Ατομική και Μοριακή Φυσική

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Φάσματα εκπομπής των ατόμων Λιαροκάπης Ευθύμιος

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Cns. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Φάσματα εκπομπής των ατόμων Αν εξετάσουμε το φάσμα εκπομπής των ατόμων, θα δούμε ότι είναι διακριτό, δηλαδή αποτελείται από συγκεκριμένες γραμμές, που αντιστοιχούν στις μεταπτώσεις ανάμεσα στις κβαντισμένες ενεργειακές στάθμες του ατόμου. Για το άτομο του υδρογόνου οι πιο χαρακτηριστικές μεταπτώσεις παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα, που αποτελεί ένα τυπικό παράδειγμα ηλεκτρονικών μεταπτώσεων, που ονομάζεται διάγραμμα Grtrin, από το όνομα εκείνου που το πρωτοεισήγαγε. Το διάγραμμα ηλεκτρονικών μεταπτώσεων του ατομικού υδρογόνου. Τα διαγράμματα αυτά ονομάζονται Grtrin, από εκείνον που τα πρωτοχρησιμοποίησε. Στη δεξιά πλευρά παρουσιάζονται οι ενέργειες σε ev και στα αριστερά οι αντίστοιχες τιμές σε κυματαριθμούς (c -1 ), που χρησιμοποιούν οι φασματομέτρες. (από το βιβλίο των Brnsden & Jchin της βιβλιογραφίας) Παρατηρούμε ότι ορισμένες μεταπτώσεις (π.χ. από s σε s στιβάδα, από p σε p κλπ) δεν πραγματοποιούνται. Αντίστοιχα αποτελέσματα προκύπτουν για τις μεταπτώσεις των άλλων ατόμων. Αυτή η επιλεκτικότητα αποτελεί έναν από τους κανόνες επιλογής των μεταπτώσεων, που θα πρέπει να διερευνηθεί αναλυτικά, ώστε να βρεθούν όλοι οι κανόνες επιλογής των μεταπτώσεων. Επειδή η μετάπτωση αναγκαστικά θα πρέπει να συνοδεύεται από την εκπομπή ενός σωματιδίου (φωτονίου) που θα κουβαλά την ενέργεια που χάνεται (ή κερδίζεται) κατά την μετάπτωση, η διαδικασία μετάπτωσης θα οφείλεται σε κάποιου είδους σύζευξης ανάμεσα στα ηλεκτρόνια των ατομικών στιβάδων και το ΗΜ κύμα που περιγράφει την κίνηση των φωτονίων. Γνωρίζουμε ότι οι ηλεκτρονικές καταστάσεις περιγράφονται (στην μησχετικιστική περίπτωση) από την εξίσωση του Schrdinger, ενώ το ΗΜ κύμα από τις εξισώσεις του Mxwell. Όμως ενώ η εξίσωση του Schrdinger είναι μια κυματική εξίσωση που περιγράφει σωματίδια-κύματα, οι εξισώσεις του Mxwell είναι κλασικές που αντιμετωπίζουν τα φορτία ως σωματίδια και τα φωτόνια ως κύματα. Επομένως, μια πλήρης αντιμετώπιση της σύζευξης θα απαιτούσε την ανάλυση των ΗΜ κυμάτων σε κανονικούς τρόπου ταλάντωσης και την μετέπειτα κβαντισή τους όπως σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή που κβαντίζεται, ώστε να περιγράφουν σωματίδια-κύματα που θα συζεύγνυνται με τα σωματίδια-κύματα (ηλεκτρόνια) του ατόμου. Όμως αυτή η μέθοδος οδηγεί σε μια πολύ πιο σύνθετη μαθηματική ανάλυση των φαινομένων, που σε πρώτη φάση θα μπορούσε να αποφευχθεί αν, αντί να κβαντίσουμε και το ΗΜ κύμα, λύσουμε το πρόβλημα ημικλασικά, αντιμετωπίζοντας το ΗΜ κύμα κλασικά και εισάγουμε την επίδρασή του στην εξίσωση του Schrdinger κατά τα γνωστά. 4-1

Αλληλεπίδραση ΗΜ ακτινοβολίας και μονοηλεκτρονικών ατόμων Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η ανάπτυξη εδώ θα γίνει ημικλασικά, δηλαδή τα μεν ηλεκτρόνια θα αντιμετωπιστούν κβαντικά, ενώ το ΗΜ κύμα κλασικά, ενώ η σύζευξη θα εκφραστεί μέσω της εξίσωσης του Schrdinger. Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά ακριβής για την διέγερση και την εξαναγκασμένη εκπομπή, αλλά αποτυγχάνει για την αυθόρμητη εκπομπή. Αν E, B είναι το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο και ( r, t), A( r, t) το βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό, τότε από τις εξισώσεις του Mxwell γνωρίζουμε ότι A E, B A (4.1) t Ως προς τον προσδιορισμό των δυναμικών είναι γνωστό ότι υπάρχει μια απροσδιοριστία, αφού δυναμικά (βαθμωτό και διανυσματικό) που διαφέρουν κατά και A A (4.) t δίνουν τις ίδιες τιμές των πεδίων E, B. Οπότε μπορούμε να επιβάλλουμε μια πρόσθετη συνθήκη στα δυναμικά. Αυτό ονομάζεται επιλογή βαθμίδας (guge). Π.χ. μπορούμε να ορίσουμε (βαθμίδα Cul) A 0 (4.) που είναι βολική όταν δεν υπάρχουν εξωτερικά φορτία, όπως στην περίπτωση του ΗΜ κύματος στο κενό. Για το επίπεδο ΗΜ κύμα θα έχουμε A A exp i r t (4.4) Η επιλογή αυτής της βαθμίδας οδηγεί στο ότι το A είναι εγκάρσιο δηλαδή ότι A i A exp 0 i r t (4.5) Όταν j 0, 0 αποδεικνύεται ότι μπορούμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, να λάβουμε επίσης (εκτός από A 0 ) 0. Αυτή η επιλογή αποκλείει διαμήκη συνιστώσα για το ηλεκτρικό πεδίο (το δίνει μια διαμήκη συνιστώσα στο E ). Έτσι και το E (όπως και το B ) είναι εγκάρσιο. Από τις εξισώσεις του Mxwell προκύπτει ότι τα E, B και A ακολουθούν την κλασική κυματική εξίσωση 1 A A 0 (4.6) c t με λύση για το μονοχρωματικό επίπεδο κύμα (, ) ( )exp A r t A.. i r t c c (4.7) όπου c.c. είναι ο συζυγής μιγαδικός όρος. Έτσι μπορούμε να γράψουμε για την λύση του επίπεδου κύματος A( r, t) A ( ) cs r t E( r, t) A ( ) sin r t (4.8) B( r, t) A ( ) sin r t Κατά τα γνωστά, οι πυκνότητες ισχύος του ΗΜ κύματος θα είναι 4-

1 we E A w wtt A (4.9) Και το διάνυσμα Pynting, P E H cw ˆ (4.10) Η χαμιλτονιανή ενός σωματιδίου με παρουσία ΗΜ κύματος, αλλά χωρίς σπιν θα είναι της μορφής 1 H p qa q V (4.11) Για τα ηλεκτρόνια q e, και επιλέξαμε 0, οπότε από πράξεις προκύπτει ότι p q A q H p A A p V (4.1) Επειδή p i θα ισχύει ότι ( A ) A( ) ( A) ( A), αφού A 0. Οπότε θα έχουμε ότι q q A i i A V t (4.1) q A Για ασθενή ΗΜ πεδία, ο όρος q A ), οπότε μπορεί να παραληφθεί από τον υπολογισμό. Τελικά θα έχουμε την εξίσωση q i V i A H H( t) t (4.14) Που αποτελεί μια χρονοεξαρτώμενη διαταραχή της αρχικής χαμιλτονιανής Η ο. Η διαταραχή θα είναι επομένως e e H( t) i A A p (4.15) Έστω ότι γνωρίζουμε τις λύσεις της H E (4.16) tt Μπορούμε να αναλύσουμε τις ζητούμενες λύσεις στην πλήρη βάση των Et ( r, t) c ( t) ( r ) exp i (4.17) Όπως έχουμε αποδείξει, οι συντελεστές c ( t ) θα ικανοποιούν τις εξισώσεις 1 c ( t) H ( t) c ( t)exp i t (4.18) i Όπου ( E E ) / (4.19) και H ( t) H( t) (4.0) Ας παραδεχτούμε ότι το σύστημα αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση (α), δηλαδή ότι c ( t 0). Στον 1 ον όρο προσέγγισης θα έχουμε ότι t (1) 1 ( ) ( ) exp i 0 c t H t i t dt e t 0 A exp i t dt (4.1) 4-

Όπου και ( E E ) / (4.) A A d r * (4.) Αν θεωρήσουμε το A ως επαλληλία επιπέδων κυμάτων που δεν αλλάζουν πόλωση και κατεύθυνση, λαμβάνουμε ότι ˆ A( r, t) A A ( )cs ( ) 0 r t d Aˆ (4.4) A ( ) exp i r t ( ) exp i r t ( ) d 0 Και t (1) e c ( ) ( ) exp( ) exp( ) ˆ t d A i i r A dt exp i t 0 0 t exp( i ) exp( ) ˆ i r A dtexp i t (4.5) 0 Τα ολοκληρώματα ως προς τον χρόνο θα δώσουν ποσότητες που διαφέρουν από το μηδέν (για χρόνους >>π/ω ), μόνο όταν E E (4.6) Επομένως, θα έχουμε δύο όρους, έναν για την απορρόφηση ενέργειας (φωτόνιο) και διέγερση και έναν άλλο για την εκπομπή φωτονίου ίδιας ενέργειας και αποδιέγερση. Για απορρόφηση Ας θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχουν όροι αλληλεπίδρασης στο προηγούμενο ανάπτυγμα σε συχνότητες, δηλαδή ότι η ακτινοβολία των επί μέρους όρων είναι ασύμφωνη. Τότε η συνεισφορά από κάθε όρο θα αθροίζεται ξεχωριστά και έχουμε για την απορρόφηση ότι Όπου e exp i t 1 c t A M d (4.7) i (1) ( ) ( ) ( ) 4 0 ( ) exp( ) ˆ M i r A ( r )exp( i r ) Aˆ d r * και η ποσότητα του ολοκληρώματος διάφορη του μηδενός κύρια κοντά στην τιμή M ( ) M ( ) και η ολοκλήρωση θα δώσει 4sin t exp i 1 i t (4.8) είναι. Επομένως A ( ) A ( ), 4-4

Όμως sin x dx x 0 ( ) t sin c t A M d (1) e ( ) ( ) ( ) (4.9) 0, οπότε (1) e ( ) ( ) ( ) c t A M t (4.0) και ο ρυθμός απορρόφησης στην 1 η τάξη προσέγγισης θα είναι e W A ( ) M ( ) (4.1) Η ένταση της ακτινοβολίας προκύπτει ίση προς 1 1 I ( ) E c c A ( ) (4.) οπότε ( ) και έτσι c W 4 e I( ) M c 4 ( ) (4.) που εκφράζει μια μετάπτωση προς τα πάνω με απορρόφηση φωτονίου ενέργειας και είναι ανάλογη της έντασης της ακτινοβολίας Ι(ω ). Ο ρυθμός απορρόφησης ενέργειας θα είναι ( ) W και η ενεργός διατομή απορρόφησης [ο ρυθμός απορρόφησης ανά άτομο διαιρεμένος με το Ι(ω )] είναι e 1 όπου 4 c 17 είναι η σταθερά λεπτής υφής. 4 M ( ) (4.4) (4.5) Η αντίστοιχη περίπτωση της μετάπτωσης προς χαμηλότερη ενέργεια (από το στο ) δίνεται από τον ον όρο της 4.5 (με E E ) και καταλήγει στην σχέση Όπου τώρα W M ( ) exp( ) ˆ i r A 4 e I( ) M c 4 ( ) και ( E E ) /. (4.6) Εξαναγκασμένη εκπομπή Αν υπολογίσουμε με τον ίδιο τρόπο την εξαναγκασμένη μετάπτωση από μια υψηλότερη ενεργειακά κατάσταση σε μια χαμηλότερη α υπό την επίδραση ενός ΗΜ κύματος, θα δούμε ότι ο αντίστοιχος όρος (ρυθμού μετάπτωσης) θα έχει την ίδια 4-5

μορφή με τον ο όρο της 4.5 που αναφέραμε παραπάνω, όπου όμως ανταλλάσσουμε τις καταστάσεις,, ώστε με να ορίζουμε πάλι την αρχική κατάσταση W 4 e I( ) Όπου τώρα M ( ) exp( i r ) Aˆ ( r ) exp( i r ) Aˆ d r ( ) M (4.7) c 4 * (4.8) Παρατηρούμε ότι ο ρυθμός εκπομπής (όπως στην απορρόφηση) είναι ανάλογος της έντασης της ΗΜ ακτινοβολίας (εξαναγκασμένη εκπομπή). Όμως θα ισχύει ότι * ˆ ˆ * ( r ) exp( i r ) A ( r ) d r A ( r ) exp( i r ) ( r ) d r ˆ * (4.9) ( r ) A ( r ) exp( i r ) d r Ο πρώτος όρος στο δεξιά μέρος της (4.9) είναι μηδέν αφού οι συναρτήσεις μηδενίζονται στο άπειρο. Από τον ο όρο η παράγωγος ˆ A exp( i r ) Aˆ exp( i r ) 0 επειδή το κύμα είναι εγκάρσιο. Έτσι τελικά έχουμε ότι ˆ * * M ( ) ( r ) exp( i r ) A ( r ) d r M ( ) (4.40) Και επομένως W W (4.41) Ο ρυθμός μετάπτωσης από υπό την επίδραση ΗΜ κύματος είναι ο ίδιος με τον ρυθμό μετάπτωσης από. Παρόμοια προκύπτει ότι (4.4) Στην πράξη βέβαια ο αριθμός των μεταπτώσεων θα είναι διαφορετικός, γιατί το ποσοστό κατάληψης των δύο στιβάδων θα είναι διαφορετικό, σύμφωνα με τον νόμο στατιστικής κατανομής του Bltznn. Ηλεκτρική διπολική προσέγγιση Σε πολλές περιπτώσεις το μήκος κύματος της ΗΜ ακτινοβολίας είναι πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της κυματοσυνάρτησης που περιγράφει το σωματίδιο. Π.χ. στις οπτικές μεταπτώσεις, το μήκος κύματος είναι της τάξης 500n που δίνει 5 1 ένα / 10 c, ενώ η κυματοσυνάρτηση διαφέρει από το μηδέν στις διαστάσεις του ατόμου (10-8 c). Επομένως ο όρος r 10 1. Για τον λόγο αυτό, θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε τον εκθέτη exp( i r ) σε δυνάμεις του r και να γράψουμε ότι 1 exp( i r ) 1 i r ( i r ).... (4.4) Σε πρώτη προσέγγιση θα θέσουμε exp( i r ) 1. Τότε σε αυτή την προσέγγιση το i( r t) A A e δεν θα εξαρτάται από το r A οπότε B A 0 και E είναι t συνάρτηση του χρόνου μόνο. Ενώ 4-6

Όπου p A M ( ) ˆ A i A p A (4.44) Aˆ p είναι η συνιστώσα του τελεστή της ορμής στην διεύθυνση του διανύσματος Â. d r 1 d O Από την σχέση r, H 1 O dt i O, H dt i t d Και το θεώρημα του Ehrenest p r, προκύπτει ότι dt d p r rh H r r A dt i i Και επομένως στην λεγόμενη (ηλεκτρική) διπολική προσέγγιση θα έχουμε ότι Οπότε r r με ( ) ˆ M ra A r W I A r D 4 e ( ) ˆ c 4 (4.45) (4.46) (4.47) (4.48) (4.49) Ορίζοντας την ηλεκτρική διπολική ροπή κατά τα γνωστά ως d er και τον αντίστοιχο τελεστή ηλεκτρικής διπολικής ροπής D, έχουμε ότι Όπου W I A D D 4 1 ( ) ˆ c 4 D er D (4.50) (4.51) Όταν D 0 έχουμε στην προσέγγιση αυτή μια επιτρεπτή μετάβαση στην ηλεκτρική διπολική προσέγγιση. Αν D 0 τότε λαμβάνουμε τον επόμενο όρο προσέγγισης exp( i r ) 1 i r, που δίνει την μαγνητική διπολική προσέγγιση (Μ1) και την ηλεκτρική τετραπολική (Ε) προσέγγιση. Αν τα ( Aˆ, E ) και r σχηματίζουν γωνία θ, τότε ˆ Ar r cs. Οπότε θα έχουμε ότι W 4 e I r D ( ) cs c 4 (4.5) όπου r x y z (4.5) Αντίστοιχες σχέσεις προκύπτουν για την εξαναγκασμένη εκπομπή, αφού W W. 1 Λαμβάνοντας τον μέσο όρο ως προς την γωνία cs, έχουμε ότι ο συνολικός ρυθμός μετάπτωσης θα είναι ίσος προς 4-7

W I D D 4 1 ( ) c 4 (4.54) Αυθόρμητη εκπομπή Η αυθόρμητη εκπομπή είναι πιο δύσκολο να υπολογιστεί και δεν αρκεί η ημικλασική προσέγγιση. Μπορούμε όμως να βρούμε μια κατάλληλη έκφραση γι αυτή και να την συγκρίνουμε με τον νόμο εκπομπής του Plnc, ώστε να πιστοποιήσουμε την ορθότητά της. Ας ξεκινήσουμε από την κλασική μορφή της ακτινοβολίας από κινούμενα φορτία, που η θέση τους μεταβάλλεται με τον χρόνο. Ας θεωρήσουμε μια περιοδική κίνηση. Τότε για την πυκνότητα φορτίου και πυκνότητας ρεύματος θα ισχύει ότι ( r, t) ( r )exp( it ) (4.55) j( r, t) j( r ) exp( it) Αν θεωρήσουμε την βαθμίδα του Lrentz diva 0 t (4.56) μπορεί να αποδειχτεί από τις εξισώσεις του Mxwell ότι j( r, t) r r A( r, t) d r dt t t 4 (4.57) r r c Η συνάρτηση δ του Dirc εξασφαλίζει την αιτιότητα. Με αντικατάσταση της ημιτονοειδούς μορφής για το j( r, t) προκύπτει η σχέση i r r e A( r ) j( r) d r 4 (4.58) r r που εκφράζει την διάδοση του ΗΜ κύματος. Ο υπολογισμός γίνεται σε χρόνο r r t από την συνάρτηση δ, εξ αιτίας της πεπερασμένης ταχύτητας του φωτός. c Το μαγνητικό και το ηλεκτρικό πεδίο θα δίνονται τότε από τις σχέσεις 1 1 H A, E i H (4.59) Για μεγάλες αποστάσεις r r μπορούμε να αναπτύξουμε i i r r i ( rrcs ) r cs r sin e e 1 (4.60) r r r r όπου θ είναι η γωνία ανάμεσα στα r και r και r η θέση των κινούμενων φορτίων. i ( rrcs ) e Για r 1 και r r μπορούμε να κρατήσουμε μόνο τον πρώτο όρο, r οπότε προκύπτει ότι το διανυσματικό δυναμικό θα έχει τιμή e 4 r ir irˆ r li A( r) j( r) e d r r (4.61) 4-8

Που αναφέρεται σε ένα εκπεμπόμενο ΗΜ κύμα. Επειδή rˆ r rcs 1, για μεγάλα μήκη κύματος ως προς τις διαστάσεις του σωματιδίου, μπορούμε να κρατήσουμε μόνο τον 1 ον όρο προσέγγισης στην ανάπτυξη ir cs ircs e 1 ircs... (4.6) ir e οπότε A( r ) j( r, t) d r 4 r (4.6) Από την σχέση συνέχειας divj 0 divj i t (4.64) Με κατά παράγοντες ολοκλήρωση, θα έχουμε ότι jd r r j d r i r( r) d r (4.65) Τελικά προκύπτει για το διανυσματικό δυναμικό η σχέση όπου είναι η ηλεκτρική διπολική ροπή. Τότε το μαγνητικό πεδίο είναι i A( r ) 4 e r ir d r ( r ) d r d (4.66) (4.67) ir c e ˆ (4.68) H r d 4 e E r d rˆ 4 r και το ηλεκτρικό πεδίο ˆ Η μέση ισχύς ανά στερεά γωνία dp 1 c Re r r E H d d και η συνολική ακτινοβολούμενη ισχύς ir 4 ˆ sin 4 1 P d c 4 r (4.69) (4.70) (4.71) Σε ολόκληρη την περίοδο (Τ=π/ω) και για δύο καταστάσεις σπιν ο ρυθμός εκπομπής θα είναι ίσος προς 4 1 W d c 4 Για να βρούμε το κβαντικό ανάλογο με την ποσότητα d d d (4.7) (ή για * μιγαδικούς αριθμούς το d d ), θεωρούμε ότι θα πρέπει να εκφράζει μια μετάπτωση από μια αρχική κατάσταση σε μια άλλη τελική. Επομένως θα πρέπει να περιλαμβάνει όρο της μορφής d e r και η κβαντική σχέση θα μπορούσε να είναι η 4-9

W 4 1 D 4e 1 r 4 r s c 4 c 4 c (4.7) όπου α είναι η σταθερά λεπτής υφής. Ο έλεγχος της ορθότητας της επιλογής για το κβαντικό ανάλογο (αφού μέχρι στιγμής αποτελεί μια λογική παραδοχή), μπορεί να γίνει μέσω της σύγκρισης με τον νόμο του Plnc. Από την ισορροπία των κβάντα που απορροφώνται και εκπέμπονται σε κάποια θερμοκρασία Τ, την πιθανότητα εκπομπής (αυθόρμητης και εξαναγκασμένης) και απορρόφησης, τον αριθμό (ποσοστό κατάληψης-νόμος του Bltznn exp E E / BT exp / BT ) των ηλεκτρονίων που βρίσκονται στις δύο στιβάδες (σε θερμοκρασία Τ), και τις σχέσεις, (εξαναγκασμένη εκπομπή) θα βρούμε ότι πρέπει (αυθόρμητη εκπομπή) (απορρόφηση) W I D D 4 1 ( ) c 4 W s 4 1 D c 4 W I D D 4 1 ( ) c 4 (4.74) (4.75) (4.76) 4 1 4 1 4 1 B T e I ( ) ( ) D D I D c 4 c 4 c 4 (4.77) Που καταλήγει στην γνωστή σχέση I ( ) (4.78) c exp / BT 1 Οπότε η πυκνότητα καταστάσεων σε ενέργεια d θα είναι που είναι ο νόμος του Plnc. I ( ) d d c c BT exp / 1 (4.79) Σύγκριση με τους συντελεστές του Einstein Όταν ένα σύνολο ατόμων ακτινοβολούνται, άλλα θα διεγείρονται και άλλα θα αποδιεγείρονται. Αν το σύστημα βρίσκεται σε θερμική ισορροπία, οι δύο ρυθμοί διέγερσης και αποδιέγερσης θα είναι ίσοι. Για την διέγερση βρίσκουμε ότι αριθμός ατόμων που διεγείρονται ανά μονάδα χρόνου είναι ίσος προς N B N ) (4.80) Όπου Ν α είναι ο αριθμός των ατόμων που βρίσκονται στην κατάσταση α και ρ(ω ) η μέση πυκνότητα ενέργειας (ενέργεια/όγκο). Επειδή ρ = Ι/c, όπου Ι είναι η μέση ροή ΗΜ ακτινοβολίας ανά μονάδα επιφάνειας και ο ρυθμός απορρόφησης της ( 4-10

ακτινοβολίας είναι W ότι N 1 N (πιθανότητα μετάβασης/χρόνο), θα έχουμε N t N W B (4.81) Για την εκπομπή έχουμε δύο όρους, αφ ενός την αυθόρμητη εκπομπή (συντελεστής A ) και αφ ετέρου την εξαναγκασμένη (συντελεστής B ). Οπότε θα έχουμε ότι ο αριθμός ατόμων που αποδιεγείρονται ανά μονάδα χρόνου είναι ίσος προς Η ισότητα των δύο στην ισορροπία δίνει ότι N A N B N ) (4.8) N N ( A B( ) (4.8) B ( ) Όμως ισχύει η στατιστική κατανομή στις ενεργειακές καταστάσεις, δηλαδή ότι Η σύγκριση των δύο οδηγεί στην σχέση ( N N ) Η σύγκριση με την σχέση του Plnc ( ) c δίνει τις γνωστές σχέσεις και A B exp (4.84) BT B exp A / BT B exp 1 / T 1 B (4.85) (4.86) B (4.87) B (4.88) c Η εξίσωση του Schrödinger στις βαθμίδες ταχύτητας και μήκους Στην διπολική προσέγγιση, όπου το διανυσματικό δυναμικό Α(t) δεν εξαρτάται από την θέση, θα μπορούσε κανείς να γράψει την εξίσωση του Schrödinger q q A που αναφέραμε πιο πριν, i i A V υπό την μορφή t V q V i V i A t (4.89) 4-11

μέσω του μετασχηματισμού της βαθμίδας ταχύτητας της κυματοσυνάρτησης (αλλαγή φάσης που δεν αλλάζει το μέτρο της) t V i e ( r, t) exp A ( t) dt ( r, t) (4.90) 0 Ονομάζεται έτσι γιατί εκφράζει την αλληλεπίδραση με τον όρο σύζευξης του διανυσματικού δυναμικού Α με την ορμή p. Μια άλλη επιλογή για το διανυσματικό δυναμικό δίνεται μέσω της ( r, t) A( t) r, οπότε A( r, t) A( r, t) ( r, t) 0 (4.91) και A ( r, t) ( r, t) ( r, t) r E( t) r (4.9) t t A( t) όπου με E( t) ορίζεται το ηλεκτρικό πεδίο. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε t να εισάγουμε μια κυματοσυνάρτηση με αλλαγή φάσης της μορφής L ie ( r, t) exp A( t) r ( r, t) (4.9) Και η εξίσωση του Schrödinger λαμβάνει την μορφή L L i V ee( t) r t (4.94) Στην μορφή αυτή (βαθμίδα θέσης) είναι φανερό ότι η αλληλεπίδραση εκφράζει σύζευξη του ηλεκτρικού πεδίου με το διάνυσμα θέσης (και της ηλεκτρικής διπολικής ροπής), από όπου λαμβάνει και την ονομασία διπολική προσέγγιση. Εύρος γραμμής Ένας κλασικός ταλαντωτής που ακτινοβολεί χάνει ενέργεια, επομένως το πλάτος ταλάντωσής του μειούται με τον χρόνο. Δηλαδή το ΗΜ κύμα θα έχει πλάτος t E e / cs t, όπως ένας ταλαντωτής που αποσβένεται. Κατά τα της μορφής γνωστά από την Κυματική, η ένταση απορρόφησης του συστήματος θα έχει την κλασική μορφή I (4.95) 4 που υποδεικνύει μια μείωση της έντασης στην τιμή Ι ο / για συχνότητες. Το Γ ονομάζεται φυσικό εύρος γραμμής εκπομπής και συνήθως είναι πολύ μικρότερο από το ω ο. Στο κβαντικό ανάλογο, το Γ προκύπτει από την αρχική πιθανότητα αυθόρμητης μετάπτωσης ανά μονάδα χρόνου, αφού από την αρχή της απροσδιοριστίας ( ) το τ θα δίνει τον χρόνο ημιζωής συναρτήσει του εύρους Δω ( Γ) και επομένως θα είναι αντιστρόφως ανάλογο της πιθανότητας μετάπτωσης ανά μονάδα χρόνου. Μόνο στην περίπτωση άπειρου χρόνου ημιζωής το εύρος θα τείνει στο μηδέν. 4-1

Επομένως, θέτοντας ως Γ την πιθανότητα μετάβασης ανά μονάδα χρόνου θα έχουμε 4 4 r r c (4.96) που θα είναι μια πολύ μικρή ποσότητα, αφού ήδη είχαμε δεχτεί ότι στην διπολική προσέγγιση r 1. Δηλαδή το εύρος είναι πολύ μικρότερο της συχνότητας μετάπτωσης. Π.χ., για ~10-5 c -1 και r ~10-8 c, r ~10 - και που υποδηλώνει πολύ λεπτές ατομικές γραμμές μετάπτωσης. r ~10-6, Εντάσεις μεταπτώσεων και σχέση Ths-Reiche-Kuhn Η ένταση της μετάπτωσης ανάμεσα σε δύο καταστάσεις, στην διπολική προσέγγιση είναι ανάλογη του r. Επομένως, οι σχετικές εντάσεις των μεταπτώσεων σχετίζονται με βάση τις αντίστοιχες ποσότητες. Ας ορίσουμε την εξής αδιάστατη ποσότητα r (4.97) E E όπου. Για απορρόφηση >0 ενώ για εκπομπή <0. Αποδεικνύεται ότι τα ακολουθούν τον νόμο των Ths-Reiche-Kuhn 1 (4.98) Όπου η άθροιση έχει γίνει σε όλες τις καταστάσεις (διακριτές και συνεχείς). x y z Η απόδειξη βασίζεται στον υπολογισμό των τριών όρων,, : x * x x x x x (4.99) x x i i Όμως p i r x px και x px Οπότε x i i px x x px (4.100) i px x x px Επειδή 1 x p i Θα έχουμε ότι και, x x i 1 pxx xpx. Παρόμοια βρίσκουμε ότι y 1 z 1 και (4.101) Επομένως x y z 1. 4-1

Κανόνες επιλογής για ένα σωματίδιο Στην προσέγγιση που ακολουθήσαμε η πιθανότητα μετάπτωσης εξαρτάται από την τιμή του όρου. r. Επομένως μπορεί να δει κανείς αν είναι δυνατή μια μετάπτωση στην ηλεκτρική διπολική προσέγγιση από το κατά πόσον ο όρος αυτός διαφέρει από το μηδέν. Όταν έχουμε μεταπτώσεις ανάμεσα σε καταστάσεις που περιγράφονται από σφαιρικά συμμετρικό δυναμικό, τότε η κυματοσυνάρτηση θα εκφράζεται συναρτήσει των σφαιρικών αρμονικών Yl (, ). Το στοιχείο του πίνακα r θα είναι ένα διάνυσμα με συντεταγμένες x, y και z, όπου x r sin cs, y r sin sin, z r cs. Π.χ. το στοιχείο πίνακα z θα είναι της μορφής * Yl (, )cs Yl (, )sindd (4.10) 0 0 i e i και e των Η ολοκλήρωση ως προς φ θα συμπεριλάβει τους όρους Yl, επομένως θα προκύψει το ολοκλήρωμα 0 e i( ) * Y l και d, το οποίο θα μηδενίζεται εκτός και αν. Θέτοντας w cs, το υπόλοιπο ολοκλήρωμα θα γίνει της μορφής wp ( w l ) P l ( w ) dw (4.10) 1 l l 1 Όμως wpl ( w) Pl 1( w) Pl 1( w) (4.104) l 1 l 1 Και οι συναρτήσεις Pl, Pl είναι ορθογώνιες μεταξύ τους για l l. Παρόμοια υπάρχει η σχέση 1 ( 1) sin l P (cs ) 1(cs ) l Pl Pl 1(cs ) (4.105) Προκύπτει επομένως ο κανόνας επιλογής Το στοιχείο του πίνακα της z συνιστώσας θα μηδενίζεται, εκτός και αν και l l 1 ( x iy) r i 4 Επειδή r sin e r Y1, 1(, ) (4.106) προκύπτει από ολοκλήρωση ως προς φ ότι θα πρέπει 1 και μέσω των σχέσεων για τα πολυώνυμα P l ότι το στοιχείο πίνακα της συνιστώσας x iy μηδενίζεται εκτός και αν 1, l l 1, ενώ το x iy εκτός και αν 1, l l 1. Αυτά αποτελούν τους κανόνες επιλογής για τις ατομικές μεταπτώσεις στην διπολική προσέγγιση. Επομένως, όταν η αρχική και τελική κατάσταση διαφέρουν ως προς την τροχιακή στροφορμή κατά 1 και έχουν τον ίδιο μαγνητικό κβαντικό αριθμό προς 4-14

τον άξονα z, μόνο το στοιχείο του πίνακα z 0. Δηλαδή, η ακτινοβολία θα είναι γραμμικά πολωμένη κατά τον άξονα z, αν παρατηρείται στο xy-επίπεδο και δεν θα υπάρχει ακτινοβολία πολωμένη κατά μήκος του άξονα z (εγκάρσιο κύμα). Όταν οι μαγνητικοί κβαντικοί αριθμοί διαφέρουν κατά 1 επίσης, τότε οι x και y συνιστώσες του πίνακα της διπολικής ροπής θα έχουν διαφορά φάσης 90 ο, ενώ η z συνιστώσα θα μηδενίζεται. Δηλαδή η ακτινοβολία θα είναι κυκλικά πολωμένη, όταν παρατηρείται κατά τον άξονα z, ενώ θα είναι γραμμικά πολωμένη κάθετα στον άξονα z αν παρατηρείται από το επίπεδο xy. Τέτοια παραδείγματα θα τα δούμε στην ακτινοβολία των ατόμων που τοποθετούνται σε μαγνητικό πεδίο (φαινόμενο Zeen). Εξετάζοντας την στροφορμή του ΗΜ κύματος, μπορεί κάποιος να πει ότι τα κυκλικά πολωμένα κύματα, που κινούνται κατά τον άξονα z φέρουν μια στροφορμή την οποία αποδίδουν (ή απορροφούν) στο ατομικό σύστημα με την μετάπτωση σε μια άλλη κατάσταση με 1. Δηλαδή στο σύστημα ΗΜ κύματος και ατόμου, η συνολική στροφορμή διατηρείται. Αυτό υποδεικνύει ότι εκτός από την σχέση του Plnc που εκφράζει την μετάδοση ακτινοβολίας κατά πακέτα ενέργειας, ικανοποιείται επίσης και η αρχή διατήρησης της στροφορμής με τα φωτόνια να φέρουν στροφορμή. Όταν, μόνο η συνιστώσα z 0 και το σύστημα δεν φέρει καμιά στροφορμή. Αυτό δεν αντιφάσκει με την αλλαγή του τροχιακού κβαντικού αριθμού l ( l 1), γιατί οι άλλες συνιστώσες L x και L y δεν αντιμετατίθενται με την L z, και επομένως δεν μπορούν να προσδιοριστούν ταυτόχρονα. Έτσι, οι αναμενόμενες τιμές των L x, L y στις καταστάσεις με ( l, ) είναι μηδέν. Επομένως, δεν υπάρχει μεταβολή στην παρατηρούμενη τιμή της στροφορμής. Μολονότι όμως οι μέσες τιμές των και L είναι μηδέν, οι μέσες τιμές των τετραγώνων αυτών είναι διάφορες του y μηδενός. Η μεταβολή στο l αντιστοιχεί σε αλλαγές αυτής της μέσης τιμής των τετραγώνων των L x και L y. Θα πρέπει επί πλέον να σημειωθεί ότι στην διπολική προσέγγιση δεν υπεισέρχεται το σπιν. Επομένως, θα πρέπει να διατηρείται. Συμπερασματικά θα έχουμε τους κανόνες Δl = ±1, Δ = 0 (z-συνιστώσα), ±1 (x±iy συνιστώσες), Δs = 0 L x Στο παρακάτω σχήμα επαναλαμβάνεται το διάγραμμα μεταπτώσεων (Grtrin) για το ατομικό υδρογόνο, που υπακούουν στον κανόνα επιλογής 1. Ο διαχωρισμός εξ αιτίας της λεπτής δομής, που θα εξετάσουμε αργότερα, δεν φαίνεται. Η ενέργεια των στιβάδων προκύπται από την γενική σχέση (αντίστοιχη με την σχέση από το άτομο του Bhr), όπου Ζ=1 E n Ze r 1 n 4 (4.107) Με r ορίζεται η ανηγμένη μάζα ηλεκτρονίου-πυρήνα και με Ζ το φορτίο του πυρήνα. Επομένως, η ενεργειακή διαφορά κατά τις μεταπτώσεις θα είναι 4-15

E 1 1 Z (4.108) n n 4-16

Το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο Όταν η ενέργεια του φωτονίου είναι αρκετά μεγάλη, υπάρχει δυνατότητα κάποιο ηλεκτρόνιο να διεγερθεί και να αποσπαστεί από το άτομο, αποκτώντας κινητική ενέργεια, όπου (-ε) είναι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του ηλεκτρονίου. Αυτός ο φωτοιονισμός ονομάζεται φωτοηλεκτρικό φαινόμενο και εξηγήθηκε για πρώτη φορά από τον Einstein, που έλαβε το βραβείο Nel για αυτή την εργασία. Έστω ω και η ενέργεια και η ορμή του φωτονίου και έστω ότι το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην κατάσταση 1s [ψ 1s (r)] με ενέργεια Ε 1s. Ας ορίσουμε ως p την ορμή του ηλεκτρονίου που αποσπάται με μη-σχετικιστική ενέργεια E (όπου E <<c ). Με καλή προσέγγιση μπορούμε να παραστήσουμε το ελεύθερο ηλεκτρόνιο ως ένα επίπεδο κύμα, δηλαδή μέσω της κυματοσυνάρτησης με κανονικοποίηση τις σχέσεις 1 (, r ) exp / i r ( r) ( r) d r ( ) * (4.109) (4.110) Και ( r ) ( r) d ( r r) * (4.111) Είχαμε βρει ότι η ενεργός διατομή για απορρόφηση του φωτονίου δίνεται από την 4 σχέση της μορφής M ( ). Η συνολική ενεργός διατομή μπορεί να υπολογιστεί με την ολοκλήρωση ως προς όλες τι τελικές καταστάσεις του ηλεκτρονίου που εκπέμπεται [με ω =(Ε -Ε 1s )/] ως 4 1 tt M ( ) ( ) d (4.11) Ώστε να διασφαλίζει την διατήρηση της ενέργειας [Ε =ω+e 1s ], αλλά και την δυνατότητα αντικατάστασης της συνάρτησης δ(ω-ω ) με μια συνάρτηση φασματική κατανομή (όπως η λορεντζιανή) που δίνει κάποιο εύρος εκπομπής Δω (=Γ). Επειδή d d d de d 4-17

4 E E1s tt de M ( ) d 0 4 M ( ) d (4.11) Για την διαφορική ενεργό διατομή προκύπτει ότι d tt ( ) 4 M d ( ) (4.114) Με αντικατάσταση της συνάρτησης ψ θα προκύψει ότι 1 exp exp ˆ M i r i r A1s( r) d r Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες και λαμβάνοντας υπόψη ότι Aˆ 0, έχουμε (4.115) 1 / ˆ M ia exp ( ) r 1s( r) d r (4.116) Αν ορίσουμε ως γ την γωνία ανάμεσα στα Α και (δηλαδή την πόλωση του φωτός και την διεύθυνση εκπομπής του ηλεκτρονίου) και με δεδομένο ότι Z rz / 1s( r) e, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του ολοκληρώματος Z exp ( ) r ( r) d r 8 Z / 1s Z / (4.117) Όπου α ο είναι η ακτίνα του Bhr που είναι ίση προς 4πε ο /e. Με βάση την τιμή του ολοκληρώματος προκύπτει για την ενεργό διατομή ότι d d 5 tt Z cs 4 Z (4.118) Έστω ότι ˆ zˆ (διάδοση ΗΜ κύματος κατά τον άξονα z) Και ότι A ˆ xˆ (πόλωση του ΗΜ κύματος κατά τον άξονα x) Τότε cs sin cs x x xy xy (4.119) 4-18

Και cs (4.10) -x x xy φ γ θ z y Ας παραδεχθούμε επίσης ότι ω>>ε 1s (για το υδρογόνο E 1s =1,6eV). Τότε p v c (4.11) c c c Όμως για μη-σχετικιστικές καταστάσεις θα έχουμε ότι v <<c, οπότε θα ισχύει ότι Επί πλέον, από την v cs 1 cs c Z e Z e 8 4 E1s (4.1) (4.1) Δηλαδή E 1s οπότε E Z 1s (4.14) Και στον παρανομαστή μπορούμε να αγνοήσουμε το Ζ και θα έχουμε ότι d d v 1 cs c 5 tt Z sin cs 5 4 (4.15) Επειδή v <<c θα ισχύει ότι 4 v 4v 1 cs 1 cs c και επομένως c 4-19

5 d 4 tt Z v 5 cs sin 1 cs d c (4.16) Για μη-πολωμένο ΗΜ κύμα, θα πάρουμε τον μέσο όρος ως προς την γωνία φ και τότε (<cs φ>=1/) θα έχουμε 5 d 4 tt Z v 16 5 sin 1 cs d c (4.17) Με την ολοκλήρωση ως προς την στερεά γωνία θα προκύψει η συνολική ενεργός διατομή ίση προς 5 d tt 18 Z 5 d (4.18) Που αυξάνει με την 5 η δύναμη του Ζ. Μέσω της σχέσης E Z c Z λεπτής υφής) 1s e 1 1 4 [το α είναι η σταθερά 7/ 7/ 56 E1s 16 8 5 c tt Z Z (4.19) Δηλαδή μειούται με την (ω) 7/ δύναμη της ενέργειας του φωτονίου και αυξάνει με Ζ 5. Η διπολική προσέγγιση δίνει τον πρώτο όρο προσέγγισης με το να αγνοήσουμε τον όρο v /c. Όταν αυξάνει το, ο όρος v /c αρχίζει να γίνεται πιο σημαντικός και θα πρέπει να πάμε στον επόμενο όρο προσέγγισης. Σκέδαση της ΗΜ ακτινοβολίας από ατομικά συστήματα Η σκέδαση της ΗΜ ακτινοβολίας από ένα μόριο ή άτομο είναι ένα φαινόμενο ης τάξης: αρχικά το φωτόνιο ενέργειας ω απορροφάται και κάποιο ηλεκτρόνιο διεγείρεται σε ανώτερη στιβάδα και μετά, το ηλεκτρόνιο αποδιεγείρεται εκπέμπντας ένα φωτόνιο ενέργειας ω. Όταν ω=ω, τότε έχουμε επάνοδο στην αρχική κατάσταση και το φαινόμενο ονομάζεται σκέδαση Ryleigh ή απλά ελαστική σκέδαση. Αν ω ω [ω =ω-ω =ω+(ε -E )/] τότε έχουμε μη-ελαστική σκέδαση ή αλλιώς σκέδαση Rn. Έστω ˆ και ˆ οι πολώσεις των φωτονίων στην αρχική και τελική κατάσταση. Αν ορίσουμε την ενδιάμεση κατάσταση ως n, στην χρονοεξαρτώμενη 4-0

διαταραχή ης τάξης και στην διπολική προσέγγιση αποδεικνύεται ότι η διαφορική ενεργός διατομή θα έχει την μορφή d d ˆ d ˆ d ˆ d ˆ d (, ) n n n n r 4 e n n n (4.10) Όπου e 15,8 10 είναι η κλασική ακτίνα του ηλεκτρονίου και d ij το 4 c r στοιχείο του πίνακα της ηλεκτρικής διπολικής ροπής ανάμεσα στις καταστάσεις i και j. Η άθροιση γίνεται ως προς όλες τις ενδιάμεσες ιδεατές καταστάσεις n. Στην ης τάξης προσέγγιση η prity (που αλλάζει στην 1 ης τάξης) δεν μεταβάλλεται και οι κανόνες επιλογής είναι 0,. Αν συμβεί E E /, τότε ο ένας από τους δύο όρους της ενεργού n n διατομής απειρίζεται και έχουμε σκέδαση συντονισμού. Στην πράξη δεν θα υπάρχει απειρισμός, γιατί υφίσταται κάποιο εύρος και η ενεργός διατομή θα έχει την μορφή d (, ) r d Με αντίστοιχη μορφή για τον άλλο όρο. e 4 ˆ d ˆ n dn in n (4.11) Η συνολική ενεργός διατομή θα δίνεται από το ολοκλήρωμα 1 r d d d ˆ ˆ (, ) 4 n n e n n 4 (4.1) Στην περίπτωση του συντονισμού η ενεργός αυξάνει κατά πολλές τάξεις μεγέθους. Όμως, μακριά από τον συντονισμό η ενεργός διατομή ελαστικής σκέδασης γράφεται d d Όπου θέσαμε d er. (, ) 4 n r ˆ ˆ r n r n n n (4.1) Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση s, δηλαδή θέτουμε =sκατάσταση (l =0). Στην διπολική προσέγγιση, η ενδιάμεση κατάσταση θα έχει l n =1 (p-κατάσταση) με n 0, 1. Ας δεχτούμε ότι η εισερχόμενη ΗΜ ακτινοβολία έχει πόλωση κατά τον άξονα z, ενώ το σκεδαζόμενο κύμα πηγαίνει υπό γωνία (θ,φ). Τότε r z και z n =0 εκτός και αν n =0. ˆ n 4-1

Επειδή το z n θα μηδενίζεται για n 0 (αφού =0 και πρέπει Δ=0), προκύπτει ότι η μόνη μη-μηδενική συνιστώσα του r n είναι η z n και έτσι ˆ rn zzn. Οπότε ˆ ˆ και η ενεργός διατομή γράφεται ως z d d (, ) 4 n r ˆ ˆ zn n n (4.14) Όπου με n συμβολίζονται όλες οι καταστάσεις p (διακριτές και συνεχείς). n Όταν n zn z n e n n n n (4.15) Όπου ορίσαμε ως e zn (4.16) n En E την στατική διπολική πολωσιμότητα του ατόμου στην βασική κατάσταση α. Από ολοκλήρωση ως προς τις γωνίες θα προκύψει ότι 4 ˆ ˆ (1) Αν ˆ είναι κάθετο στο επίπεδο ˆ, γιατί ˆ ˆ 0. r tt d e (4.17), τότε μηδενίζεται η ενεργός διατομή () Αν το ˆ βρίσκεται στο επίπεδο που περιλαμβάνει τα ˆ και (και φυσικά είναι κάθετο στο αφού είναι εγκάρσιο κύμα), τότε από την ολοκλήρωση προκύπτει ότι tt 8 r e 4 (4.18) Μολονότι η σχέση αποδείχθηκε για το άτομο του υδρογόνου, ισχύει γενικά και δείχνει την ενεργό διατομή να αυξάνει με το ω 4 (ή το λ -4 ), που υποδηλώνει ότι είναι μεγαλύτερη για το μπλε χρώμα από ότι για το κόκκινο (μπλε του ουρανού το πρωί, και κόκκινο στο ηλιοβασίλεμα). Στην άλλη ακραία περίπτωση όπου ω>>ω n για όλες τις σημαντικές καταστάσεις n, τότε 4r ˆ r n ˆ r n n n d (, ) d (4.19) Αν ˆ ẑ και ˆ κείται στο επίπεδο xz, τότε η άθροιση ως προς το n δίνει 4-

r r x z z ˆ ˆ ˆ n n n x n n n z n n n n n (4.140) Το z n θα μηδενίζεται εκτός και αν n =. Επίσης, η x n θα μηδενίζεται εκτός και αν n 1. Επομένως, ο όρος xnznn θα μηδενίζεται πάντα. Από τον n νόμο των Ths-Reiche-Kuhn προκύπτει ότι ο ος όρος θα πάρει την μορφή n z n n (4.141) Επομένως, η συνολική ενεργός διατομή θα είναι ίση προς tt z (4.14) r ˆ d r ˆ ˆ d Που από την ολοκλήρωση προκύπτει τελικά ότι 8 tt r (για ω>>ω n ) (4.14) Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την αρχική κατάσταση και εφαρμόζεται στην σκέδαση από ελεύθερα ηλεκτρόνια. Ονομάζεται σκέδαση Thsn και μπορεί να υπολογιστεί με κλασική ηλεκτροδυναμική (δεν εξαρτάται από το, επομένως δεν υποδηλώνει κβαντικά χαρακτηριστικά). 4-

Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.