Από την Κλασική Φυσική στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων

Σχετικά έγγραφα
Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Ε: Από τί αποτελείται η ύλη σε θεμελειώδες επίπεδο;

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟς Ε. ΒΑΓΙΟΝΑΚΗς. Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων ΣΩΜΑΤΙΔΙΑΚΗ ΦΥΣΙΚΗ. Μια Εισαγωγή στη Βασική Δομή της Ύλης

Η Φυσική που δεν διδάσκεται ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ομοτιμία Κβαντικοί Αριθμοί Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 11/05/15


Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 2η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 20η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Η Φυσική που δεν διδάσκεται

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 18/04/16

Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό ) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

Νετρίνο το σωματίδιο φάντασμα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 10η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Δομή του Πρωτονίου με νετρίνο. Εισαγωγή στη ΦΣΣ - Γ. Τσιπολίτης

Σωματιδιακή Φυσική: Από το Ηλεκτρόνιο μέχρι το Higgs και το Μεγάλο Αδρονικό Επιταχυντή (LHC) στο CERN

Διάλεξη 16: Παράδοξα σωματίδια και οκταπλός δρόμος

Σύγχρονη Φυσική : Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 10/05/16

Καθ. Κ. Φουντάς, Εργ. Φυσικής Υψηλών Ενεργειών, Παν. Ιωαννίνων

Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό ) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης

Προτεινόμενο Πρόγραμμα Σπουδών. Για το Τμήμα Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών (Λαμία) του ΠΘ

Η κλασσική, η σχετικιστική και η κβαντική προσέγγιση. Θωµάς Μελίστας Α 3

Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 30/3/2017

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 7: Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων σε υψηλές ενέργειες

Το Καθιερωμένο Πρότυπο. (Standard Model)

ΕΣΧΑΤΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 23η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΜΕΡΙΜΝΑΣ. Τσέρτος Χαράλαμπος (Κ) Δ.. Π Τ.. Α

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 25η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 12η Πετρίδου Χαρά

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 21η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα Τ3: Χ. Πετρίδου

Η μουσική των (Υπερ)Χορδών. Αναστάσιος Χρ. Πέτκου Παν. Κρήτης

Μάθημα 4 Mέγεθος πυρήνα

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 21η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 11η Πετρίδου Χαρά. Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

Φερμιόνια & Μποζόνια

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ ΩΡΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 12η Πετρίδου Χαρά

Στοιχειώδη σωμάτια. Τα σωμάτια ύλης

ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

Θέμα: Μεταπτυχιακό πρόγραμμα με τίτλο «Μάστερ σε Αρχές Φυσικής» του Πανεπιστημίου Κύπρου

Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

Ο Maxwell ενοποίησε τις Ηλεκτρικές με τις Μαγνητικές δυνάμεις στον

2009: ή , Εmail: ή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

Καινούριες Ιδέες στη Θεωρία Χορδών και στην Κοσμολογία. New ideas on Strings and Cosmology. Ioannis Florakis

ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ. Νίκος Κανδεράκης

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Ασκήσεις #1 επιστροφή 11/11/2011

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Ασκήσεις Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο. Δ. Σαμψωνίδης Κ. Κορδάς Χ. Πετρίδου 20 Ιανουαρίου 2017

PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που

ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ CERN. Επιστημονική ομάδα ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΙΔΕΡΗΣ &ΝΙΚΟΣ ΚΑΛΑΦΑΤΗΣ. 3ο Λύκειο Γαλατσίου

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Δήμος Σαμψωνίδης ( ) Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής & Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Ασκήσεις #1 επιστροφή 11/11/2011

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου σε χώρο, όπου συνυπάρχουν ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ομογενή και χρονοανεξάρτητα

s (spin) -s s αξονικό διάνυσμα r p

Ο Κόσµος ο Μικρός και ο Μέγας: µια βόλτα στα Όµορφα µονοπάτια της σύγχρονης Θεµελιώδους Φυσικής

Van Swinderen Institute

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ. Ισχυρές Αλληλεπιδράσεις Γκλουόνια και Χρώμα Κβαντική Χρωμοδυναμική Ασυμπτωτική Ελευθερία

Αλληλεπιδράσεις µε Ανταλλαγή Σωµατιδίων

Φυσική ΙΙ (Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική)

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Ασκήσεις Στοιχειωδών Σωματιδίων

Στοιχειώδη Σωματίδια. Διάλεξη 3η Πετρίδου Χαρά

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ & ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΣΩΜΑΤΙΑ

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6

Αριθμητικός υπολογισμός τροχιών σωμάτων στη γεωμετρία Schwarzschild. Κουλούρης Κωνσταντίνος

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

καταρρέει η «Συγχορδία» του Σύμπαντος;

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. Ασκήσεις Στοιχειωδών Σωματιδίων

ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Το Ισοτοπικό σπιν Μαθηµα 5ο 27/3/2014

Διάλεξη 18: Καθιερωμένο πρότυπο (1978-?)

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).

Σε ότι αφορά τα επί μέρους μαθήματα ισχύουν τα εξής: ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ για τα ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j

Κβαντική µηχανική. Τύχη ή αναγκαιότητα. Ηµερίδα σύγχρονης φυσικής Καραδηµητρίου Μιχάλης

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

Εισαγωγή στην Πυρηνική Φυσική και τα Στοιχειώδη Σωµάτια

ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΟΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 7, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων. Οι Μετασχηματισμοί του Lorentz και η Διαστολή του Χρόνου

Η ΠΕΜΠΤΟΥΣΙΑ ΤΟΥ «Ι ΙΟΝ» ΚΑΙ Η ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Του Αλέκου Χαραλαµπόπουλου

Transcript:

ΦΥΣ 351 2/12/2015 Θεωρία Κβαντικών Πεδίων Από την Κλασική Φυσική στη Θεωρία Κβαντικών Πεδίων Χάρης Παναγόπουλος

Πώς άλλαξε η γνώση μ ας για τον κόσμ ο, από το Νεύτωνα μ έχρι σήμ ερα; Ποιοι είναι οι βασικοί νόμ οι της Φύσης που χαρακτηρίζουν όλα τα φυσικά φαινόμ ενα; 1650: Κλασική Φυσική ( ενός ή περισσοτέρων σωμ άτων) Θεμ ελιώδεις δυνάμ εις: Βαρύτητα; Άλλες ;;

Πόσες θεμ ελιώδεις δυνάμ εις; A quest for Simplicity and Elegance 1650: Βαρύτητα, Τριβή, Μαγνήτες,... ( κάθε φαινόμ ενο διέπεται από τη δική του δύναμ η) 1900: Β, ΗλεκτροΜαγνητισμός 1930: Β, ΗΜ, Ισχυρές 1950: Β, ΗΜ, Ι, Ασθενείς 1970: Β, Ι, ΗλεκτρΑσθενείς 1985: Β, Ι, Η+ Α, 5 η δύναμ η ;; 1990: Β, Ι+ Η+ Α ( Ενοποιημ ένη Θεωρία) 2000+: Β+ Ι+ Η+ Α ( Χορδές ;;)

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; A quest for Simplicity and Elegance

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα 1900: Ηλεκτρόνιο

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα 1900: Ηλεκτρόνιο 1920: Πρωτόνιο

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα 1900: Ηλεκτρόνιο 1920: Πρωτόνιο 1930: Νετρόνιο, Ποζιτρόνιο

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα 1900: Ηλεκτρόνιο 1920: Πρωτόνιο 1930: Νετρόνιο, Ποζιτρόνιο 1947: Πιόνια ( π +, π, π 0 )

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα 1900: Ηλεκτρόνιο 1920: Πρωτόνιο 1930: Νετρόνιο, Ποζιτρόνιο 1947: Πιόνια ( π +, π, π 0 ) 1956: Νετρίνο ν e

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 400 πχ: (Δημ όκριτος) Το άτομο 1870: (Менделеев) Τα άτομα 1900: Ηλεκτρόνιο 1920: Πρωτόνιο 1930: Νετρόνιο, Ποζιτρόνιο 1947: Πιόνια ( π +, π, π 0 ) 1956: Νετρίνο ν e 1975 + : Κ ±, ρ, η, J/ ψ, B, φ,... (~130 μ εσόνια, ~80 βαρυόνια )

Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; 1980's: Καθιερωμ ένο πρότυπο Σωμ ατίδια φορείς δύναμ ης γ μ, g μ a, W μ ±, Z μ0, g μν Σωμ ατίδια ύλης e, μ, τ, ν e, ν μ, ν (+ αντισωμ ατίδια) τ u c, d c, s c, c c, b c, t c (+ αντισωμ ατίδια) Σωμ ατίδιο Higgs SUSY partners???, Technicolor???

1980 + : Κανένα!!! Πόσα στοιχειώδη σωμ ατίδια; Μια ( υπερ ) χορδή Δ ιαφορετικοί ιδιορρυθμ οί ταλάντωσης Αντιστοιχούν σε διαφορετικά σωματίδια Ένα και μ οναδικό δυνατό Σύμ παν!!! Ή μ ήπως όχι; Δ ιαφορετικές δυνατές θεμ ελιώδεις 500 καταστάσεις, ~10

Κλασική Μοντέρνα Φυσική Κλασική Μηχανική Μη Σχετικιστική Μηχανική Κβαντομηχανική Σχετικότητα Σωμ ατίδια (x(t), y(t), z(t)) Πεδία Φ(x,y,z,t) Απαιτούνται και οι 3 αλλαγές για συνεπή περιγραφή της Φύσης: Θεωρία Κβαντικών Πεδίων Βαρύτητα Νεύτωνα Βαρύτητα Einstein ( Γενική Σχετικότητα, ~1915) Όλα σωστά; Τελειώσαμ ε;

Κλασική Μοντέρνα Φυσική Όχι, δεν τελειώσαμ ε! Δ μ μ μ εν έχου ε ακό α ια πλήρη Θεωρία των Πάντων (Theory of Everything TOE)

Κλασική Μοντέρνα Φυσική Όχι, δεν τελειώσαμ ε! Δ εν έχουμ ε ακόμ α μ ια πλήρη Θεωρία των Πάντων (Theory of Everything TOE) Βασικό άλυτο πρόβλημ α της Θεωρητικής Φυσικής: Κβαντική Βαρύτητα Θα λυθεί από Θεωρία Χορδών??? μ, Ανοιχτό πρόβλη α εναλλακτικές δυνατότητες (spacetime foam, non commutative geometry,...)

Κλασική Μοντέρνα Φυσική Όχι, δεν τελειώσαμ ε! Δ εν έχουμ ε ακόμ α μ ια πλήρη Θεωρία των Πάντων (Theory of Everything TOE) Βασικό άλυτο πρόβλημ α της Θεωρητικής Φυσικής: Κβαντική Βαρύτητα Θα λυθεί από Θεωρία Χορδών??? Ανοιχτό πρόβλημ α, εναλλακτικές δυνατότητες (spacetime foam, non commutative geometry,...) Και αν βρεθεί ΤΟΕ: ακριβείς ποσοτικές προβλέψεις;; Electroweak: Θεωρία, Υπολογισμ οί βατοί Strong: Θεωρία, Υπολογισμ οί αδύνατοι! ( σχεδόν...)

Feynman diagrams Παράδειγμα: Σκέδαση e- - e- O(e0)

Feynman diagrams Παράδειγμα: Σκέδαση e- - e- O(e2)

Feynman diagrams Παράδειγμα: Σκέδαση e- - e- O(e2)

Feynman diagrams Παράδειγμα: Σκέδαση e- - e- O(e4)

Feynman diagrams Παράδειγμα: Σκέδαση e- - e- O(e6)

Feynman diagrams Παράδειγμα: Σκέδαση e- - e- O(en)

Renormalization (Επανακανονικοποίηση) Συναρτήσεις συσχέτισης (Green), π.χ. G(q1, q2) = <φ(q1) φ(q2)>!! Όμως με κατάλληλη ομαλοποίηση (regularization) είναι πεπερασμένες, π.χ.: Dimensional regularization (4-ε διαστάσεις) Lattice regularization (πλέγμα από χωροχρονικά σημεία, σε απόσταση a ανάμεσά τους) Τι γίνεται όταν ο ομαλοποιητής (ε, a) 0 ;; Οι συναρτήσεις Green θα απειριστούν (προφανώς), όμως οι μεταξύ τους λόγοι, π.χ. G(q1, q2) / G(q1', q2') είναι πεπερασμένοι! (Φοβερά πολύπλοκη απόδειξη) Με κατάλληλο επαναορισμό των παραμέτρων (er = Ze e, mr = Zm m,...) και αλλαγή κανονικοποίησης των πεδίων (φr = Zφ φ,...), οδηγούμαστε σε πεπεραμένα αποτελέσματα για κάθε συνάρτηση Green!