε xr. αx βx γ, α 0 είναι αρνητική τότε το τριώνυμο. Για κάθε α,β 0 ισχύει: ν v αβ α ν β. 3. Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει: x x 4. Αν θ > 0 τότε ισχύει: x θ θ x θ. 5. Η απόσταση των αριθμών α και β ισούται με α β Μονάδες 15 Α. Να αποδειχθεί ότι αν x,x 1 οι ρίζες της εξίσωσης αx βx γ 0, α 0, τότε ισχύει: x x Μονάδες 10 1
ΘΕΜΑ Β Β1. Αν 1x, να υπολογιστεί η παράσταση: A x x1 x Μονάδες 10 Β. Αν Α = 1, να λύσετε την ανίσωση: x A 5 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση k 4 x f x 4 x 9 Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 8 Γ. Αν το σημείο M5, ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, να βρείτε την τιμή του k. Μονάδες 8 Γ3. Για k = 6, να δείξετε ότι f 10 10 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x 3λ 1x λ 1 0, Δ1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Μονάδες 10 Δ. Αν οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι οι x 1 και x να βρείτε το λ R ώστε: α. Η μία ρίζα της εξίσωσης να είναι. Μονάδες 7 β. Να ισχύει: x1x 3 Μονάδες 8