Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 10 Ιανουαρίου, 2011 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 1 / 71

Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Προηγούµενα Μαθήµατα Υποθέσεις µέχρι τώρα Απειρη µνήµη Unique IDs και δυνατότητα ανίχνευσης κάποιων σφαλµάτων Σταθερή δοµή δικτύου, καµία αναφορά σε mobility patterns (µοτίβα κινητικότητας) Ασύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση των στοιχείων του κατανεµηµένου συστήµατος µε αυτόµατα καταστάσεων (state machines) Χρονική Απροσδιοριστία - ϑα χρειαστούν τεχνικές διαφορετικές από την µέχρι τώρα ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 2 / 71

Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Σήµερα.. Θα παρουσιάσουµε ένα νέο υπολογιστικό µοντέλο για κατανεµηµένα συστήµατα Αποτελείται απο αλληλεπιδρούσες υπολογιστικές οντότητες (objects). Οι οντότητες αυτές µπορεί να ειναι διεργασίες σε PCs, κινητά µε αισθητήρες, η ταυτότητα σας στο facebook,... Υπάρχει πολύ µεγάλος αριθµός οντοτήτων Η κάθεµία απο αυτές έχει πολύ περιορισµένους πόρους (π.χ. µνήµη) Οι οντότητες αυτές αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µε έναν µη-ντετερµινιστικό τρόπο, υπό την έννοια πως δεν διαλέγουν αυτές µε ποιες οντότητες ϑα αλληλεπιδράσουν, δεν έχουν δηλαδή κανέναν έλεγχο των αλληλεπιδράσεων αυτών Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 3 / 71

Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Εφαρµογές - 1 ίκτυα Αισθητήρων (Wireless Sensor Networks, WSNs) Αποτελούνται από µεγάλο πλήθος συσκευών υνατότητες υπολογισµού, ασύρµατης επικοινωνίας, περιορισµένη µνήµη, λειτουργούν µε µικρή µπαταρία και ϕέρουν ποικιλία αισθητήρων για µέτρηση µεγεθών (π.χ. ϑερµοκρασία) Μπορούν να πραγµατοποιήσουν µεγάλης κλίµακας ανιχνεύσεις (πυργκαγιές σε δάση, έξυπνα σπίτια). Wireless NanoSensor Networks Οπως πριν, αλλά τώρα κάθε συσκευή έχει µέγεθος µερικών µm Επαναστατικές εφαρµογές σε κλάδους όπως ιατρική (παρακολούθηση, ενέσεις ϕαρµάκων), γεωργία ακριβειας, κτλ.. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 4 / 71

Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές Εφαρµογές - 2 Χηµικές Αντιδράσεις Εδώ οι αλληλεπιδρούσες οντότητες ειναι τα µόρια εν έχουν κανέναν έλεγχο πάνω στις αλληλεπιδράσεις τους. Φανταστείτε π.χ. µια χηµική αντίδραση που συµβαίνει σε ένα δοκιµαστικό σωλήνα Αυτογνωσία Συστηµάτων Μοντελοποιούµε τα συστήµατα µε χρηση γραφηµάτων Οι οντότητες των συστηµάτων, δηλαδή πλέον οι κόµβοι τω γράφων αντιλαµβάνονται ιδιότητες των γράφων στους οποίους ανήκουν και συνεπώς του ίδιου του συστήµατατος π.χ. Αν ϑεωρήσουµε οντότητες τα facebook profiles των ϕοιτητών µίας αίθουσας, να µπορεί κάθε ϕοιτητής να ξέρει αν τουλάχιστον 5 ϕοιτητές µέσα σε αυτήν την αίθουσα έχουν παραπάνω απο 200 ϕίλους. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 5 / 71

Στην συνέχεια... 1 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές 2 3 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 6 / 71

Ενα µινιµαλιστικό Μοντέλο - Υποθέσεις Προσπαθούµε να κάνουµε υποθέσεις µινιµαλιστικές αλλά όχι τετριµµένες για τις δυνατότητες κάθε υπολογιστικής µονάδας, την οποία καλούµε πράκτορα (agent) FSMs(µηχανές πεπερασµένων καταστάσεων), όχι άπειρη µνήµη Καµία µορφή υποδοµής (ούτε unique IDs!) Ασύγχρονο σύστηµα Οι πράκτορες έχουν την δυνατότητα να ανταλλάσσουν πληροφορία (αλληλεπίδραση) Οι πράκτορες δεν µπορούν να ελέγξουν τις µεταξύ τους αλληλεπιδράσεις - Παθητική Κίνηση(passive mobility) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 7 / 71

(ανεπίσηµα) - 1 Μία συλλογή πανοµοιότυπα προγραµµατισµένων πρακτόρων Ολοι οι πράκτορες παίρνουν αρχικά µία είσοδο απο το περιβάλλον τους(π.χ. µέσω αισθητήρων) Κωδικοποιούµε το input κάθε agent στην αρχική του κατάσταση Οι πράκτορες ύπο κάποιες συνθήκες αλληλεπιδρούν και αλλάζουν κατάσταση σύµφωνα µε κάποιους κανόνες µετάβασης Οποιαδήποτε χρονική στιγµή, µπορούµε να πάρουµε το output κάθε πράκτορα παρατηρώντας την κατάσταση του Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 8 / 71

(ανεπίσηµα) - 2 Τι ορίζουµε ως αλγόριθµο/πρωτόκολλο Ενα πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων στις οποίες µπορει να ϐρεθεί ο κάθε agent Μία συνάρτηση εισόδου, απεικονίζει εισόδους σε καταστάσεις Μία συνάρτηση µετάβασης, σύµφωνα µε την οποία οι δύο agents που αλληλεπίδρασαν ϑα αλλάξουν την κατάσταση τους Μία συνάρτηση εξόδου, απεικονίζει καταστάσεις σε εξόδους Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 9 / 71

Ενα παράδειγµα Πως ϑα υπολογίσουµε το OR εισόδων-bits Κάθε agent παίρνει ως input 0 ή 1. Ολοι οι agents πρέπει eventually να µάθουν το αποτέλεσµα του OR όλων των bits Εχουµε: Σύνολο καταστάσεων: 0, 1 Συνάρτηση Μετάβασης 0, 0 0, 0 0, 1 1, 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 1 Η έξοδος κάθε agent είναι η κατάσταση του Ετσι, αν έστω και ένας agent έχει πάρει ως input 1, τότε eventually όλοι οι agents ϑα συγκλίνουν στην κατάσταση 1 (άρα και στην έξοδο) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 10 / 71

Οµως.. Ερωτήµατα έρχονται σιγά σιγά στην επιφάνεια! Πως επηρρεάζει το πλήθος των agents το πρωτόκολλό µας; Θα χρειαστούµε διαφορετικό αλγόριθµο ή πρέπει να κάνουµε τροποποιήσεις;; Τι µας εγγυάται πως αληλλεπιδράσεις που µπορούν να γινουν και πρέπει να γίνουν για να έχει νόηµα ο υπολογισµός, τελικά ϑα γίνουν; Σε ποια ερωτήµατα µπορούν να απαντήσουν τα Population Protocols; (υπολογιστική δύναµη) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 11 / 71

Φορµαλιστικός Ορισµός Ενα Πρωτόκολλο Πληθυσµών ειναι µία εξάδα (Q, X, Y, I, O, δ), όπου: Q, το πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων X, το πεπερασµένο αλφάβητο εισόδου(π.χ. τι τιµές παίρνουν οι αισθητήρες µέσω µίας µέτρησης) Y, το πεπερασµένο αλφάβητο εξόδου I : X Q, η συνάρτηση εισόδου που απεικονίζει εισόδους σε καταστάσεις. Αρα I(σ) είναι η αρχική κατάσταση του agent µε είσοδο σ O : Q Y, η συνάρτηση εξόδου που απεικονίζει καταστάσεις σε εξόδους. Αρα O(q) είναι η έξοδος του agent που ϐρίσκεται σε κατάσταση q δ : Q Q Q Q, η συνάρτηση µετάβασης που περιγράφει πως αλληλεπιδρά ένα Ϲεύγος agents. Αν δ(p, q) = (p, q ), ϑα λέµε πως η (p, q) (p, q ) είναι µία µετάβαση και ϑα ορίζουµε δ 1 (p, q) = p και δ 2 (p, q) = q. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 12 / 71

Γράφος Αλληλεπιδράσεων Το δίκτυο που σχηµατίζουν οι agents µοντελοποιείται από κατευθυνόµενο, πλήρως συνδεδεµένο γράφο αλληλεπιδράσεων G = (V, E) Εχουµε: n = V ο αριθµός των agents m = E ο αριθµός των ακµών, δηλαδή των πιθανών αλληλεπιδράσεων, όπου: Μία ακµή (u, v) E σηµαίνει πως οι agents u και v µπορούν να αλληλεπιδράσουν Στην αλληλεπίδραση αυτή ο u ϑα είναι ο initiator και ο v ϑα είναι ο responder Οι διακριτοί ϱόλοι των δύο agents είναι µία ϐασική υπόθεση του µοντελου µας που σπάει την συµµετρία! Είναι αυτό χρήσιµο; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 13 / 71

ιαµορφώσεις - 1 Μία διαµόρφωση(configuration) C : V Q είναι ένα στιγµιότυπο (snapshot) όλων των καταστάσεων των agents και µπορει να περιγραφεί απο ένα διάνυσµα µε τις καταστάσεις αυτές Εστω C, C δύο διαµορφώσεις και u, v δύο agents. Θα λέµε πως η C πηγαίνει στην C µέσω της αληλλεπίδρασης e = (u, v) και ϑα συµβολίζουµε C e C αν: C (u) = δ 1 (C(u), C(v)) C (v) = δ 2 (C(u), C(v)) C (w) = C(w), για κάθε w A {u, v} Θα λέµε πως η διαµόρφωση C είναι προσβάσιµη απο την C αν υπάρχει µία ακολουθία διαµορφώσεων C = C 0, C 1,..., C n = C, τετοια ώστε C i C i+1 για κάθε i, 0 i < n, και ϑα το συµβολίζουµε µε C C Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 14 / 71

ιαµορφώσεις - 2 Με άλλα λόγια, ξέροντας την τρέχουσα διαµόρφωση έχουµε πλήρη γνώση για την τρέχουσα κατάσταση του συστήµατος, αφού µας ενηµερώνει για την κατάσταση στην οποία ϐρίσκεται κάθε agent του πληθυσµού Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 15 / 71

Γράφος Μεταβάσεων Ο γράφος µεταβασεων ενός PPA που τρέχει σε έναν γράφο αλληλεπιδράσεων G είναι ένας κατευθυνόµενος γράφος όπου: κόµβοι του είναι το συνολο όλων των διαµορφώσεων του πληθυσµού Q V το σύνολο ακµών του ορίζεται ώς E = {(C, C ) C, C Q V and C C } Μπορει να έχει κύκλους Μπορεί (C, C) E Μια ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου είναι τελική ανν δεν υπάρχει ακµή που να ξεκινά απο κόµβο της συνιστώσας και να κατευθύνεται σε κόµβο εκτός αυτής. Μια διαµόρφωση ειναι τελική ανν ανήκει σε µία τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 16 / 71

Εκτέλεση Μία εκτέλεση(execution) είναι µία πεπερασµένη ή άπειρη ακολουθία διαµορφώσεων Μία άπειρη εκτέλεση είναι δίκαιη εάν για κάθε Ϲεύγος διαµορφώσεων C, C τέτοιων ώστε C C, αν η C εµφανίζεται άπειρες ϕορές στην εκτέλεση, τότε και η C εµφανίζεται άπειρες ϕορές στην εκτέλεση Ενας υπολογισµός(computation) είναι µία άπειρη δίκαιη εκτέλεση Πως όµως αποφασίζεται ποια ή ποιες αλληλεπιδράσεις ϑα γίνουν στο επόµενο ϐηµα και πως ορίζεται ακριβώς η συνθήκη δικαιοσύνης; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 17 / 71

Παθητική Κίνηση Οι παθητικώς κινούµενοι πράκτορες ειναι µία πολύ ενδιαφέρουσα έννοια που εισάγουν τα PPs Η παθητική κίνηση καθιστά τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των πρακτόρων µη ντερµινιστικές ( µη καθορίσιµες απο τους ίδιους) Στην περίπτωση των WSNs ϑα µπορούσαµε να ϕανταστούµε πως αυτό συµβαίνει π.χ. επειδή ο αέρας παρασύρει τους αισθητήρες µας απο την αρχική τους ϑέση Οµως η έννοια της παθητικής κίνησης δεν αφορά πάντα σε ϕυσική κίνηση των πρακτόρων Στο παράδειγµα όπου ϑεωρούµε πράκτορες του συστήµατος µας τα facebook walls χρηστών και ακµές του δικτύου τις µεταξύ τους ϕιλίες. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 18 / 71

Εχθρικός δροµολογητής - 1 Η επόµενη αλληλεπίδραση που ϑα συµβεί επιλέγεται ανάµεσα σε όλες τις δυνατές( V V )απο έναν εχθρικό δροµολογητή Αποδεικνύεται εύκολα πως κάθε δροµολογητής που επιλέγει ένα ή περισσότερα Ϲεύγη προς αλληλεπίδραση κάθε ϕορά, µπορεί να προσωµοιωθεί από δροµολογητή που επιλέγει µόνο ένα Ϲεύγος προς αληλλεπίδραση κάθε ϕορά Θα ϑεωρούµε λοιπόν χ.β.τ.γ. πως µόνο ένα Ϲεύγος agents αλληλεπιδρά σε κάθε ϐήµα της εκτέλεσης Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 19 / 71

Εχθρικός δροµολογητής - 2 Ο δροµολογητής ϑα µπορούσε να επιλέγει συνεχώς το ίδιο Ϲεύγος agents προς αλληλεπίδραση κάθε ϕορά, ή ένα Ϲεύγος που δεν ϑα ϐοηθούσε στον υπολογισµό µας Αυτό ϑα έκανε τον υπολογισµό µας να µην µπορεί να προχωρήσει και να ολοκληρωθεί, αφού δεν ϑα χρησιµοποιηθούν ποτέ οι είσοδοι όλου του πληθυσµού και συνεπώς το πρωτόκολλο δεν µπορέσει να εκτελεστεί σωστά. Πρέπει λοιπόν να επιβάλλουµε µια συνθήκη δικαιοσύνης στον εχθρικό δροµολογητή Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 20 / 71

Συνθήκη ικαιοσύνης - 1 Οτιδήποτε ειναι πάντοτε πιθανό να συµβεί, τελικά συµβαίνει Επιβάλλουµε µία ισχυρή καθολική συνθήκη δικαιοσύνης στον εχθρικό δροµολογητή ιαισθητικά, επιβάλλουµε στον δροµολογητή να είναι υπολογιστικά ϕιλικός, απαγορεύοντας του να αποφευγει ένα συγκεκριµενο ϐήµα για πάντα Ενας άλλος τρόπος για δούµε το αποτέλεσµα της συνθήκης δικαιοσύνης, είναι πως κάθε διαµόρφωση που ειναι πάντοτε προσβάσιµη τελικά επιτυγχάνεται Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 21 / 71

Συνθήκη ικαιοσύνης - 2 Πόσο ισχυρή ειναι η συνθήκη δικαιοσύνης; Υπο µία έννοια, η συνθήκη δικαιοσύνης ειναι λιγότερο ισχυρή απο το να απαιτήσουµε κάθε Ϲεύγος agents να αλληλεπιδρούν απείρως συχνά - υπάρχουν δικαιες εκτελέσεις όπου µερικοί agents δεν ϑα συναντηθούν ποτέ! Από την άλλη πλευρά, η συνθήκη δικαιοσύνης ειναι αρκετά ισχυρή, καθώς αποφεύγουµε την περίπτωση όπου δύο agents αλληλεπιδρούν µόνο όταν ϐρίσκονται στην λάθος κατάσταση για να έχουµε κάποιο χρήσιµο αποτέλεσµα απο την αλληλεπιδραση τους. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 22 / 71

Συνθήκη ικαιοσύνης - 3 Πόσο ϕυσικό ειναι να υποθέτουµε την ύπαρξη συνθήκης δικαιοσύνης; Θέλουµε να κάνουµε µιναµαλιστικές υποθέσεις για το µοντέλο µας, όµως µε µία η συνθήκη δικαιοσύνης µοιάζει πολύ ισχυρή Η συνθήκη δικαιοσύνης είναι µία ϕυσική υπόθεση Ο λόγος ειναι πως στα περισσότερα ϕυσικά συστήµατα, όπως και αυτά που εξετάζουµε, το γεγονός πως οι agents είναι παθητικώς κινούµενοι επιβάλλει άµεσα την συνθήκη αυτή στον δροµολογητή Για παράδειγµα, στα WSNs, η παθητική κίνηση των πρακτόρων είναι αποτέλεσµα κάποιου ϕυσικού ϕαινοµένου όπως το πέταγµα των πουλιών, η ϱοή ενός ποταµού, ο άνεµος κτλ.. Τέτοια ϕυσικά ϕαινόµενα συνήθως υπακούν σε κάποια πιθανοτική κατανοµή (ή µία συλλογή πιθανοτικών κατανοµών). Ετσι για να είναι ένας εχθρικός δροµολογητής δίκαιος, πρέπει απλά να ικανοποιεί κάποιες ϕυσικές ιδιότητες! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 23 / 71

Ιδιότητες - Οµοιοµορφία Οι περιγραφές των πρωτοκόλλων είναι ανεξάρτητες απο το µέγεθος του πληθυσµού ηλαδή, χρειάζεται O(1) συνολική χωρητικότητα µνήµης σε κάθε πράκτορα. Η µινιµαλιστική αυτή υπόθεση που κάνουµε, είναι γνωστή ως ιδιότητα οµοιοµορφίας Παρόλα αυτά, ίσως αυτή η υπόθεση να παραείναι µινιµαλιστική! Θα µπορούσε κάθε agent να έχει µνήµη της τάξης του O(log(n)); Πόση µνήµη ϑα είχε κάθε agent για πληθυσµό 2 256 agents;(που είναι ένα αστρονοµικό νούµερο πληθυσµού - υπάρχουν λιγότερα άτοµα στην γη!) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 24 / 71

Ιδιότητες - Ανωνυµία Τα PPs είναι ανώνυµα Αυτό συµβαίνει επειδή δεν υπάρχει αρκετή µνήµη σε κάθε agent ώστε να µπορεί να αποθηκεύσει UIDs Αµεση συνέπεια : η συνάρτηση µετάβασης συµπεριφέρεται µε τον ίδιο τρόπο σε όλους τους agents Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 25 / 71

Σταθεροποίηση - 1 Τα PPs, σε αντίθεση µε τις µηχανές Turing, δεν τερµατίζουν! Αρα δεν υπαρχει προκαθορισµένος χρόνος για να διαβάσει κανείς την έξοδο του πληθυσµού Στην ϑέση του τερµατισµού εισάγουµε την έννοια της σταθεροποίησης Λέµε πως η έξοδος ενός υπολογισµού σταθεροποιείται, εάν ϕτάνει σε µία διαµόρφωση µετά την οποία κανείς πράκτορας δεν µπορει να αλλάξει τιµή εξόδου ανεξαρτήτως του πως ϑα εξελιχθεί ο υπολογισµός απο εκεί και έπειτα ιαισθητικά ϑα µπορούσαµε να το δούµε ως µια τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γράφου µεταβάσεων, της οποίας κάθε κόµβος δίνει την ίδια έξοδο Αφού η εξοδος δεν µπορεί να µεταβληθεί, η έξοδος αυτή είναι τελική Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 26 / 71

Σταθεροποίηση - 2 Η σταθεροποίηση είναι µία καθολική ιδιότητα του πληθυσµού Γενικά, οι agents δεν µπορούν να ξέρουν πότε αυτή έχει επιτευχθεί Μπορούµε όµως µε κατάλληλη πιθανοτική ανάλυση και ύπο πιθανοτικούς δροµολογητές να ϕράξουµε το αναµενόµενο πλήθος των αλληλεπιδράσεων που ϑα συµβούν µέχρι η έξοδος να σταθεροποιηθεί Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 27 / 71

Example 1 : Flock of Birds Θέλουµε να ϐρούµε αν τουλάχιστον 5 agents έχουν είσοδο 1 Καθε agent παίρνει είσοδο 0 ή 1 Το πρόβληµα αυτό λέγεται flock of birds και ειναι το πιο κλασικό παράδειγµα στα PPs. Ενα σµήνος πουλιών είναι εφοδιασµένα µε αισθητήρες οι οποίοι έχουν την δυνατότητα να ανιχνεύσουν άνοδο στην ϑερµοκρασία των πουλιών. Θέλουµε να µάθουµε αν τουλάχιστον 5 πουλιά έχουν ανεβασµένη ϑερµοκρασία (ανιχνεύοντας έτσι µία επικείµενη επιδηµία) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 28 / 71

Example 1 : Flock of Birds Θα χρειαστούµε 5 καταστάσεις, Q = {1, 2, 3, 4, 5} Αν κάποιος agent πάρει ως είσοδο 1, ϑα ϐρεθεί στην κατάσταση 1. Αν πάρει ως είσοδο 0 ϑα ϐρεθεί στην κατάσταση 0. ηλαδή I(1) = 1 και I(0) = 0 Αν κάποιος agent ϐρίσκεται στην κατάσταση 5, ϑα δινει έξοδο 1. Αν ϐρίσκεται σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση ϑα δίνει έξοδο 0. ηλαδή O(5) = 1 και O(0) = O(1) = O(2) = O(3) = O(4) = 0 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 29 / 71

Example 1 : Flock of Birds Το πιο ϐασικό σηµειο: η συνάρτηση µετάβασης Κανόνας 1: x, y min(x + y, 5), 0 Με τον κανόνα αυτό ο αριθµός των άσσων µαζεύεται σε έναν agent Κανόνας 2: 5, 5, 5 Ενας agent έφτασε στην κατάσταση 5, η οποία λειτουργεί ως κατάσταση συναγερµού και διαδίδεται σε κάθε agent που την συναντάει Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 30 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 31 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 32 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 33 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 34 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 35 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 36 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 37 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 38 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 39 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 40 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 41 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 42 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 43 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 44 / 71

Παράδειγµα: (N 1 5) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 45 / 71

Example 2 : Majority - 1 Καθε agent είναι αρχικά κόκκινος ή πράσινος Θέλουµε να ϐρούµε αν κόκκινων > πράσινων Ιδέες; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 46 / 71

Example 2 : Majority - 2 Καταστάσεις: Q = {red, green, yes, no} Συναρτηση Μετάβασης: Κανόνας 1: red, green no, no Κανόνας 2: red, no red, yes Κανόνας 3: green, yes green, no Κανόνας 4: yes, no no, no Κανόνας 5: σε οποιαδήποτε άλλη περιπτωση η συνάρτηση µετάβασης δεν αλλάζει τιποτα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 47 / 71

Example 2 : Majority - 3 Είναι τουλάχιστον το 40% των εισόδων ειναι κόκκινα; 2 κόκκινα ϑα εξαλείφουν 3 πράσινα Οι άλλοι κανόνες (σχεδόν) ίδιοι! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 48 / 71

Example 3 : Modulo Θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα όλων των εισόδων modulo4 Κάθε agent παίρνει µία τιµή στο {0, 1, 2, 3} Ολοι οι πράκτορες πρέπει να ϐρεθούν τελικά σε κατάσταση που να απεικονίζει το σωστο αποτέλεσµα Κάθε πράκτορας έχει ένα live bit Οταν δύο awake κόµβοι συναντηθούν, ο ένας παίρνει το άθροισµα και ο άλλος κοιµάται Οταν ένας awake και ένας asleep κόµβος συναντηθούν, τότε ο δεύτερος αποθηκεύει το άθροισµα του πρώτου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 49 / 71

Example 4 : Leader Election Το γνωστό πρόβληµα της εκλογής αρχηγού Θυµάστε πως στην περίπτωση του δακτυλίου απουσία UIDs δεν µπορούσαµε να λύσουµε το πρόβληµα! Η υπόθεση διακριτών ϱόλων initiator και responder ϑα µας ϐοηθήσει εδώ Ολοι οι agents ξεκινούν απο την κατάσταση leader Κανόνας: leader, leader leader, not leader Τόσο απλά! Τελικά, ϑα υπάρχει ακριβώς ένας agent σε κατάσταση leader Βλέπουµε λοιπόν πως µπορούµε να λύσουµε δύσκολα προβλήµατα µε έυκολα πρωτόκολλα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 50 / 71

Ερωτήµατα Είδαµε αρκετά παραδείγµατα υπολογισµών στα PPs Οµως σαν Computer Scientists µας αρέσουν τα µαθηµατικά..(;;) Πρόβληµα 1 Πως ϑα µπορούσαµε να εκφράσουµε πιο ϕορµαλιστικά τα ερωτήµατα που ϑέτουµε σε ένα PP; Πρόβληµα 2 Σε ποια ερωτήµατα µπορεί να απαντήσει ένα PP, δηλαδή ποια είναι η υπολογιστική του ισχύς; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 51 / 71

Κατηγορήµατα Εστω X = X V το σύνολο όλων των δυνατών αναθέσεων εισόδου Ενα κατηγόρηµα είναι ουσιαστικά µία συνάρτηση X {0, 1} ένα κατηγόρηµα δίνει δηλαδή ως έξοδο Ναι / Οχι Τα κατηγορήµατα πρέπει να ειναι συµµετρικά Αυτό σηµαίνει πως η σειρά των εισόδων είναι αδιάφορη ως προς το αποτέλεσµα του κατηγορήµατος π.χ. στο flock of birds µας είναι αδιάφορο το ποιοι 5 agents έχουν εισοδο 1, µας ενδιαφέρει µόνο το αν 5 agents έχουν είσοδο 1 Ετσι µπορούµε να γράφουµε τα κατηγορηµατα στην µορφή P(x 1, x 2,..., x n ) όπου: n = ο αριθµός των δυνατών αρχικών καταστάσεων x i = ο αριθµός των agents που αρχιζουν στην κατάσταση i Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 52 / 71

Υπολογίσιµα Κατηγορήµατα Θεώρηµα Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο ανν ανήκει στην παρακάτω λίστα: k i=1 c ix i a (γενίκευση του threshold και της πλειοψηφίας) k i=1 c ix i a(modb) (γενίκευση του mod) Boolean συνδυασµοί των παραπάνω Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 53 / 71

How to: k i=1 c ix i a Σκιαγράφηση της απόδειξης: Κάθε agent που έχει ως είσοδο το i-ιστό σύµβολο ξεκινά στην κατάσταση c i µε τιµή c i την τιµή αυτή Αρα x i agents ξεκινούν µε τιµή c i Ταυτόχρονα, εκλέγουµε leader και µαζεύουµε εκεί το άθροισµα των τιµών Αν το άθροισµα αυτό είναι µεγαλύτερο του a τότε ο leader δίνει έξοδο YES. Αλλιώς δινει έξοδο NO Ο leader διαδίδει την έξοδο του στους άλλους agents Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 54 / 71

How to: k i=1 c ix i a(modb) Σκιαγράφηση της απόδειξης: Παρόµοια λογική µε πριν Μαζεύουµε το άθροισµα στον leader Επειτα διαδίδουµε την απάντηση στον πληθυσµό Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 55 / 71

How to: Boolean Operators Αν A,B υπολογίσιµα κατηγορήµατα: Πως ϑα υπολογίσουµε το A ; Πως ϑα υπολογίσουµε το A B ; Πως ϑα υπολογίσουµε το A B ; Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 56 / 71

ιαφορετικοί Χαρακτηρισµοί είχνοντας τα παραπάνω δείξαµε το Πως ϑα δείξουµε όµως το ευθύ; Θα χρειαστούµε έναν διαφορετικό χαρακτηρισµό της κλάσης των υπολογίσιµων κατηγορηµάτων Θα χρησιµοποιήσουµε τα ηµιγραµµικά σύνολα Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 57 / 71

Ηµιγραµµικά Σύνολα Ενα σύνολο διανυσµάτων x = (x 1, x 2,..., x k ) N k είναι γραµµικό αν είναι της µορφής { v 0 + c 1 v 1 +... + c m v m } µε c i N Ενα σύνολο διανυσµάτων είναι ηµιγραµµικό αν είναι πεπερασµένη ένωση γραµµικών συνόλων Θεώρηµα Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο ανν είναι ηµιγραµµικό Γενικά δεν είναι εύκολο να προσδιορίσουµε αν ένα κατηγόρηµα ειναι ηµιγραµµικό.. Υπάρχει όµως ένας πιο εύκολος τροπος! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 58 / 71

Αριθµητική Presburger Ενα υποσύνολο του N k είναι ηµιγραµµικό ανν ειναι καθορίσιµο στην Presburger αριθµητική Η Presburger αριθµητική είναι ένα σύστηµα λογικών τύπων πρώτης τάξης που χρησιµοποιεί τα σύµβολα +, 0, 1,,,,,, =, <, (, ) και µεταβλητές εν περιλαµβάνει τον πολλαπλασιασµό Ετσι µερικά απο τα κατηγορηµατα που είδαµε πριν εκφραζονται ως: Πλειοψηφία: x 1 < x 2 mod3 : y : y + y + y = x 1 τουλάχιστον 40% κόκκινα : (x 1 + x 1 < x 0 + x 0 + x 0 ) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 59 / 71

Τι ξέρουµε Ενα κατηγόρηµα ειναι υπολογίσιµο απο το ϐασικό µοντέλο των PPs ανν: Είναι boolean συνδυασµός των κατηγορηµάτων mod και threshold ή είναι ηµιγραµµικό ή ειναι εκφράσιµο στην Presburger αριθµητική Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 60 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Στην συνέχεια... 1 Προηγούµενα Μαθήµατα Ενα νέο υπολογιστικό µοντέλο Εφαρµογές 2 3 Συµπεράσµατα Ασκήσεις Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 61 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Συνοψίζοντας Ορίσαµε λοιπόν το υπολογιστικό µοντέλο των Population Protocols Μεγάλο πλήθος πρακτορων Πολύ περιορισµένοι πόροι Παθητική Κίνηση Εχθρικός ροµολογητής και ικαιοσύνη Σταθεροποίηση Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 62 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Το επόµενο ϐήµα - 1 Κάναµε µινιµαλιστικές υποθέσεις για το ϐασικό µοντέλο των PPs Καταλαβαίνουµε ακριβώς τι µπορεί να υπολογιστεί Το επόµενο ϐήµα ειναι να ενισχύσουµε το ϐασικό µοντέλο µε ϱεαλιστικές υποθέσεις......και να προσπαθήσουµε να καταλάβουµε πως αυτές επηρρεάζουν την υπολογιστική του δύναµη Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 63 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Το επόµενο ϐήµα - 2 Εχουν προταθεί πολλές επεκτάσεις του ϐασικού µοντέλου, όπως: Mediated PPs: κάθε επικοινωνιακός δίαυλος(ακµή) ειναι εξοπλισµένος µε buffer µεγέθους O(1) µπορούµε πλέον να υπολογίσουµε και non-semilinear κατηγορήµατα PALOMA: κάθε πράκτορας έχει µνήµη µεγέθους O(logn) αλγόριθµος για κατασκευή UIDs Πολλή απο την παραπάνω δουλειά έχει γίνει από τους Π.Σπυράκη, Ι.Χατζηγιαννάκη, Ο.Μιχαήλ, Α.Παυλόγιαννη, Σ.Νικολάου, υπάρχει δηλαδή έντονο ερευνητικό ενδιαφέρον στο τµήµα µας. Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 64 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 1 Εστω C = C 0, C 1,... µία άπειρη εκτέλεση ενός PP A, το οποίο τρέχει σε γράφο αλληλεπιδράσεων G, F C το σύνολο των διαµορφώσεων που εµφανίζονται απείρως συχνά στην C και T FC ο υπογράφος του T(A, G) που επάγεται από το F C. Να δειχθεί ότι η εκτέλεση C είναι υπολογισµός αν και µόνο αν ο T FC είναι µία τελική ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του T(A, G). Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 65 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 2 Εστω ο εξής εναλλακτικός ορισµός της δικαιοσύνης: Ολες οι αλληλεπιδράσεις συµβαίνουν απέιρως συχνά Επάγεται απο αυτόν τον ορισµό το ίδιο αποτέλεσµα µε τον ορισµό της δικαιοσύνης που ορίσαµε; Αν ναι, δικαιολογείστε; Αν όχι, δώστε αντιπαράδειγµα ώστε παράδειγµα δίκαιης εκτέλεσης όπου κάποια αλληλεπίδραση δεν συµβαίνει ποτέ. Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το leader election σε ένα πολύ απλό δίκτυο Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 66 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 3 ώστε πρωτόκολλο υπολογισµού του παρακάτω κατηγορηµατος, αν X = {0, 1}: Υπάρχει Ϲυγός αριθµός κόµβων µε είσοδο 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την ιδέα του live bit, όπως αυτή παρουσιάστηκε στην ιαφάνεια 49 Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 67 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 4 οθέντος PP A, αν Q είναι το σύνολο καταστάσεων του A και αν το A τρέχει σε πλήρη γράφο αλληλεπιδράσεων n κόµβων, να δειχθεί ότι υπάρχουν (1 + n Q 1 ) Q 1 διαφορετικές διαµορφώσεις Συνδυαστικής ϕυσεως πρόβληµα Αναγωγή στο πρόβληµα τοποθέτησης µπαλών σε κάδους ( ιακριτά 1) Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 68 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 5 Να δειχθεί πως η κλάση των υπολογίσιµων κατηγορηµάτων είναι κλειστή ως προς τις πράξεις του συµπληρώµατος, της ένωσης και της τοµής Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 69 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ασκήσεις Ασκηση 6 Στο µοντέλο MPP, οι ακµές έχουν πλέον µνήµη και άρα µπορούν να ϐρίσκονται σε κάποια κατάσταση. Εστω πως κάθε πράκτορας παίρνει είσοδο απο το X = {a, b, c} Να δώσετε πρωτόκολλο υπολογισµού του κατηγορήµατος πολλαπλασιασµού, δηλαδή αν N c = N a N b Υποθέστε πλήρες γράφηµα αλληλεπιδράσεων Σε ένα πλήρες γράφηµα, οι πράκτορες µε εισοδο a και οι πράκτορες µε εισοδο b έχουν ακριβώς N a N b ακµές µεταξύ τους Κάθε ακµή ϑα µπορεί να ϐρεθεί στις καταστάσεις marked, unmarked Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 70 / 71

Συµπεράσµατα Ασκήσεις Ευχαριστώ Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή! Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 ΤΜΗΥΠ/ΠΠ, ευτέρα 10 Ιανουαρίου 2010 71 / 71