----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ο 12.1 Λογιστική Παλινδρόµηση 12.2 Η εξίσωση της Λογιστικής Παλινδρόµησης. 12.3 Βήµατα δηµιουργίας του µοντέλου της ΛΠ 12.4 Παράδειγµα εφαρµογής της ΛΠ 12.5 Επιλογή της τεχνικής της ΛΠ 12.6Έλεγχος ικανοποίησης υποθέσεων πριν τη ΛΠ 12.7 Προσδιορισµός του µοντέλου της ΛΠ 12.8 Ερµηνεία αποτελεσµάτων 12.8.1 Case processing Summary 12.8.2 Dependent Variables Encoding 12.8.3 Ο πίνακας Categorical Variables Coding 12.8.4 Ο Classification Table 12.8.5 Ο πίνακας Variable in the Equation 12.8.6 O πίνακας Variable not in the Equation 12.8.7 Omnibus Tests of Model Coefficient 12.8.8 Ο πίνακας Model Summary 12.8.9 Ο πίνακας Classification Table 12.8.10 Ο πίνακας Variables in the Equation 12.8.11 Correlation Matrix 12.8.12 Casewise

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 1------------ 12.1. Λογιστική Παλινδρόµηση Η Λογιστική Παλινδρόµηση είναι µία τεχνική σχεδιασµένη για την πραγµατοποίηση ανάλυσης δεδοµένων που αφορούν την µελέτη και την πρόβλεψη τιµών κάποιας κατηγορικής εξαρτηµένης µεταβλητής και χρησιµοποιεί ποσοτικές και ποιοτικές ανεξάρτητες µεταβλητές. Τέτοιες αναλύσεις συναντάµε πχ στους παρακάτω χώρους της υγείας για την µελέτη της θεραπείας ή όχι των ασθενών, του Marketing για την αγορά ή όχι κάποιων προϊόντων, της παιδείας για την επιτυχία ή όχι των µαθητών στις εξετάσεις. Η µελέτη της σχέσης της κατηγορικής εξαρτηµένης µεταβλητής δεν µπορεί να πραγµατοποιηθεί µέσω του αλγορίθµου της Γραµµικής Παλινδρόµησης για δύο βασικούς λόγους. Πρώτον, όταν προβλέπουµε τις τιµές µία κατηγορικής εξαρτηµένης µεταβλητής, στην ουσία υπολογίζουµε την πιθανότητα µε την οποία η εξαρτηµένη µεταβλητή θα λάβει κάποια συγκεκριµένη τιµή. Η τιµή της πιθανότητας αυτής θα πρέπει, εξ ορισµού, να παίρνει τιµές µεταξύ του 0 και του 1. Με την χρήση της Γραµµικής Πολλαπλής Παλινδρόµησης µπορεί να υπολογιστούν τιµές πιθανότητας µεγαλύτερες του 1 ή µικρότερες του 0, δηλαδή άτοπο. εύτερον, η πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση θα πρέπει να ικανοποιεί την υπόθεση της ισότητας των διακυµάνσεων. Ωστόσο, στην περίπτωση που η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι διχοτοµική, έχει τυπική απόκλιση (St dev ) ( p)(1 p), όπου ρ είναι η µέση τιµή της µεταβλητής. Λόγω της συναρτησιακής σχέσης της τυπικής απόκλισης µε την µέση τιµή, η οµοιογένεια της διακύµανσης των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής δεν είναι δυνατόν να ικανοποιείται.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 2------------ 12.2 Η εξίσωση της Λογιστικής Παλινδρόµησης. Η πιο διαδεδοµένη, έκφραση της εξίσωσης της Λογιστικής Παλινδρόµησης είναι: ln( odds ) = a + b x + b x... + b x 1 1 2 2 k k.. Το δεξί µέρος της εξίσωσης δηµιουργείται από ένα γραµµικό συνδυασµό των ανεξάρτητων µεταβλητών που συµµετέχουν στο µοντέλο της παλινδρόµησης. Το αριστερό µέρος περιέχει τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής µε την µορφή του λογαρίθµου των odd δηλαδή, του λογαρίθµου της σχέσης: odds = prob/(1-prob). Το odds εναλλακτικά ονοµάζεται logt και ο όρος Prob εκφράζει την πιθανότητα να συµβεί το γεγονός που έχει ορισθεί σαν επιτυχία του πειράµατος. Οι συντελεστές των ανεξάρτητων µεταβλητών στην εξίσωση της παλινδρόµησης εκτιµούνται βάση της µεθόδου Μέγιστης Πιθανοφάνειας βάση της µεθόδου αυτής η τιµή των συντελεστών των ανεξάρτητων µεταβλητών είναι αυτή που κάνει τις παρατηρηθήσες τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής πιο πιθανές, βάση του σετ των ανεξάρτητων µεταβλητών. 12.3 Βήµατα δηµιουργίας του µοντέλου της Λογ. Παλινδρ/σης Τα βήµατα κατασκευής του µοντέλου της Λογιστικής Παλινδρόµησης είναι ανάλογα αυτών της γραµµικής παλινδρόµησης. Προσδιορίζουµε το µέγεθος του ενδιαφέροντος (εξαρτηµένη µεταβλητή) και το σετ των ανεξάρτητων µεταβλητών που θα συµµετέχουν στην παλινδρόµηση. ιερευνούµε τα δεδοµένα για τυχόν ύπαρξη ασυνήθιστων κινήσεων όπως, ακραίες τιµές, ελλείπουσες τιµές κ. λ. π. Ελέγχουµε την ικανοποίηση των υποθέσεων για την σωστή εφαρµογή της Λογιστικής Παλινδρόµησης. ηµιουργούµε την εξίσωσης της παλινδρόµησης. Μελετάµε την επίδραση κάθε ανεξάρτητης µεταβλητής στο µοντέλο. Εξετάζουµε την ικανοποίηση των υποθέσεων της Τεχνικής και διερευνούµε την πιθανότητα κάποια συγκεκριµένη τιµή να επηρεάζει υπερβολικά τα αποτελέσµατα. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να αναφερθεί ότι η Λογιστική Παλινδρόµηση, για την σωστή εφαρµογή της απαιτεί µεγάλο δείγµα, προκειµένου να παράγει αξιόπιστο αποτέλεσµα. Ένας εµπειρικός κανόνας αναφέρει ότι το δείγµα θα πρέπει να είναι 30 φορές µεγαλύτερο από το αριθµό των παραµέτρων που εκτιµά το µοντέλο. Επιπλέον, σε περίπτωση που ενδιαφερόµαστε να χρησιµοποιήσουµε το µοντέλο για πρόβλεψη θα πρέπει να αξιολογήσουµε την αποτελεσµατικότητά του. Αυτό σηµαίνει ότι δηµιουργούµε την εξίσωση σε ένα µέρος των δεδοµένων και σε ένα επόµενο βήµα ελέγξουµε την αποτελεσµατικότητά της, στο υπόλοιπο δείγµα.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 3------------ 12.4 Παράδειγµα εφαρµογής της Λογιστικής Παλινδρόµησης Θα περιγράψουµε την διαδικασία κατασκευής ενός µοντέλου ΛΠ που µελετά την επίδραση µερικών χαρακτηριστικών των µελλοντικών µητέρων στο βάρος του µωρού που Θα γεννηθεί. Η εξαρτηµένη µεταβλητή (Το µέγεθος του ενδιαφέροντος) είναι η διερεύνηση του γεγονότος ότι το παιδί γεννιέται µε βάρος µικρότερο ή µεγαλύτερο από 2,5 κιλά (Low). Οι ανεξάρτητες µεταβλητές που ίσως να επηρεάζουν το βάρος του µωρού είναι: ΒΑΡΟΣ (ΤΗΣ ΜΗΤΕΡΑΣ) ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ (LWT), ΗΛΙΚΙΑ ΤΗΣ ΜΗΤΕΡΑΣ(ΑGΕ), ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ (SΜΟΚΕ), ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΩΡΩΝ ΤΟΚΕΤΩΝ (ΡΤL), ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΥΠΕΡΤΑΣΗΣ (ΗΤ), ΓΥΝΑΙΚΟΛΟΓΙΚΟΙ ΕΡΕΘΙΣΜΟΙ (UΙ), ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΤΟ ΓΙΑΤΡΟ ΤΟ 1 ΤΡΙΜΗΝΟ (FTV) και ΦΥΛΗ ΜΗΤΕΡΑΣ(RACE). 12.5 Επιλογή της τεχνικής της ΛΠ προσδιορισµός των µεταβλητών της µελέτης και αρχική διερεύνηση δεδοµένων Πριν την Ενεργοποίηση του παραθύρου της ΛΠ και του προσδιορισµού των µεταβλητών που θα συµµετέχουν στην διαδικασία κατασκευής του µοντέλου θα πρέπει να επιβεβαιωθούµε ότι η τεχνική απαντά στο ερώτηµα της ανάλυσης. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα ενδιαφερόµαστε να διερευνήσουµε αν οι ανεξάρτητοι παράγοντες, που αναφέρθηκαν προηγουµένως, επιδρούν στο βάρος του µωρού που γεννιέται και αν ναι, µε ποιο τρόπο. Μετά την επιβεβαίωση ότι η Παλινδρόµηση είναι η τεχνική που µπορεί να µας προσφέρει τις απαντήσεις που χρειαζόµαστε θα πρέπει να διερευνήσουµε το σετ των δεδοµένων που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να καταλήξουµε στο επιθυµητό συµπέρασµα. Το θέµα που µας ενδιαφέρει άµεσα είναι το είδος της µεταβλητής του εξαρτηµένου µεγέθους. Αν η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι συνεχής θα χρησιµοποιήσουµε της τεχνική της Γραµµικής Παλινδρόµησης. Αν η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι κατηγορική και παίρνει µόνο δύο τιµές θα χρησιµοποιήσουµε την Binary Λογιστική Παλινδρόµηση, ενώ

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 4------------ Αν η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι κατηγορική µε περισσότερες από δύο κατηγορίες θα χρησιµοποιήσουµε την Multinomial Λογιστική Παλινδρόµηση. Στο παράδειγµα µας το εξαρτηµένο µέγεθος είναι το βάρος του µωρού και κατατάσσεται σε δύο κατηγορίες, σε εκείνα τα µωρά που γεννιούνται µε βάρος µικρότερο από 2500g και σε εκείνα που γεννιούνται µε βάρος µεγαλύτερο των 2500g. Η κατανοµή συχνοτήτων του εξαρτηµένου µεγέθους απεικονίζεται στον πίνακα που ακολουθεί. ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡΟΣ ΜΩΡΟΥ Frequency Percent Valid percent Valid <2500 g 59 31,2 31,2 31,2 >2500 g 130 68,8 68,8 100,0 Total 189 100,0 100,0 Cumulative percent Από την αρχική απεικόνιση του εξαρτηµένου µεγέθους και χωρίς την χρήση µίας οποιασδήποτε ανεξάρτητης µεταβλητής παρατηρούµε ότι είναι Πιο πιθανό, βάση των συγκεκριµένων δεδοµένων, το µωρό που θα γεννηθεί. να έχει βάρος µεγαλύτερο από 2500 g. Σε ένα επόµενο βήµα θα πρέπει να προσδιορίσουµε το σύνολο των ανεξάρτητων µεταβλητών που θα συµµετάσχουν στο δεξί µέρος της εξίσωσης παλινδρόµησης. Αρχικά θα πρέπει να επιλέξουµε εκείνες τις µεταβλητές που υποθέτουµε ότι επηρεάζουν την κίνηση της εξαρτηµένης µεταβλητής. Για την επιλογή αυτών των µεταβλητών µπορεί να χρειασθεί να επαναλάβουµε την εφαρµογή της τεχνικής περισσότερο από µία φορές, έτσι ώστε να αφαιρέσουµε από τους Covariates µεταβλητές που δεν συνδέονται στατιστικά σηµαντικά µε την εξαρτηµένη µεταβλητή και για τις οποίες δεν µας ενδιαφέρει να φαίνεται η απεικόνιση αυτής της µη στατιστικά σηµαντικής σχέσης. Πριν από την εισαγωγή των ανεξάρτητων µεταβλητών στο βασικό παράθυρο της ΛΠ θα ήταν καλό να υπολογιστούν σι πίνακες συχνοτήτων των κατηγορικών µεταβλητών και τα περιγραφικά στατιστικά µέτρα των συνεχών µεταβλητών. Μέσω αυτών των λειτουργιών µπορεί να διερευνηθεί η ύπαρξη ελλειπουσών τιµών ή ακραίων παρατηρήσεων. Η ύπαρξη missing values πρέπει να προσεχθεί. ιδιαίτερα στην Λογιστική Παλινδρόµηση γιατί οι έλεγχοι στατιστικής σηµαντικότητας γίνονται µέσω του X 2 ελέγχου, ο οποίος γίνεται ανίσχυρος όταν στα κελιά των πινάκων διασταύρωσης βρίσκονται λίγες παρατηρήσεις. Αυτός είναι και ένας από τους λόγους που η Λογιστική Παλινδρόµηση απαιτεί, για την εφαρµογή της, µεγάλο δείγµα.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 5------------ Οι κατανοµές των κατηγορικών µεταβλητών του θα συµµετέχουν στην ανάλυση απεικονίζονται στον πίνακα που ακολουθεί ΚΑΠΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΩΡΩΝ ΤΟΚΕΤΩΝ ΊΣΤΟΡΙΚΟ ΥΠΕΡΤΑΣΗ ΓΥΝΑΙΚΟΛΟΓΙΚΟΙ ΕΡΕΘΙΣΜΟΙ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΤΟΝ ΓΙΑΤΡΟ ΤΟ 1ο ΤΡΙΜΗΝΟ ΦΥΛΗ ΜΗΤΕΡΑΣ Όχι 115 60,8% Ναι 74 39,2% Κανένας 159 841% Ένας 24 12,7% ύο 5 2,6% Τρεις Ι 5% Όχι 177 93,7% Ναι 12 6,3% Όχι 162 85,7% Ναι 27 14,3% Καµία 101 53,4% Μία 46 24,3% ύο 30 15,9% Τρεις 7 3,7% Τέσσερις 4 21% Εξι 1 5% Λευκή 96 50,8% Μαύρη 26 13,8% Άλλο 67 35,4% Από τον πίνακα των συχνοτήτων παρατηρούµε ότι: Υπάρχουν κάποιες κατηγορικές µεταβλητές σι οποίες παίρνουν µόνο δύο τιµές. Οι µεταβλητές αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν αυτούσιες στην δηµιουργία του µοντέλου της Λογιστικής Παλινδρόµησης. Για κάθε κατηγορική µεταβλητή p κατηγοριών δηµιουργούµε p 1 ψευδοµεταβλητές. Για την σωστή εισαγωγή των διχοτοµικών µεταβλητών στο µοντέλο, χρειάζεται να να προσέξουµε να υπάρχει ενιαία λογική κωδικογράφησης των απαντήσεων. Για παράδειγµα, σε όλες τις µεταβλητές που παίρνουν τιµές «Ναι! Οχι» να έχει κωδικογραφηθεί µε 1 η απάντηση «Ναι».

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 6------------ Εκτός από τις µεταβλητές δύο απαντήσεων, στην Λογιστική Παλινδρόµηση θα συµµετάσχουν και κάποιες κατηγορικές µεταβλητές µε τρεις ή περισσότερες δυνατές απαντήσεις. Η µεταβλητή «ΦΥΛΗ ΜΗΤΕΡΑΣ» παίρνει τρεις δυνατές Τιµές. Για την µεταβλητή αυτή θα δηµιουργήσουµε 2 ψευδοµεταβλητές, οι οποίες θα την αντικαταστήσουν στην διαδικασία κατασκευής της εξίσωσης. Σε αντίθεση µε την Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση, η δηµιουργία των ψευδοµεταβλητών γίνεται αυτόµατα από τα παράθυρα διαλόγου της Λογιστικής Παλινδρόµησης. Εποµένως, σε αυτό το στάδιο της ανάλυσης δεν χρειάζεται να ασχοληθούµε περισσότερο µε την µεταβλητή «ΦΥΛΗ ΜΗΤΕΡΑΣ». Η µεταβλητή «ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΩΡΩΝ ΤΟΚΕΤΩΝ >>παίρνει τέσσερις διαφορετικές τιµές. Ωστόσο, παρατηρώντας την κατανοµή της µεταβλητής διαπιστώνουµε ότι οι απαντήσεις «ΥΟ» και «ΤΡΕΙΣ» έχουν πολύ µικρές συχνότητες. Στην περίπτωση αυτή θα ήταν οι παραπάνω κατηγορίες να συνενωθούν µε την απάντηση «ΕΝΑΣ» και να αποτελέσουν µία νέα κατηγορία. Έτσι η µεταβλητή «ΙΣΤΟΡΙΚΌ ΠΡΟΩΡΩΝ ΤΟΚΕΤΩΝ» θα αποκτήσει την παρακάτω µορφή συχνοτήτων: ΙΣΤΟΡΙΚ0 ΠΡΟΩΡΩΝ ΤΟΚΕΤΩΝ Frequency Percent Valid percent Cumulative percent Κανένας 159 84,1 84,1 84,1 Τουλάχιστον 1 πρόωρος τοκετός 30 15,9 15,9 100,0 Τοtal 189 100,0 100,0 Η µεταβλητή στη νέα µορφή της µπορεί να εισαχθεί απευθείας στην διαδικασία κατασκευής του µοντέλου πρόβλεψης. Αντίστοιχη διαδικασία θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί και για την µεταβλητή «ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΤΟ ΓΙΑΤΡΟ ΤΟ 10 ΤΡΙΜΗΝΟ». Μετά την συνένωση των κατηγοριών µε µικρές συχνότητες η µεταβλητή παίρνει την παρακάτω µορφή: ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΤΟΝ ΓΙΑΤΡΟ ΤΟ 1ο ΤΡΙΜΗΝΟ Καµία 101 53,4 53,4 5314 Μία 46 24,3 24,3 77,8 ύο και άνω 42 22,2 22,2 100,0 Τοtal 189 100,0 100,0

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 7------------ Η νέα µεταβλητή, για την περιγραφή των επισκέψεων στον γιατρό, αποτελείται από τρεις κατηγορίες και εποµένως θα αντικατασταθεί από δύο ψευδοµεταβλητές κατά την διαδικασία κατασκευής της εξίσωσης της Λογιστικής Παλινδρόµησης. Εκτός από τις κατηγορικές µεταβλητές που περιγράφηκαν παραπάνω, υπάρχουν συνεχείς αν µεταβλητές, για τις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε την συµµετοχή τους στην διαµόρφωση του βάρους των µωρών. Για την αρχική εξοικείωση µας µε τις τιµές των µεταβλητών αυτών θα πρέπει να υπολογιστούν τα περιγραφικά στατιστικά τους µέτρα. Οι µεταβλητές αυτές είναι η «ΗΛΙΚΙΑ ΜΗΤΕΡΑΣ» και το «ΒΑΡΟΣ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ>> Τα περιγραφικά µέτρα των µεταβλητών αυτών απεικονίζονται στον πίνακα που ακολουθεί: Descritive statistics ΗΛΙΚΙΑ ΜΗΤΕΡΑΣ ΧΡΟΝΙΑ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗ Valid (listwise) N N Minimum Maximum mean Std..Deviation 189 14,00 45,00 23,2593 5,3057 189 80,00 250,00 130,0952 30,5198 189 Βάση των τιµών του πίνακα Descritive statistics θα ήταν ενδιαφέρον να επιστρέψουµε στα αρχικά δεδοµένα, και κατ επέκταση στα άτοµα του δείγµατος, και να επιβεβαιώσουµε κάποιες ακραίες τιµές, όπως το Βάρος 250 κιλά, που απεικονίζεται στην τιµή Maximum. 12.6 Έλεγχος ικανοποίησης υποθέσεων πριν τη ΛΠ Μετά τον προσδιορισµό των µεταβλητών που θα συµµετέχουν, τελικά, στην διαδικασία κατασκευής του µοντέλου, θα πρέπει να ελέγξουµε την Ικανοποίηση των υποθέσεων εφαρµογής του συγκεκριµένου είδους παλινδρόµησης. Υπάρχουν κάποιες υποθέσεις που πρέπει να διερευνηθούν πριν την Κατασκευή του µοντέλου και κάποιες που θα πρέπει να διερευνηθούν µετά την δηµιουργία της εξίσωσης. Πριν την διαδικασία δηµιουργίας του µοντέλου της Λογιστικής παλινδρόµησης θα πρέπει να ελέγχουµε ότι: Οι ανεξάρτητες µεταβλητές είναι ή ποσοτικές ή ποιοτικές ( οι οποίες σε ένα επόµενο στάδιο θα µετατραπούν σε ψευδοµεταβλητές ). Οι ανεξάρτητες µεταβλητές θα πρέπει να συσχετίζονται µε την εξαρτηµένη µεταβλητή και µάλιστα οι συνεχείς µεταβλητές θα πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους γραµµικά.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 8------------ Μετά την διαδικασία δηµιουργίας του µοντέλου της παλινδρόµησης θα πρέπει να ελέγξουµε ότι: Η µέση τιµή των λαθών (καταλοίπων) Είναι µηδέν. εν υπάρχει αυτοσυσχέτιση. εν υπάρχει συσχέτιση των καταλοίπων µε τις ανεξάρτητες µεταβλητές. εν υπάρχει ένδειξη συσχέτισης µεταξύ των ανεξάρτητων µεταβλητών. Στην πραγµατικότητα η Λογιστική Παλινδρόµηση ακολουθεί τη λογική την Γραµµικής Παλινδρόµησης. ηλαδή, για βέλτιστα αποτελέσµατα, θα πρέπει οι ανεξάρτητες µεταβλητές να συνδέονται ισχυρά µε την εξαρτηµένη µεταβλητή και οι ανεξάρτητες µεταβλητές να είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους. Επίσης, θα πρέπει, τα κατάλοιπα να µην κρύβουν κάποιο ανερµήνευτο συστηµατικό παράγοντα ο οποίος δεν περιγράφεται από το µοντέλο. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να επισηµανθεί ότι, λόγο του σχεδιασµού της τεχνικής, δεν είναι δυνατόν να ικανοποιείται η υπόθεση της κανονικότητας των καταλοίπων. Στην Λογιστική Παλινδρόµηση τα κατάλοιπα ακολουθούν την διωνυµική κατανοµή, η οποία σε µεγάλα δείγµατα τείνει να προσοµοιάζει την µορφή της κανονικής κατανοµής. Επίσης, στην τεχνική αυτή, δεν είναι δυνατόν να ισχύει η υπόθεση της ισότητας της διακύµανσης, λόγω της συναρτησιακής σχέσης της µέσης τιµής µε την διακύµανση. Η µέχρι στιγµής διερεύνηση των δεδοµένων επιβεβαίωσε την ικανοποίηση της υπόθεσης για το είδος των δεδοµένων που θα συµµετέχουν στην ανάλυση. Η εξαρτηµένη µεταβλητή είναι κατηγορική και οι ανεξάρτητες κατηγορικές και συνεχείς µεταβλητές. Πριν την εφαρµογή της τεχνικής θα πρέπει να µελετηθεί και η ένταση της συσχέτισης της εξαρτηµένης µεταβλητής µε κάθε µία ανεξάρτητη. Η µελέτη αυτή θα πρέπει να πραγµατοποιηθεί µέσω του ελέγχου chi-square 12.7 Προσδιορισµός του µοντέλου της λογιστικής παλινδρόµησης Για την Ενεργοποίηση των πλαισίων διαλόγου της Λογιστικής Παλινδρόµησης, στο SΡSS, ακολουθούµε την διαδροµή Analyze Regression Binary Logistic(αν η εξαρτηµένη µεταβλητή παίρνει δύο µόνο τιµές) ή την διαδροµή Analyze Regression Multinomial Logistic (αν η εξαρτηµένη µεταβλητή παίρνει περισσότερες από δύο τιµές.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 9------------ Στο Πεδίο µε την ένδειξη dependent εισάγουµε την εξαρτηµένη µεταβλητή και στο Πεδίο Covariates εισάγουµε τις ανεξάρτητες µεταβλητές. Από την αναδυόµενη λίστα επιλογών δίπλα στην ένδειξη Method επιλέγουµε το αλγόριθµο εισαγωγής των ανεξάρτητων µεταβλητών στο µοντέλο της παλινδρόµησης. Στην Λογιστική Παλινδρόµηση, έχουµε να επιλέξουµε µεταξύ Forward και Backward αλγορίθµων εισαγωγής των ανεξάρτητων µεταβλητών στο µοντέλο. Όπως και στην Πολλαπλή Γραµµική Παλινδρόµηση Οι Forward αλγόριθµοι εισάγουν σε διαδοχικά βήµα µία ανεξάρτητη µεταβλητή στην εξίσωση, ξεκινώντας από εκείνη την µεταβλητή που συνδέεται ισχυρότερα µε το εξαρτηµένο µέγεθος. Οι Backward αλγόριθµοι εισάγουν όλες τις προτεινόµενες ανεξάρτητες µεταβλητές στο µοντέλο και εξάγουν σε διαδοχικά βήµατα τις µεταβλητές που δεν συνδέονται στατιστικά σηµαντικά µε την εξαρτηµένη µεταβλητή. Η Εnder µέθοδοs παράγει την εξίσωση της παλινδρόµησης βάση όλων των προτεινόµενων από τον ερευνητή µεταβλητών. Στους Forward και στους Backward αλγόριθµους υπάρχουν τρεις εναλλακτικές επιλογές κάθε µία από τις οποίες χρησιµοποιεί διαφορετικό µηχανισµό για την έλεγχο της στατιστικής σηµαντικότητας των συντελεστών των ανεξάρτητων µεταβλητών που συµµετέχουν στην παλινδρόµηση. Για την εφαρµογή της η Λογιστική Παλινδρόµηση απαιτεί κατηγορική εξαρτηµένη µεταβλητή και κατηγορικές ή ποσοτικές ανεξάρτητες µεταβλητές. Και οι κατηγορικές και οι ποσοτικές ανεξάρτητες µεταβλητές εισάγονται στο πλαίσιο Covariates. Όπως και στην γραµµική παλινδρόµηση οι ποσοτικές µεταβλητές εισάγονται στην αρχική τους µορφή. Οι κατηγορικές µεταβλητές προκειµένου να εισαχθούν στο µοντέλο, πρέπει να µετασχηµατισθούν σε ψευδοµεταβλητές (dummy variables) Το πλεονέκτηµα στην εφαρµογή της Λογιστικής Παλινδρόµησης, σε σχέση µε την γραµµική, είναι ότι η δηµιουργία των ψευδοµεταβλητών µπορεί να πραγµατοποιηθεί µέσα από το Menu από το πλήκτρο Categorical Για την δηµιουργία των ψευδοµεταβλητών θα πρέπει µετά τον ορισµό όλων των ανεξάρτητων µεταβλητών να προσδιορίσουµε εκείνες που είναι κατηγορικές και για τις οποίες θα πρέπει να δηµιουργηθούν ψευδοµεταβλητές. Στο αριστερό µέρος του παραθύρου Define Categorical Variables εµφανίζεται η λίστα των ανεξάρτητων µεταβλητών που ορίστηκαν στο βασικό παράθυρο της τεχνικής.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 10------------ Από όλες τις ανεξάρτητες µεταβλητές θα πρέπει να µεταφερθούν το πλαίσιο Categorical Covariates εκείνες που είναι κατηγορικές µε περισσότερες από δύο κατηγορίες Στο παράδειγµα, στο Categorical Covariates θα εισάγουµε τις µεταβλητές ΦΥΛΗ ΜΗΤΕΡΑΣ και ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΤΟ ΓΙΑΤΡΟ ΤΟ 1o ΤΡΙΜΗΝΟ. Το SPSS, στο σηµείο αυτό, παρέχει την δυνατότητα δηµιουργίας ψευδοµεταβλητών µε διάφορες διαδικασίες. Οι διαδικασίας κατασκευής των ψευδοµεταβλητών βρίσκονται στην αναδυόµενη λίστα επιλογών που βρίσκεται δίπλα στην ένδειξη Contrast και από την οποία µπορούµε να επιλέξουµε εκείνη τη διαδικασία που ταιριάζει στην κωδικογράφηση των κατηγορικών µεταβλητών µας, εξυπηρετεί την ανάλυση και ερµηνεύει εύκολα τις πληροφορίες των κατηγορικών µεταβλητών. Οι καλύτερες επιλογές για την δηµιουργία ψευδοµεταβλητών είναι : Indicator : Προτείνεται εξ ορισµού από το SPSS και είναι η πιο συνηθισµένη διαδικασία κατασκευής ψευδοµεταβλητών. Κατά την διαδικασία αυτή παράγονται οι ψευδοµεταβλητές όπως φαίνεται στον πίνακα παρακάτω. Βάση αυτής της κωδικογράφησης µπορούµε να συµπεράνουµε την επίδραση, στην εξαρτηµένη µεταβλητή, κάποιας συγκεκριµένης κατηγορίας της κατηγορικής µεταβλητής σε σύγκριση µε µία άλλη κατηγορία. Κατά την διαδικασία δηµιουργίας των ψευδοµεταβλητών δηµιουργούνται ρ-1 µεταβλητές, όπου ρ ο αριθµός των κατηγοριών της αρχικής µεταβλητής. Μεταβλητή Κατηγορική 1η Ψευδοµεταβλητή 1 1 1 2 0 1 3 0 0 2η Ψευδοµεταβλητή Deviation: Είναι ένας εναλλακτικός τρόπος δηµιουργίας Ψευδοµεταβλητών. Χρησιµοποιείται. όταν θέλουµε να συγκρίνουµε την επίδραση κάθε κατηγορίας µε την µέση επίδραση των υπόλοιπων κατηγοριών. Στην περίπτωση αυτή δηµιουργούµε ξανά ρ-1 ψευδοµεταβλητές µε την µορφή του παρακάτω πίνακα. Κατηγορική Μεταβλητή 1η Ψευδοµεταβλητή 1 1 0 2 0 1 3-1 -1 2η Ψευδοµεταβλητή

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 11------------ Μετά τον ακριβή ορισµό των µεταβλητών που θέλουµε να συµµετέχουν στο µοντέλο της παλινδρόµησης θα πρέπει να προσδιορίσουµε τον αλγόριθµο εισαγωγής τους στον µοντέλο. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι κανένας από τους αλγόριθµους δηµιουργίας των µοντέλων δεν δηµιουργεί το βέλτιστο µοντέλο. Κάθε µία διαδικασία οδηγεί σε διαφορετικό αποτέλεσµα το οποίο ο ερευνητής πρέπει κάθε φορά να αξιολογεί. Από το πλήκτρο Save του βασικού πλαισίου της παλινδρόµησης, αποθηκεύουµε σε µορφή µεταβλητών αποτελέσµατα της ανάλυσης. Οι επιλογές κάτω από τον τίτλο Predicted Values έχουν σχέση µε τις προβλεπόµενες από το µοντέλο τιµές για την εξαρτηµένη µεταβλητή. Συγκεκριµένα: Η επιλογή Propabilities υπολογίζει για κάθε εγγραφή του αρχείου την πιθανότητα να συµβεί το γεγονός του ενδιαφέροντος, ενώ, Η επιλογή Group membeship υπολογίζει την κατηγορία της εξαρτηµένης µεταβλητής στην οποία κατατάσσεται η συγκεκριµένη εγγραφή βάση της πιθανότητας που έχει υπολογίσει το µοντέλο. Οι επιλογές κάτω από τον τίτλο Residuals αφορούν τα κατάλοιπα. Συγκεκριµένα, Οι σηµαντικότερες επιλογές αναφέρονται παρακάτω: Η επιλογή Unstandardized αποθηκεύει στο αρχείο των δεδοµένων την διαφορά της πραγµατικής τιµής, της εξαρτηµένης µεταβλητής, από την προβλεπόµενη τιµή του µοντέλου. Η επιλογή Logit αποθηκεύει την τιµή των καταλοίπων δια της σχέσης ρ(1 ρ). Η επιλογή Standardized αποθηκεύει τις κανονικοποιηµένες τιµές των καταλοίπων. Οι επιλογές κάτω από τον τίτλο Influence αφορούν επιδράσεις συγκεκριµένων τιµών στο παραγόµενο µοντέλο. Συγκεκριµένα: Η επιλογή Cooks υπολογίζει για κάθε εγγραφή, πόσο αλλάζουν τα κατάλοιπα αν η συγκεκριµένη εγγραφή εξαιρεθεί από τον υπολογισµό των συντελεστών της παλινδρόµησης. Η επιλογή Leverage values υπολογίζει την επίδραση κάθε παρατήρησης στο fit του µοντέλου. Η επιλογή Dfbeta(s) υπολογίζει την διαφορά που παρατηρείται στους συντελεστές της παλινδρόµησης αν δεν συµµετάσχει η συγκεκριµένη εγγραφή.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 12------------ Μετά την επιλογή των µεταβλητών που θέλουµε να αποθηκεύσουµε στο αρχείο των δεδοµένων επιστρέφουµε στο βασικό παράθυρο της Λογιστικής Παλινδρόµησης για να επιλέξουµε από το πλήκτρο OK µερικά µέτρα για τον έλεγχο της στατιστικής σηµαντικότητας του µοντέλου που θα δηµιουργήσουµε. Συγκεκριµένα: Η Επιλογή Classification Plots κατασκευάζει ιστόγραµµα για τις πραγµατικές και για τις προβλεπόµενες, βάση του µοντέλου, τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής, Η επιλογή Hosmer-lemeshow gooness of fit υπολογίζει ένα δείκτη για την συνολική προσαρµογή του µοντέλου. Η επιλογή casewise listing of residual εµφανίζει έναν πίνακα µε τις τιµές των καταλοίπων, των εκτιµηµένων πιθανοτήτων, των πραγµατικών τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής και τον τιµών που προβλέφθηκαν γι αυτή βάση του µοντέλου. Η επιλογή Cl for exp(b) υπολογίζει ένα διάστηµα εµπιστοσύνης για τις εκτιµήσεις του Εxp(B). Από αυτό το παράθυρο διάλόγου, µπορούµε επίσης, να δηλώσουµε αν επιθυµούµε στο αρχείο των αποτελεσµάτων να εµφανίζονται όλα τα βήµατα δηµιουργίας του µοντέλου, καθώς και την ύπαρξη ή όχι σταθερού όρου στο µοντέλο της παλινδρόµησης. Επίσης, µπορούµε να επέµβουµε στον προσδιορισµό της τιµής του επιπέδου στατιστικής σηµαντικότητας για την εισαγωγή και την εξαγωγή µίας µεταβλητής από το µοντέλο κατά την δηµιουργία του. Πολύ σηµαντική είναι, τέλος, η επιλογή Classification Cutoff γιατί η ορισµένη τιµή της πιθανότητας είναι αυτή που προσδιορίζει σε πια κατηγορία της εξαρτηµένης µεταβλητής θα καταταχθεί κάθε εγγραφή βάση του µοντέλου. Το πλήκτρο Select που βρίσκεται στο βασικό παράθυρο και επιτρέπει τον διαχωρισµό του δείγµατος σε µικρότερα µέρη, µε σκοπό την παραγωγή του µοντέλου στο ένα µέρος των δεδοµένων και την επιβεβαίωση της λειτουργίας του στο άλλο.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 13------------ 12.8 Ερµηνεία αποτελεσµάτων Στον αρχικό πίνακα Case processing Summary απεικονίζονται σι παρατηρήσεις που συµµετέχουν στην ανάλυση. Στην Λογιστική Παλινδρόµηση, πολλές φορές κρίνεται χρήσιµη η δηµιουργία του µοντέλου πρόβλεψης σε ένα υποσύνολο του δείγµατος και η επιβεβαίωση της «καλής λειτουργίας» του στο υπόλοιπο δείγµα. 12.8.1 Case processing Summary Το σύνολο των περιπτώσεων που συµµετέχουν στην αρχική κατασκευή του µοντέλου αναγράφονται δίπλα στην ένδειξη Select case του πίνακα Case processing Summary. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα το µοντέλο της παλινδρόµησης έχει δηµιουργηθεί στο σύνολο των εγγραφών του αρχείου, δηλαδή, το 100% των παρατηρήσεων. Η επιβεβαίωση του µοντέλου συνίσταται σε περιπτώσεις αρχείων δεδοµένων µε πολλές εγγραφές. Case processing Summary Unweight Cases N Percent Select cases Included in Analysis 189 100,0 Missing Cases 0,0 Total 189 100,0 Unselected Cases 0,0 Total 189 100,0 12.8.2 Dependent Variables Encoding Στον πίνακα Dependent Variables Encoding αναγράφεται η κωδικογράφηση της εξαρτηµένης µεταβλητής, που θα ισχύει µέχρι την ολοκλήρωση της εφαρµογής της Λογιστικής Παλινδρόµησης. Ο πίνακας αυτός είναι πολύ βασικός για τον προσδιορισµό της φύσης της σχέσης που θα συνδέει την κάθε µεταβλητή µε την εξαρτηµένη. Dependent Variables Encoding Original Value < 2500 g 0 >2500 g 1 Interval Value

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 14------------ 12.8.3 Ο πίνακας Categorical Variables Coding απεικονίζει τις ψευδοµεταβλητές που δηµιουργήθηκαν µέσω του menu Categorical για την εισαγωγή των κατηγορικών µεταβλητών στο µοντέλο. Οπως ο πίνακας Dependent Variables Encoding έτσι και ο πίνακας Categorical Variables Coding (κωδικογράφηση των ψευδοµεταβλητών) είναι απαραίτητος για την ερµηνεία των αποτελεσµάτων των πινάκων που ακολουθούν. Categorikal Variables Coding ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΤΟΝ ΓΙΑΤΡΟ ΤΟ 1ο ΤΡΙΜΗΝΟ ΦΥΛΗ ΜΗΤΕΡΑΣ Frequency (1) (2) Καµία 101 1,000 000 Μία 46 000 1,000 ύο και άνω 42 000 000 Λευκή 96 1,000 000 Μαύρη Άλλο 26 67 000 000 1,000 000 Η µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε για την εισαγωγή των ανεξάρτητων µεταβλητών στον σχηµατισµό της εξίσωσης είναι Forward δηλαδή, σε διαδοχικά Βήµατα εισάγετε και µία µεταβλητή. Στο Πρώτο βήµα Step 0 στην εξίσωση συµµετέχει µόνο ο σταθερός όρος. 12.8.4 Ο Classification Table Είναι ένας πίνακας µέσω του οποίου µπορούµε να επιβεβαιώσουµε την σωστή πρόβλεψη των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής από την εξίσωση Που δηµιουργήθηκε βάση του αλγορίθµου της λογιστικής παλινδρόµησης. Στις γραµµές του πίνακα απεικονίζονται σι πραγµατικές τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής, βάση του αρχείου δεδοµένων. Στις στήλες απεικονίζονται οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής όπως αυτές προβλέπονται βάση της εξίσωσης.

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 15------------ Στον Classification Table του µοντέλου που περιέχει µόνο τον σταθερό όρο, όλες οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής κατατάσσονται στην κατηγορία µε την µεγαλύτερη συχνότητα. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται βέλτιστη πρόβλεψη χωρίς τη συµµετοχή, στην ερµηνεία της εξαρτηµένης µεταβλητής, ανεξάρτητων µεγεθών. Classification Table Step 0 Predicted ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡΟΣ ΜΩΡΟΥ Observed <2500 g > 2500 g Percentage correct ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡΟΣ ΜΩΡΟΥ Overall Percentage a.constant is included in the model b. The cut value is,500 <2500 g 0 59 0 > 2500 g 0 130 100,0 68,8 12.8.5 Ο πίνακας Variable in the Equation θα µας δώσει πληροφορίες για τις µεταβλητές που συνδέονται στατιστικά σηµαντικά µε την εξαρτηµένη µεταβλητή, καθώς και για τη φύση της σχέσης σύνδεσης των δύο µεγεθών. Στο Step 0 ο Πίνακας δίνει πληροφορίες µόνο για τον σταθερό όρο. Variable in the Equation B S.E Wald Df Sig Exp(B) Step 0 Constant 790 157 25,327 1 000 2,203

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 16------------ 12.8.6 O πίνακας Variable not in the Equation αναγράφει τις µεταβλητές που στο Step 0 δεν συµµετέχουν στην εξίσωση, δηλαδή αναγράφει όλες τις µεταβλητές. Από τον πίνακα αυτό, βάση της τιµής του αναµένουµε ότι η πρώτη µεταβλητή που θα συµµετάσχει στην εξίσωση της παλινδρόµησης θα είναι η RPTL ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΩΡΩΝ ΤΟΚΕΤΩN Variable not in the Equation Score df Sig. Step 0 Variables AGE 2,407 1 121 - Ο ινν 4,616 1 032 - - RACE 5,005 2 082 - - RACE(1) 4,787 1 029 - - RACE(2) 1,727 1 189 - - SΜΟΚΕ 4,924 1 026 - - RPTL 13,759 1 000 - - ΗΤ 4,388 1 036 - - UI 4,205 1 040 - - RFTV 3,441 2 179 - - RFTV(1) 2,964 1 085 - - RFTV(2) 2,543 1 111 - Overall Statistics -- 35,187 10 000

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 17------------ 12.8.7 Omnibus Tests of Model Coefficient Από τον πίνακα Omnibus Tests of Model Coefficient και σε όλους τους επόµενους πίνακες απεικονίζονται και τα τρία βήµατα εισαγωγής µεταβλητών στον µοντέλο. Ο αλγόριθµος της παλινδρόµησης, δηλαδή, επανέλαβε την διαδικασία τόσες φορές ώστε να µην υπάρχει ανεξάρτητη µεταβλητή που να συνδέεται στατιστικά σηµαντικά µε την Εξαρτηµένη µεταβλητή και να µην έχει ήδη συµµετάσχει στο µοντέλο. Βάση του αριθµού των Steps αναµένουµε ότι στην τελική εξίσωση θα συµµετάσχουν το πολύ τρεις ανεξάρτητες µεταβλητές. O πίνακας Omnibus Tests of Model Coefficient απεικονίζει τις Τιµές του ελέγχου Chi-Square για κάθε µοντέλο. Ο έλεγχος αυτός Είναι αντίστοιχος του ελέγχου της ΑΝΟVA στην γραµµική παλινδρόµηση και ελέγχει την υπόθεση ότι οι συντελεστές των ανεξάρτητων µεταβλητών είναι ταυτόχρονα µηδέν. Η Τιµή του Sig. και για τα τρία µοντέλα είναι µικρότερη από την «ενδεικτική τιµή» α=0,05 του επιπέδου στατιστικής σηµαντικότητας και Εποµένως κρίνεται ότι είναι στατιστικά σηµαντικά. Omnibus Tests of Model Coefficient Step 1 Chisqare df Sig. Step 12,774 1 000 - Block 12,774 1 000 - Model 12,774 1 000 Step 2 Step 4,236 1 040 - Block 17010 2 000 - Model 17,010 2 000 Step 3 Step 6,236 1 013 - Block 23,246 3 000 - Model 23,246 3 000

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 18------------ 12.8.8 Ο πίνακας Model Summary αναγράφει κάποιους εναλλακτικούς δείκτες του R 2 της γραµµικής παλινδρόµησης. Οι δείκτες αυτοί µας δίνουν µία ένδειξη για το µέγεθος της διακύµανσης του δείγµατος που τελικά ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση. Η αύξησης της τιµής των δεικτών Cox & Snell Square και Nagelkerke R Square είναι ένδειξη ότι κάθε µεταβλητή που εισάγεται, προσθέτει πληροφορία στην εξίσωσή. Μεταξύ των δύο αυτών δεικτών αντιπροσωπευτικότερος είναι ο Nagelkerke R Square γιατί µπορεί να πάρει µέχρι και την τιµή 1. Ο δείκτης -2LL είναι µείων δύο φορές ο λογάριθµος της πιθανοφάνειας. Το βέλτιστο µοντέλο θα έχει πιθανοφάνεια (Likelihood) ίση µε 1. Άρα τιµή -2LL=0. ηλαδή, όσο η τιµή του δείκτη -2LL πλησιάζει στο µηδέν τόσο καλύτερο είναι το µοντέλο. Model Summary Step -2 Log Likehood Cox & shell R Square 1 221,898 065 092 2 217,662 086 121 3 211426 116 163 NagelKerke Square R

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 19------------ 12.8.9 Ο πίνακας Classification Table δείχνει ότι η προσθήκη των ανεξάρτητων µεταβλητών αυξάνει το ποσοστό των περιπτώσεων της εξαρτηµένης µεταβλητής που προβλέπονται σωστά βάση του µοντέλου. Από τον πίνακα παρατηρούµε ότι η δεύτερη µεταβλητή βελτιώνει το ποσοστό πρόβλεψης της κατηγορίας < 2500 g. ενώ η τρίτη µεταβλητή βελτιώνει το ποσοστό πρόβλεψης της κατηγορίας >2500 g. Το τελευταίο µοντέλο προβλέπει σωστά το 74,1% των παρατηρήσεων. Classification Table Predicted ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡ0Σ ΜΩΡΟΥ Step1 Step2 Step3 ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡΟΣ ΜΩΡΟΥ OverallPercentage ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡΟΣ ΜΩΡΟΥ OverallPercentage ΧΑΜΗΛΟ ΒΑΡΟΣ ΜΩΡΟΥ OverallPercentage a.the cut value is,500 <2500 > 2500 Percentage Correct <2500 g 18 41 30,5 >2500 g 12 118 90,8 72,0 <2500 g 23 36 39,0 >2500 g 17 113 86,9 72,0 <2500 g 21 38 35,8 >2500 g 11 119 91,5 74,1