Μάθημα 8 Τίγωνα Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Κοινές εφαπτόμενες
Άσκηση 2 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Σε μία χοδή ενός κύκλου κέντου παίνουμε σημεία Γ και Δ για τα οποία είναι Γ = Δ. Να αποδειχθεί ότι: i. Γ = Δ ii. ν Μ το απόστημα της χοδής, τότε η Μ είναι διχοτόμος του τιγώνου ΔΓ. Δεδομένα Γ = Δ Μ Ζητούμενα 1 = 2 3 = 4 i. Γ = Δ καθώς: 1 2 3 4 1) Γ = Δ (δεδομένο) 1 = 2 Γ Μ Δ 2) = (ακτίνες) 3) = (ποσκείμενες στη βάση ισοσκελούς) Γ = Δ [1] ii. Το τίγωνο ΓΔ είναι ισοσκελές με Γ = Δ (από [1]) και Μ ύψος στη βάση ΓΔ άα και διχοτόμος, οπότε: 3 = 4
Άσκηση 6 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Σε κύκλο με κέντο παίνουμε δύο ίσες χοδές και ΓΔ, οι οποίες όταν ποεκταθούν τέμνονται σε σημείο Μ εκτός κύκλου. Να αποδειχθεί ότι: i. Το σημείο Μ ισαπέχει από τα άκα των χοδών αυτών. ii. Η Μ διχοτομεί τη γωνία ΜΔ. Φένουμε τα αποστήματα Κ, Λ των = ΓΔ. Κ Λ Δ 1 2 Μ ΜΚ = ΜΛ καθώς: 1) Μ κοινή πλευά ΚΜ = ΛΜ [1] 2) Κ = Λ (αποστήματα των = ΓΔ) Μ 3) Κ = Λ = 90 ο (αποστήματα) 1 = Μ 2 (το ii) Κ = ΓΛ [2] Κ, Λ μέσα των = ΓΔ, οπότε: ως μισά ίσων χοδών Κ = ΔΛ [3] Γ [2] + [1] Κ + ΚΜ = ΓΛ + ΛΜ Μ = ΜΓ Δεδομένα Ζητούμενα [1] [3] ΚΜ Κ = ΛΜ ΔΛ Μ = ΜΔ = ΓΔ Μ = ΜΓ Μ = ΜΔ Μ 1 = Μ 2
Άσκηση 9 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Στο παακάτω σχήμα ο κύκλος εφάπτεται της πλευάς Γ και των ευθειών, Γ. ποδείξτε ότι Ζ = Ε = τ, όπου τ είναι η ημιπείμετος του τιγώνου Γ. Δ Γ Ζ Ε = Ζ [1] ως εφαπτόμενα τμήματα από το Ε = Δ [2] ως εφαπτόμενα τμήματα από το ΓΖ = ΔΓ [3] ως εφαπτόμενα τμήματα από το Γ [1] Ε + Ζ = ( + Ε) + (Γ + ΓΖ) [3] [2] Ε Ε + Ε = ( + Δ) + (Γ + ΔΓ) 2Ε = + Γ + (Δ + ΔΓ) 2Ε = + Γ + Γ = 2τ Ε = τ
Σχετικές θέσεις δύο κύκλων και κοινές εφαπτόμενες Έστω οι κύκλοι (, ) και (Κ, ) και έστω d η διάκεντος Κ. Τότε έχουμε τις εξής πειπτώσεις: i. ΕΝΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΣ ΤΥ ΛΛΥ d > + K d ii. ΕΦΠΤΝΤΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚ d = + d K iii. ΤΕΜΝΝΤΙ < d < + d K Η ΔΙΚΕΝΤΡΣ ΕΙΝΙ ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣ ΧΡΔΗΣ
Σχετικές θέσεις δύο κύκλων και κοινές εφαπτόμενες Έστω οι κύκλοι (, ) και (Κ, ) και έστω d η διάκεντος Κ. Τότε έχουμε τις εξής πειπτώσεις: iv. ΕΦΠΤΝΤΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚ d = K d v. ΕΝΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΣ ΤΥ ΛΛΥ d < d K ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΚΕΝΤΡΙ (, ) και (, ) d = 0
Άσκηση 3 (αποδεικτικές) / σελίδα 72 (σημειώσεις 71) Ένας κύκλος κέντου Κ είναι εξωτεικός ενός άλλου κύκλου κέντου Λ. Μια κοινή εξωτεική εφαπτομένη και μια κοινή εσωτεική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνονται στο Ρ. Να αποδείξετε ότι ΚΡΛ= 90 ο. Η ΡΚ είναι διακεντική ευθεία των εφαπτόμενων τμημάτων Ρ και Ρ, Κ ω 1 2 ω Ρ 4 3 φ φ Δ Γ Λ οπότε: έστω Ρ 1 = Ρ 2 = ω [1] Η ΡΛ είναι διακεντική ευθεία των εφαπτόμενων τμημάτων ΡΓ και ΡΔ, έστω οπότε: Ρ 3 = Ρ 4 = φ [2] Ρ 1 + Ρ 2 + Ρ 3 + Ρ 4 = ΡΓ= 180 ο [1] [2] ω + ω + φ + φ = 180 ο Δεδομένα Γ, Δ εφαπτόμενες Ζητούμενα ΚΡΛ = 90 ο 2ω + 2φ = 180 ο ω + φ = 90 ο [1] Ρ 2 + Ρ 3 = 90 ο [2] ΚΡΛ = 90 ο
Άσκηση 10 (σημειώσεις ) / σελίδα 72 Θεωούμε δύο ίσους κύκλους (, ) και (, ) με > 2. πό το μέσο Μ του φένουμε ευθεία ε που τέμνει τους κύκλους στα, και, αντιστοίχως. Να δείξετε ότι =. Κ Δεδομένα 1 Μ Ζητούμενα 2 Κ Είναι ' > 2, δηλαδή d > +, οπότε οι κύκλοι είναι ο ένας εξωτεικός του άλλου. Φένουμε τα αποστήματα Κ και Κ των χοδών και αντίστοιχα. ΜΚ = Μ Κ καθώς: 1) Μ = Μ (δεδομένο) 2) Κ = Κ = 90 ο (αποστήματα) Κ = Κ 3) Μ 1 = Μ 2 (κατακουφήν) Μ = Μ = οπότε και =, ως χοδές ίσων κύκλων, με ίσα αποστήματα.
Ενότητα 1 σκήσεις 11 / σελίδα 72 Θεωούμε δύο ομόκεντους κύκλους με άνισες ακτίνες και ευθεία ε που τέμνει αυτούς κατά σειά στα σημεία Γ,,, Δ. ποδείξτε ότι : Γ = Δ και Γ = Δ. 6 / σελίδα 74 Δίνεται οθογώνιο τίγωνο Γ ( = 90 ο ). Φένουμε την διχοτόμο Δ και την Κ Δ. Η ευθεία Κ τέμνει την Γ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ = Δ. β) ΕΔ = 90 ο. 7 / σελίδα 74 Δίνεται το τίγωνο Γ με = Γ και Γ <. Ποεκτείνουμε τη Γ πος το Γ κατά τμήμα ΓΕ έτσι, ώστε = Ε και την πος το κατά τμήμα Ζ ίσο μετο ΓΕ. α) Να συγκίνετε τα τίγωνα ΓΕ και ΕΖ. β) ν Μ είναι το μέσο της Ζ, να αποδείξετε ότι ΕΜ Ζ. 8 / σελίδα 74 Θεωούμε κύκλο (, ) και τις χοδές του και ΓΔ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ, όπου Μ είναι εσωτεικό σημείο του κύκλου. ν η Μ είναι διχοτόμος μιας εκ των γωνιών που σχηματίζουν οι χοδές, να αποδείξετε ότι: = ΓΔ.