ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης

2 Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι σταθερή. Var(u t ) = σ 2 για t = 1,2,3..n Η υπόθεση αυτή λέγεται υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας (homoskedasticity). Όταν η διακύμανση δεν είναι σταθερή έχουμε την υπόθεση της ετεροσκεδαστικότητας (heteroskedasticity) 3. Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) στους διαταρακτικούς όρους. Cov(u t, u j ) = 0 για i j δηλαδή η συνδυακύμανση του διαταρακτικού όρου u t της παρατήρησης i με το διαταρακτικό όρο u j μιας άλλης παρατήρησης j είναι μηδέν.

3 Οι βασικές υποθέσεις (συνέχεια) 4. Δεν υπάρχει συσχέτιση (correlation) μεταξύ της ανεξάρτητης μεταβλητής (η οποία δεν είναι στοχαστική) και του διαταρακτικού όρου u t. Η υπόθεση αυτή ονομάζεται υπόθεση της ανεξαρτησίας. Cov(X t, u t ) = 0 για t = 1,2,3..n 5. Το υπόδειγμα παλινδρόμησης είναι σωστά εξειδικευμένο (η μορφή της συνάρτησης είναι σωστή). 6. Οι ερμηνευτικές μεταβλητές μετρούνται χωρίς σφάλμα. 7. Ο διαταρακτικός όρος u t ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση. u t ~ N(0, σ 2 ) 8. Η ερμηνευτική μεταβλητή X t είναιμηστοχαστικήμεσταθερές τιμές και διακύμανση διάφορη του μηδενός. Var(X t ) 0

4 Μέθοδοι εκτίμησης 1. Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (least squares method) επιλέγουμε εκείνη τη γραμμή για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων των παρατηρήσεων της μεταβλητής Υ από τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος είναι ελάχιστο. Με άλλα λόγια, αυτόσημαίνειότιοιεκτιμητέςb o και b 1 που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι οι τιμές για τις οποίες ελαχιστοποιείται η συνάρτηση min t n = 1 e 2 t = t n = 1 ( Y t Y ) t 2

5 Ο συντελεστής προσδιορισμού Με τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε τη μεταβλητικότητα της εξαρτημένης μεταβλητής που εξηγείται από τις μεταβολές στις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Την αναλογία (ποσοστό) της μεταβλητικότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ονομάζουμε συντελεστή προσδιορισμού (coefficient of determination) και παριστάνεται με R 2. (ο συντελεστής προσδιορισμού δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές ή μεγαλύτερες από τη μονάδα) R 2 = n t = 1 n t = 1 ) ( Y Y) t ( Y Y) t 2 2

6 Παραβίαση των βασικών υποθέσεων 1. Ελεγχος της κανονικότητας των καταλοίπων Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη στατιστική των Jarque and Bera (JB-statistic) από τον παρακάτω τύπο 2 2 SK ( KU 3) JB= n + όπου 6 24 SK είναι ο συντελεστής ασυμμετρίας. KU είναι ο συντελεστής κύρτωσης η το μέγεθος του δείγματος Στην κανονική κατανομή έχω SK = 0 και KU = 3 Η στατιστική των Jarque and Bera ακολουθεί την κατανομή Χ 2 με 2 βαθμούς ελευθερίας. Αν JB > Χ 2 (2) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (τα κατάλοιπα κατανέμονται κανονικά)

7 Ελεγχος της κανονικότητας των καταλοίπων *** Series: Residuals Sample Observations 20 Mean 8.57E-14 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

8 2. Ελεγχος της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τον έλεγχο των Breusch-Godfrey από τον παρακάτω τύπο BG=(n-p)R 2 ~ X 2 (p) όπου η είναι το μέγεθος του δείγματος p τάξη της αυτοσυσχέτισης ΟέλεγχοςτωνBreusch-Godfrey ανήκει στην κατηγορία των ελέγχων που ονομάζονται έλεγχοι πολλαπλασιαστών του Lagrange Αν BG > Χ 2 (p) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (υπάρχει αυτοσυσχέτιση)

9 Ελεγχος της αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

10 2. Ελεγχος της ετεροσκεδαστικότητα Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τον έλεγχο του White από τον παρακάτω τύπο W=nR 2 ~ X 2 (v) όπου ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας η το μέγεθος του δείγματος Αν W > Χ 2 (v) τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση (τα κατάλοιπα δεν είναι ομοιοσκεδαστικά)

11 Ελεγχος της ετεροσκεδαστικότητας των καταλοίπων White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

12 Το υπόδειγμα ARCH Αν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης σε μια χρονική περίοδο t εξαρτάται από το τετράγωνο του διαταρακτικού όρου της χρονικής περιόδου t-1 τότε λέμε ότι υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα. Η υπόθεση αυτή μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: σ 2 t = α 0 + α 1 u 2 t-1 Δηλαδή η διακύμανση του διαταρακτικού όρου αποτελείται από δύο μέρη από τη σταθερά (α 0 ) και από τη μεταβλητικότητα της προηγούμενης περιόδου που εκφράζεται από το τετράγωνο της τιμής του (u 2 t-1). Αυτό σημαίνει ότι ο διαταρακτικός όρος είναι ετεροσκεδαστικός δεδομένης της τιμής του στην προηγούμενη περίοδο (υπό συνθήκη διακύμανση). Μια υπό συνθήκη διακύμανση προκύπτει από ένα διαταρακτικό όρο ο οποίος προσδιορίζεται ως εξής: u t = ε t (α 0 +α 1 u 2 t-1) 1/2 Υποθέτουμε ότι ε t κατανέμεται κανονικά και ανεξάρτητα με μέσο μηδέν και διακύμανση 1.

13 Το υπόδειγμα ARCH (συνέχεια) Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως διαδικασία αυτοπαλίνδρομης υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητας πρώτης τάξης (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity First Order) ή ARCH(1) Ο έλεγχος για τη διαπίστωση του αποτελέσματος ARCH σημαίνει έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης ότι οι συντελεστές α 1, α 2 α p είναιίσοιμε μηδέν (υπάρχει ομοιοσκεδαστικότητα ή δεν υπάρχει διαδικασία ARCH). Ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης γίνεται είτε με το κριτήριο F ήμετη LM στατιστική TR 2 η οποία ακολουθεί την Χ 2 κατανομή με p βαθμούς ελευθερίας. Αν F < F πιν γίνεται δεκτή η μηδενική υπόθεση δηλαδή δεν υπάρχει διαδιακασία ARCH.

14 Διαδικασία ARCH πρώτης τάξης ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

15 Διαδικασία ARCH δευτέρας τάξης ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

16 Διαδικασία ARCH τρίτης τάξης ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

17 Εκτίμηση του υποδείγματος ARCH Για την εκτίμηση των υποδειγμάτων ARCH χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Η εκτίμηση είναι μη γραμμική, αλλά οι εκτιμήσεις που προκύπτουν είναι ασυμπτωτικά αποτελεσματικοί. Τα αποτελέσματα του παρακάτω πίνακα είναι τα εξής: NPC t = NNI t R 2 =0.995 (2.32) (76.89) σ 2 t = u 2 t-1 (1.636) (1.030)

18 Εκτίμηση του υποδείγματος ARCH(1) Dependent Variable: NPC Method: ML - ARCH (Marquardt) Sample: Included observations: 20 Convergence achieved after 33 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C NNI Variance Equation C ARCH(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)