Κεφάλαιο 4 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα
Στόχοι 4 ου Κεφαλαίου Δύναμη και αλληλεπιδράσεις. Η δύναμη σαν διάνυσμα και ο συνδυασμός δυνάμεων- Επαλληλία δυνάμεων. Πρώτος νόμος του Νεύτωνα- η έννοια της αδράνειας. Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα-μάζα, επιτάχυνση και δύναμη. Μάζα και βάρος. Τρίτος νόμος του Νεύτωνα-δράση και αντίδραση. Διαγράμματα ελεύθερου σώματος.
Εισαγωγή Εξετάσαμε την κίνηση σε μια, δύο και τρεις διαστάσεις. Τι είναι αυτό που μπορεί να κινήσει ένα αντικείμενο; Ποιο είναι δηλ. το αίτιο; Αυτή η αιτιότητα για πρώτη φορά κατανοήθηκε από τον Ισαάκ Νεύτωνα στα 1600. Ό Νεύτωνας διατύπωσε για πρώτη φορά τρεις νόμους που διέπουν την κίνηση ενός σώματος, τους οποίος αποκαλούμε «Νόμους του Νεύτωνα για την κίνηση». Οι νόμοι αυτοί προήλθαν μετά από τεράστιο αριθμό πειραμάτων. Οι νόμοι αυτοί είναι απλοί στη διατύπωσή τους αλλά σχετικά περίπλοκοι στην εφαρμογή τους.
Κάποιες ιδιότητες της δύναμης. Η δύναμη στην καθημερινή φρασεολογία είναι το σπρώξιμο ή το τράβηγμα. Μπορεί μια δύναμη να ασκείται πάνω στο σώμα σε επαφή με ένα άλλο-δύναμη επαφής. Μπορεί να ασκείται από απόσταση, όπως η βαρύτητα δύναμη από απόσταση. Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος, έχει μέτρο και κατεύθυνση.
Τέσσερα είδη δυνάμεων. Όταν ένα σώμα ακουμπά πάνω σε μια επιφάνεια, η επιφάνεια ασκεί μια δύναμη πάνω στο σώμα με διεύθυνση κάθετη προς την επιφάνεια. Η δύναμη αυτή είναι δύναμη επαφής. Η δύναμη της τριβής ασκείται πάνω σε ένα σώμα που σύρεται πάνω σε μια επιφάνεια και είναι παράλληλη προς την επιφάνεια. Η δύναμη αυτή είναι δύναμη επαφής.
Η δύναμη τάσης, δηλαδή δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα σώμα όταν το τραβάμε. Είναι δύναμη επαφής. Η δύναμη της βαρύτητας είναι ένα άλλο είδος δύναμης που ασκείται πάνω σ ένα σώμα. Είναι δύναμη από απόσταση.
Η δύναμη συμβολίζεται με διάνυσμα που η φορά του δηλώνει την κατεύθυνση προς την οποία ασκείται η δύναμη. Διάνυσμα δύναμης που δηλώνει τράβηγμα με μέτρο 10 Ν διεύθυνση 30 ο πάνω από την οριζόντια διεύθυνση και φορά προς το χέρι. Διάνυσμα δύναμης που σπρώχνει το αντικείμενο με μέτρο 10 Ν, διεύθυνση 45 ο κάτω από την οριζόντια διεύθυνση και φορά προς το αντικείμενο.
Επαλληλία δυνάμεων. Δύο δυνάμεις F 1 και F 2 που ασκούνται συγχρόνως σ ένα σώμα έχουν το ίδιο αποτέλεσμα με τη συνισταμένη τους δύναμη R. R = F 1 + F 2
Διανυσματικές συνιστώσες μιας δύναμης. Μια δύναμη F που ασκείται σ ένα σώμα δύναται να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες. Μια στον άξονα x, F x και μια στον άξονα y, F y. F x = F cos θ και F y = F sin θ
Όταν ασκούνται πολλές δυνάμεις σ ένα σώμα, F 1, F 2, F 3,.συνισταμένη δύναμη θα είναι: R = F 1 + F 2 + F 3 + = F Λαμβάνοντας υπ όψη τις συνιστώσες των επιμέρους δυνάμεων γράφουμε: R x = F x και R y = F y, R = R x 2 + R y 2 σε τρεις διατάσεις: R z = F z και R = R x 2 + R y 2 + R Z 2 Μονάδα μέτρησης δύναμης: 1 Ν=1 kg m/s 2, 1 dyn=1 g cm/s 2
Παράδειγμα: Επαλληλία δυνάμεων. Τρεις επαγγελματίες παλαιστές παλεύουν για να πάρουν συγκεκριμένη ζώνη πρωταθλητή. Όπως φαίνεται από απάνω, ασκούν στη ζώνη τις τρεις οριζόντιες δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα, και η ζώνη βρίσκεται στην αρχή των συντεταγμένων. Τα μέτρα των τριών δυνάμεων είναι F 1 =150 N, F 2 =50 N και F 3 =120N. Βρείτε τις συνιστώσες x και y της ολικής δύναμης, στη ζώνη, το μέτρο και την κατεύθυνση της ολικής δύναμης.
Ολική δύναμη: R = F R x = 150N + 50N + 0 = 100 N R y = 200N + 0N 120N = 80N Οι γωνίες μεταξύ των δυνάμεων F 1, F 2 και F 3 και του άξονα +x είναι: θ 1 =180 ο -53 ο =127 ο, θ 2 =0 ο και θ 3 =270 ο. Οι συνιστώσες x και y των τριών δυνάμεων είναι: F 1x = 250 N cos 127 o = 150 N F 1y = 250 N sin 127 o = 200 N F 2x = 50 N cos 0 o = 50 N F 2y = 50 N sin 0 o = 0 N F 3x = 120 N cos 270 o = 0 N F 3y = 120 N sin 270 o = 120 N R = R x 2 + R y 2 = = 100N 2 + 80N 2 = 128N Η γωνία θ είναι: θ = arc tan R y = arc tan 80N R x 100N = = arc tan 0,80 Οι δύο δυνατές λύσεις είναι: -39 ο ή -39 ο +180 ο. Επειδή η ολική δύναμη βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο η απάντηση είναι 141 ο
Πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Σώμα στο οποίο η ολική δύναμη που ασκείται είναι μηδενική παραμένει ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα (δηλ. με μηδενική επιτάχυνση). Αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Ένα σύστημα αναφοράς για το οποίο ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ονομάζεται αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς κινείται με σταθερή ταχύτητα σε σχέση μ ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι και αυτό ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Ας θεωρήσουμε ένα αδρανειακό σύστημα Α στο οποίο ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Ας θεωρήσουμε ένα σώμα P το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το Α. Δηλ. υ P/A = σταθερή. Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα η ολική δύναμη στο P είναι μηδενική. Αν ένα άλλο σύστημα αναφοράς Β κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το Α, υ Β/A = σταθερή, τότε η ταχύτητα του P ως προς το Β, είναι υ P/B = υ P/A υ B A = σταθερή. Δηλαδή η ολική δύναμη που ασκείται στο P είναι μηδενική. Άρα ισχύει και για το Β ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα και άρα το Β είναι ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
c. Τείνετε να κινείστε σε ευθεία γραμμή καθώς το όχημα στρίβει. a. Αν εσείς και το όχημα είστε αρχικά ακίνητοι (ως προς το αδρανειακό σύστημα της γης), τείνετε να μείνετε ακίνητοι καθώς το όχημα επιταχύνεται. b. Αν εσείς και το όχημα αρχικά κινείστε, τείνετε να συνεχίσετε να κινείστε με σταθερή διανυσματική ταχύτητα καθώς το όχημα ελαττώνει ταχύτητα.
Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Αν μια ολική εξωτερική δύναμη ασκείται σ ένα σώμα, το σώμα επιταχύνεται. Η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι ίδια με την κατεύθυνση της ολικής δύναμης. Το διάνυσμα της ολικής δύναμης ισούται με τη μάζα του σώματος επί την επιτάχυνσή του. F = ma, m είναι η αδρανειακή μάζα ή απλά μάζα του σώματος. Η εξίσωση είναι διανυσματική. Συνήθως θα τη χρησιμοποιούμε σε μορφή συνιστωσών υπολογίζοντας την κάθε συνιστώσα της δύναμης από την αντίστοιχη συνιστώσα της επιτάχυνσης: F x = ma x, F y = ma y, F z = ma z Ο νόμος ισχύει για αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Επίσης ισχύει για δυνάμεις που ασκούνται εξωτερικά στο σώμα. Τέλος οι παραπάνω εξισώσεις της δύναμης ισχύουν για σταθερή μάζα. Μονάδα μέτρησης δύναμης: 1 Ν=1 kg m/s 2.
a. Ο πεσσός ισορροπεί. b. Ολική δύναμη και επιτάχυνση έχουν την ίδια φορά. Η δύναμη ασκείται κατά την κατεύθυνση της ταχύτητας. Το σώμα επιταχύνεται. c. Ολική δύναμη και επιτάχυνση έχουν αντίθετες φορές. Η δύναμη ασκείται αντίθετα από την κατεύθυνση της ταχύτητας. Το σώμα επιβραδύνεται. Ο πεσσός κινείται σε κυκλική τροχιά χωρίς τριβές. Σε κάθε σημείο της κίνησης η επιτάχυνση α και η ολική δύναμη F έχουν ίδια κατεύθυνση προς το κέντρο του κύκλου.
Παράδειγμα: Προσδιορισμός της επιτάχυνσης από τη δύναμη. Ένας εργάτης ασκεί μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου 20 Ν σε ένα κιβώτιο μάζας 40 kg, που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο όπου η τριβή είναι αμελητέα. Ποια είναι η επιτάχυνση του κιβωτίου; F x = F = 20 N a x = F x m 20 N = 40 kg = 0,50 m/s2
Παράδειγμα: Προσδιορισμός δύναμης από επιτάχυνση. Μια σερβιτόρα σπρώχνει ένα μπουκάλι με κετσάπ μάζας 0,45kg προς τα δεξιά πάνω σε λείο, οριζόντιο πάγκο. Καθώς το μπουκάλι φεύγει από το χέρι της, έχει αρχική ταχύτητα 2,8 m/s. Καθώς γλιστρά, επιβραδύνεται επειδή ασκείται πάνω του, από την επιφάνεια του πάγκου, μια σταθερή οριζόντια δύναμη τριβής. Γλιστρά 1 m και σταματά. Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση της δύναμης τριβής που ασκείται πάνω του; υ x 2 = υ 0x 2 + 2a x x x 0, a x = υ x 2 υ 0x 2 = 0 m/s 2 2,8 m/s 2 2 x x 0 2 1,0 m 0 m 3,9 m/s 2. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η επιτάχυνση είναι προς τα αριστερά, δηλ. την κατεύθυνση της δύναμης της τριβής (ολική δύναμη). F x = f = ma x = 0,45 kg 3,9 m/s 2 = 1,8 kg m s 2 = 1,8N =
Μάζα και βάρος. Το βάρος W ενός σώματος είναι η δύναμη της βαρύτητας που ασκεί η γη στο σώμα αυτό. W = mg Η επιτάχυνση της βαρύτητας g διαφέρει από σημείο σε σημείο στην επιφάνεια της γης, εξαιτίας του ότι η γη δεν είναι τελείως σφαιρική και εξαιτίας της περιστροφής και περιφοράς της σε τροχιά. Έτσι κυμαίνεται από 9,78 m/s 2 έως 9,82 m/s 2. Στα προβλήματα θα λαμβάνουμε την τιμή g=9,8 m/s 2. Το g θα είναι εντελώς διαφορετικό σε άλλους πλανήτες.
Τρίτος νόμος του Νεύτωνα. Αν το σώμα Α ασκεί δύναμη στο σώμα Β («δράση»), τότε και το Β ασκεί στο Α μια ίση και αντίθετη δύναμη («αντίδραση»). Το διπλανό σχήμα δείχνει ένα ζεύγος δυνάμεων «δράσηαντίδραση». Η δράση και η αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώματα. F AB = F BA
Εννοιολογικό παράδειγμα: Εφαρμογή του τρίτου νόμου του Νεύτωνα: Αντικείμενα σε ηρεμία. Ένα μήλο είναι πάνω σ ένα τραπέζι σε ισορροπία. Ποιες δυνάμεις ασκούνται πάνω του; Ποια είναι η δύναμη αντίδρασης σε κάθε μια από τις δυνάμεις που δρουν στο μήλο; Ποια είναι τα ζεύγη δράση-αντίδραση; a. Το βάρος του μήλου και η δύναμη που ασκείται από το τραπέζι στο μήλο. Δεν είναι ζεύγος δράση-αντίδραση γιατί ασκούνται στο ίδιο σώμα. b. Το βάρος του μήλου και η δύναμη του μήλου στη γη. Ζεύγος δράση-αντίδραση. c. Η δύναμη που ασκεί το τραπέζι στο μήλο και η δύναμη που ασκεί το μήλο στο τραπέζι. Ζεύγος δράση-αντίδραση. d. Οι δύο δυνάμεις που ασκούνται στο μήλο δεν είναι ζεύγος δράση-αντίδραση. Αν αφήσουμε το μήλο να πέσει η δύναμη που ασκείται από το τραπέζι στο μήλο μηδενίζεται.
Εννοιολογικό παράδειγμα: Εφαρμογή του τρίτου νόμου του Νεύτωνα: Αντικείμενα σε κίνηση. Ένας μάστορας σέρνει ένα μαρμάρινο μπλοκ πάνω στο έδαφος τραβώντας ένα σχοινί που είναι δεμένο στο μπλοκ. Το μπλοκ μπορεί να βρίσκεται ή να μη βρίσκεται σε ισορροπία. Πως σχετίζονται οι διάφορες δυνάμεις; Ποια είναι τα ζεύγη δράσης-αντίδρασης; Οι οριζόντιες δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε ένα σώμα: στο μπλοκ (Β), στο σχοινί (R) και στον μάστορα (Μ). F RM = F ΜR και F BR = F RB Για το σύνολο των δυνάμεων που ασκούνται στο σχοινί είναι (δεν είναι δυνάμεις δράσηαντίδραση): F = F MR + F BR = m rope a rope Όταν το σχοινί βρίσκεται σε ισορροπία οι δυνάμεις F MR και F BR είναι ίσες κατά μέτρο. Βέβαια αν θεωρήσουμε ότι το σχοινί δεν έχει μάζα τότε οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες και αντίθετες. Αν το σχοινί επιταχύνεται ή επιβραδύνεται τότε οι δυνάμεις αυτές έχουν διαφορετικό μέτρο. Επειδή F MR = F BR (m rope =0 ή a rope =0) και F BR = F RB τότε F MR = F RB δηλ. κάτω από αυτές τις συνθήκες είναι σαν να μεταφέρει το σχοινί στο μπλοκ τη δύναμη που ασκεί ο μάστορας στο σχοινί.
Εννοιολογικό παράδειγμα: Ένα παράδοξο του τρίτου νόμου του Νεύτωνα. Είδαμε στο προηγούμενο εννοιολογικό παράδειγμα ότι ο μάστορας τραβά το συνδυασμό σχοινί-μπλοκ τόσο δυνατά όσο δυνατά τραβά τον ίδιο αυτός ο συνδυασμός. Γιατί, τότε το μπλοκ κινείται ενώ ο μάστορας μένει ακίνητος;
Διαγράμματα ελεύθερου σώματος. Διάγραμμα ελεύθερου σώματος είναι ένα διάγραμμα στο οποίο σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο σώμα, «ελεύθερο» από το περιβάλλον του.