ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,όπως εικόνες,που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 2 / 83

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο Ἁνοικτά Ακαδημαικά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται απο την Ευρωπαική Ενωση (Ευρωπαικό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 3 / 83

Περιεχόμενα Ενότητας Σημεία Συσσώρευσης και Απομονωμένα Σημεία Θεώρημα Bolzano-Weierstrass Ακολουθία Σύγκλιση ακολουθιών Υπακολουθίες Μονότονες ακολουθίες Ακολουθίες Cauchy Αποκλίνουσες ακολουθίες Σύγκλιση Σειράς Κριτήρια Σύγκλισης (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 4 / 83

Σκοποί Ενότητας Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε τις ακολουθίες, τις σειρές και τις ιδιότητές τους. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 5 / 83

Ανοικτή περιοχή Ανοικτό διάστημα (a, b) = x R : a < x < b Ορισμός ανοικτής περιοχής ή σφαίρας ή μπάλας (x 0 ɛ, x 0 + ɛ) B(x 0, ɛ) (ανοικτή) περιοχή του x 0 ακτίνας ɛ B(x,ε)=(x -ε,x +ε) ο ο ο x -ε ο x o x +ε ο ( ) ε ε (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 6 / 83

Σημεία συσσώρευσης και απομονωμένα σημεία Σημείο συσσώρευσης x 0 σημείο συσσώρευσης του A ɛ > 0 (B(x 0, ɛ) x 0 ) A ή ɛ > 0 x A και x x 0 x x 0 < ɛ Παράδειγμα: A = 1 n, n N, το 0 A είναι σημείο συσσώρευσης του A. Απομονωμένο ή μεμονωμένο σημείο x 0 απομονωμένο ή μεμονωμένο σημείο του A το x 0 δεν είναι σημείο συσσώρευσης ɛ > 0 B (x 0, ɛ) A = x 0 ή ɛ > 0 x A και x x 0 x x 0 ɛ Παράδειγμα: A = 1 n, n N, το 1 5 A είναι απομονωμένο σημείο του A. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 7 / 83

Θεώρημα Bolzano Weierstrass Πρόταση Αν a είναι σημείο συσσώρευσης του A Το A έχει άπειρο αριθμό στοιχείων (τουλάχιστον αριθμήσιμο). Θεώρημα Bolzano Weierstrass Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένο απειροσύνολο A έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης Συμπέρασμα A φραγμένο απειροσύνολο σημείο συσσώρευσης (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 8 / 83

Σχήμα 1 m n M n d n d n+1 =d n /2 m n+1 M n+1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 9 / 83

Σχήμα 2 m n M n d n d n+1 =d n /2 m n+1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 10 / 83

Σχήμα 3 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 11 / 83

Πρόταση 1 Πρόταση Αν a είναι σημείο συσσώρευσης του A Το A έχει άπειρο αριθμό στοιχείων. Απόδειξη Εστω A = a 1, a 2,..., a n έχει n στοιχεία και σημείο συσσώρευσης το a θέτουμε Ατοπο 1 ɛ = min 2 a k a, k = 1, 2,..., n x A a x > ɛ a όχι σημ. συσσώρευσης (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 12 / 83

Θεώρημα Bolzano Weierstrass (Απόδειξη) Θεώρημα Bolzano Weierstrass Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένο απειροσύνολο A έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης Απόδειξη x A inf A = m0 x M0 = sup A d0 = M0 m0 d1 = d0 M0 m0 = 2 2 ή Χωρίζουμε το διάστημα [m0, M0] σε δύο ίσα μέρη, σε κάποιο από αυτά υπάρχουν άπειρα στοιχεία του A αυτό το διάστημα το ονομάζουμε [m1, M1] d2 = d1 2 = d0 22. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία n φορές. m0 m1 mn Mn M1 M0 Mn 1 mn 1 dn = = d0 2 2 n sup mn, n N = ξ η = inf Mn, n N d0 d0 Υποθ ξ < η k N : < η ξ < Mk mk = άτοπο 2k 2k Αρα ξ = η k N ξ mk d0 2 k και Mk ξ d0 d0 [mk, Mk] B(ξ, 2k 2 k ) ɛ > 0 k N : ɛ > d0 k > d0 d0 [mk, Mk] B(ξ, ) B(ξ, ɛ) 2k 2k [mk, Mk] A B(ξ, ɛ) A Το B(ξ, ɛ) A έχει άπειρα στοιχεία του A επομένως το ξ είναι σημείο συσσώρευσης του A (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 13 / 83

Ακολουθία (1/3) Ορισμός Ακολουθία x n n N λίστα στοιχείων (x 1, x 2,..., x n,...). x n είναι ο γενικός όρος Ισοδύναμος ορισμός Ακολουθία είναι μια απεικόνιση του N στο R Παράδειγμα: Δίδεται ο γενικός όρος x n = N n f f(n) = x n R 1 n(n + 1) x n n N = Παράδειγμα: Αναδρομική σχέση ( 1 2, 1 6, 1 12, 1 ) 20,... x 1 = 1, x n = n 2 x n 1 x n = n! 2 n 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 14 / 83

Ακολουθία (2/3) Παράδειγμα: Αναδρομική σχέση Fibonacci x 1 = 1, x 2 = 1 x n = x n 1 + x n 2 x n n N = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...) ( ) n ( ) n 1 + 5 1 5 x n = 2 n 5 Παράδειγμα: Εναλλασσομένη ακολουθία 1 γιά n = 2k x n = 1 γιά n = 2k + 1 x n = ( 1) n+1 = cos nπ x n n N = (1, 1, 1, 1, 1, 1,...) (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 15 / 83

Ακολουθία (3/3) Παράδειγμα: x n = 1 n x n = 1 n 1 + ( 1)n 2 x n n N = γιά n = 2k n 1 n γιά n = 2k + 1 + n 1 n ( 0, 1 2, 2 3, 1 4, 4 5,..., 1 2k, 1 ( 1)n 2 2k 2k + 1,... ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 16 / 83

οριακά σημεία 2 και 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 17 / 83 Οριακό Σημείο Ακολουθίας Οριακό Σημείο x = οριακό σημείο της x n n N Το x είναι σημείο συσσώρευσης της x n n N ή Υπάρχουν άπειροι όροι = x Παράδειγμα: Ακολουθία με ( γενικό όρο ) x n = sin2 nπ 2 + (n + 1) ( ) cos2 nπ 2, n N n n (1, 32, 13, 54, 15, 76, 17 ),... οριακά σημεία 0 και 1 Παράδειγμα: Ακολουθία με γενικό όρο x n = 1 + (n + 1) ( cos2 nπ 2, n N n (1, 52, 1, 94, 1, 136 ), 1,... )

Μιά συγλίνουσα ακολουθία έχει μόνο ένα οριακό σημείο. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 18 / 83 Σύγκλιση ακολουθιών Ορισμός: ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Η ακολουθία x n n N συγκλίνει στο x lim x n = x ή x n για κάθε περιοχή του x τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας περιέχονται σε αυτή x αν lim x n = x ɛ > 0 N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n B(x, ɛ) Εψιλοντικός ορισμός lim x n = x ɛ > 0 N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n x < ɛ

Παράδειγμα 1 lim x n = x ɛ > 0 N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n x < ɛ Παράδειγμα: x n = 1 n lim x n = 0 n n ΠΡΟΧΕΙΡΟ n > N x n x = 1 n 0 = 1 < 1 n N = ɛ φθίνουσα; 1 N = ɛ, N(ɛ) = 1 ɛ ɛ > 0 N(ɛ) = 1 ɛ : n > N(ɛ) x n < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 19 / 83

Παράδειγμα 2 lim x n = x ɛ > 0 N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n x < ɛ Παράδειγμα: ΠΡΟΧΕΙΡΟ x n = 1 n 2 +e n n > N x n x = 1 e N = ɛ lim n n x n = 0 1 n 2 + e n 1 e n < 1 e N = ɛ φθίνουσα; N(ɛ) = ln 1 ɛ ɛ > 0 N(ɛ) = ln 1 ɛ : n > N(ɛ) x n < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 20 / 83

Παράδειγμα 3 a > 1, lim n a = 1 1 + x > 0 (1 + x) n 1 + nx ( Bernoulli) a > 1 a = n a 1 +1 1 + n n a 1 x x n a 1 a 1 n Πρόχειρο n > N n a 1 a 1 < a 1 a 1 = ɛ N(ɛ) = n N ɛ ɛ > 0 N(ɛ) = a 1 ɛ : n > N(ɛ) n a 1 a 1 n n < a 1 N = ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 21 / 83

Παράδειγμα 4 Πρόχειρο n! n n = n! lim n n = 0 1 2 3 (n 2) (n 1) n n n = 1 n 2 n (1 2 n ) (1 1 n ) ( = 1 n n 2 1 k ) < 1 k=1 n n <1 n! n n < 1 n < 1 N = ɛ N(ɛ) = 1 ɛ n > N(ɛ) ɛ > 0 N(ɛ) = 1 ɛ : n! n n 1 n < 1 N(ɛ) = ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 22 / 83

Παράδειγμα 5 n 3 lim 2 n = 0 2 n = (1 + 1) n = n ( n ) ( k = + n ) 4 + = k=0 = + n(n 1)(n 2)(n 3) 4! + 2 n > n(n 1)(n 2)(n 3) 4! n > 6 n k > n 2 για k = 1, 2, 3 Πρόχειρο 2 n > n4 2 3 4! 23 4! n > n3 2 n n 3 2 n < 23 4! < 23 4! n N = ɛ N(ɛ) = 23 4! ɛ n > N(ɛ) ɛ > 0 N(ɛ) = 23 4! n3 2 < 2 3 4! n ɛ : n < 23 4! N(ɛ) = ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 23 / 83

ΜΗΔΕΝΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός x n n N είναι μηδενική ακολουθία lim x n = 0 ή x n 0 ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n < ɛ Μηδ. 1: x n Μηδ. 2: x n Μηδ. 3: Μηδ. 4: Μηδ. 5: x n x n 0 x n 0 0 λ x n 0 και y n 0 0 0 και y n < M x n y n και y n 0 Μηδ. 6: x n 0 x n n N x n + y n x n y n x n 0 0 0 φραγμένη C > 0 : n x n < C (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 24 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (1/2) Ορισμός συγκλίνουσας ακολουθίας Πρ. 1 x n x n n N συγκλίνει στο x lim x n = x ή x n x ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n x < ɛ (x n x) n N μηδενική ακολουθία x x n x Πρ. 2 x n x λ x n λx Πρ. 3 x n x x n n N φραγμένη C, D > 0 και N > 0 : n > N D < x n < C Πρ. 4 x n Πρ. 5 x n x και y n x και y n y x n + y n y x n y n x + y x y (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 25 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (2/2) Πρ. 6α: Πρ. 6β: Πρ. 7: Πρ. 8α: Πρ. 8β: Πρ. 9α: Πρ. 9β: 0 x n και x n x x n y n και x n z n x n y n z n x n x n και a, y n a x και x 0 x, y n a < 1 a n 0 x y x, y n x n 1 x n y και y 0, 0 x n 0, x n+1 x n k < 1 a 1 x x n x y xn y n 0 x y (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 26 / 83

ΜΗΔΕΝΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-αποδείξεις Ορισμός x n n N είναι μηδενική ακολουθία lim x n = 0 ή x n 0 ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n < ɛ Πρόταση Μηδ.1 x n 0 x n 0 Πρόταση Μηδ.2 x n 0 λ x n 0 Απόδ: ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : x n 0 n > N(ɛ) x n < ɛ ( ) Πρόχειρο: x n < ɛ λ x n = λ x n < λ ɛ = ɛ ( ɛ > ) 0, N (ɛ ) = N ɛ λ = N(ɛ) > 0 : n > N (ɛ ) = N(ɛ) x n < ɛ λ x n < ɛ λ x n 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 27 / 83

Αποδείξεις για μηδενικές ακολουθίες (1/3) Πρόταση Μηδ. 3 Απόδ: x n y n x n y n 0 0 x n + y n 0 ɛ > 0, N1 (ɛ) > 0 : 0 n > N 1 (ɛ) x n < ɛ 0 ɛ > 0, N2 (ɛ) > 0 : n > N 2 (ɛ) y n < ɛ (Πρόχειρο : x n + y n x n + y n < 2ɛ = ɛ ) ( ) ɛ > 0, N (ɛ ) = max N ɛ 1 ( ) 2 n > N (ɛ ) N ɛ 1 Επομένως x n + y n n > N (ɛ ) N 2 ( ɛ 2 2, N 2 ( ɛ 2 ) > 0 : = N 1 (ɛ) x n < ɛ 2 ) = N 2 (ɛ) y n < ɛ 2 Αρα x n + y n = x n + y n < ɛ 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 28 / 83

Αποδείξεις για μηδενικές ακολουθίες (2/3) Πρόταση Μηδ. 4 x n 0 y n < M x n y n 0 Απόδ: x n 0 ɛ > 0, N1 (ɛ) > 0 : n > N 1 (ɛ) x n < ɛ (Πρόχειρο : x n y n x n y n < ɛm = ɛ ) ɛ > 0, N (ɛ ) = N 1 (ɛ /M) : n > N (ɛ )) = N 1 (ɛ /M) x n < ɛ /M Αρα x n y n = x n y n < ɛ Επομένως x n y n 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 29 / 83

Αποδείξεις για μηδενικές ακολουθίες (3/3) Πρόταση Μηδ. 5 x n y n και y n 0 x n 0 Απόδ: y n 0 ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n y n < ɛ Απόδειξη Μη. 6 x n 0 x n n N φραγμένη C > 0 : n x n < C Απόδ: x n 0 ɛ = 1, N(1) : n > N(1) x n < 1 C = 1 + max x k, k x n n x n < C (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 30 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-Αποδείξεις (1/5) Ορισμός Πρ. 1 x n x n n N συγκλίνει στο x lim x n = x ή x n x ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n x < ɛ x x n x Απόδ: x n x ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) x n x < ɛ Επειδή ( x n x ) x n x < ɛ ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n > N(ɛ) ( x n x ) x n x < ɛ Πρ. 2 x n x λ x n λx x n x (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 31 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-Αποδείξεις (2/5) Πρ. 3 x n x x n n N φραγμένη C, D > 0 και N > 0 : n > N D < x n < C Απόδ: Για n > N x n x ( ) x 2 η τριγωνική ιδιότητα δίνει ( ) για ɛ = x 2, N x 2 > 0 : ( ) n > N x 2 x n x < x 2 x n = (x n x) + x x n x + x < 3 2 x = C D = x 2 < x (x n x) (x n x) + x = x n (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 32 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-Αποδείξεις (3/5) Πρ. 4: xn yn x y xn + yn x + y Πρ. 5: xn x yn Απόδ: Πρόχειρο: y xn yn x y ɛ > 0, N1(ɛ) > 0 : xn x n > N1(ɛ) xn x < ɛ Πρ. 3 yn n > N1 y ( ) x xn x < 3 x 2 2 ɛ > 0, N2(ɛ) > 0 : n > N2(ɛ) yn y < ɛ xnyn xy = xn(yn y) + (xn x)y xn yn y + xn x y 3 x 2 ɛ + y ɛ = ɛ ( ɛ ) N (ɛ ( ) = ) ( ɛ = maxn1 ɛ y +3 x /2, N2 x y +3 x /2.N1 2 n > N (ɛ ) xnyn xy < ɛ xnyn xy ) (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 33 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-Αποδείξεις (4/5) Πρ. 6α 0 x n και x n x 0 x Απόδ: Εστω x < 0 N ( ) n > N x 2 Πρ. 6β x n Πρ. 7 z n ( ) x 2 : x n x < x 2 x n < 0 άτοπο. x n y n και x, y n y z n x n y n και a, y n a x y xn a Απόδ: Είναι μια άμεση εφαρμογή της προηγούμενης πρότασης. Αλλη απόδειξη με εψιλοντικό ορισμό: ɛ > 0, N y n a 1(ɛ) > 0 : n > N 1(ɛ) a ɛ < y n < a + ɛ ɛ > 0, N z n a 2(ɛ) > 0 : n > N 2(ɛ) a ɛ < z n < a + ɛ n > maxn 1(ɛ), N 2(ɛ) a ɛ < z n x n y n < a + ɛ x n a (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 34 / 83

ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-Αποδείξεις (5/5) Πρ. 8 xn x και x 0 1 xn Πρ. 9α a < 1 a n 0 1 x Απόδ: a < 1 a = 1 1+x, x > 0 (1 + x) n 1 + nx 1 a 1 + n( 1 n a 1) a n 1 1+n( 1 a 1) a n 0 Πρ. 9β xn 0, xn+1 Απόδ: xn k < 1 xn 0 xn+1 xn xn+1 k < 1 xn ɛ = 1 k 2, N ( ) 1 k ) [ ( 2 : > N 1 k )] 2 = m 2 xn+1 n > N ( 1 k 2 1 k k < xm+1 < 1+k 2 xm xn xm+2 < 1+k 2 xm+1 < ( 1+k 2 xn = x m+(n m) < < ( 1+k 2 ) n m xm = ( 1+k 2 ( ) 1 + k n lim xn lim n 0 n 0 2 =0 < k + 1 k 2 = 1+k 2 ) 2 xm ) n ( 1+k ) m 2 xm ) m xm = 0 ( 1 + k 2 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 35 / 83

Διάφορες ιδιότητες ακολουθιών n Ιδ. 1 : a > 0, a 1 n Ιδ. 2 : n 1 Ιδ. 3 : x n > 0, x n x k x n k x Ιδ. 4 : P (n) = a 0 n p + a 1 n p 1 + + a p 1 n + a p, Q(n) = b 0 n q + b 1 n q 1 + + a q 1 n + a q Αν p = q τότε P (n) Q(n) a 0 b 0 Αν p < q τότε P (n) Q(n) 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 36 / 83

ΥΠΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (1/2) Ορισμός Μια επιλογή y k k N = x nk k N από άπειρους όρους της ακολουθίας, με n 1 < n 2 < n 3 < ονομάζεται υπακολουθία της x n n N ( ) x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9,... ( ) x 1 x 2, x 3, x 4 x 5 x 6, x 7, x 8 x 9,... ( ( ) x n1, x n2, x n3, x n4, x n5,... ) y 1, y 2, y 3, y 4, y 5,... Σημείωση για τους δείκτες: k n k και k < l n k < n l (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 37 / 83

ΥΠΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ (2/2) Υπακ.1 x n συγκλίνει στο x Παράδειγμα: n n 1 κάθε υπακολουθία y k = x nk συγκλίνει στο x Θεώρημα Bolzano Weierstrass n 2 n2 1 Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένο απειροσύνολο A έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης Υπακ. 2 Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένη ακολουθία έχει τουλάχιστον μια συγκλίνουσα υπακολουθία (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 38 / 83

Αποδείξεις για τις υπακολουθίες (1/2) Υπακ. 1 x n συγκλίνει στο x Παράδειγμα: n n 1 Απόδ: x n x κάθε υπακολουθία y k = x nk συγκλίνει στο x n 2 n 2 1 ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : k > N(ɛ) x k x < ɛ Επειδή n k k > N(ɛ) τότε x nk x < ɛ ɛ > 0, N(ɛ) > 0 : n k > N(ɛ) x nk x < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 39 / 83

Αποδείξεις για τις υπακολουθίες (2/2) Θεώρημα Bolzano Weierstrass Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένο απειροσύνολο A έχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης Υπ. 2 Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένη ακολουθία έ- χει τουλάχιστον μια συγκλίνουσα υπακολουθία Απόδ: Αν η ακολουθία έχει μια απειρία από σταθερούς όρους τότε διαλέγουμε την υπακολουθία από τους σταθερούς όρους και είναι συκλίνουσα αν η ακολουθία έχει άπειρους μη ίσους όρους τότε έχουμε ένα φραγμένο απειροσύνολο υπάρχει ένα σημείο συσσώρευσης x n N, x kn : x 1 n < x k n < x + 1 n Αρα x kn x. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 40 / 83

ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ x n είναι αύξουσα ακολουθία x n x n+1 x n είναι φθίνουσα ακολουθία x n x n+1 x n είναι μονότονη ακολουθία φθίνουσα ή αύξουσα ακολουθία Μον. 1α x n είναι αύξουσα και φραγμένη ακολουθία x n Μον. 1β x n είναι φθίνουσα και φραγμένη ακολουθία x n supx k k N infx m m N Μον. 2 x n είναι μονότονη ακολουθία και έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία lim x n k = x η ακολουθία x n συγκλίνει στο ίδιο όριο δηλ x n x k (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 41 / 83

ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - αποδείξεις (1/2) x n είναι αύξουσα ακολουθία x n x n+1 x n είναι φθίνουσα ακολουθία x n x n+1 x n είναι x n είναι μονότονη ακολουθία φθίνουσα ή αύξουσα ακολουθία Μον. 1α x n είναι αύξουσα και φραγμένη ακολουθία x n supx k k N Απόδ: Εχουμε xn xn+1 K. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις, είτε υπάρχει κάποιος δείκτης l τέτοιος ώστε για κάθε n l xn = L R, στην περίπτωση αυτή L = lim xk = maxx1, x2,..., xm k είτε η ακολουθία έχει απειρους διαφορετικούς όρους. Εστω R M = supxkk N (υπάρχει το Μ λόγω του αξιώματος ΙΙΙ του συνόλου R!) τότε από τον ορισμό του sup ɛ > 0, k N : M ɛ < xk M Επομένως xn αύξουσα n > k xk xn M < M + ɛ ɛ > 0, k = N(ɛ) : n > N(ɛ) M ɛ < xn < M + ɛ άρα xn M Μον. 1β x n είναι φθίνουσα και φραγμένη ακολουθία x n infx m m N (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 42 / 83

ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - αποδείξεις (2/2) Μον. 2 x n είναι μονότονη ακολουθία και έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία lim x n k = x η ακολουθία x n συγκλίνει στο ίδιο όριο δηλ x n x k Απόδειξη. Η υπακολουθία x nk είναι μια μονότονη (πχ αύξουσα) ακολουθία, επομένως x = sup x nk. Το x είναι επίσης supremum της k N υπαακολουθίας x nk (βλ. Μον. 1α). Θέτουμε A = x nk, k N και B = x n, n N, z A z B επομένως z sup B δηλαδή x = sup A sup B. Αν sup A < sup B l : x l > x αλλά τότε υπάρχει κάποιο m έτσι ώστε x nm x l > x πράγμα άτοπο. Οπότε sup A = sup B. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 43 / 83

Παράδειγμα 6.1 ( Ορ. x n = 1 + 1 ) n n x n = = ( 1 + 1 n) n = n l=0 n l=0 ( ) n 1 l n l = 1 + n n(n 1) + n n n(n 1)(n 2) (n l + 1) l! n l = n(n 1)(n 2) 2!n 2 + 3!n 3 + + 1 n n ( 1 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) l! n n n l=0 ( 1 l x n+1 > x n n+1 x n+1 = = l=0 n l=0 + 1 l! 1 l! αύξουσα ακολουθία ( 1 1 n + 1 ( 1 1 n + 1 ) ( 1 2 n + 1 ) ( 1 2 n + 1 ) ( 1 3 n + 1 ) ( 1 3 n + 1 1 (n + 1) ( n+1 1 k ) ( > 1 k ) x n+1 > x n n + 1 n ) ( 1 l 1 n + 1 ) ( 1 l 1 n + 1 ) ) + (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 44 / 83

Παράδειγμα 6.2 Ορ. y n = n l=0 1 l! y n+1 > y n αύξουσα ακολουθία x n y n y n φραγμένη ακολουθία x n φραγμένη ακολουθία x n e και y n k ( 1 γ n,k = 1 1 l! n l=0 γ n,k x n e γ n,k 1 l! = 1 2 3 4 l 1 2 l 1 x n < y n = 1 + 1 + 1 2 + 1 3! + + 1 ( n! = = 1 + 1 + 1 2 + + 1 ) 2 n 1 < < 1 + 1 1 1 = 3 2 e e e ) ( 1 2 n ) ( 1 3 n ) ( 1 l 1 ) n y k (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 45 / 83

Παράδειγμα 6.3 y k e lim y k = e e k ( e = e lim 1 + 1 ) n = 1 n k= k! 1 (1 1n ) n 2 1 n 1n ( 2 1 1 ) n n 2 1 ( 1 n) 1 n (1 1n ) n = ( 2 1 + 1 ) n e 1 ( n k N ( 1 + k l n 1 + k n) n ) n ek/l ek ( 1 + α n ) n = e α = sup e q, q Q, q α, α > 0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 46 / 83

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ CAUCHY (1/3) Ορισμός x n Cauchy ɛ > 0 N(ɛ) : n > m > N(ɛ) x n x m < ɛ x n x x n Cauchy x n x n Cauchy ΚΑΙ Cauchy x n x nk x k x x n x θεώρημα πληρότητας x n Cauchy x n x (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 47 / 83

Θεώρημα πληρότητας θεώρημα πληρότητας x n Cauchy x n x x n δεν συγκλίνει x n όχι Cauchy ɛ, N > 0 : n > m > N x n x m > ɛ πχ. x n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 δεν συγκλίνει n x n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + + 1 n 2 συγκλίνει Συστολή ακολουθίας Αν x n+1 x n < k x n x n 1 και k < 1 Η x n είναι συστολή η x n είναι Cauchy (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 48 / 83

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ CAUCHY (2/3) Ορισμός x n Πρόταση x n x Απόδειξη. x n x n Cauchy x n ɛ > 0 N(ɛ) : n > m > N(ɛ) x n x m < ɛ Cauchy x ɛ > 0 N(ɛ) > 0 : m > N(ɛ) x x m < ɛ n > m x n x < ɛ x n x m x n x + x x m < 2ɛ = ɛ ( ) ɛ > 0 N (ɛ ) = N ɛ 2 : n > m > N (ɛ ) x n x m < ɛ Cauchy (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 49 / 83

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ CAUCHY (3/3) Λήμμα xn Cauchy xn x ΚΑΙ xnk x k Απόδειξη. xn Cauchy ɛ > 0 N1(ɛ) : n > m > N1(ɛ) xn xm < ɛ ɛ > 0 N2(ɛ) : xnk k k > N2(ɛ) xnk x < ɛ Αν ɛ = 2ɛ και N (ɛ ) = max N1(ɛ), N2(ɛ) τότε n > nk > N (ɛ ) xn x xn + xnk x < 2ɛ = ɛ xnk ɛ > 0 N (ɛ ) > 0 : n > N (ɛ ) x xn < ɛ xn x Πρόταση xn Cauchy xn x Απόδειξη. xn Cauchy ɛ = 1 n0 > N(1) : n > n0 xn xn xn0 + xn0 < 1 + xn0 xn τελικά φραγμένη υπακολουθία που συγκλίνει Bolzano Λήμμα xn συγκλίνει. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 50 / 83

Προτάσεις xn ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ xn Cauchy xn x δεν συγκλίνει xn όχι Cauchy ɛ, N > 0 : n > m > N xn xm > ɛ πχ. Πρόταση xn = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 δεν συγκλίνει n Απόδειξη. x2n xn = 1 n + 1 + 1 n + 2 + + 1 n + n > n n + n = 1 2 Πρόταση xn = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + + 1 n 2 συγκλίνει Απόδειξη. 1 xn xm = (m + 1) 2 + 1 (m + 2) 2 + + 1 n 2 1 m(m+1) + 1 (m+1)(m+2) + + 1 n(n 1) = = 1 m 1 m+1 + 1 m+1 1 m+2 + + 1 n 1 1 n = 1 m 1 m+1 + m+1 m+2 + 1 n 1 1 n = 1 m 1 n < 1 m ɛ > 0 N(ɛ) = 1 ɛ : n > m > N(ɛ) xn xm < 1 m < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 51 / 83

Πλήρης χώρος και ακολουθίες Cauchy κάθε ακολουθία Πλήρης χώρος Cauchy συγκλίνει Το R είναι πλήρης χώρος Το Q δεν είναι πλήρης χώρος ( ) πχ. Η ακολουθία x 1 = 2, x n+1 = 1 2 x n + 2 x n x n Q αλλά x n 2 Q Αν γνωρίζουμε μόνο το Q μπορούμε να πάρουμε το σύνολο ακολουθιών Cauchy και το σύνολο αυτό είναι ένα ολικά διατεταγμένο πεδίο/σώμα που κάθε ταυτίζεται με το R. R= Cauchy- πλήρωση του Q (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 52 / 83

Αξιώματα Constructive Αξιώματα Peano N προσθετική ομάδα Z πολλαπλασιαστική ομάδα Q Cauchy- πλήρωση R Axiomatic Αξιώματα Ι, ΙΙ, ΙΙΙ R μέγιστο 1-hereditary σύνολο N προσθετική ομάδα Z πολλαπλασιαστική ομάδα Q (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 53 / 83

Πρόταση (Stolz) Πρ. (Stolz) b k > 0 a n b n και n x n k=1 l n b k k=1 πχ x n x n 1 + 2 + 3 3 + n n n n k N 1 + 2k + 3 k + n k n k+1 Πρόταση x n+1 x n l x n x n l 1 k + 1 n a k k=1 n b k k=1 l π.χ. lim n n5 3n 3 + 8 = 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 54 / 83

Συμπληρωματικά κριτήρια σύγκλισης (1/2) Πρ (Stolz): Απόδ: an bn bk > 0 l an bn και l n k=1 bk n k=1 n k=1 ak bk ɛ > 0 N1(ɛ) > 0 : k > m > N1(ɛ) l ɛ < ak bk l < l + ɛ (l ɛ) bk < ak < (l + ɛ) bk n (l ɛ) bk < n n ak < (l + ɛ) bk k=m+1 k=m+1 k=m+1 m n ak + (l ɛ) bk < n ak < m ak + (l + ɛ) k=1 k=m+1 k=1 k=1 m ak (l ɛ) m bk + (l ɛ) n bk < n ak < k=1 k=1 k=1 k=1 m < ak (l + ɛ) m bk + (l + ɛ) n bk k=1 k=1 k=1 m ak (l ɛ) m n bk ak k=1 k=1 k=1 n + (l ɛ) < n < bk bk k=1 k=1 m ak (l+ɛ) m bk k=1 k=1 < n + (l + ɛ) bk k=1 n k=m+1 Για ένα σταθερό ɛ > 0, διαλέγουμε ένα m = [N1(ɛ)] + 1 > N1(ɛ), που είναι σταθερό (και εξαρτάται από το ɛ). Τότε m ak (l ɛ) m n bk ak k=1 k=1 k=1 lim + (l ɛ) lim n n bk bk k=1 k=1 m ak (l + ɛ) m bk k=1 k=1 lim + (l + ɛ) n bk k=1 Οι παραστάσεις μεταξύ δεν εξαρτώνται από το n τότε επειδή n lim bk = + θά έχουμε ότι για το συγκεκριμένο ɛ k=1 Επομένως n k=1 n k=1 ak bk (l ɛ) lim l n k=1 n k=1 ak bk (l + ɛ) bk (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 55 / 83

Συμπληρωματικά κριτήρια σύγκλισης (2/2) Πρ: x n+1 x n l n x n l Απόδ: x n+1 x n l ɛ > 0 N 1 (ɛ) > 0 : m > N 1 (ɛ) l ɛ < x m+1 < l + ɛ x m Για n = m + k > m έχουμε (l ɛ) x m < x m+1 < (l + ɛ) x m (l ɛ) k x m < x m+k < (l + ɛ) k x m (l ɛ) m+k xm m+k xm (l ɛ) m < x m+k < (l + ɛ) (l+ɛ) m (l ɛ) n xm (l ɛ) m < x n < (l + ɛ) n xm (l+ɛ) m (l ɛ) n xm (l ɛ) m < n x n < (l + ɛ) n xm (l+ɛ) m n (l ɛ) lim (l ɛ) lim xm (l ɛ) m n lim xn (l + ɛ) n xn (l + ɛ) lim n xm (l+ɛ) m Επομένως n x n l (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 56 / 83

ΑΠΟΚΛΙΝΟΥΣΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός x n R > 0, N(R) > 0 : n > N(R) x n > R x n Κάθε αύξουσα μη φραγμένη ακολουθία αποκλίνει + 1 x n 0 Ορισμός x n R > 0, N(R) > 0 : n > N(R) x n < R Κάθε φθίνουσα μη φραγμένη ακολουθία αποκλίνει (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 57 / 83

Συμπεράσματα 1 x n συγκλίνει x n είναι ακολουθία Cauchy 2 x n 0 x n n N φραγμένη C > 0 : n x n < C 3 a < 1 a n 0 4 (Συστολή) x n 0, xn+1 xn k < 1 xn 0 5 x n x Καθε υπακολουθία x nk συγκλίνει στο x 6 (Bolzano-Weierstrass): Κάθε (άνω και κάτω) φραγμένη ακολουθία έχει τουλάχιστον μια συγκλίνουσα υπακολουθία 7 x n είναι αύξουσα και φραγμένη ακολουθία x n supx k k N 8 x n είναι μονότονη ακολουθία και έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία lim xnk = x η ακολουθία xn συγκλίνει στο ίδιο k όριο δηλ x n x ( 9 lim 1 + x ) n = e x = x l n l=0 l! 10 (Stolz): b k > 0 και x n+1 x n l 11 a n l b n n b k k=1 n x n l n a k k=1 n b k k=1 l (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 58 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ (1/4) Ορισμός S n = n k=1 a k μερικό άθροισμα, Αν S n S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S a k η k=1 ακολουθία S N είναι Cauchy ɛ > 0 N(ɛ) : n > m > N(ɛ) S n S m = Παράδειγμα: Η σειρά k=1 1 k 2 συγκλίνει. n k=m+1 a k < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 59 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ (2/4) Η σειρά συγκλίνει ɛ > 0 N(ɛ) : n > m > N(ɛ) n a k <ɛ k=m+1 Η σειρά ΔΕΝ συγκλίνει ɛ > 0 N : n > m > N Παράδειγμα: Η σειρά Πρόταση k=1 συγκλίνει απλά η σειρά n=1 n k=m+1 a k ɛ 1 ΔΕΝ συγκλίνει. k a n a n 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν a n 0 τότε ΔΕΝ ΣΥΓΚΛΙΝΕΙ ΠΑΝΤΑ η σειρά n πχ. a n = 1 n 0 αλλά 1 n = (Α.Π.Θ.) n=1 Λογισμός Ι 60 / 83 a n

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ (3/4) Ορισμός συγκλίνει απόλυτα η σειρά συγκλίνει η σειρά των απόλυτων τιμών a k k=1 Πρόταση Απόλυτη σύγκλιση σειράς Απλή σύγκλιση σειράς Κριτήριο Σύγκρισης (Comparison test) b n a n, a n συγκλίνει b n συγκλίνει n=1 Πρόταση 0 a n b n, n=1 n=1 a n = αποκλίνει n=1 b n = αποκλίνει (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 61 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ (4/4) Η σειρά k=0 t k συγκλίνει μόνο για t < 1 και τότε k=0 t k = 1 1 t Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι n 1 k=0 t k = 1 tn 1 t (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 62 / 83

Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών (1/3) Κριτήριο των λόγων (Ratio test) Η σειρά a n n=1 1 συγκλίνει απόλυτα αν lim a n+1 a n < 1 2 αποκλίνει αν lim a n+1 a n > 1 3 δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν lim Κριτήριο των ριζών (Root test) Η σειρά a n n=1 1 συγκλίνει απόλυτα αν lim 2 n αποκλίνει αν lim an > 1 n an < 1 3 δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν lim a n+1 a n = 1 n an = 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 63 / 83

Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών (2/3) Λόγος ακολουθιών a n και b n θετικές ακολουθίες. Αν lim a n b n = l 0 τότε n=1 b n υπάρχει n=1 a n υπάρχει Μηδενικός Λόγος ακολουθιών a n και b n θετικές ακολουθίες. Αν lim a n b n = 0 τότε b n υπάρχει n=1 n=1 a n υπάρχει (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 64 / 83

Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών (3/3) Κριτήριο συμπύκνωσης (Condensation test) Αν 0 < a n+1 < a n φθίνουσα θετική ακολουθία τότε: a n υπάρχει 2 k a 2 k υπάρχει n=1 Παραδείγματα: p > 1 p > 1 n=1 n=2 1 n < p 1 n(ln n) < p k=1 Κριτήριο σύγκλισης εναλλασσομένης σειράς (Alternating Series Test) Αν 0 < a n+1 < a n φθίνουσα θετική ακολουθία και a n ( 1) n+1 a n υπάρχει n=1 0 τότε: (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 65 / 83

Αναδιάταξη των Φυσικών αριθμών Αναδιάταξη των Φυσικών αριθμών (1, 2,..., k,...) σ (σ 1, σ 2,..., σ k,...) σ k n k N : max σ 1, σ 2,... σ k < n k Αναδιάταξη ακολουθίας b m = a σm Αν η σειρά a n συγκλίνει απόλυτα τότε κάθε αναδιάταξη της σειράς n b n συγκλίνει απόλυτα στο ίδιο όριο. n (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 66 / 83

ΔΙΠΛΕΣ ΣΕΙΡΕΣ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Ορισμός a mn = l συγκλίνει απόλυτα m,n=0 ( ) a mn = l συγκλίνει απόλυτα m=0 n=0 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 67 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (1/7) Ορισμός S n = n a k μερικό άθροισμα, k=1 Αν S n S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S a k η k=1 ακολουθία S N είναι Cauchy n ɛ > 0 N(ɛ) : n > m > N(ɛ) S n S m = a k < ɛ k=m+1 Παράδειγμα: Η σειρά Πρόταση k=1 1 k 2 συγκλίνει. συγκλίνει απλά η σειρά a n a n 0 n=1 Απόδειξη. συγκλίνει απλά η σειρά η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι Cauchy Επομένως a n ɛ > 0, N(ɛ) : n > N(ɛ) S n S n 1 = a n < ɛ 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν a n 0 τότε ΔΕΝ ΣΥΓΚΛΙΝΕΙ ΠΑΝΤΑ η σειρά a n n πχ. a n = 1 n 0 αλλά 1 n = n=1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 68 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (2/7) Ορισμός συγκλίνει απόλυτα η σειρά συγκλίνει η σειρά των απόλυτων τιμών a k k=1 Πρόταση Απόλυτη σύγκλιση σειράς Απλή σύγκλιση σειράς Απόδειξη. συγκλίνει απόλυτα η σειρά ɛ > 0, ɛ > 0, N(ɛ) : n > m > N(ɛ) n k=m+1 n n a k a k < ɛ k=m+1 k=m+1 n N(ɛ) : n > m > N(ɛ) k=m+1 a k < ɛ a k < ɛ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 69 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (3/7) Κριτήριο Σύγκρισης (Comparison test) bn an, an συγκλίνει bn συγκλίνει n=1 n=1 Απόδειξη. ɛ > 0, N(ɛ) : an n=1 n συγκλίνει n > m > N(ɛ) ak k=m+1 < ɛ n n bk ak k=m+1 k=m+1 ɛ > 0, N(ɛ) : bn n > m > N(ɛ) n bk < ɛ n=1 συγκλίνει k=m+1 απόλυτα Πρόταση 0 an bn, an = αποκλίνει bn = αποκλίνει n=1 n=1 Απόδειξη. an = R > 0, N(R) > 0 : n > N(R) n n=1 k=1 n n bk ak > R bn = k=1 k=1 n=1 ak > R (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 70 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (4/7) Κριτήριο των λόγων (Ratio test) Η σειρά an n=1 (i) συγκλίνει απόλυτα αν lim an+1 < 1 an (ii) αποκλίνει αν lim an+1 > 1 an (iii) δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν lim an+1 = 1 an Απόδ (i) lim a n+1 an = c < 1 για ɛ = 1 c 2, n0 : Απόδ (ii) Επειδή c+1 2 a lim n+1 an n > n0 an < a n+1 < (c + 1 c ( c + 1 < 1 ( κριτήριο σύγκρισης) η σειρά n = f > 1 για ɛ = f 1 2, n0 : 2 ) n an0 ( c+1 2 2 ) an ) n0 an συγκλίνει απόλυτα. Επειδή f+1 2 n > n0 a n+1 > (f f 1 an > ( f + 1 2 ) n an0 ( f+1 2 2 ) an ) n0 > 1 η ακολουθία an δεν είναι μηδενική δεν συγκλίνει η σειρά n an Κριτήριο των ριζών (Root test) Η σειρά an n=1 n an < 1 (i) συγκλίνει απόλυτα αν lim n (ii) αποκλίνει αν lim an > 1 (iii) δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν n lim an = 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 71 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (5/7) Κριτήριο συμπύκνωσης (Condensation test) Αν 0 < an+1 < an φθίνουσα θετική ακολουθία τότε: an υπάρχει 2 k a 2 k υπάρχει n=1 k=1 Απόδειξη. S 2 k+1 1 = a1 + (a2 + a3) + (a4 + a5 + a6 + a7) + 2 όροι 4 όροι + (a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + a13 + a14 + a15) 8 όροι + + + ( ) a 2 k + a 2 k +1 + a10 + a 2 k +2 + + a 2 k+1 1 2 k όροι a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + + 2 k a 2 k = Tk η ακολουθία Tk συγκλίνει η υπακολουθία S 2 k+1 1 συγκλίνει και η ακολουθία Sn είναι αύξουσα η Sn συγκλίνει. Tk 2 = a1 2 + a2 + 2a4 + 4a8 + + 2k 1 a 2 k a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + + + + ( a 2 k 1 +1 + a 2 k 1 +2 + + a 2 k) = S2 k η ακολουθίαsn συγκλίνει και είναι αύξουσα η υπακολουθία S 2 k συγκλίνει η ακολουθία Tk συγκλίνει. πχ 1 δεν συγκλίνει n=2 n ln n 1 n=2 n(ln n) 2 συγκλίνει 1 συγκλίνει για r > 1, n=1 nr δεν συγκλίνει για r 1 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 72 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (6/7) Κριτήριο σύγκλισης εναλλασσομένης σειράς (Alternating Series Test) Αν 0 < an+1 < an φθίνουσα θετική ακολουθία και an ( 1) n+1 an υπάρχει n=1 Απόδειξη. 0 τότε: Sn = n k=1 ( 1) k+1 ak Sm+2 Sm = ( 1) m+3 am+2 ( 1) m+2 am+1 = ( 1) m+2 (am+1 am+2) Sm+2 Sm = am+1 am+2 0 Sm+4 Sm+2 = am+3 am+4 Sm+6 Sm+4 = am+5 am+6......... Sm+2p S m+2(p 1) = am+2p 1 am+2p Sm+2p Sm Sm+2p Sm+2p 2 + Sm+2p 2 Sm+2p 4 + + Sm+2 Sm Sm+2p Sm am+2p 1 am+2p + am+2p 3 am+2p 2 + + am+3 am+4 + am+1 am+2 Sm+2p Sm am+1 am+2p < am+1 Sm+2p+1 Sm Sm+2p+1 Sm+2p + Sm+2p Sm am+2p+1 + am+1 am+2p < am+1 n > m Sn Sm < am+1 lim an = 0 ɛ > 0 N(ɛ) : m > N(ɛ) am+1 < am < ɛ Sn Sm < ɛ Sn Cauchy πχ ( 1) n συγκλίνει n n ( 1) n n ln n συγκλίνει ( 1) n sin π n n συγκλίνει (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 73 / 83

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ-αποδείξεις (7/7) Σύγκλιση αναδιατεταγμένης σειράς Αν η σειρά a n συγκλίνει απόλυτα τότε κάθε αναδιάταξη της σειράς n b n συγκλίνει απόλυτα στο ίδιο όριο. n Απόδειξη. Θεωρούμε την αναδιάταξη των Φυσικών αριθμών: Εστω τα μερικά αθροίσματα: (1, 2,..., k,...) σ (σ 1, σ 2,..., σ k,...) σ k n k N : max σ 1, σ 2,... σ k < n k S l = a 1 + a 2 + + a l, T k = b 1 + b 2 + + b k όπου b m = a σm επομένως T k S nk. Η υπακολουθία S nk συγκλινει δηλαδή είναι μια ακολουθία Cauchy η ακολουθία T k είναι μια ακολουθία Cauchy, δηλαδή συγκλίνει. Επειδή έχουν αύξουσες ακολουθίες που συγκλίνουν, τότε το όριο της υπακολουθίας είναι και το όριο της ακολουθίας. Αρα T k S nk lim Tk lim k k Snk b n a n n n Η ακολουθία a n μια αναδιάταξη της ακολουθίας b n, επομένως a n b n n n Αρα οι δύο σειρές συγκλίνουν στο ίδιο όριο. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 74 / 83

( Οριακά Σημεία X = lim sup n N σύνολο των οριακών σημείων της φραγμένης ακολουθίας x n x n = lim n N x n = sup X= μεγαλύτερο οριακό σημείο ΟΡΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ( limsup xn (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 75 / 83

Λήμμα X = lim inf n N σύνολο των οριακών σημείων της φραγμένης ακολουθίας x n x n = lim n N x n = inf X= m = lim inf n N x n μικρότερο οριακό σημείο ɛ > 0 x nk k N : m + ɛ > x nk Λήμμα Αν x n τελικά μικρότερο (ή μεγαλύτερο) του c lim sup x n c (ή lim inf x n c) n n (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 76 / 83

Πρόταση 2 Πρόταση lim inf x n+1 x n lim inf n x n lim sup n x n lim sup Απόδ: lim sup x n+1 n x n = c ɛ > 0 n 0 : n n 0 x n+1 x n < c + ɛ n xn0 c n0 x n x n0 < cn n0 n x n < (c + ɛ) n xn0 1 n 1 : n > n 1 n c n0 x n+1 x n xn0 < 1 + ɛ c n0 c τελικά n x n < c + 2ɛ + ɛ2 c lim sup n n xn c γιατί αν θέσουμε ɛ = 2ɛ + ɛ2 c και N = maxn 0, n 1 έχουμε ότι ɛ, N : n > N n x n < c + ɛ δηλαδή πέραν του c + ɛ βρίσκεται ένας πεπερασμένος αριθμός μελών της ακολουθίας (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 77 / 83

Πρόταση 3 Πρόταση x n+1 x n l n x n l n n! πχ n Απόδ: π.χ. lim lim 1 e x n = n! = n n 1 (n + 1) n n n n xn = ( xn+1 (n + 1)! x n = (n + 1) n+1 1 n n! n = ( 1 + 1 n 1 e n n 5 3n 3 + 8 = 1 n 5 n 2 n = 5 1 ) n e ) ( ) / n! n n = (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 78 / 83

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Απειροστικός Λογισμός-Τόμος Α Σ.Κ. Ντούγιας, LEADER BOOKS, 2003 Διαφορικός Ολοκληρωτικός Λογισμός, M. Spivak, Παν. Εκδ. Κρήτης, Απειροστικός Λογισμός, THOMAS-FINLEY, Παν. Εκδ. Κρήτης Μαθήματα στο δίκτυο: Μαθήματα Μ. Παπαδημητράκη (Παν. Κρήτης) http://www.math.uoc.gr/ papadim/apeirostikos1.pdf Μαθήματα στο δίκτυο: Μαθήματα Α. Γιαννόπολου (Παν. Αθηνών) http://users.uoa.gr/ apgiannop Διαφάνειες: http://users.auth.gr/ daskalo

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Δασκαλογιάννης Κωνσταντίνος. Λογισμός Ι. Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές. Εκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs434/ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 80 / 83

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Παρόμοια Διανομή 4.0[1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 81 / 83

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 82 / 83

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 83 / 83