Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων σε μορφή πίνακα - Επίλυση συστημάτων εξισώσεων μέσω αντιστροφής πινάκων - Επίλυση συστημάτων εξισώσεων μέσω του κανόνα του Cramer - Εφαρμογές μικροοικονομικής και μακροοικονομικής θεωρίας - Εύρεση συνολικού, μέσου, οριακού εσόδου / κόστους - Ανάλυση νεκρού σημείου - Εύρεση ισορροπίας της αγοράς αγαθών / χρήματος * Υποψήφια Διδάκτορας e-mail: echalioti@aueb.gr ος Δώμα, 5 όροφος, Πτέρυγα Δεριγνύ, Πατησίων 76, 104 34, Αθήνα Τηλ: 210-8203354

ΑΣΚΗΣΗ 1* Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος που αντιμετωπίζει μια επιχείρηση είναι p(q)=20 - q όπου p, q συμβολίζουν την τιμή και την ποσότητα αντίστοιχα. Η συνάρτηση του κόστους παραγωγής είναι TC(q) = 27 + 8q. Να υπολογιστούν τα κέρδη της επιχείρησης από την παραγωγή και πώληση 1, 2, 3,..., 10 μονάδων Να παρασταθούν επίσης σε κοινό διάγραμμα τα συνολικά έσοδα και κόστη της επιχείρησης όπως και τα κέρδη της. Σε ποιο επίπεδο παραγωγής τα κέρδη της επιχείρησης μηδενίζονται και σε ποιο μεγιστοποιούνται; 1.1 Εισαγωγή συναρτήσεων / τύπων Για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος πρέπει να εισαχθούν τύποι / συναρτήσεις στο φύλλο εργασίας του Excel. Αρχικά επιλέγεται το κελί στο οποίο θα εισαχθεί ο τύπος. Για να καταλάβει το πρόγραμμα του Excel πως εισάγεται κάποια συνάρτηση πρέπει η φόρμουλα να ξεκινά με το σύμβολο ίσον ( = ). Αν μια συνάρτηση πληκτρολογηθεί χωρίς να προηγείται το σύμβολο ίσον, τότε το Excel καταλαβαίνει πως εισάγεται κάποιο κείμενο. Στη συνέχεια εισάγουμε τον τύπο. Τα σύμβολα των πράξεων για τους τύπους στο πρόγραμμα του Excel είναι τα εξής: πρόσθεση +, αφαίρεση -, πολλαπλασιασμός *, διαίρεση /. Η δύναμη μιας εκθετικής συνάρτησης εισάγεται με το σύμβολο ^. Για την αλλαγή της προτεραιότητας των πράξεων χρησιμοποιούνται οι παρενθέσεις ( ) - το Excel δεν αναγνωρίζει τα σύμβολα των παρενθέσεων [ ]. 1.2. Ανάλυση νεκρού σημείου Στο πιο κάτω σχήμα εμφανίζεται ο τύπος της τιμής που πρέπει να εισάγουμε: *Οι σημειώσεις βασίζονται στα βιβλία-σημειώσεις: Αντώνιος Αδάμ, Σημειώσεις στις «Εφαρμογές του Microsoft Excel στα Οικονομικά» Εμμανουήλ Γ. Καβουσανός, «Εφαρμογές μαθηματικού λογισμού σε επιχειρησιακά & οικονομικά προβλήματα παρουσίαση με τη χρήση του Excel», εκδόσεις Μπένου 2

Εφόσον έχουμε εισάγει τις τιμές που παίρνει το q - τον αριθμό των ποσοτήτων που μπορούν να παραχθούν, στο διπλανό κελί γράφουμε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης ζήτησης. Αντί για τον αριθμό των ποσοτήτων q, στον τύπο εισάγουμε το κελί στο οποίο βρίσκονται οι τιμές του q, δηλαδή το Α2. Το όνομα του κελιού Α2 είτε το πληκτρολογούμε είτε με το ποντίκι κάνουμε αριστερό κλικ πάνω στο συγκεκριμένο κελί. Για να εισαχθεί ο τύπος πατάμε το Enter. Για τη συμπλήρωση της στήλης Β, ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. Μπορούμε να γράψουμε τον τύπο της ζήτησης σε όλα τα κελιά. Κάτι τέτοιο ωστόσο είναι χρονοβόρο, και εναλλακτικά μπορούμε να κάνουμε την εξής διαδικασία: - 1 ος τρόπος: Έστω πως έχουμε εισάγει τη συνάρτησή μας το κελί Β2 και έχουμε πατήσει το Enter. Τότε πηγαίνουμε τον κέρσορα στην κάτω αριστερά γωνία του κελιού που περιέχει τον τύπο έτσι ώστε το βελάκι να γίνει σταυρός. Κρατώντας πατημένο το αριστερό κουμπί του ποντικιού, το σύρουμε προς τα κάτω μέχρι το κελί Β9 που θέλουμε να συμπληρώσουμε. - 2 ος τρόπος: Επιλέγουμε την περιοχή που θέλουμε να συμπληρώσουμε και από το μενού Edit επιλέγω την εντολή Fill και στη συνέχεια κάνω αριστερό κλικ στην εντολή Down. Παρατηρούμε πως παρόλο που στα κελιά της στήλης Β του πίνακα εμφανίζονται οι τιμές που ζητούνται για τις αντίστοιχες ποσότητες, όταν κάνω αριστερό κλικ σε κάποιο από τα κελιά, ενεργοποιείται (το περίγραμμα του κελιού γίνεται ποιο έντονο) και στη γραμμή τύπου εμφανίζεται η φόρμουλα. Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε τα συνολικά έσοδα ΤR και τα συνολικά κόστη TC. Τα συνολικά έσοδα δίνονται από το γινόμενο της τιμής και της ποσότητας: 3

Τα συνολικά κόστη δίνονται από τη σχέση TC(q) = 27 + 8q. Tα κέρδη για κάθε επίπεδο παραγωγής προκύπτουν από την αφαίρεση των συνολικών εσόδων και του συνολικού κόστους. Από τα αποτελέσματα προκύπτει πως τα κέρδη της εταιρείας μεγιστοποιούνται όταν παράγει και πωλεί 6 μονάδες προϊόντος και μηδενίζονται όταν πωλεί 9 μονάδες (νεκρό σημείο). 4

1.3 Διαγραμματική Απεικόνιση Για να γίνει η απεικόνιση των συνολικών εσόδων, του συνολικού κόστους και των κερδών σε ένα γράφημα, αρχικά επιλέγω την περιοχή στην οποία έχουν εισαχθεί τα αποτελέσματα. Η εισαγωγή ενός γραφήματος γίνεται είτε επιλέγοντας από το μενού Insert την εντολή Chart είτε πατώντας στο κουμπί. Από τον οδηγό γραφημάτων (Wizard) φαίνεται πως η κατασκευή ενός γραφήματος απαιτεί 4 βήματα. 1 ο βήμα: Στο πρώτο βήμα ορίζουμε τον τύπο του διαγράμματος που θέλουμε να φτιάξουμε. Για να παραστήσουμε τα μεγέθη με γραμμές, επιλέγουμε τον τύπο γραφήματος «Γραμμές» όπως και τον «Δευτερεύων τύπος γραφήματος» που επιθυμούμε. Κάτω από τον υπό-τύπο 5

διαγράμματος γίνεται μια περιγραφή του τύπου του διαγράμματος που επιλέγουμε. Πατώντας Next > πάμε στο επόμενο βήμα. 2 ο βήμα: Στο δεύτερο βήμα ορίζουμε τις τιμές του διαγράμματος αν δεν το έχουμε ήδη κάνει. Στην καρτέλα «Σειρά», αν κάνουμε «Προσθήκη» στο μενού «Σειρά», προσθέτουμε μια γραμμή στο διάγραμμα. Για να παραστήσουμε γραφικά και τα τρία μεγέθη, TR, TC, Profits, πρέπει να εισάγουμε δυο σειρές. Επιλέγουμε τη δεύτερη σειρά στο πλαίσιο «Σειρά» κάνοντας αριστερό κλικ πάνω της και γράφουμε το όνομα της σειράς που θα φαίνεται στην λεζάντα του διαγράμματος όπως και τις τιμές της. Αν απεικονίζουμε τη σειρά του συνολικού κόστους, πατώντας το κουμπί, μεταφερόμαστε στο φύλλο εργασίας από όπου επιλέγουμε τις τιμές στη στήλη D. Αφού εισάγουμε τις τιμές και τα ονόματα όλων των σειρών πατάμε Next>. 3 ο βήμα: Στο τρίτο βήμα γίνεται η μορφοποίηση του διαγράμματος. Εισάγεται ο τίτλος του διαγράμματος και το όνομα του οριζόντιου και κάθετου άξονα. Μπορεί επίσης να γίνει η επιλογή οι άξονες να έχουν τιμές ή να υπάρχει πλέγμα γύρω από τον τίτλο του γραφήματος. Όταν γίνουν οι επιθυμητές επιλογές, πατάμε Next>. 6

4 ο βήμα: Στο τελευταίο βήμα ορίζεται που θα τοποθετηθεί το διάγραμμα, στο φύλλο εργασίας ή σε κάποιο νέο φύλλο καθώς και το όνομα το νέου φύλλου. Στη συνέχεια πατάμε Finish. 7

ΑΣΚΗΣΗ 2 Mία ανοιχτή οικονομία χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες σχέσεις: Συνάρτηση κατανάλωσης: C = 12 + 0,8(Y T) Συνάρτηση επενδύσεων: I = 45 R Φόροι: T = 5 + 0,25Y Δημόσιες δαπάνες: G = 64 Καθαρές εξαγωγές: X = 40 0,1Y Προσφορά χρήματος: M = 1500 Ζήτηση χρήματος: L( Y, R ) = 5Y 50R όπου Y είναι το εισόδημα, R το επιτόκιο, I η επένδυση και C η κατανάλωση. Να βρεθεί το εισόδημα (Y) και το επιτόκιο (R) ισορροπίας χρησιμοποιώντας: - τον κανόνα του Cramer - τη μέθοδο του αντιστρόφου πίνακα 2.1. Εισαγωγή συναρτήσεων του Εxcel Στο Excel πέρα από τους τύπους που πληκτρολογούμε, υπάρχουν και κάποιοι «τύποι» οι οποίοι είναι έτοιμοι και περιλαμβάνονται στο πρόγραμμα. Οι συγκεκριμένοι τύποι είναι ευρέως γνωστές και χρησιμοποιούμενες «συναρτήσεις». Για να εισάγουμε μια συνάρτηση, ενεργοποιούμε πρώτα το κελί στο οποίο θα αποθηκευτεί το αποτέλεσμα της συνάρτησης και μετά από το μενού «Εισαγωγή» επιλέγουμε την εντολή «Συνάρτηση». Στο παράθυρο «Εισαγωγή συνάρτησης» υπάρχει μια λίστα από διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων όπως επίσης και με τις πρόσφατα χρησιμοποιημένες συναρτήσεις. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα στον χρήστη να κάνει χρήση διαφόρων στατιστικών, οικονομικών, μαθηματικών και άλλων συναρτήσεων. Αφού γίνει η επιλογή αρχικά της κατηγορίας συναρτήσεων και στη συνέχεια της συγκεκριμένης συνάρτησης που θα χρησιμοποιηθεί, πατάμε ΟΚ. Το παράθυρο διαλόγου που θα ανοίγει θα είναι διαφορετικό για κάθε συνάρτηση. 2.2. Συστήματα εξισώσεων Σε μια ανοιχτή οικονομία, η ισορροπία στην αγορά αγαθών και την αγορά χρήματος περιγράφεται από τις σχέσεις Υ = C + I + G + X (ΙS) και L( Y, R ) = M (LM) αντίστοιχα. Επομένως, κάνοντας τις απαιτούμενες πράξεις, προκύπτουν οι σχέσεις: 8

Υ + 2 R = 330 (IS) Y 10R = 300 (LM) Σε μορφή πινάκων, το παραπάνω σύστημα πρέπει να γραφεί ως Α Χ = Β όπου 1 2 Y 330 A =, X=, B = 1 10 R 300 Ο πίνακας Α είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, Χ είναι ο πίνακας των αγνώστων και Β είναι ο πίνακας των σταθερών όρων. 2.2.1. Κανόνας του Cramer Με τον κανόνα του Cramer, oι λύσεις του πίνακα Χ δίνονται από τις πράξεις: Y ( Y) = και R = * * ( A) όπου ( Y ) είναι η ορίζουσα του πίνακα ( R) ( A) στήλη έχει αντικατασταθεί από τον πίνακα των σταθερών όρων Β: Y. Y Y 330 2 = 300 10 είναι ο πίνακας Α στον οποίο η πρώτη Αντίστοιχα, είναι ο πίνακας Α στον οποίο η δεύτερη στήλη έχει αντικατασταθεί από τον πίνακα των σταθερών όρων: 1 330 R = 1 300 Παρακάτω φαίνεται πώς γράφεται το σύστημα σε μορφή πινάκων στο φύλλο εργασίας του excel. Για την επίλυση του συστήματος θα χρησιμοποιήσουμε την κατηγορία «Μαθηματικές και Τριγωνομετρικές» συναρτήσεις (Math & Trig). Πρέπει να υπολογίσουμε 3 ορίζουσες και να κάνουμε δυο διαιρέσεις. Η συνάρτηση που υπολογίζει την ορίζουσα μιας 9

μήτρας είναι η merm. Καλώντας αυτή τη συνάρτηση βγαίνει το ακόλουθο πλαίσιο διαλόγου: Στο πλαίσιο «Αrray» του παραθύρου διαλόγου «merm» δηλώνουμε τα κελιά στα οποία βρίσκεται η ορίζουσα που θέλουμε να υπολογίσουμε. Η περιοχή που μας ενδιαφέρει είναι η B2:C3. Στο μέσο του παραθύρου δίνεται μια σύντομη περιγραφή του πλαισίου και τι πρέπει να εισάγουμε. Δίνεται επίσης και το αποτέλεσμα της συνάρτησης. Πατώντας ΟΚ επιβεβαιώνουμε τις επιλογές μας. Στο φύλλο εργασίας κατασκευάζουμε τις μήτρες Υ, R και υπολογίζουμε τις ορίζουσές τους. Κάνοντας τις διαιρέσεις ( Y) ( A) προκύπτουν το εισόδημα και το επιτόκιο ισορροπίας αντίστοιχα. Στην πιο κάτω εικόνα δίνεται η τελική λύση του συστήματος. και ( R) ( A) 10

2.2.2. Μέθοδος του Αντιστρόφου Πίνακα Για την επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο του αντιστρόφου πίνακα, χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις minverse και mmult. Η λύση του συστήματος δίνεται από την πράξη: Χ = Α -1 Β Επομένως, πρέπει να υπολογιστεί η αντίστροφος της μήτρας Α και το αποτέλεσμα να πολλαπλασιαστεί με τη μήτρα Β. Για να υπολογίσουμε τη μήτρα Α -1, πρώτα επιλέγουμε την περιοχή όπου θα αποθηκευτεί το αποτέλεσμα. Η αντίστροφος μήτρα είναι ίδιων διαστάσεων της Α και επομένως, επιλέγουμε μια περιοχή κελιών 4x4. Στη συνέχεια, επιλέγουμε τη συνάρτηση «minverse» και σημειώνουμε στο πλαίσιο διαλόγου «Array» την περιοχή στην οποία βρίσκεται η μήτρα Α, όπως παρακάτω: 11

Στη συνέχεια, πατώντας ταυτόχρονα Ctrl+Shift+Enter η αντίστροφος μήτρα αποθηκεύεται στο φύλλο εργασίας. Η συγκεκριμένη διαδικασία ακολουθείται όταν το αποτέλεσμα μιας συνάρτησης δεν είναι ένας αριθμός αλλά ένα διάνυσμα. Αφού επιλέξουμε μια περιοχή 2x2 επιλέγουμε και τη συνάρτηση mmult που κάνει πολλαπλασιασμό μητρών. Εδώ πρέπει να ορίσουμε δυο περιοχές, την περιοχή που βρίσκεται η μήτρα Α -1 και η περιοχή που βρίσκεται η αριστερή μήτρα Β. Πάλι πατώντας Ctrl+Shift+Enter θα προκύψει η λύση του συστήματος. 12

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1: Οι αγοραίες καμπύλες ζήτησης και προσφοράς περιγράφονται από τις ακόλουθες συναρτήσεις: P d = 100 5Q P s = 10 + 4Q Οι ποσότητες που μπορεί να ζητηθούν ή να προσφερθούν στην αγορά είναι 2, 4, 6, 8,..., 20. Να βρεθεί η ισορροπία στη συγκεκριμένη αγορά (τιμή και ποσότητα) και να γίνει η γραφική απεικόνισή της. ΑΣΚΗΣΗ 2: Στην αγορά υπάρχουν πέντε εταιρείες που παράγουν ομοιογενή αγαθά. Οι πωλήσεις των εταιρειών Α, Β, Γ, Δ και Ε είναι αντίστοιχα 580, 640, 330, 258, 784 μονάδες προϊόντος. Να παρουσιαστούν σε διάγραμμα πίτας τα μερίδια αγοράς των εταιρειών (στο οποίο να φαίνεται και το ποσοστό κάλυψης της αγοράς από κάθε εταιρεία). AΣΚΗΣΗ 3: Τα συνολικά έσοδα μιας επιχείρησης δίνονται από τη συνάρτηση: R(x) = 50x - 2x 2 Αν η επιχείρηση πωλεί 1, 4, 7, 10, 12,5, 16, 19, 22, 25 και 28 μονάδες προϊόντος (x), να υπολογιστούν τα συνολικά, μέσα και οριακά έσοδα της επιχείρησης. Να γίνουν τα σχετικά διαγράμματα γραμμής. Σε ποιο ύψος των πωλήσεων μηδενίζονται τα συνολικά έσοδα και σε ποιο αυτά μεγιστοποιούνται; ΑΣΚΗΣΗ 4: Για την παραγωγή 5, 10, 15,..., 50 μονάδων προϊόντος (x), να υπολογιστούν τα συνολικά, μέσα και οριακά κόστη.τα συνολικά κόστη δίνονται από τη συνάρτηση: C(x) = 1,5x 2 + 500 13

ΑΣΚΗΣΗ 5: Η συνάρτηση κόστους για την παραγωγή 10000, 20000, 30000, 40000, 50000, 60000, 70000, 80000 και 90000 μονάδων προϊόντος (x) είναι: C(x) = 800000 + 100x Tα έσοδα από την πώληση του προϊόντος περιγράφονται από τη συνάρτηση: R(x) = 120x Να βρεθεί το νεκρό σημείο για την επιχείρηση μέσω της ανάλυσης εσόδων-κόστους όπως και της ανάλυσης κέρδους. ΑΣΚΗΣΗ 6: Έστω το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 5 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 10 6x 1 + 2x 3 = 15 Να επιλυθεί το σύστημα εξισώσεων με τον κανόνα του Cramer και τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. ΑΣΚΗΣΗ 7: Έστω ότι υπολογίζονται τα έσοδα που απολαμβάνονται και τα κόστη που απαιτούνται για την πραγματοποίηση ενός ταξιδιού με τρένο. Το σταθερό κόστος για την πραγματοποίηση του ταξιδιού είναι 3000 χρηματικές μονάδες. Το κόστος ανά επιβάτη πρώτης θέσης είναι 25 χρηματικές μονάδες ενώ το κόστος ανά επιβάτη τουριστικής θέσης είναι 20. Το εισιτήριο της πρώτης και της τουριστικής θέσης είναι 60 και 30 χρηματικές μονάδες αντίστοιχα. Ο αριθμός των επιβατών που ταξιδεύουν στην πρώτης θέση είναι 40, ενώ στην τουριστική θέση μπορεί να ταξιδεύουν 120, 130, 140,..., 170 επιβάτες. Να γίνει ανάλυση νεκρού σημείου και να παρασταθεί γραφικά η πορεία των κερδών σαν συνάρτηση του συνόλου των επιβατών. 14