ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Συναρτήσεις παραγωγής Το κόστος παραγωγής διακρίνεται σε : Σταθερό ή έμμεσο κόστος (fixed or indirect cost) C F : Το κόστος αυτό είναι περίπου σταθερό ανεξάρτητα από το μέγεθος της παραγωγής. Περιλαμβάνει έξοδα όπως ενοίκια, ασφάλιση, υποτίμηση εξοπλισμού και εγκαταστάσεων, μισθούς διοίκησης, τεχνική υποστήριξη, επίβλεψη κλπ., που απαιτούνται γιά την παραγωγή ενός προϊόντος ή έργου. Μεταβλητό ή άμεσο κόστος ανά παραγόμενη μονάδα (variable or direct cost) V : Είναι το κόστος παραγωγής μιάς μονάδας προϊόντος. Αποτελείται συνήθως από το κόστος των υλικών και το κόστος των εργατικών. Το συνολικό άμεσο κόστος (C V ) εξαρτάται από το μέγεθος της παραγωγής (Ν παραγόμενες μονάδες) και, συνήθως, είναι ανάλογο του μεγέθους αυτού, C V = N V. Συνολικό κόστος παραγωγής (total cost) C Τ : Είναι το άθροισμα του σταθερού και του μεταβλητού κόστους (σχήμα 1), C T = N V + C F. (1) Θεωρώντας ότι οι παραγόμενες μονάδες πωλούνται σε σταθερή τιμή P, το ακαθάριστο έσοδο (gross revenue) R από την πώληση Ν μονάδων είναι R = Ν Ρ. Το κέρδος (profit) ή η απώλεια (loss) Ζ προκύπτει από τη διαφορά μεταξύ του ακαθάριστου εσόδου R και του συνολικού κόστους παραγωγής C T (σχήμα 1), Κόστος / έσοδο / κέρδος R C T Κέρδος Οριακό σημείο Β Συνολικό μεταβλητό κόστος γιά Ν μονάδες C F Σταθερό κόστος Ν/2 Β Ν Μέγεθος παραγωγής Σχήμα 1

2 Z = R - C T = N P - (N V + C F ) = N (P-V) - C F. (2) Το σημείο Β τομής των ευθειών ακαθάριστου εσόδου και συνολικού κόστους είναι το οριακό σημείο (break-even point) παραγωγής που εξισώνει τα έσοδα με το κόστος. Αν το μέγεθος παραγωγής είναι Β, δεν υπάρχει ούτε κέρδος ούτε απώλεια. Ο αριθμός των παραγόμενων μονάδων Β που επιτυγχάνει την εξίσωση εσόδων και κόστους προκύπτει από τη σχέση (2) για Ζ = 0 και θέτοντας Ν = Β : C F Β (P - V) - C F = 0 => B = (3) P - V Αν Ν < Β τότε το κόστος παραγωγής είναι μεγαλύτερο του εσόδου και υπάρχει απώλεια. Αντίθετα, αν Ν > Β το ακαθάριστο έσοδο ξεπερνάει το αντίστοιχο κόστος αποφέροντας κέρδος. Παράδειγμα 1 Η αεροπορική σύνδεση μεταξύ δύο πόλεων γίνεται με 15 πτήσεις αεροσκαφών το μήνα ανά κατεύθυνση. Η χωρητικότητα του αεροσκάφους είναι 120 θέσεις και το αντίτιμο του εισιτηρίου 18.000 δραχμές ανά επιβάτη. Το άμεσο κόστος της εταιρίας γιά κάθε επιβάτη είναι 3.000 δραχμές ανά πτήση ενώ το σταθερό κόστος κάθε πτήσης (που καλύπτει την υποτίμηση της αξίας του αεροσκάφους, το κόστος λειτουργίας και συντήρησης του, τις αμοιβές του προσωπικού κι ένα μέρος των γενικών εξόδων της εταιρίας) είναι 1.080.000 δραχμές. Ποιός είναι ο ελάχιστος μέσος βαθμός πλήρωσης του αεροσκάφους σε κάθε πτήση ώστε η λειτουργία της γραμμής να μην επιφέρει οικονομική ζημία στην εταιρία; Λύση Έστω Β η ζητούμενη πληρότητα σε αριθμό επιβατών. Το άμεσο κόστος της πτήσης είναι τότε 3.000 Β ενώ το συνολικό έσοδο 18.000 Β. Η οριακή πληρότητα προκύπτει από τη σχέση και είναι 1.080.000 + 3.000 Β = 18.000 Β 1.080.000 Β = = 72 επιβάτες. 18.000-3.000 Ο μέσος βαθμός πλήρωσης του αεροσκάφους γιά να μην υπάρχει οικονομική απώλεια είναι b = 72/120 = 60% κατ ελάχιστον. Ο στόχος της παραγωγής και πώλησης ενός αγαθού είναι η απόκτηση του μέγιστου δυνατού κέρδους ή η αύξηση του υπάρχοντος κέρδους. Σε αυτή την κατεύθυνση, μιά επιχείρηση εξετάζει τη δυνατότητα (φυσική και οικονομική) μεταβολής κάποιου ή κάποιων παραμέτρων του προβλήματος παραγωγής και καθορίζει αν αυτές οι μεταβολές οδηγούν προς το επιθυμητό αποτέλεσμα. Ένας από τους συνήθεις στόχους μιάς επιχείρησης είναι η αύξηση των πωλήσεων των προϊόντων της. Αυτό μπορεί να γίνει με τη μείωση της τιμής πώλησης τουπροϊόντος. Συχνά, η μείωση αυτή δεν αφορά το σύνολο των παραγόμενων μονάδων αλλά μόνο μερικές από αυτές που εμπίπτουν σε συγκεκριμένες συνθήκες.

Άσκηση 1 3 : Η κίνηση των επιβατών της αεροπορικής σύνδεσης που εξετάστηκε στο παράδειγμα 1 είναι κατά μέσο όρο 72 επιβάτες ανά πτήση. Ο αριθμός αυτός είναι ο οριακός αριθμός επιβατών γιά τον οποίο δεν υπάρχει ούτε κέρδος ούτε ζημία. Στην προσπάθεια της να καταστήσει την πτήση κερδοφόρα, η εταιρία επιθυμεί να αυξήσει την επιβατική κίνηση της γραμμής προσφέροντας οικονομικά κίνητρα γιά να προσελκύσει νέους επιβάτες. Συγκεκριμένα, μιά έρευνα της εταιρίας έδειξε ότι οι μισοί επιβάτες χρησιμοποιούν τις πτήσεις γιά μετάβαση και επιστροφή την ίδια ημέρα. Σε αυτούς τους επιβάτες η εταιρία προτίθεται να εκδίδει εισιτήρια και γιά τις δύο διαδρομές αντί συνολικού αντιτίμου 29.450 δραχμές και αναμένει την προσέλκυση νέων τέτοιων πελατών. Θεωρούμε ότι ο μέσος αριθμός των επιβατών που δεν επιστρέφει αυθημερόν θα παραμείνει αμετάβλητος, δηλαδή 36. α. Σχεδιάστε το διάγραμμα συνολικού κόστους και ακαθάριστου εσόδου σαν συνάρτηση του αριθμού επιβατών με τις νέες τιμές των εισιτηρίων. β. Ποιά είναι η ελάχιστη μέση πληρότητα του αεροσκάφους ώστε να υπάρχει κέρδος; γ. Αν ο αριθμός των επιβατών μετά την παραπάνω μείωση του εισιτηρίου αναμένεται να είναι 90 επιβάτες (οι πρόσθετοι 18 επιβάτες ανήκουν στην κατηγορία του μειωμένου εισιτηρίου), ποιό είναι το κέρδος ή ποιά η ζημία από κάθε πτήση; Το πρόβλημα επιλογής μεταξύ της αγοράς ή της παραγωγής ενός αγαθού είναι συνηθισμένο, προκύπτει δε όταν ένα αγαθό μπορεί να παραχθεί εσωτερικά με χαμηλότερο κόστος από το κόστος αγοράς του από άλλον παραγωγό. Το συνηθισμένο ερώτημα είναι να βρεθεί το μέγεθος παραγωγής που κάνει τους δύο τρόπους απόκτησης το ίδιο οικονομικούς. Το μέγεθος αυτό εξαρτάται κι από το αρχικό κόστος που απαιτείται γιά την εσωτερική παραγωγή. Ένα ανάλογο πρόβλημα είναι αυτό της επιλογής μεταξύ αγοράς ή ενοικίασης ενός περιουσιακού στοιχείου. Το αρχικό κόστος αγοράς και εγκατάστασης στην πρώτη εναλλακτική λύση πρέπει να συγκριθεί με το κόστος ενοικίασης της δεύτερης λύσης λαμβάνοντας υπόψη και τον απαιτούμενο χρόνο χρήσης του στοιχείου. Σχεδιάζοντας το διάγραμμα κόστους στις δύο περιπτώσεις, το πιό ενδιαφέρον συμπέρασμα είναι το οριακό σημείο Β του χρόνου που θα επέβαλε αλλαγή της απόφασης από ενοικίαση σε αγορά. Ανάλογο διάγραμμα θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε με ανεξάρτητη μεταβλητή το μέγεθος παραγωγής. Άσκηση 2 : Μιά τεχνική εταιρία ανέλαβε τη μελέτη και την επίβλεψη μιάς γέφυρας σε απομακρυσμένη περιοχή από την έδρα της εταιρίας. Η κατασκευή θα διαρκέσει τρία χρόνια και απαιτεί τη συνεχή παρουσία δύο μηχανικών της εταιρίας στο εργοτάξιο γιά την επίβλεψη του έργου. Οι μηχανικοί θα χρειαστούν χώρους διαμονής κι ένα γραφείο τα οποία μπορούν να βρεθούν σε παρακείμενη πόλη. Εξετάζονται δύο εναλλακτικές λύσεις : 1. Ενοικίαση ενός επιπλωμένου οικήματος με επαρκείς χώρους γιά διαμονή και εγκατάσταση γραφείου. Το μηνιαίο κόστος της ενοικίασης είναι 180.000 δραχμές. 2. Αγορά τριών επιπλωμένων τροχόσπιτων, δύο μικρών γιά διαμονή κόστους 2.750.000 δραχμών το καθένα κι ενός μεγαλύτερου γιά γραφείο κόστους 3.500.000 δραχμών. Ο προμηθευτής των τροχόσπιτων αποδέχεται την καταβολή από την εταιρία του 60% της παραπάνω τιμής γιά κάθε τροχόσπιτο με την προϋπόθεση ότι τα τροχόσπιτα θα επιστραφούν μετά το τέλος των τριών ετών. Το κόστος ηλεκτρικού, τηλεπικοινωνιών και νερού είναι και στις δύο περιπτώσεις 80.000 δραχμές το μήνα. Αν οι δύο εναλλακτικές λύσεις προσφέρουν ικανοποιητικές συνθήκες διαμονής και εργασίας, ποιά λύση είναι η προτιμότερη; Κάντε το διάγραμμα κόστους κάθε μιάς λύσης σα συνάρτηση του χρόνου και καθορίστε το οριακό σημείο (αριθμό μηνών) που μεταβάλλει την απόφαση από ενοικίαση σε αγορά.

4 Ανάλυση μη γραμμικών συναρτήσεων παραγωγής Τα έσοδα και τα κόστη δεν είναι πάντα γραμμικές συναρτήσεις του μεγέθους παραγωγής. Αντίθετα, συχνά οι συναρτήσεις αυτές είναι μη γραμμικές. Γιά παράδειγμα, ένας παραγωγός γιά να πουλήσει όλες τις παραγόμενες μονάδες είναι διατεθειμένος να μειώσει τις τιμές πώλησης των τελευταίων μονάδων. Ο πίνακας 1 παρουσιάζει τους διάφορους τύπους κόστους (άμεσο, σταθερό, συνολικό, μέσο και οριακό) ενός προβλήματος παραγωγής (τα ποσά σε χιλιάδες δραχμές). Οι μεταβολές κάθε τύπου κόστους με το μέγεθος παραγωγής φαίνονται γραφικά στο σχήμα 2. Πίνακας 1 =========================================================================== Μέγεθος Συνολικό Συνολικό Συνολικό Μέσο Μέσο Μέσο Οριακό παραγωγής σταθερό μεταβλητό κόστος σταθερό μεταβλητό ολικό κόστος κόστος κόστος κόστος κόστος κόστος Ν C F C V C T C F /N C V /N C T /N ΔC Τ /ΔN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0 2000 0 2000 1 2000 700 2700 2000 700 2700 700 2 2000 1300 3300 1000 650 1650 600 3 2000 1850 3850 667 617 1283 550 4 2000 2400 4400 500 600 1100 550 5 2000 3000 5000 400 600 1000 600 6 2000 3700 5700 333 617 950 700 7 2000 4600 6600 286 657 943 900 8 2000 5800 7800 250 725 975 1200 9 2000 7400 9400 222 822 1044 1600 10 2000 9400 11400 200 940 1140 2000 =========================================================================== Το μέσο σταθερό κόστος μειώνεται με την αύξηση της παραγωγής καθώς είναι ανεξάρτητο του μεγέθους παραγωγής και κατανέμεται σε μεγαλύτερο αριθμό παραγόμενων προϊόντων. Το μέσο μεταβλητό κόστος μειώνεται αρχικά μέχρι μιάς ελάχιστης τιμής και μετά αυξάνει με την αύξηση της παραγωγής. Οι αυξητικές τάσεις του μεταβλητού κόστους γιά μικρά επίπεδα παραγωγής οφείλονται στο γεγονός ότι ο εξοπλισμός και το προσωπικό παραγωγής υποαπασχολούνται. Όσο αυξάνει η παραγωγή, αυτή γίνεται πιό αποδοτική ώστε το μέσο μεταβλητό κόστος μειώνεται. Η αύξηση όμως της παραγωγής πέραν κάποιου ορίου έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της παραγωγικότητας λόγω της ανάγκης απασχόλησης του προσωπικού σε υπερωριακή βάση και των μηχανημάτων σε ρυθμούς υψηλότερους από τους κανονικούς με συνέπεια τη μειωμένη απόδοση τους, τη μη επαρκή συντήρηση τους, κλπ. Το μέσο ολικό κόστος είναι το άθροισμα του μέσου σταθερού και του μέσου μεταβλητού κόστους και δείχνει το συνδυασμένο κόστος γιά διάφορα μεγέθη παραγωγής. Το οριακό κόστος (marginal cost) είναι το απαιτούμενο κόστος γιά την παραγωγή μιάς πρόσθετης μονάδας προϊόντος. Αν το οριακό κόστος μιάς παραγόμενης μονάδας είναι μεγαλύτερο (μικρότερο) από το μέσο κόστος παραγωγής των προηγούμενων μονάδων, το κόστος αυτό οδηγεί σε αύξηση (μείωση) του μέσου κόστους παραγωγής. Έτσι, το μέσο ολικό κόστος μειώνεται με το μέγεθος παραγωγής μέχρι να

5 3000 Μέσο και οριακό κόστος 2500 2000 Οριακό κόστος 1500 1000 500 0 Σχήμα 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Μέγεθος παραγωγής Ν Μέσο ολικό κόστος Μέσο μεταβλητό κόστος Μέσο σταθερό κόστος εξισωθεί με το οριακό κόστος ενώ στη συνέχεια αυξάνει. Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι η καμπύλη του οριακού κόστους τέμνει την καμπύλη του μέσου ολικού κόστους (αλλά και του μέσου μεταβλητού κόστους) στην ελάχιστη τιμή του τελευταίου. Αν η συνάρτηση κόστους (μεταβλητού και, κατ επέκταση, ολικού) είναι γραμμική με το μέγεθος παραγωγής, το οριακό κόστος είναι σταθερό. Αντίστοιχα με το οριακό κόστος υπάρχει και το οριακό έσοδο (marginal revenue) και το οριακό κέρδος (marginal profit) παραγωγής. Το οριακό έσοδο (κέρδος) είναι το πρόσθετο έσοδο (κέρδος) από την πώληση μιάς επιπλέον μονάδας προϊόντος. Αν η συνάρτηση του εσόδου (κέρδους) είναι γραμμική με το μέγεθος παραγωγής, το οριακό έσοδο (κέρδος) είναι σταθερό. Στην περίπτωση μη γραμμικών συναρτήσεων κόστους (ή εσόδου) και μεγέθους παραγωγής, είναι πιθανό να υπάρχουν δύο ή περισσότερα οριακά σημεία. Στο σχήμα 3, που αναφέρεται στο παράδειγμα 2, υπάρχουν δύο οριακά σημεία, Β και Β. Η παραγωγή είναι κερδοφόρα στο διάστημα όπου το ακαθάριστο έσοδο είναι μεγαλύτερο από το συνολικό κόστος. Η βέλτιστη τιμή του Ν καθορίζεται από το μέγιστο κέρδος Ζ max. Παράδειγμα 2 Δίνονται Ρ = 15.000 Ν -1/2 δραχμές/παραγόμενη μονάδα, όπου Ν το μέγεθος παραγωγής, V = 680 δραχμές/παραγόμενη μονάδα, και C F = 75.000 δραχμές. Ζητούνται (α) τα οριακά σημεία παραγωγής, και (β) το βέλτιστο μέγεθος παραγωγής.

6 Λύση (α) Τα οριακά σημεία παραγωγής προκύπτουν μηδενίζοντας το κέρδος Ζ (σχήμα 3), ή Z = R - C T = Ν P - (Ν V + C F ) = 15.000 Ν 1/2-680 Ν - 75.000 = 0 15 Ν 1/2 = 0,68 Ν + 75 250000 200000 Έσοδο και κόστος Β' C T = 680 N + 75000 R = 15000 N 1/2 150000 Β 100000 C F = 75000 50000 0 0 50 100 150 200 250 Μέγεθος παραγωγής (α) Διάγραμμα κόστους και εσόδου 10000 Κέρδος 7721 5000 0-5000 0 50 100 150 200 250 Μέγεθος παραγωγής -10000-15000 -20000 (β) Διάγραμμα κέρδους Σχήμα 3

7 Υψώνοντας και τα δύο μέλη της τελευταίας εξίσωσης στο τετράγωνο προκύπτει ή 225 Ν = 0,4624 Ν 2 + 102 Ν + 5625 0,4624 Ν 2-123 Ν + 5625 = 0 Επιλύοντας βρίσκουμε N 123 ± 1232 4 0, 4624 5625 123± 68, 74 = = = 59 η 207. 2 0,4624 0,9248 Επομένως Β = 59 μονάδες, Β = 207 -//-. (β) Το μέγεθος παραγωγής που εξασφαλίζει το μέγιστο κέρδος προκύπτει παραγωγίζοντας τη συνάρτηση κέρδους Ζ ως προς Ν και θέτοντας την ίση με το μηδέν. dz = 7.500 N -1/2-680 = 0 => N opt = 122 μονάδες. dn Το μέγιστο κέρδος είναι 7721 δραχμές. Η συνάρτηση dζ/dν δίνει, όπως προαναφέρθηκε, το οριακό κέρδος, δηλαδή το κέρδος (ή την απώλεια) από την παραγωγή μιας πρόσθετης μονάδας. Αν το μέγεθος παραγωγής ξεπεράσει τη βέλτιστη τιμή του κατά μία μονάδα, η πρόσθετη αυτή μονάδα θα κοστίσει περισσότερο από το έσοδο που θα αποφέρει. Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση των συναρτήσεων παραγωγής γίνεται με τη γνωστές μεθόδους διαφορικού λογισμού. Στο παράδειγμα 2, η βελτιστοποίηση του κέρδους βασίστηκε στην εύρεση του μεγέθους παραγωγής που μηδενίζει την παράγωγο συνάρτηση dz/dν. Οι ίδιες αρχές και μέθοδοι που χρησιμοποιούνται γιά τη βελτιστοποίηση μιάς συνάρτησης μιάς μεταβλητής χρησιμοποιούνται και στην περίπτωση περισσότερων μεταβλητών. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση w = ƒ(x,y), οι συνθήκες που καθορίζουν τη βέλτιστη λύση είναι w = 0, και x w = 0. y Το σημείο (x, y) που προκύπτει από τις παραπάνω σχέσεις οδηγεί σε μεγιστοποίηση της συνάρτησης w αν ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες 2 w 2 w 2 w 2 w 2 w 2 < 0, < 0, > x 2 y 2 x 2 y 2 x y

8 και σε ελαχιστοποίηση αν ικανοποιούνται οι συνθήκες 2 w 2 w 2 w 2 w 2 w 2 > 0, > 0, >. x 2 y 2 x 2 y 2 x y Αν η w είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών x, y και z (π.χ., w = ƒ(x,y,z)), οι αναγκαίες αλλά όχι ικανές συνθήκες γιά βελτιστοποίηση της συνάρτησης αυτής είναι w w w = 0, = 0, = 0, x y z Παράδειγμα 3 Η παραγωγή πλαστικού γιά οικιακές χρήσεις γίνεται με την επεξεργασία των κατάλληλων υλικών σε έναν αναδευτήρα. Ο απαιτούμενος χρόνος ανάδευσης είναι ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας της χωρητικότητας του αναδευτήρα κι αντιστρόφως ανάλογος του τετραγώνου της ισχύος του αναδευτήρα, S 0,5 T = 1000 (1) P 2 όπου T = ο χρόνος επεξεργασίας (ώρες / κύκλο ανάδευσης) S = η χωρητικότητα του αναδευτήρα (Kg) P = η ισχύς του αναδευτήρα (KW). Το κόστος αγοράς του αναδευτήρα εξαρτάται από το μέγεθος του και είναι 320.000 S 0,5 (δραχμές / έτος). Το κόστος της ηλεκτρικής ενέργειας είναι 10 (δραχμές / KWh) ενώ υπάρχει και μιά πάγια χρέωση ανάλογη με την ισχύ του αναδευτήρα που είναι 34.000 Ρ (δραχμές / έτος). Η ετήσια ζήτηση πλαστικού είναι 10.000 τόννοι. Βρείτε το βέλτιστο μέγεθος και τη βέλτιστη ισχύ του αναδευτήρα που πρέπει να χρησιμοποιηθεί. Λύση Ο απαιτούμενος αριθμός των κύκλων ανάδευσης Ν ώστε να παραχθεί σε ένα έτος ποσότητα πλαστικού ίση με τη ζήτηση είναι Το ετήσιο κόστος παραγωγής είναι 10 7 Ν =. (2) S ώρες κύκλοι δρχ C = 320.000 S 0,5 + Τ Ν Ρ (KW) 10 + 34.000 Ρ. (3) κύκλο έτος KWh Αντικαθιστώντας το Τ από την (1) και το Ν από τη (2) προκύπτει C = 320.000 S 0,5 + 10 11 Ρ -1 S -0,5 + 34.000 Ρ. (4) Το ελάχιστο κόστος προκύπτει μηδενίζοντας τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης κόστους (4) ως προς τα Ρ και S,

C = 0 = 160.000 S -0,5-5 10 10 Ρ -1 S -1,5 => Ρ S = 312.500 (5) S 9 C = 0 = -10 11 Ρ -2 S -0,5 + 34.000 => Ρ 2 S 0,5 = 2,941 10 6 (6) Ρ Επιλύοντας τις (5) και (6) βρίσκουμε S = 1033 Kg (χωρητικότητα αναδευτήρα) και Ρ = 302,5 KW (ισχύς αναδευτήρα ). Ο χρόνος κύκλου ανάδευσης είναι S 0,5 1033 0,5 T = 1000 = = 0,351 ώρες P 2 302,5 2 κι ο συνολικός ετήσιος χρόνος λειτουργίας του αναδευτήρα είναι 10 7 (Kg) 0,351 (ώρες/κύκλο) = 3400 ώρες 1033 (Kg/κύκλο) ή ποσοστό χρησιμοποίησης 3400 = 39%. 24 365 Βελτιστοποίηση συναρτήσεων υπό περιορισμούς Μιά χρήσιμη μέθοδος γιά την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης με δεδομένους περιορισμούς είναι αυτή των πολλαπλασιαστών Lagrange (Γάλλος μαθηματικός, 1736-1813). Η μέθοδος εφαρμόζεται σε γραμμικές ή μη γραμμικές συναρτήσεις μιάς ή περισσοτέρων μεταβλητών, η αξία δε της μεθόδου είναι σημαντική στην περίπτωση μη γραμμικών συναρτήσεων με πολλές μεταβλητές. Ας θεωρήσουμε τη αντικειμενική συνάρτηση (objective function) w = F(x, y, z) (1) την οποία θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε υπό τους περιορισμούς (restraints) ƒ 1 (x, y, z) = 0, (2) ƒ 2 (x, y, z) = 0. (3) Σε ιδανικές περιπτώσεις, οι εξισώσεις (2) και (3) μπορούν να χρησιμοποιηθούν γιά την απαλοιφή δύο ανεξάρτητων μεταβλητών (π.χ., x και y) από την αντικειμενική συνάρτηση (1). Αυτό δεν είναι όμως πάντα εφικτό ή εύκολο. Η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange έχει γενική εφαρμογή και καταλήγει (συνήθως) σε αναλυτική λύση. Σύμφωνα με τη μέθοδο, δημιουργούμε τη συνάρτηση Lagrange LE = F(x, y, z) + λ 1 ƒ 1 (x, y, z) + λ 2 ƒ 2 (x, y, z) (4)

10 που περιέχει την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς πολλαπλασιασμένους με τους συντελεστές λ 1 και λ 2 οι οποίοι καλούνται πολλαπλασιαστές Lagrange (υπάρχει ένας συντελεστής γιά κάθε περιορισμό). Τα σημεία (x, y, z) που βελτιστοποιούν την (1) βελτιστοποιούν επίσης και την (4) (αφού γιά αυτά τη σημεία ισχύουν οι περιορισμοί (2) και (3)). Η συνάρτηση Lagrange έχει πέντε ανεξάρτητες μεταβλητές, τις τρείς αρχικές (x, y, z) και τους πολλαπλασιαστές λ 1 και λ 2. Η βέλτιστη τιμή της προκύπτει από τις σχέσεις : LE LE LE LE LE = 0, = 0, = 0, = 0, = 0. x y z λ 1 λ 2 Η συνάρτηση Lagrange περικλείει τους περιορισμούς σε μία σχέση και είναι γενικά ευκολότερη η βελτιστοποίηση αυτής παρά της αρχικής συνάρτησης με τους δοθέντες περιορισμούς. Παράδειγμα 4 Τα κόστη τριών μηχανών Α, Β και Γ δίνονται σα συνάρτηση των αντιστοίχων μεγεθών παραγωγής ενός προϊόντος από τις παρακάτω σχέσεις : C ΤΑ = 60 Ν 1,1 Α + 1.200.000 (1) C ΤΒ = 20 Ν 1,3 Β + 1.000.000 (2) C ΤΓ = 2 Ν 1,6 Γ + 600.000 (3) Αν απαιτείται παραγωγή 400 μονάδων, πώς πρέπει να καταμεριστεί αυτή στις τρεις μηχανές ώστε να προκύψει το ελάχιστο κόστος παραγωγής; Λύση Έστω ότι οι τρεις μηχανές θα παράγουν αντίστοιχα Ν Α, Ν Β και Ν Γ μονάδες. Πρέπει Ν Α + Ν Β + Ν Γ = 400. (4) Το συνολικό κόστος παραγωγής είναι C Τ = C ΤΑ + C ΤΒ + C ΤΓ = 60 Ν Α 1,1 + 20 Ν Β 1,3 + 2 Ν Γ 1,6 + 2.800.000. (5) Το πρόβλημα είναι να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση (5) υπό τον περιορισμό της σχέσης (4). Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Σύμφωνα με αυτή δημιουργούμε τη συνάρτηση LE = 60 Ν Α 1,1 + 20 Ν Β 1,3 + 2 Ν Γ 1,6 + 2.800.000 + λ (Ν Α + Ν Β + Ν Γ - 400). (6) Για να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της LE, οι μερικές παράγωγοι τίθενται ίσες με μηδέν. LE = 66 Ν Α 0,1 + λ = 0, (7) Ν Α LE = 26 Ν Β 0,3 + λ = 0, (8) Ν Β LE = 3,2 Ν Γ 0,6 + λ = 0, (9) Ν Γ

LE = Ν Α + Ν Β + Ν Γ - 400 = 0. (10) λ Από τις εξισώσεις (7) - (9) προκύπτει ότι 11 66 Ν Α 0,1 = 26 Ν Β 0,3 = 3,2 Ν Γ 0,6 (11) Αυτό όμως, λαμβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις (1), (2) και (3), είναι ισοδύναμο του C ΤΑ C ΤΒ C ΤΓ = = (12) Ν Α Ν Β Ν Γ Το αποτέλεσμα δείχνει ότι το ελάχιστο κόστος προκύπτει όταν το οριακό κόστος παραγωγής είναι το ίδιο και γιά τις τρεις μηχανές. Το σχήμα 4 παρουσιάζει το οριακό κόστος κάθε μηχανής σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής. Η βέλτιστη οικονομικά απόδοση επιτυγχάνεται χαράζοντας μια οριζόντια γραμμή (ίσα οριακά κόστη) και διαβάζοντας την παραγωγή της κάθε μηχανής (τιμή του άξονα x που αντιστοιχεί στα σημεία τομής της οριζόντιας γραμμής με τις καμπύλες οριακού κόστους). Η οριζόντια γραμμή μετακινείται κατακόρυφα μέχρι τη θέση στην οποία το άθροισμα των επιμέρους παραγωγών εξασφαλίζει τη συνολική επιθυμητή παραγωγή. Το πρόβλημα επιλύεται και αναλυτικά από τις εξισώσεις (4) και (11). Έχουμε τελικά Ν Α = 39, Ν Β = 75, Ν Γ = 285 και λ = 95. Το οριακό κόστος γιά αυτή την κατανομή είναι 95 χρηματικές μονάδες. 150 100 Οριακό κόστος 95 Β Γ Α 50 0 0 100 200 300 400 500 Μέγεθος παραγωγής Σχήμα 4

12 Προβλήματα 1. Κάθε μεταβολή στα κόστη ή στην τιμή πώλησης ενός αγαθού επηρεάζει το οριακό σημείο παραγωγής. Η μετακίνηση του οριακού σημείου προς μικρότερα μεγέθη παραγωγής είναι πάντοτε επιθυμητή. Στην περίπτωση που αυτό επιτευχθεί, το κόστος παραγωγής μπορεί να καλυφθεί ακόμα και γιά μικρά μεγέθη παραγωγής και τα περιθώρια κέρδους είναι μεγαλύτερα. Η μείωση του οριακού μεγέθους παραγωγής γίνεται με μείωση του κόστους ή αύξηση της τιμής πώλησης. Θεωρείστε μιά παραγωγική διαδικασία όπου το σταθερό κόστος παραγωγής είναι 400.000 δραχμές, το μεταβλητό κόστος 7.000 δραχμές/μονάδα παραγόμενου προϊόντος και η τιμής πώλησης του προϊόντος 12.000 δραχμές. Σχεδιάστε το διάγραμμα κόστους και εσόδου σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής και καθορίστε το οριακό μέγεθος παραγωγής. Υποθέστε ότι θέλουμε να μειώσουμε το οριακό μέγεθος παραγωγής στο μισό της παραπάνω τιμής κι εξετάζουμε εναλλακτικούς τρόπους επίτευξης αυτού του στόχου. α. Πόση πρέπει να είναι η μείωση του σταθερού κόστους γιά να επιτύχουμε τη μείωση του οριακού μεγέθους; β. Πόση πρέπει να είναι η μείωση του μεταβλητού κόστους γιά να επιτύχουμε τη μείωση του οριακού μεγέθους; γ. Πόση πρέπει να είναι η αύξηση της τιμής πώλησης γιά να επιτύχουμε τη μείωση του οριακού μεγέθους; Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις σχεδιάστε τα διαγράμματα κόστους και εσόδου σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής. 2. Μιά επιχείρηση πουλάει 1000 τεμάχια ενός προϊόντος την εβδομάδα. Το σταθερό κόστος παραγωγής είναι 1.000.000 δραχμές/εβδομάδα, το συνολικό άμεσο κόστος (γιά τα 1000 τεμάχια) 500.000 δραχμές/εβδομάδα και το κέρδος 2.000.000 δραχμές/εβδομάδα. Αν το σταθερό κόστος αυξηθεί κατά 15%, πόσο πρέπει να αυξηθεί η τιμή πώλησης του προϊόντος ώστε γιά το ίδιο μέγεθος παραγωγής (1000 τεμάχια ανά εβδομάδα) το κέρδος να παραμείνει αμετάβλητο; 3. Το σταθερό κόστος παραγωγής ενός προϊόντος είναι C F = 2.000.000. Το άμεσο κόστος δίνεται σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής Ν από τη σχέση V = 0,05Ν + 40. Η τιμή πώλησης της μονάδας του προϊόντος εξαρτάται από το μέγεθος της παραγωγής και δίνεται από τη σχέση Ρ = 1.000-0,01 Ν. Σχεδιάστε τις καμπύλες κόστους και ακαθάριστου εσόδου σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής (περιοριστείτε στο διάστημα 0 < Ν < 15.000). Καθορίστε τα οριακά σημεία γιά τα οποία το κέρδος είναι μηδενικό. Καθορίστε το βέλτιστο σημείο παραγωγής και το μέγιστο κέρδος. Καθορίστε τέλος το μέγεθος παραγωγής που ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος παραγωγής (C Τ /Ν). Σχεδιάστε σε ένα διάγραμμα τις καμπύλες του μέσου κόστους, του οριακού κόστους, του οριακού εσόδου και του οριακού κέρδους σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής. 4. Το οριακό έσοδο από την παραγωγή ενός εξαρτήματος δίνεται από τη σχέση Οριακό έσοδο = 10.000-2 Ν

13 όπου Ν ο αριθμός των παραγόμενων εξαρτημάτων σε μία περίοδο. Το συνολικό κόστος παραγωγής (σταθερό συν άμεσο κόστος) δίνεται από τη σχέση Συνολικό κόστος = 0,02 Ν 2 + 10 6. Βρείτε (α) το οριακό μέγεθος παραγωγής, (β) το μέγεθος παραγωγής που αποφέρει το μέγιστο κέρδος, και (γ) το μέγεθος παραγωγής που αντιστοιχεί στο ελάχιστο μέσο κόστος. 5. Μιά εταιρία πετρελαίου γνωρίζει ότι κατά τη διάνοιξη γεωτρήσεων γιά άντληση πετρελαίου σε μιά δεδομένη σύσταση εδάφους, η απόδοση της κεφαλής του γεωτρύπανου, σε βάθος γεώτρησης, εξαρτάται από το χρόνο χρησιμοποίησης της και δίνεται από τη σχέση B = 300 T 0,5 όπου B = το αθροιστικό βάθος γεώτρησης (μέτρα) και T = ο χρόνος γεώτρησης (ημέρες). Το σταθερό κόστος της γεώτρησης είναι 850.000 δραχμές ανά ημέρα. Το κόστος της κεφαλής είναι 2.100.000 δραχμές και ο απαιτούμενος χρόνος αλλαγής της κεφαλής 18 ώρες ή 0,75 ημέρες. Η γεώτρηση γίνεται σε 24ωρη βάση. (α) Βρείτε το βέλτιστο χρόνο αντικατάστασης της κεφαλής ώστε να προκύπτει το ελάχιστο μηνιαίο κόστος αν το απαιτούμενο βάθος γεώτρησης είναι 2000 μέτρα το μήνα. (β) Βρείτε το βέλτιστο χρόνο αντικατάστασης της κεφαλής ώστε να προκύπτει το ελάχιστο μηνιαίο κόστος αν το απαιτούμενο βάθος γεώτρησης είναι 5000 μέτρα το μήνα. (γ) Βρείτε το βέλτιστο χρόνο αντικατάστασης της κεφαλής ώστε να επιτυγχάνεται το μέγιστο βάθος γεώτρησης ανά μήνα χωρίς να εξετάζεται το κόστος. (δ) Αν η εταιρία έχει απόδοση 12.000 δραχμών ανά μέτρο βάθους γεώτρησης, βρείτε το βέλτιστο χρόνο αντικατάστασης της κεφαλής ώστε να προκύπτει το μέγιστο κέρδος. 6. Μιά δεξαμενή μεταφοράς υγρών φορτίων έχει κυλινδρική διατομή διαμέτρου Χ και κάθε άκρο του κυλίνδρου κλείνει με ένα ημισφαίριο (διαμέτρου επίσης Χ). Το κόστος του κυλινδρικού κομματιού είναι 360.000 Χ 0,5 δραχμές ανά μέτρο μήκους και το κόστος κάθε ημισφαιρίου είναι 280.000 Χ 2,4 δραχμές. Ο απαιτούμενος όγκος της δεξαμενής είναι 40 μ 3. Βρείτε τις βέλτιστες διαστάσεις της δεξαμενής και το αντίστοιχο κόστος. Ο όγκος σφαίρας ακτίνας R δίνεται από τη σχέση 4/3 πr 3. 7. Ένας ιδιώτης κατέχει ένα τμήμα γής σχήματος ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 40 και 30 μ. και υποτείνουσα 50 μ. Ο ιδιώτης επιθυμεί να χτίσει μιά κατοικία σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου μέσα στο οικόπεδο με τη μέγιστη δυνατή επιφάνεια. Βρείτε την πλευρά της κατοικίας χρησιμοποιώντας (α) συνήθη διαφορική ανάλυση, και (β) τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange.

14 8. Μεγιστοποιήστε τη συνάρτηση z = x y υπό τον περιορισμό ότι τα x και y βρίσκονται επί κύκλου ακτίνας 5, δηλαδή x 2 + y 2 = 5 2. Χρησιμοποιήστε (α) διαφορική ανάλυση και (β) πολλαπλασιαστές Lagrange. 9. Στο παράδειγμα 4 του παρόντος κεφαλαίου, η εκφώνηση υπονοεί ότι οι μηχανές είναι ήδη διαθέσιμες και ζητείται ο καταμερισμός της εργασίας μεταξύ αυτών. Υποθέτουμε εδώ ότι η εταιρία δεν κατέχει αλλά πρόκειται να αγοράσει μία ή περισσότερες από τις μηχανές Α, Β και Γ γιά την παραγωγή του εξεταζόμενου προϊόντος. Ποιά είναι η βέλτιστη επιλογή αγοράς μηχανής ή μηχανών και, στη δεύτερη περίπτωση, ποιός είναι ο βέλτιστος καταμερισμός παραγωγής ώστε να προκύψει το ελάχιστο (μέσο) κόστος παραγωγής; Στην απάντηση θα βοηθήσει η σχεδίαση ενός γραφήματος του κόστους παραγωγής κάθε μηχανής σα συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής. Ποιό είναι το μέσο κόστος παραγωγής και πώς συγκρίνεται αυτό με το αντίστοιχο του παραδείγματος 4; 10. Μιά μηχανή μπορεί να παράγει ανά ώρα 1.000 κομμάτια του προϊόντος Α ή 2.000 κομμάτια του προϊόντος Β. Ο συνολικός χρόνος χρήσης της μηχανής είναι 2.400 ώρες/έτος. Το ετήσιο σταθερό κόστος της μηχανής είναι 8.000.000 δραχμές. Τα υπόλοιπα δεδομένα του προβλήματος δίνονται στον παρακάτω πίνακα, ------------------------------------------------------------------------------ Μεταβλητό κόστος Τιμή πώλησης ανά παραγόμενη μονάδα Προϊόν (δρχ/μονάδα) (δρχ/μονάδα) ------------------------------------------------------------------------------ Α 6Ν Α 10-6 + 20 50 Β 15 20 ------------------------------------------------------------------------------ όπου Ν Α είναι η ετήσια παραγωγή του προϊόντος Α. Βρείτε την κατανομή παραγωγής που δίνει το μέγιστο ετήσιο κέρδος.