B Γυμνασίου Ενότητα 9
Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση (2) Δίνεται το παραλληλόγραμμο με, και. Αν η περίμετρο του είναι, να υπολογίσετε την τιμή του, χρησιμοποιώντας εξίσωση. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο Β_En9_Exisoseis.ggb και να διερευνήσετε το πλήθος των λύσεων του πιο πάνω προβλήματος. Τι πρέπει να ξέρετε Κάθε εξίσωση της μορφής είναι γραμμική εξίσωση μίας μεταβλητής. Κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει μία μοναδική λύση, τη. Μία εξίσωση που δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ( ) λέγεται αδύνατη εξίσωση στο σύνολο. Όταν, η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή, με και είναι αδύνατη. Μία εξίσωση που έχει ως λύση κάθε πραγματικό αριθμό λέγεται αόριστη εξίσωση στο σύνολο (άπειρες λύσεις). Όταν και η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή και είναι αόριστη. 1 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Παραδείγματα 1. Nα λύσετε την εξίσωση: Λύση: Απαλοιφή παρονομαστών: κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και διαγράφουμε ( ) Κάνουμε τις πράξεις τους παρονομαστές. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Άρα η εξίσωση είναι αόριστη. Παρατήρηση Στην πιο πάνω περίπτωση δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το συντελεστή του αγνώστου διότι είναι μηδέν! Παρατηρούμε ότι η εξίσωση επαληθεύεται για όλες τις τιμές του. Άρα έχει άπειρες λύσεις. Για παράδειγμα: ( ) ( ) 2. Να προσδιορίσετε τον αριθμό, έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αδύνατη. Λύση: Όπως αναφέραμε, κάθε αδύνατη εξίσωση έχει τη μορφή με μεταβλητή και. ( ) Κάνουμε τις πράξεις εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους. ( ) Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. 2 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Άρα, θέτουμε το συντελεστή του στην εξίσωση ( ) ίσο με το μηδέν:. Παρατήρηση Αν αντικαταστήσουμε το λ=3 τότε η εξίσωση γίνεται αδύνατη. και επαληθεύεται ότι είναι 3. Ένας πατέρας είναι σήμερα χρονών. Ο γιος του έχει τη μισή ηλικία της κόρης του. Να βρείτε την ηλικία του γιού του, αν γνωρίσετε ότι σε χρόνια ο πατέρας θα έχει ηλικία όσο το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών του. Λύση: Έστω η σημερινή ηλικία της κόρης. Μπορούμε να οργανώσουμε τα δεδομένα του προβλήματος σε έναν πίνακα: Σημερινές ηλικίες Μετά από 10 χρόνια Πατέρας Κόρη Γιος Επιλύουμε την εξίσωση: Άρα σήμερα η ηλικία της κόρης είναι 30 χρονών και ο γιος σήμερα είναι 15 χρονών. 3 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: Δραστηριότητες α) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ε) ( ) ( ) ( ) στ) ( ) ( ) ζ) η) θ) ι) ια) ( ) ( ) ( ) 2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) είναι αόριστη έχει άπειρες λύσεις γ) είναι αδύνατη δ) έχει μια λύση ε) δεν έχει λύση 3. Να εξετάσετε αν ένας από τους πιο κάτω αριθμούς και είναι λύση της εξίσωσης. 4. Να επαληθεύσετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης: ( ) ( ). 5. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις: α) 6. Να προσδιορίσετε τον αριθμό έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αόριστη. 7. Σε μια εκδρομή το κανονικό εισιτήριο ήταν ενώ για τους συνταξιούχους ήταν. Οι συνταξιούχοι ήταν λιγότεροι από τους υπόλοιπους. Αν συνολικά πλήρωσαν, να βρείτε πόσοι ήταν οι συνταξιούχοι. 4 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
8. Ένα Γυμνάσιο έχει συνολικά μαθητές. Η τάξη έχει διπλάσιους μαθητές από τη τάξη και η τάξη έχει μαθητές περισσότερους από τo τριπλάσιο της τάξης. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη; 9. Να βρείτε το μέτρο μιας γωνιάς, αν γνωρίζετε ότι τα του μέτρου της συμπληρωματικής της και τα άθροισμα. του μέτρου της παραπληρωματικής της έχουν 10. Κόβουμε ένα σύρμα μήκους και φτιάχνουμε ένα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Αν η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου είναι κατά μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου και την περίμετρο του τριγώνου. 11. Σήμερα ο Πέτρος είναι χρόνια μεγαλύτερος από το Γιάννη. Πριν χρόνια η ηλικία του Πέτρου ήταν τετραπλάσια από την ηλικία του Γιάννη. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες; 5 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Ανισώσεις Διερεύνηση (1) Πιο κάτω φαίνονται τρείς πινακίδες: (Στον Ζωολογικό Κήπο) ΚΑΤΑΛΛΗΛΟ ΓΙΑ ΑΤΟΜΑ ΑΝΩ ΤΩΝ 18 Με βάση την 1 η πινακίδα αν ο Κώστας στάθμευσε λεπτά, είναι μέσα στον επιτρεπόμενο χρόνο; Αν ένας οδηγός τρέχει μέσα στην πόλη με ταχύτητα, ξεπερνά το πιο πάνω όριο ταχύτητας ή όχι; Να δηλώσετε τρεις ηλικίες παιδιών που πρέπει να συνοδεύονται στον ζωολογικό κήπο και τρεις ηλικίες παιδιών που δεν πρέπει να συνοδεύονται. Είναι κατάλληλο το πρόγραμμα με την πιο πάνω ένδειξη για τους μαθητές της Μέσης Εκπαίδευσης; Να διατυπώστε μία μαθηματική πρόταση για την κάθε πινακίδα. Διερεύνηση (2) Ένας φωτογράφος εργάζεται σε ένα περιοδικό. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό και για κάθε φωτογραφία που δημοσιεύεται στο περιοδικό, πληρώνεται επιπλέον την μια. Πόσες φωτογραφίες πρέπει να δημοσιεύονται στο περιοδικό για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ; 6 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Τι πρέπει να ξέρετε Στην καθημερινή ζωή πολλές φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε δυο μεγέθη με μια σχέση ισότητας ή ανισότητας, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα. Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Προσθέτουμε και στα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν τότε ισχύει και Αν τότε ισχύει και Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Πολλαπλασιάζουμε με και τα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν και τότε ισχύει και Αν και τότε ισχύει και Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με αντίθετη φορά. Για παράδειγμα: ( ) και ( ) Παρατηρούμε ότι άρα η νέα ανισότητα έχει αντίθετη φορά. Γενικά: Αν και τότε ισχύει και Αν και τότε ισχύει και Η ανισότητα που περιέχει μεταβλητή ονομάζεται ανίσωση. Για παράδειγμα: 7 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Λύση της ανίσωσης είναι κάθε αριθμητική τιμή που την κάνει αληθή. Για κάθε ανίσωση ορίζεται ένα σύνολο λύσεων, του οποίου κάθε στοιχείο επαληθεύει την ανίσωση. Το σύνολο αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους όπως πιο κάτω: Συμβολικά Γραφικά Λεκτικά Το μεγαλύτερο από το. Το μεγαλύτερο ή ίσο με το Το μικρότερο του. To μικρότερο ή ίσο του Παραδείγματα 1. Να λυθεί η ανίσωση και να παρασταθεί γραφικά η λύση της. Λύση Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου όρου, δηλαδή το. Ο συντελεστής είναι αρνητικός άρα θα προκύψει ανίσωση με αντίθετη φορά. Επίλυση ανίσωσης i. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους. ii. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. iii. Διαιρούμε το συντελεστή του αγνώστου όρου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε την φορά. Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής με τον αριθμό. που είναι μεγαλύτερη ή και ίση 8 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
2. Να λυθεί η ανίσωση ( ). Λύση ( ) ( ) ( ) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. δηλαδή τον αριθμό ( ) ( ) ( ) Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του άγνωστου όρου Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής μικρότερη ή ίση από το. 3. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: 8 Παρατηρούμε ότι η ανίσωση δεν αληθεύει για καμία τιμή της μεταβλητής. Δηλαδή η ανίσωση είναι αδύνατη. 4. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: 8 Παρατηρούμε ότι η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής. 9 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Δραστηριότητες 1. Δίνεται η ανίσωση α) Να δώσετε πέντε αριθμούς που επαληθεύουν την πιο πάνω ανίσωση. Να δώσετε τις τρεις μικρότερες ακέραιες λύσεις της ανίσωσης. γ) Ο αριθμός είναι λύση της ανίσωσης; δ) Πόσες λύσεις έχει η παραπάνω ανίσωση; 2. Δίνονται οι γραφικές λύσεις ανισώσεων. Να επιλέξετε τις αντίστοιχες αλγεβρικές τους λύσεις: I. α) γ) δ) II. α) γ) δ) III. α) γ) δ) IV. α) γ) δ) 3. Να επιλύστε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. ) ) ) 4. Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που είναι λύση της ανίσωσης ; 5. Να βάλετε σε κύκλο τους αριθμούς που επαληθεύουν την ανίσωση : 6. Δίνεται η ανίσωση α) Να λύσετε την ανίσωση. Να δώσετε τρεις τιμές του που επαληθεύουν την ανίσωση. 7. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ). Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που επαληθεύει την ανίσωση; 10 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
8. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) ( ) 9. Ένας διανομέας εργάζεται σε μια επιχείρηση με προμήθεια. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό και για κάθε προϊόν που πωλεί πληρώνεται επιπλέον το ένα. Πόσα προϊόντα πρέπει να πωλήσει για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ; 10. Ο κύριος Λιμνιώτης διαθέτει μια δεξαμενή χωρητικότητας για αποθήκευση νερού. Η δεξαμενή ήταν κενή. Γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό νερού ανά ώρα. Να βρείτε: α) Πόσο νερό θα υπάρχει στην δεξαμενή αν η παροχή νερού παραμείνει ανοικτή για ώρες. Σε πόσες ώρες πρέπει να κλείσει την παροχή νερού ώστε η δεξαμενή να μην υπερχειλίσει. 11 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Αλγεβρικές παραστάσεις Απλοποίηση Αλγεβρικής Παράστασης Διερεύνηση Πιο κάτω παρουσιάζεται ένα σύνολο αλγεβρικών πλακιδίων που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αριθμών και μεταβλητών όπως φαίνεται στον πίνακα. Πλακίδιο Αναπαριστά Πλακίδιο Αναπαριστά τον αριθμό. τον αριθμό. τη μεταβλητή το αντίθετο της μεταβλητής. το τετράγωνο της μεταβλητής. το αντίθετο του τετράγωνου της μεταβλητής. Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν την αλγεβρική παράσταση. Μετά την ανακατάταξη των πλακιδίων και την εξουδετέρωση των θετικών με τα αρνητικά πλακίδια αντίστοιχου μεγέθους η αλγεβρική παράσταση απλοποιείται στην. Να περιγράψετε με περισσότερη λεπτομέρεια την πιο πάνω διαδικασία; Αν το πάρει την τιμή 5 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης και ακολούθως την αριθμητική τιμη της απλοποιημένης μορφής. Υπάρχει διαφορά στο αποτέλεσμα; Με βάση το μοντέλο με τα πλακίδια ή με άλλο τρόπο μπορείτε να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. 12 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Τι πρέπει να ξέρετε Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα:,,,, Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις μόνο με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Για παράδειγμα: Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικατασταθούν οι μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και εκτελεστούν οι πράξεις, τότε το αποτέλεσμα ονομάζεται αριθμητική τιμή ή τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγμα η τιμή της αλγεβρικής παράστασης, για και, είναι Μια αλγεβρική παράσταση που περιλαμβάνει μόνο την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ πραγματικού αριθμού και μεταβλητών και οι μεταβλητές της έχουν εκθέτη μη αρνητικό ακέραιο ονομάζεται μονώνυμο. Για παράδειγμα:,,,,, -5 Σε ένα μονώνυμο (στην πιο απλή μορφή) ο αριθμητικός παράγοντας ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο των μεταβλητών του ονομάζεται κύριο μέρος. Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοια. Πολυώνυμο ονομάζεται το άθροισμα μονωνύμων και το κάθε μονώνυμο ονομάζεται όρος του πολυωνύμου. Π.χ. Η αλγεβρική παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ), συνήθως γράφεται Οι όροι της αλγεβρικής παράστασης με το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοιοι όροι. τέσσερις όρους. και αποτελείται από Μια αλγεβρική παράσταση απλοποιείται αν κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, δηλ. αν αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους. Π.χ. 13 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Παράδειγμα Δίνεται η αλγεβρική παράσταση. α) Από πόσους όρους αποτελείται η αλγεβρική παράσταση; Ποιοι είναι οι όροι της, ποιο το κύριο μέρος και ποιος ο συντελεστής του καθενός; γ) Ποιοι είναι όμοιοι όροι; δ) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. ε) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και. Λύση: α) H αλγεβρική παράσταση αποτελείται από 7 όρους. όρος κύριο μέρος συντελεστής γ) Όμοιοι όροι:,,,, δ). ε) Η αλγεβρική παράσταση για έχει αριθμητική τιμή: ( ) ( ). Σημείωση: Την ίδια αριθμητική τιμή θα βρούμε αν αντικαταστήσουμε στην αρχική μορφή της αλγεβρικής παράστασης. 14 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Δραστηριότητες 1. Να σημειώσετε στο κουτί διπλα από κάθε μια απο τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις που είναι μονώνυμα. 2. Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια ; 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος 4. Ποιο από τα πιο κάτω είναι ισοδύναμο με : Α: Β: Γ: Δ: 5. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση. α) Από πόσους όρους αποτελείται η αλγεβρική παράσταση; Ποιοι όροι είναι όμοιοι; γ) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. δ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και. 6. Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις και ακολούθως να βρείτε την αριθμητική τους τιμή για : 15 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Πρόσθεση Αφαίρεση Πολυωνύμων Διερεύνηση (1) Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν το άθροισμα των πολυωνύμων και. Μπορείτε να περιγράψετε την πιο πάνω διαδικασία; Διερεύνηση (2) Δύο μαθητές εργάστηκαν με τα μοντέλα των πλακιδίων ως εξής: Μαθητής 1: Αφαίρεσε το πολυώνυμο από το πολυώνυμο. Μαθητής 2: Πρόσθεσε στο πολυώνυμο το πολυώνυμο. Να συγκρίνετε τις δύο διαδικασίες και τα αποτελέσματα τους. Τι συμπεράσματα μπορείτε να εξάγετε; 16 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Τι πρέπει να ξέρετε Ένα πολυώνυμο με δύο όρους ονομάζεται διώνυμο και ένα πολυώνυμο με τρεις όρους ονομάζεται τριώνυμο. Για παράδειγμα: διώνυμο: τριώνυμο: Για να ονομάσουμε ένα πολυώνυμο χρησιμοποιήσουμε συνήθως γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου και σε παρένθεση τις μεταβλητές που περιλαμβάνει το πολυώνυμο. Για παράδειγμα:,, ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) Παρατήρηση: Με ( ) συμβολίζουμε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ( ) για. Δηλ. ( ) Η πρόσθεση πολυωνύμων εκτελείται κάνοντας αναγωγή των όμοιων όρων του πολυωνύμου που προκύπτει. Η αφαίρεση ενός πολυωνύμου από ένα πολυώνυμο μπορεί να εκτελεστεί ως πρόσθεση των αντίθετων όρων του πολυωνύμου με το πολυώνυμο. Παράδειγμα Δίνεται το τριώνυμο και το διώνυμο. Να υπολογίσετε: α) γ) Λύση: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) 17 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Δραστηριότητες 1. Ποιο από τα πιο κάτω πολυώνυμα είναι ίσο με ( ) ( ): Κανένα από τα προηγούμενα. 2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( ) στ) ( )( ) 3. Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις πολυωνύμων: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ε) ( ) ( ) στ) ( ) ζ) ( ) ( ) η) ( ) ( ) 4. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ), ( ) και ( ). Να βρείτε τα εξής: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( ) 18 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
5. Μια μηχανή κόβει σιδερένιες ράβδους σε διάφορα μεγέθη μήκους ρυθμίζοντας κάθε φορά την παράμετρο. Επίσης χαράσσει τη ράβδο σε σημείο Β έτσι ώστε. α) Να βρείτε το μήκος του μ (συναρτησει του ). Αν να βρείτε το μήκος του και του. 6. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και. Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής. Στον περίγυρο του πλαστικού αυτού ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια πλαστική μεμβράνη. α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το μήκος της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο. Αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει την τιμή, ποιο το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί για κάθε ένα ορθογώνιο; γ) Αν ο επιστάτης ζητήσει να κατασκευαστούν ορθογώνια, αλλά με, πόσο είναι το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί η μηχανή; 19 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Διερεύνηση (1) Στο μοντέλο πολλαπλασιασμού πολυωνύμων τα αλγεβρικά πλακίδια καλύπτουν επιφάνεια ως εξής: Πλακίδιο Καλύπτει τετράγωνο με πλευρά μονάδα ορθογώνιο με διαστάσεις και μονάδες τετράγωνο με πλευρά μονάδες Για την εύρεση του γινομένου ( ) χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο με τα αλγεβρικά πλακίδια ως εξής: Βήμα 1: Το γινόμενο ( ) αντιστοιχεί σε ορθογώνιο με διαστάσεις και ( ). Βήμα 2: Καλύπτουμε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια. Άρα ( ). Να εξηγήσετε γιατί καλύπτεται η επιφάνεια με τα συγκεκριμένα πλακίδια που φαίνονται στην εικόνα; Ένας μαθητής εργάστηκε όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Να εξηγήσετε ποια ιδιότητα χρησιμοποίησε και πως αυτή αντιστοιχεί με το προηγούμενο μοντέλο. 20 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Διερεύνηση (2) Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο Bgym_En9_PolPolyonimon.ggb. Να μετακινήσετε τους δρομείς ώστε να πετύχετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ακολούθως να καλύψετε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια για να βρείτε το αποτέλεσμα του γινομένου των διαστάσεων. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Διάσταση 1 Διάσταση 2 Γινόμενο Αποτέλεσμα ( ) ( ) ( )( ) Να εκτελέσετε τους πιο πάνω πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας κατάλληλη ιδιότητα των πράξεων και να εξηγήσετε την αντιστοιχία με το μοντέλο των πλακιδίων. Τι πρέπει να ξέρετε Για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμου με πολυώνυμο γίνεται χρήση ιδιοτήτων των πράξεων και των δυνάμεων. 21 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Παράδειγμα Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων: α) ( ) γ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( ) Λύση: α) ( ) γ) δ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) αντ στοιχη διαδικασ α με χρήση π νακα: η) ( )( ) 22 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( ) στ) ( )( ) 2. Μια σωλήνα έχει μήκος μέτρα. Το μήκος μιας σωλήνας είναι φορές μεγαλύτερο από την. Να βάλετε σε κύκλο την ορθή απάντηση. Α: μέτρα Β: μέτρα Γ: μέτρα Δ: μέτρα 3. Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων: α) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( ) 5. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και. Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής. Στην άνω επιφάνεια αυτού του ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια έγχρωμη μεμβράνη. α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο. Να βρείτε το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει τιμές, και. 23 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: α) ( ) α ( α ) γ) ( ) δ) ε) ( ) στ) ζ) η) θ) α ι) 2. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: και ( ) έχουν κοινή λύση. 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ). Αν η γωνία είναι κατά μικρότερη από την να υπολογίσετε τις γωνίες του. 4. Ένας μαθητής απάντησε σε ερωτήματα και πήρε μονάδες για κάθε σωστή απάντηση, ενώ έχασε μονάδα για κάθε λανθασμένη απάντηση. Αν τελικά ο μαθητής συγκέντρωσε μονάδες, να βρείτε πόσα ερωτήματα απάντησε σωστά. 5. Να βρείτε το μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που το τριπλάσιο του μειωμένο κατά είναι μικρότερο του αριθμού αυτού. 6. Να επιλύστε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. α) γ) ( ) ( ) δ) 7. Να γράψετε μια ανίσωση που να καθορίζει αν μια επίδοση στο άλμα εις ύψος δίνει σε έναν αθλητή το εισιτήριο για τους ολυμπιακούς αγώνες, αν είναι γνωστό ότι από τους πιο κάτω αθλητές το εισιτήριο πήραν μόνο οι αθλητές και. Αθλητής Μέγιστη επίδοση 24 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
8. Nα βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμός ( ) είναι αρνητικός αριθμός. 9. Να κάνετε τις πράξεις: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( )( ) στ) ( ) ζ) ( ) ( ) η) ( )( ) 10. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ), ( ) και ( ). Να υπολογίσετε: α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) 11. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι. Να βρείτε τις διαστάσεις του και το εμβαδόν του. 12. Ένα πρότυπο σχέδιο κήπου σχήματος ορθογωνίου έχει μια διάσταση ίση με μέτρα και την άλλη διάσταση διπλάσια αυξημένη κατά μέτρα. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδόν και μια την περίμετρο του σχεδίου. 13. Να εξετάσετε κατά πόσο το διπλανό ορθογώνιο είναι τετράγωνο και να βρείτε το εμβαδόν του. 25 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις και ( )( ) έχουν μία κοινή λύση. 2. Να εξετάσετε αν το είναι λύση της εξίσωσης: ( )( ) ( )( ). 3. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις: α) ( )( ) ( )( ) 4. Ο κ. Πέτρος έχει ένα ορθογώνιο κήπο διαστάσεων επί. Θέλει να κατασκευάσει διάδρομο από μπετόν, ίσου πλάτους ( ) περιμετρικά από τον κήπο. α) Κατασκευάστε ένα διάγραμμα του κήπου και του διαδρόμου. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδό του διαδρόμου; 5. Μια εταιρεία πουλά ένα συγκεκριμένο ψυγείο αξίας και εκτιμά ότι σε ένα χρόνο θα πουλήσει ψυγεία. Αν αυξήσει την τιμή κατά ( ), εκτιμάται ότι θα χάσει πελάτες. Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τις εισπράξεις της εταιρείας μετά την αύξηση της τιμής. Να υπολογίσετε τις εισπράξεις αν πουληθούν και ψυγεία, με την αύξηση τιμής και χωρίς την αύξηση τιμής και να σκεφτείτε αν συμφέρει η αύξηση ή όχι. 6. Να γράψετε ένα πολυώνυμο που να παριστάνει: α) την περίμετρο και το εμβαδό της σκιασμένης επιφάνειας. 26 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.