ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ. Ορισμός. S n = a k μερικό άθροισμα, Αν S n S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S. a k η. a k. 1 k 2 συγκλίνει. Παράδειγμα: Η σειρά k=1.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ. Ορισμός. S n = a k μερικό άθροισμα, Αν S n S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S. a k η. a k. 1 k 2 συγκλίνει. Παράδειγμα: Η σειρά k=1."

Ἀλφαῖος Καραμανλής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ Ορισμός S = a k μερικό άθροισμα, Αν S S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S ακολουθία S N είναι Cauchy a k η ɛ > 0 N(ɛ) : > m > N(ɛ) S S m = a k < ɛ Παράδειγμα: Η σειρά 1 k 2 συγκλίνει.

2 Η σειρά συγκλίνει ɛ > 0 N(ɛ) : > m > N(ɛ) a k <ɛ Η σειρά ΔΕΝ συγκλίνει ɛ > 0 N : > m > N Παράδειγμα: Η σειρά 1 k ΔΕΝ συγκλίνει. a k ɛ Πρόταση συγκλίνει απλά η σειρά 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν πχ. = 1 0 τότε ΔΕΝ ΣΥΓΚΛΙΝΕΙ ΠΑΝΤΑ η σειρά 0 αλλά 1 =

3 Ορισμός συγκλίνει απόλυτα η σειρά συγκλίνει η σειρά των απόλυτων τιμών a k Πρόταση Απόλυτη σύγκλιση σειράς Απλή σύγκλιση σειράς Κριτήριο Σύγκρισης (Compariso test) b, συγκλίνει b συγκλίνει Πρόταση 0 b, = αποκλίνει b = αποκλίνει

4 Η σειρά k=0 t k συγκλίνει μόνο για t < 1 και τότε k=0 t k = 1 1 t Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι 1 k=0 t k = 1 t 1 t

5 Κριτήριο των λόγων (Ratio test) Η σειρά 1 συγκλίνει απόλυτα αν +1 < 1 2 αποκλίνει αν +1 > 1 3 δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν Κριτήριο των ριζών (Root test) Η σειρά 1 συγκλίνει απόλυτα αν 2 αποκλίνει αν a > 1 a < 1 3 δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν +1 = 1 a = 1

6 Λόγος ακολουθιών και b θετικές ακολουθίες. Αν b = l 0 τότε b υπάρχει υπάρχει Μηδενικός Λόγος ακολουθιών και b θετικές ακολουθίες. Αν b = 0 τότε b υπάρχει υπάρχει

7 Κριτήριο συμπύκνωσης (Codesatio test) Αν 0 < +1 < φθίνουσα θετική ακολουθία τότε: { } { } υπάρχει 2 k a 2 k υπάρχει Παραδείγματα: p > 1 p > 1 =2 1 p < 1 (l ) p < Κριτήριο σύγκλισης εναλλασσομένης σειράς (Alteratig Series Test) Αν 0 < +1 < φθίνουσα θετική ακολουθία και { } ( 1) +1 υπάρχει 0 τότε:

8 Αναδιάταξη των Φυσικών αριθμών (1, 2,..., k,...) σ (σ 1, σ 2,..., σ k,...) σ k k N : max {σ 1, σ 2,... σ k } < k Αναδιάταξη ακολουθίας b m = a σm Αν η σειρά συγκλίνει απόλυτα τότε κάθε αναδιάταξη της σειράς b συγκλίνει απόλυτα στο ίδιο όριο.

9 ΔΙΠΛΕΣ ΣΕΙΡΕΣ a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 Ορισμός m,=0 ( m=0 =0 a m = l συγκλίνει απόλυτα a m ) = l συγκλίνει απόλυτα

10 ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΑΣ Ορισμός S = a k μερικό άθροισμα, Αν S S τότε συγκλίνει απλά η σειρά S a k η ακολουθία S N είναι Cauchy ɛ > 0 N(ɛ) : > m > N(ɛ) S S m = Παράδειγμα: Η σειρά Πρόταση συγκλίνει απλά η σειρά Απόδειξη. 1 k 2 συγκλίνει. 0 a k < ɛ συγκλίνει απλά η σειρά η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι Cauchy ɛ > 0, N(ɛ) : > N(ɛ) S S 1 = < ɛ Επομένως 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν 0 τότε ΔΕΝ ΣΥΓΚΛΙΝΕΙ ΠΑΝΤΑ η σειρά πχ. = 1 0 αλλά 1 =

11 Ορισμός συγκλίνει απόλυτα η σειρά συγκλίνει η σειρά των απόλυτων τιμών a k Πρόταση Απόλυτη σύγκλιση σειράς Απλή σύγκλιση σειράς Απόδειξη. {συγκλίνει απόλυτα η σειρά } { } ɛ > 0, N(ɛ) : > m > N(ɛ) a k < ɛ { ɛ > 0, a k a k < ɛ N(ɛ) : > m > N(ɛ) } a k < ɛ

12 Κριτήριο Σύγκρισης (Compariso test) b, συγκλίνει b συγκλίνει Απόδειξη. συγκλίνει ɛ > 0, N(ɛ) : > m > N(ɛ) b k a k ɛ > 0, N(ɛ) : > m > N(ɛ) b k < ɛ a k < ɛ b συγκλίνει απόλυτα Πρόταση 0 b, = αποκλίνει b = αποκλίνει Απόδειξη. { = R > 0, N(R) > 0 : > N(R) a k > R } b k a k > R b =

13 Κριτήριο των λόγων (Ratio test) Η σειρά (i) συγκλίνει απόλυτα αν (ii) αποκλίνει αν +1 > 1 +1 (iii) δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν < 1 +1 = 1 Απόδ (i) +1 = c < 1 για ɛ = 1 c 2, 0 : > 0 +1 < (c + 1 c 2 ) ( ) a0 c + 1 < ( ) 2 c Απόδ (ii) Επειδή c+1 < 1 ( κριτήριο σύγκρισης) η σειρά a 2 συγκλίνει απόλυτα. a +1 f 1 = f > 1 για ɛ = 2 a, 0 : Επειδή f+1 2 > 0 a+1 > (f f 1 2 ) ( ) a0 f + 1 > ( ) 2 f > 1 η ακολουθία δεν είναι μηδενική δεν συγκλίνει η σειρά Κριτήριο των ριζών (Root test) Η σειρά (i) συγκλίνει απόλυτα αν (ii) αποκλίνει αν a > 1 a < 1 (iii) δεν μπορούμε να αποφασίσουμε αν a = 1

14 Κριτήριο συμπύκνωσης (Codesatio test) Αν 0 < +1 < φθίνουσα θετική ακολουθία τότε: { } { } υπάρχει 2 k a 2 k υπάρχει Απόδειξη. S 2 k+1 1 = a 1 + (a 2 + a 3 ) + (a }{{} 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) + }{{} 2 όροι 4 όροι + (a 8 + a 9 + a 10 + a 11 + a 12 + a 13 + a 14 + a 15 ) }{{} 8 όροι ( ) a 2 k + a 2 k +1 + a 10 + a 2 k a 2 k+1 1 }{{} 2 k όροι a 1 + 2a 2 + 4a 4 + 8a k a 2 k = T k η ακολουθία T k συγκλίνει η υπακολουθία S 2 k+1 1 συγκλίνει και η ακολουθία S είναι αύξουσα η S συγκλίνει. T k 2 = a a 2 + 2a 4 + 4a k 1 a 2 k a 1 + a 2 + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + a 6 + a 7 + a 8 ) ( a 2 k a 2 k a 2 k) = S2 k η ακολουθίαs συγκλίνει και είναι αύξουσα η υπακολουθία S 2 k συγκλίνει η ακολουθία T k συγκλίνει. πχ 1 δεν συγκλίνει =2 l 1 =2 (l ) 2 συγκλίνει 1 συγκλίνει για r > 1, r δεν συγκλίνει για r 1

15 Κριτήριο σύγκλισης εναλλασσομένης σειράς (Alteratig Series Test) Αν 0 < +1 < φθίνουσα θετική ακολουθία και { } ( 1) +1 υπάρχει 0 τότε: Απόδειξη. S = ( 1) k+1 a k S m+2 S m = ( 1) m+3 a m+2 ( 1) m+2 a m+1 = ( 1) m+2 (a m+1 a m+2 ) S m+2 S m = a m+1 a m+2 0 S m+4 S m+2 = a m+3 a m+4 S m+6 S m+4 = a m+5 a m S m+2p S m+2(p 1) = a m+2p 1 a m+2p S m+2p S m S m+2p S m+2p 2 + S m+2p 2 S m+2p S m+2 S m S m+2p S m a m+2p 1 a m+2p + a m+2p 3 a m+2p a m+3 a m+4 + a m+1 a m+2 S m+2p S m a m+1 a m+2p < a m+1 S m+2p+1 S m S m+2p+1 S m+2p + S m+2p S m a m+2p+1 + a m+1 a m+2p < a m+1 > m S S m < a m+1 = 0 ɛ > 0 N(ɛ) : m > N(ɛ) a m+1 < a m < ɛ S S m < ɛ S Cauchy πχ ( 1) συγκλίνει ( 1) l συγκλίνει ( 1) si π συγκλίνει

16 Σύγκλιση αναδιατεταγμένης σειράς Αν η σειρά συγκλίνει απόλυτα τότε κάθε αναδιάταξη της σειράς b συγκλίνει απόλυτα στο ίδιο όριο. Απόδειξη. Θεωρούμε την αναδιάταξη των Φυσικών αριθμών: Εστω τα μερικά αθροίσματα: (1, 2,..., k,...) σ (σ 1, σ 2,..., σ k,...) σ k k N : max {σ 1, σ 2,... σ k } < k S l = a 1 + a a l, T k = b 1 + b b k όπου b m = a σm επομένως T k S k. Η υπακολουθία S k συγκλινει δηλαδή είναι μια ακολουθία Cauchy η ακολουθία T k είναι μια ακολουθία Cauchy, δηλαδή συγκλίνει. Επειδή έχουν αύξουσες ακολουθίες που συγκλίνουν, τότε το όριο της υπακολουθίας είναι και το όριο της ακολουθίας. Αρα T k S k k T k k S k b Η ακολουθία μια αναδιάταξη της ακολουθίας b, επομένως b Αρα οι δύο σειρές συγκλίνουν στο ίδιο όριο.

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83 Άδειες Χρήσης Το παρόν