Ορµή 1. Ένα αυτοκίνητο μάζας 1000 kg κινείται με ταχύτητα 72 km/h. Κάποια στιγμή προσκρούει σε τοίχο και σταματάει. Αν η διάρκεια της σύγκρουσης είναι 0,2 s να βρείτε α) Την μεταβολή της ορμής του β) Τη μέση δύναμη που ασκήθηκε στον τοίχο [απ. 20.000 kg m/s, 100.000 N] 2. Μια μπάλα μάζας =0,4 kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα, με ταχύτητα μέτρου 5 m/s. Η μπάλα συγκρούεται με τοίχο και αντιστρέφεται η κίνησή της με ταχύτητα μέτρου 4 m/s. Να βρείτε α) τη μεταβολή της ορμής της μπάλας β) τη μέση δύναμη που ασκείται στη μπάλα από τον τοίχο, αν η επαφή της μπάλας τοίχου διαρκεί Δ =5 ms [απ. α) Δ = 3,6 kg m/s, β) = 720 N] 3. Ένα κινητό αρχίζει να κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο υπό την επίδραση σταθερής δύναμης. Η ορμή του, συναρτήσει του χρόνου, παριστάνεται στη γραφική παράσταση. Να βρείτε α) τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του β) την συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σώμα. [απ. 2 kg m/s, 2 N] 4. Ένας σωλήνας κάμπτεται κατά ορθή γωνία. Μέσα στο σωλήνα κινείται μικρή σφαίρα μάζας =1 kg. Η ταχύτητα της σφαίρας πριν από τη στροφή είναι =40 m/s και μετά την στροφή =30 m/s. Αν η στροφή διαρκεί Δ =0,01 s, να βρείτε τη μέση δύναμη που ασκεί ο σωλήνας στη σφαίρα. [απ. 5.000 Ν, εφ =4/3] 5. Από ύψος =1,8 m πάνω από οριζόντιο δάπεδο εκτοξεύεται προς τα κάτω, με αρχική ταχύτητα μέτρου =8 m/s, μεταλλική σφαίρα μάζας =1 kg. Η σφαίρα αφού προσκρούει στο δάπεδο αναστρέφει την κίνησή της με ταχύτητα μέτρου =6 m/s. Η διάρκεια επαφής σφαίρας δαπέδου είναι ίση με Δ =0,1 s. Να βρείτε α) την ορμή σφαίρας τη στιγμή που φθάνει στο δάπεδο β) τη μέση δύναμη που ασκήθηκε από το δάπεδο στη σφαίρα [απ. α) = 10 kg m/s β) =170 N] 6. Ξύλινος κύβος έχει μάζα =9 kg και ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας =1 kg, που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου =100 m/s, σφηνώνεται ακαριαία στον κύβο. α) Πόσο είναι το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση; β) Πόσο είναι το επί τοις % ποσοστό της κινητικής ενέργειας που έχασε το σύστημα κατά την κρούση; γ) Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κύβου και επιπέδου είναι =0,5, να βρείτε πόσο διάστημα θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. [απ. α) 10 m/s β) 90% γ) 10 m] 7. Ένας άνθρωπος μάζας =60 kg στέκεται στην επιφάνεια παγωμένης λίμνης κρατώντας μια πέτρα μάζας =0,5 kg. Η απόσταση του ανθρώπου από την πλησιέστερη όχθη της λίμνης είναι =40 m. Για να φτάσει ο άνθρωπος στην όχθη ρίχνει την πέτρα οριζόντια προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αν ο άνθρωπος έφτασε στην όχθη σε χρόνο =2 min, να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας της πέτρας. Τριβές δεν υπάρχουν. [απ. 40 m/s]
8. Διαστημόπλοιο μάζας =2000 kg κινείται στο διάστημα με ταχύτητα μέτρου 6 km/s. Ξαφνικά χωρίζεται, με έκρηξη σε δύο ίσες μάζες που εξακολουθούν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Αν το μέτρο της ταχύτητα της μιας μάζας είναι 2 km/s, να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας της άλλης μάζας. [απ. 10 km/s] 9. Ξύλινος κύβος μάζας =2 kg ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας =0,2 kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου =200 m/s εναντίον του κύβου. Το βλήμα βγαίνει από τον κύβο με ταχύτητα μέτρου =100 m/s. Μετά την κρούση ο κύβος ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και σταματάει αφού διανύσει διάστημα =20 m. Να βρείτε α) την απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση β) το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και επιπέδου. [απ. α) 2.900 J β) =0,25] 10. Ένα βλήμα μάζας =100 g κινείται οριζόντια και σφηνώνεται στο κέντρο ενός ξύλινου κιβωτίου μάζας =1,9 kg, το οποίο ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Αμέσως μετά το σφήνωμα του βλήματος, το σύστημα σώμα-βλήμα έχει ταχύτητα 10 m/s. Να βρεθεί το μέτρο η ταχύτητα του βλήματος λίγο πριν σφηνωθεί στο σώμα. [απ. 200 m/s] 11. Άνθρωπος μάζας =80 kg στέκεται σε παγωμένη λίμνη και πετάει οριζόντια μια μπάλα μάζας =4 kg με ταχύτητα =8 m/s. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των παπουτσιών του ανθρώπου και του πάγου είναι =0,01, να βρείτε α) σε πόσο χρόνο ο άνθρωπος θα σταματήσει β) πόσο διάστημα θα έχει διατρέξει μέχρι να σταματήσει. [απ. α) 4 m, β) 0,8 m] 12. Σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα μέτρου 60 m/s. Όταν φτάνει στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του διασπάται σε δύο κομμάτια που το ένα έχει διπλάσια μάζα και οριζόντια ταχύτητα με μέτρο 10 m/s. Πόσο θα απέχουν τα δύο σώματα όταν φτάσουν στο έδαφος και με τι διαφορά χρόνου φτάνουν. [απ. 180 m, 0 s] 13. Ένα βλήμα μάζας =2 kg και ταχύτητας 100 m/s συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητο ξύλο μάζας =8 kg. α) Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β) Πόση είναι η μείωση της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση; [απ. α) =20 m/s, β) 8.000 J ] 14. Δύο σφαίρες Α και Β έχουν μάζες =2 kg και =3 kg, αντίστοιχα, κινούνται ευθύγραμμα πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά την διεύθυνση του άξονα. Η σφαίρα Α κινείται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα, με ταχύτητα =+10 m/s ενώ η σφαίρα κινείται κατά την αρνητική κατεύθυνση του άξονα με ταχύτητα = 5 m/s. Οι σφαίρες συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Να βρείτε α) την ταχύτητα του συσσωματώματος των σφαιρών. β) τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος των δύο σφαιρών γ) τη μέση δύναμη που ασκήθηκε στη σφαίρα Α και στην σφαίρα Β, αν η διάρκεια της κρούσης είναι Δ =0,1 s [απ. α) =+1 m/s, β) Δ = 135 J, γ) = 180 N, =+180 N] 15. Ένα βλήμα κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου και ξαφνικά διασπάται σε δύο κομμάτια ί- σης μάζας. Το ένα κομμάτι κινείται κάθετα προς την αρχική διεύθυνση της κίνησης του βλήματος με ταχύτητα μέτρου 2. Να βρεθεί το μέτρο και η κατεύθυνση του άλλου κομματιού. [απ. 2 2, 45 ο ] 16. Ένα ακίνητο σώμα διασπάται με έκρηξη σε τρία κομμάτια Α,Β και Γ. Τα κομμάτια Α και Β έχουν ίσες μάζες και φεύγουν σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες μέτρων 20 m/s και 20 3m/s, α-
ντίστοιχα. Το κομμάτι Γ έχει μάζα τετραπλάσια από την μάζα του κομματιού Α. Να υπολογιστεί το μέτρο και η κατεύθυνση του κομματιού Γ. [απ. 10 m/s, 60 o ] 17. Ένα δοχείο μάζας =1,5 kg είναι ανοιχτό στο πάνω μέρος του και κινείται με ταχύτητα υ ο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή, λόγω βροχής αρχίζει να πέφτει στο δοχείο νερό με 3 ρυθμό 1,2 kg/min. Μετά από πόσο χρόνο η ταχύτητα του δοχείου θα είναι υ 0 4. Να θεωρηθεί ότι το νερό της βροχής πέφτει κατακόρυφα. [απ. 25 s] 18. Ξύλινος κύβος μάζας =1950 είναι στερεωμένος στη μια άκρη Γ αβαρούς ράβδου της οποίας η άλλη άκρη Α μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το Α. Ο κύβος ισορροπεί όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη. Ένα βλήμα μάζας =50 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα =80 m/s και σφηνώνεται σχεδόν ακαριαία στο κέντρο μάζας του κύβου προκαλώντας την ανύψωση κατά h. Να βρείτε α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος βλήμα κύβος, αμέσως μετά την κρούση. β) την ανύψωση h του κύβου. γ) το επί τοις % ποσοστό της απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος βλήμα-κύβος κατά την κρούση. [απ. α) =2 m/s, β) h=0,2 m, γ) 97,5%] 19. Ένα κομμάτι ξύλο μάζας =1,9 kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους =0,9 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Το ξύλο ισορροπεί με το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Βλήμα μάζας =0,1 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, σφηνώνεται σχεδόν ακαριαία στο ξύλο. Το σύστημα βλήμα ξύλο ανυψώνεται μέχρι το σημείο που η μέγιστη απόκλιση του νήματος από την αρχική κατακόρυφη θέση του να γίνει =60. Να υπολογίσετε α) το μέτρο της ταχύτητας του συστήματος βλήμα-ξύλο, αμέσως μετά την κρούση. β) το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος λίγο πριν την κρούση. γ) το επί τοις % ποσοστό της ελάττωσης της κινητικής ενέργειας του συστήματος βλήμα-ξύλο κατά την κρούση. [απ. α) =3 m/s, β) =60 m/s, γ) 95%] 20. Ένα σώμα Σ 1 μάζας =2 kg εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα =5 m/s από ένα σημείο ενός τραπεζιού και κινείται πάνω σ αυτό. Το σώμα Σ 1, αφού διανύσει διάστημα =2,25 m πάνω στο τραπέζι, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,2, φτάνει στο άκρο του τραπεζιού και συγκρούεται πλαστικά με δεύτερο σώμα Σ 2, ίσης μάζας με το σώμα Σ 1, το οποίο ήταν ακίνητο στο σημείο αυτό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το συσσωμάτωμα εκτελεί οριζόντια βολή και πέφτει στο δάπεδο σε απόσταση =1 m από τη βάση του τραπεζιού. Να υπολογίσετε : α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, β) το ύψος του τραπεζιού, γ) το συνολικό ποσό της ενέργειας που μεταφέρθηκε ως θερμότητα στο περιβάλλον εξαιτίας της τριβής ολίσθησης και εξαιτίας της πλαστικής κρούσης. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας =10 m/s. Θεωρήστε αμελητέα την αντίσταση του αέρα. [απ. α) =2 m/s, β) h=1,25 m, γ) =9 J, =8 J]
21. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα σώμα Σ 1 μάζας =2 kg, το οποίο αφήνεται να κινηθεί από το ανώτερο σημείο Α ενός λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας =0,45 m. Τι χρονική στιγμή που το σώμα Σ 1 φτάνει στο κατώτερο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας = =2 kg, το οποίο κινείται με ταχύτητα αντίθετης φοράς από το σώμα Σ 1. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται εξαιτίας της κρούσης κινείται ανεβαίνοντας στο τεταρτοκύκλιο και η ταχύτητα του μηδενίζεται εξαιτίας της κρούσης κινείται ανεβαίνοντας στο τεταρτοκύκλιο και η ταχύτητά του μηδενίζεται στιγμιαία στο σημείο Δ, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=0,2 m από το οριζόντιο επίπεδο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 1 ελάχιστα πριν την κρούση, β) το μέτρο της δύναμης που δέχεται το συσσωμάτωμα από το τεταρτοκύκλιο τη χρονική στιγμή αμέσως μετά την κρούση, οπότε και αρχίζει να ανεβαίνει στο τεταρτοκύκλιο, γ) τη θερμότητα που εκλύεται εξαιτίας της πλαστικής κρούσης των δύο σωμάτων. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας =10 m/s. [απ. α) =3 m/s, β) = Ν, γ) =50 J] 22. Βλήμα μάζας =50 g κινούμενο με ταχύτητα μέτρου =200 m/s συγκρούεται και διαπερνά ένα μικρό κιβώτιο μάζας =20 kg, που είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Το βλήμα διαπερνά το κιβώτιο σε χρόνο Δ =0,2 s και εξέρχεται από αυτό με οριζόντια ταχύτητα =50 m/s. Να υπολογίσετε : α) το μέτρο της ταχύτητας που αποκτά το κιβώτιο εξαιτίας της κρούσης, β) ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του βλήματος κατά τη διάρκεια της κίνησής του μέσα στο κιβώτιο, γ) το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχθηκε το κιβώτιο από το βλήμα κατά τη διάρκεια της κίνησής του μέσα σε αυτό. [απ. α) =0,375 m/s, β) 37,5 Ν, γ) 37,5 Ν] 23. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα βλήμα μάζας = 0,4 kg που κινείται παράλληλα σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης (ημ =0,6 και συν =0,8) και το ο- ποίο σφηνώνεται σε ακίνητο σώμα μάζας =4,6 kg, έχοντας ελάχιστα πριν την κρούση κινητική ενέργεια =12.500 J. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται εμφανίζει με το κεκλιμένο επίπεδο συντελεστή τριβής =0,5. Να υπολογίσετε : α) το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος ελάχιστα πριν την κρούση με το σώμα μάζας M, β) το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, γ) το μέγιστο ύψος από το σημείο της κρούσης στο οποίο θα φτάσει το συσσωμάτωμα. Δίνεται : =10 m/s [απ. α) =250 m/s, β) =100 kg, γ) h =12 m]
24. Σώμα μάζας =4,8 kg στηρίζεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης =30. Βλήμα μάζας =0,2 kg, κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα =200 m/s, σφηνώνεται στο σώμα. Αν υποθέσουμε ότι το σφήνωμα του βλήματος γίνεται ακαριαία, να βρείτε πόσο θα μετακινηθεί το συσσωμάτωμα που σχηματίζεται, αν α) μεταξύ σώματος και κεκλιμένο επιπέδου δεν υπάρχει τριβή. β) ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου είναι =. [απ. α) =4,8 m, β) =3,2 m] 25. Δύο σώμα (1) και (2) με μάζες =4 kg και =1 kg αντίστοιχα κινούνται σε οριζόντιο δάπεδο με το οποίο εμφανίζουν τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,2 και ελάχιστα πριν συγκρουστούν έχουν ταχύτητες μέτρου 2 m/s και 10 m/s αντίστοιχα, αντίθετης φοράς. Τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά τη χρονική στιγμή =0 και από τη σύγκρουσή τους δε δημιουργείται συσσωμάτωμα. Το σώμα (1) ελάχιστα μετά τη σύγκρουση έχει ταχύτητα μέτρου 1 m/s και κατεύθυνσης αντίθετης από αυτή που είχε ελάχιστα πριν την κρούση. Να υπολογίσετε την απόσταση τω δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή που ακινητοποιείται εξαιτίας της τριβής ολίσθησης: α) το σώμα (1), β) το σώμα (2). Δίνεται : =10 m/s [απ. α) =1 m, β) =1,25 m] 26. Μια οβίδα μάζας εκτοξεύεται προς τα πάνω με ταχύτητα =60 m/s και μόλις φτάνει στο μέγιστο ύψος της εκρήγνυται σε δύο θραύσματα (1) και (2) με μάζες και αντίστοιχα με =3. Το θραύσμα (1) αμέσως μετά την έκρηξη έχει οριζόντια ταχύτητα και πέφτει στο έ- δαφος σε σημείο Α που απέχει απόσταση =1.200 m από το σημείο Β του εδάφους που πέφτει το θραύσμα (2). α) Να υπολογίσετε το ύψος στο οποίο έγινε η έκρηξη. β) Να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων και των θραυσμάτων αμέσως μετά την έ- κρηξη [απ. α) h=180 m, β) 50 m/s, 150 m/s 27. Ένα βλήμα μάζας =20 g κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σε ακίνητο σώμα μάζας = 4,98 kg έχοντας ελάχιστα πριν την κρούση ταχύτητα μέτρου 500 m/s. Ο συντελεστής τριβής ο- λίσθησης μεταξύ του συσσωματώματος και του δαπέδου ισούται με =0,2. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, β) το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση ώσπου να ακινητοποιηθεί, γ) το λόγο της θερμικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης προς τη θερμική ενέργεια εξαιτίας της τριβής ολίσθησης στη χρονική διάρκεια της κίνησης του συσσωματώματος ώσπου αυτό να σταματήσει. Δίνεται : =10 m/s [απ. α) =2 m/s, β) =1 m, γ) 249]
28. Σώμα μάζας =1 kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου =10 m/s σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά με ακίνητο σώμα μάζας =2 kg, χωρίς να δημιουργηθεί συσσωμάτωμα. Εξαιτίας της κρούσης το πρώτο σώμα ακινητοποιείται. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του δευτέρου σώματος αμέσως μετά την κρούση β) την απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος εξαιτίας της κρούσης. [απ. α) 5 m/s, β) 25 J] 29. Μια μπίλια μάζας =2 kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου 12 m/s και συγκρούεται μετωπικά με δεύτερη ακίνητη μπίλια μάζας =5 kg. Εξαιτίας της κρούσης οι δύο μπίλιες αποκτούν αντίθετες ταχύτητες. Να υπολογίσετε : α) το μέτρο της ταχύτητας κάθε μπίλιας μετά την κρούση β) τη μεταβολή της ορμής της πρώτης μπίλιας. [απ. α) 8 m/s, β) Δ = 40 kg m/s] 30. Σώμα μάζας κινείται οριζόντια με ταχύτητα και σφηνώνεται σε ακίνητο σώμα μάζας = 3 kg που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Το μέτρο της ορμής του σώματος πριν την κρούση είναι τριπλάσιο του μέτρου της ορμής του δευτέρου σώματος αμέσως μετά την κρούση. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,1 και κινείται για χρόνο =4, ώσπου σταματά. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, β) τη μάζα m του πρώτου σώματος. Δίνεται g=10 m/s [απ. α) =4 m/s, β) =6 kg] 31. Δύο σώματα με μάζες =4 kg και =6 kg αντίστοιχα κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο πλησιάζοντας το ένα προς το άλλο και ελάχιστα πριν συγκρουστούν μετωπικά και πλαστικά έχουν αντίθετες ταχύτητες. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει μετά την κρούση εμφανίζει με τον ευθύγραμμο δρόμο συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,1 και ακινητοποιείται έχοντας διανύσει μετά την κρούση διάστημα =0,5 m. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, β) το μέτρο της ταχύτητας των δύο σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση. Δίνεται g=10 m/s [απ. α) =1 m/s, β) =5 m/s] 32. Ένα σώμα μάζας =6 kg κινείται σε οριζόντιο δρόμο και τη χρονική στιγμή =0 συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας =4 kg. Η απώλεια κινητικής ενέργειας εξαιτίας της πλαστικής κρούσης ισούται με 30 J. Αν το συσσωμάτωμα εμφανίζει με το οριζόντιο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,25, να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος m ελάχιστα πριν την πλαστική κρούση, β) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος κατά την διάρκεια της κίνησής του στο οριζόντιο επίπεδο, γ) τη χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται. Δίνεται =10 m/s [απ. α) 5 m/s, β) 25 kg m/s, γ) 1,2 s] 33. Ένα βλήμα μάζας =0,1 kg κινούμενο με ταχύτητα μέτρου 300 m/s συγκρούεται κεντρικά με αρχικά ακίνητο σώμα μάζας =2 kg, που βρίσκεται σε οριζόντιο δάπεδο. Μετά την κρούση το βλήμα εξέρχεται από το σώμα με ταχύτητα μέτρου 100 m/s, ενώ το σώμα μάζας αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο δάπεδο και σταματά αφού διανύσει διάστημα =20 m. Να υπολογίσετε: α) το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος μάζας και δαπέδου, β) την απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος βλήμα σώμα εξαιτίας της κρούσης [απ. α) =0,25, β) 3.900 J]
34. Σφαίρα μάζας m=1 kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h =5 m πάνω σε δίσκο μάζας =10 kg ο οποίος ισορροπεί στερεωμένος στην άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = 1.000 Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά με το δίσκο και η διάρκεια της κρούσης είναι πάρα πολύ μικρή. Μετά την κρούση της η σφαίρα φθάνει σε ύψος h =1,25 m. Να βρείτε α) τα μέτρα των ταχυτήτων της σφαίρας και του δίσκου αμέσως μετά την κρούση. β) το επί τοις % ποσοστό της κινητικής ενέργειας που είχε η σφαίρα λίγο πριν την κρούση με μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια γ) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου, σε σχέση με το φυσική μήκος του ελατηρίου [απ. α) 5 m/s, 1,5 m/s, β) 52,5%, γ) 0,25 m] 35. Σφαίρα μάζας m=1 kg αφήνεται να πέσει από ύψος h=0,8 m πάνω σε δίσκο μάζας =3 kg ο οποίος ισορροπεί στερεωμένος στην άκρη κατακορύφου ιδανικού ελατηρίου σταθερά =200 N/m, ό- πως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το δίσκο. Δεδομένου ότι η διάρκεια της κρούσης θεωρείται πολύ μικρή, να βρείτε α) την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος σφαίραςδίσκου κατά την κρούση. β) τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος. γ) την κινητική ενέργεια του συστήματος σφαίρας δίσκου, τη στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του είναι ίσος με μηδέν. [απ. α) 6 J, β) 0,35 m, γ) 2,25 J] 36. Μια σφαίρα μάζας =6 kg κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρου 10 m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη σφαίρα μάζας =4 kg, η οποία κινείται με ταχύτητα μέτρου 5 m/s και ίδιας φοράς με αυτή της ταχύτητας της σφαίρας. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των δύο σφαιρών αμέσως μετά την κρούση, β) το πηλίκο της μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας εξαιτίας της κρούσης προς την αντίστοιχη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της σφαίρας μάζας. [απ. α) =+6 m/s, =+11 m/s β) = 1] 37. Δύο σφαίρες με μάζες =3 kg και =1 kg κινούνται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητας 4 m/s και 2 m/s αντίστοιχα, που έχουν αντίθετη φορά. Οι δύο σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. α) Να υπολογίσετε το μέτρο και να προσδιορίσετε την κατεύθυνση της ταχύτητας κάθε σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. β) Να βρείτε τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. [απ. α) ) =+1 m/s, =+7 m/s β) Δ = 9 kg m/s, Δ =+9 kg m/s] 38. Σώμα μάζας =4 kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα ίσης μάζας ( = ). Το σώμα μάζας μετά την κρούση ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,4, και τελικά σταματάει αφού διανύσει διάστημα s=12,5 από την αρχική του θέση ηρεμίας. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση, β) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m εξαιτίας της κρούσης. Δίνεται =10 m/s. [απ. α) 10 m/s β) Δ = 200 J]
39. Σώμα μάζας =2 kg είναι δεμένο με αβαρές, μη εκτατό νήμα μήκους =1,8 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε α- κλόνητο σημείο Ο. Αρχικά το σώμα μάζας ισορροπεί ακίνητο με το νήμα σε κατακόρυφη θέση. Μια σφαίρα μάζας =4 kg κινείται οριζόντια και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα μάζας, έχοντας ελάχιστα πριν την κρούση ταχύτητα. α) Αν γνωρίζετε ότι μετά την κρούση το νήμα φτάνει το πολύ έως την οριζόντια θέση, να υπολογίσετε : i) το μέτρο της ταχύτητας υ ii) το μέτρο της τάσης του νήματος που δέχεται το σώμα μάζας αμέσως μετά την κρούση. β) Αν γνωρίζετε ότι το σώμα μάζας μετά την ελαστική κρούση εκτελεί πλήρη κατακόρυφο κύκλο (ανακύκλωση), να υπολογίσετε την μικρότερη δυνατή τιμή του μέτρου της ταχύτητας. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με =10 m/s. [απ. α) =+4,5 m/s, =60 Ν β) =2,25 10 m/s] 40. Στο διπλανό σχήμα τα δύο ακίνητα σώματα μάζας =1,8 kg και =3 kg είναι ελεύθερα να κινηθούν σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συνδέονται μεταξύ τους με ελατήριο σταθεράς =750 N/m που βρίσκεται στο φυσικό μήκος. Ένα βλήμα μάζας =0,2 kg, το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα 100 m/s και σφηνώνεται σε αυτό. Να υπολογίσετε : α) την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση, β) τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, γ) το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που έχει μετατραπεί σε δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη στιγμή της μέγιστης συσπείρωσής του. [απ. α) =100 J β) 0,4 m γ) 6%] 41. Ένα σώμα μάζας =2 kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα =10 m/s. Μπροστά του, στην ί- δια κατεύθυνση κινείται ομαλά άλλο σώμα μάζας =8 kg με ταχύτητα μέτρου =5 m/s. Στην πίσω πλευρά του είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο φυσικού μήκους =1 m και σταθεράς =1000 N/m. Ο άξονας του ελατηρίου συμπίπτει με την ευθεία που ενώνει τα κέντρα μάζας των δύο σωμάτων. Να βρείτε α) την ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν τα σώματα β) τις ταχύτητες με τις οποίες κινούνται μετά τον αποχωρισμό τους. [απ. =0,8 m, β) =2 m/s, =7 m/s] 42. Μια σφαίρα Σ 1 μάζας =2 kg είναι δεμένη σε αβαρές νήμα μήκους =1,25 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα ώστε το νήμα να γίνει ο- ριζόντιο και κάποια στιγμή την αφήνουμε ελεύθερη. Όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο, η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας =3 kg. Το σώμα μάζας μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση, β) την μέγιστη δυναμική ενέργεια που αποκτά το ελατήριο μετά την κρούση των δύο σωμάτων γ) το μέγιστο ύψος στο οποίο θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία για πρώτη φορά το Σ 1,
δ) τη σχέση που θα έπρεπε να είχαν οι μάζες και, ώστε όλη η αρχική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας να μετατρεπόταν τελικά σε δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης ελατηρίου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας =10 m/s. Θεωρήστε ότι το επίπεδο αναφοράς της δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται με το οριζόντιο επίπεδο. Οι τριβές είναι αμελητέες. [απ. α) = 1 m/s, =+4 m/s β), =24 J, γ) h=0,05 m, δ) = ] 43. Από το ανώτερο σημείο Α ενός λείου κατακορύφου τεταρτοκυκλίου ακτίνας =0,8 m αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί ένα σώμα Σ 1 μάζας =2 kg. Φτάνοντας το σώμα στην βάση του τεταρτοκυκλίου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ 2 μάζας =. Μετά την κρούση το σώμα Σ 2 κινείται για διάστημα = 0,7 m σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,5, και συναντά ακίνητο σώμα Σ 3 μάζας =4 kg, το οποίο είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς =1.200 N/m που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα εμφανίζει τον ίδιο συντελεστή τριβής ολίσθησης =0,5 με το δάπεδο. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ 2 αμέσως μετά την κρούση του με το σώμα Σ 1 β το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται από την κρούση των σωμάτων Σ 2 και Σ 3 γ) τη μέγιστη απόσταση μεταξύ του σώματος Σ 1 και του συσσωματώματος. Δίνεται g=10 m/s. [απ. α) =4 m/s, β) =1 m/s, γ) =0,75 m] 44. Σώμα μάζας =1 kg αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h= 5 m πάνω σε δίσκο μάζας =4 kg που ισορροπεί προσαρμοσμένος σε κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς =10 N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η κρούση θεωρείται ελαστική. Να βρείτε α) την ταχύτητα με την οποία το σώμα μάζας θα προσκρούσει στο δίσκο. β) την πρόσθετη συσπείρωση Δ του ελατηρίου, από την αρχική θέση του δίσκου. γ) το ύψος h, πάνω από την αρχική θέση του δίσκου, στο οποίο θα αναπηδήσει το σώμα μάζας μετά την κρούση. [απ. α) 10 m/s, β) 0,08 m, 1,8 m] 45. Σώμα Σ1 μάζας 5kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου 8m/s και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα Σ2 μάζας το οποίο κινείται με ταχύτητα μέτρου 12m/s και αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα του σώματος Σ1. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει έχει αμέσως μετά την κρούση ταχύτητα μέτρου 0,5m/s και κατεύθυνσης ίδιας με αυτή που είχε το σώμα Σ1 ελάχιστα πριν την κρούση. Να υπολογίσετε α) τη μάζας του σώματος Σ2 β) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση γ) τη μεταβολή της ορμής κάθε σώματος χωριστά εξαιτίας της κρούσης. δ) το ποσοστό επί τοις εκατό της κινητικής ενέργειας του συστήματος ελάχιστα πριν την κρούση που μεταφέρθηκε ως θερμότητα στο περιβάλλον