Εργαστριο Φυσικς Τμματος Πληροφορικς και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Εισαγωγ στην έννοια των κυκλωμάτων Αν ανοίξετε μια ηλεκτρικ συσκευ (π.χ. παλιά τηλεόραση, υπολογιστ ραδιόφωνο) θα δείτε ότι υπάρχουν μέσα κυκλώματα πολύ πιο πολύπλοκα από αυτά που έχετε μέχρι τώρα συναντσει σε απλά παραδείγματα. Στα κυκλώματα μάλιστα αυτά θα δείτε ότι υπάρχει συνθως ένα ( περισσότερα) συνδεδεμένο τσιπάκι, και ένας μεγάλος αριθμός διαφόρων ειδών στοιχείων, όπως πηγές, αντιστάσεις, πυκνωτές κ.α.. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι τα κυκλώματα αυτά μελετούνται με εντελώς διαφορετικό τρόπο από ότι τα απλά κυκλώματα μιας πηγς σε σειρά με έναν αντιστάτη και ένα πυκνωτ. Αντίθετα, οι αρχές που διέπουν τα απλά κυκλώματα διέπουν και τα πιο σύνθετα και είναι συνεπώς λογικό να μελετσουμε πρώτα τα πιο απλά παραδείγματα. Θα δούμε πως να χρησιμοποιούμε ισοδύναμα κυκλώματα (κυκλώματα που έχουν άλλη σχεδίαση αλλά το ίδιο αποτέλεσμα) και θα μελετσουμε τους κανόνες του Kirchhoff εφαρμόζοντας τους σε συγκεκριμένα κυκλώματα. Παρότι μάλιστα το ηλεκτρικό ρεύμα που φτάνει στα σπίτια μας είναι εναλλασσόμενο (C), πάρα πολλές συσκευές μετατρέπουν το εναλλασσόμενο ρεύμα σε συνεχές για να λειτουργσουν. ια παράδειγμα, οι υπολογιστές δέχονται εναλλασσόμενο ρεύμα αλλά το τροφοδοτικό το μετατρέπει σε συνεχές για να τροφοδοτσει όλα τα ηλεκτρονικά του τμματα. Αντιστάσεις σε σειρά και παράλληλα Όταν δύο οι περισσότερες αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους όπως στο σχμα 1, τότε λέμε ότι οι δύο αυτές αντιστάσεις είναι σε σειρά. Το συνολικό φορτίο Q που μπαίνει στον πρώτο αντιστάτη θα είναι ίδιο με το φορτίο που μπαίνει στον δεύτερο αντιστάτη. Αν δεν ίσχυε κάτι τέτοιο, τότε το φορτίο μετά από λίγη ώρα λειτουργίας του κυκλώματος θα συγκεντρώνονταν σε ένα σημείο μεταξύ των δύο αντιστάσεων. Επειδ δηλαδ το ίδιο φορτίο περνάει από κάθε αντίσταση στον ίδιο χρόνο, λόγω του ορισμού dq της έντασης ρεύματος Ι =, το ρεύμα που διέρχεται από τις δύο αντιστάσεις είναι d t το ίδιο. Συνεπώς, για ένα συνδυασμό δύο αντιστάσεων, τα ρεύματα είναι ίσα στις δύο αντιστάσεις (Ι=Ι 1 =Ι 2 ) γιατί το φορτίο που περνάει από την αντίσταση R 1 είναι ίσο με αυτό που περνάει από την αντίσταση R 2 στο ίδιο χρονικό διάστημα. Εφόσον τα δύο αυτά ρεύματα είναι ίσα η τάση στα άκρα της πρώτης αντίστασης θα είναι V 1 =R 1 και στης δεύτερης V 2 =R 2. Η διαφορά δυναμικού ΔV, η οποία έχει εφαρμοστεί μεταξύ του συνδυασμού των δύο αντιστάσεων θα διαιρεθεί και στις δύο. Ισχύει μάλιστα για την πτώση τάσης από το σημείο Α στο σημείο :
ΔV=R 1 R 2 = (R 1 R 2 ) (1) 1, R 1 2, R 2 Σχμα 1. Απλό κύκλωμα δύο αντιστάσεων σε σειρά. Μπορούμε δηλαδ να δημιουργσουμε ένα νέο (ισοδύναμο) κύκλωμα το οποίο θα αποτελείται από την ίδια πηγ και μια νέα αντίσταση με τιμ ίση με R ολ = R 1 R 2, διατηρώντας την ίδια ένταση ρεύματος. Εάν φυσικά έχουμε περισσότερους από δύο αντιστάτες σε σειρά τότε ισχύει: R ολ =R 1 R 2 R 3... (2) Δηλαδ, η ισοδύναμη αντίσταση αντιστάσεων που είναι συνδεδεμένες σε σειρά είναι ίση με το άθροισμα των μεμονωμένων αντιστάσεων. Αν τώρα οι αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες μεταξύ τους όπως στο σχμα 2, τότε λέμε ότι οι αντιστάσεις αυτές είναι παράλληλα συνδεδεμένες. Στο σημείο Α το οποίο είναι ένας κόμβος του κυκλώματος το ρεύμα θα διαιρεθεί σε δύο κομμάτια και μέρος του θα κατευθυνθεί προς την αντίσταση R 1, ενώ το υπόλοιπο θα πάει στην αντίσταση R 2. Επειδ όμως το φορτίο που φτάνει στο Α είναι ίδιο με το φορτίο που φεύγει από αυτό, το συνολικό ρεύμα που φτάνει σε εκείνο το σημείο είναι με το συνολικό ρεύμα που φεύγει από αυτό. Δηλαδ: Ι=Ι 1 Ι 2 (3) Επίσης, όπως φαίνεται και από το σχμα και οι δύο αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες με την πηγ και έχουν απευθείας (χωρίς ενδιάμεση παρεμβολ άλλου στοιχείου), άρα και οι δύο αντιστάσεις έχουν στα άκρα τους τάση ίση με την τάση της πηγς ΔV. Επειδ η τάση στα άκρα τους είναι ίση και λόγω της γνωστς σχέσης του Ohm, έχουμε από την (3) ότι: ΔV ΔV 1 1 ΔV = 1 2 = = ΔV = R R R R (4) 1 2 1 2 R ολ 1, R 1 2, R 2 Ζ Δ
Σχμα 2. Απλό κύκλωμα δύο αντιστάσεων συνδεδεμένων παράλληλα. Από την σχέση (4) φυσικά προκύπτει ότι η ισοδύναμη ολικ αντίσταση έχει τιμ: 1 1 1 1 R1R2 = Rολ = = (5) R ολ R1 R2 1 1 R1 R 2 R1 R2 Φυσικά, αν έχουμε περισσότερες από τρεις αντιστάσεις τότε είναι: 1 1 1 1 =... (6) R ολ R1 R2 R3 Δηλαδ, το αντίστροφο της ισοδύναμης αντίστασης αντιστάσεων που είναι συνδεδεμένες παράλληλα είναι ίσο με το άθροισμα των αντίστροφων των παράλληλων αντιστάσεων. Ακόμη επειδ η τάση στα άκρα των αντιστάσεων είναι ίση ισχύει ότι: 1 R2 V = V1 = V2 = 1R1 = 2R2 = (7) 2 R1 Δηλαδ τα ρεύματα που διέρχονται από παράλληλες αντιστάσεις είναι αντιστρόφως ανάλογα των αντιστάσεων. Το μεγάλο ρεύμα πάει από την διαδρομ με τη μικρ αντίσταση. Άσκηση 1) Έστω το κύκλωμα του σχματος 3. α) ρείτε ποια είναι η συνολικ ισοδύναμη αντίσταση μεταξύ των σημείων Α και. β) ρείτε ποιο είναι το ρεύμα που διατρέχει τον κάθε αντιστάτη, αν η τάση ανάμεσα στα άκρα Α και είναι 42Volt. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι R 1 =8Ω, R 2 =4Ω, R 3 =6Ω, και R 4 =3Ω., R 1, R 2 3, R 3 4, R 4 Σχμα 3. Κύκλωμα με τέσσερις αντιστάσεις. Λύση: Το κύκλωμα έχει δύο αντιστάσεις σε σειρά (R 1, R 2 ) και δύο παράλληλα (R 3, R 4 ). Οπότε πρέπει να κάνουμε το ισοδύναμο κύκλωμα όπου θα έχουμε μια αντίσταση στη θέση των R 1, και R 2 (την R 1,2 ) και μια στη θέση των R 3, και R 4 (την R 3,4 ). Οι τιμές του είναι αντίστοιχα: R3R4 R 1,2 =R 1 R 2 =12Ω και R 3,4 = = 2Ω. R R 3 4
Συνεπώς το κύκλωμα μας μπορεί να γίνει το ισοδύναμο του σχματος 4., R 1,2 Ι, R 3,4 Σχμα 4. Ισοδύναμο κύκλωμα του σχματος 3. Δηλαδ οι δύο ισοδύναμες αντιστάσεις είναι σε σειρά, εφόσον η R 1,2 αντικαθιστά τις R 1, και R 2 και η R 3,4 τις R 3, και R 4. Η συνολικ ισοδύναμη αντίσταση θα είναι: R ολ =R 1,2 R 3,4 =14Ω. Όσον αφορά τα ρεύματα ισχύει: Ι=Ι 1 =Ι 2 =Ι 3,4, γιατί το ρεύμα που διατρέχει τις αντιστάσεις R 1 και R 2 είναι το ολικό ρεύμα ενώ το ολικό ρεύμα διατρέχει και την ισοδύναμη αντίσταση R 3,4. ΔV Οπότε είναι: = = = = = 3Α. 1 2 3, 4 R ολ Το ρεύμα όμως στις R 3 και R 4 μοιράζεται σε Ι 3 και Ι 4. ια το ρεύμα συνεπώς ισχύει 3 R4 εκεί: V3 = V4 = 3R3 = 4R4 = = 0.5, αλλά ισχύει και 3, 4 = 3 4, οπότε 4 R3 προκύπτει ότι Ι3=1Α και Ι 4 =2Α. Κανόνες Kirchhoff Στην προσπάθεια μας να λύσουμε προβλματα που αφορούν κυκλώματα χρησιμοποιούμε το νόμο του Ohm. Σε πολλές όμως περιπτώσεις δεν είναι τόσο απλό να εφαρμόσουμε άμεσα το νόμο αυτό. ια το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τους δύο κανόνες του Kirchhoff, οι οποίοι δεν είναι νόμοι αλλά τεχνικές επίλυσης κυκλωμάτων. ια να μελετσουμε τους δύο κανόνες πρέπει πρώτα να ορίσουμε κάποιες έννοιες σε ένα κύκλωμα όπως αυτό του σχματος 2. Ορίζουμε ως κόμβο κάθε σημείο του κυκλώματος στο οποίο συνενώνονται δύο περισσότεροι αγωγοί. Στο σχμα 2 κόμβοι είναι Α και και δεν είναι τα, Δ και Ζ Ορίζουμε ως βρόχο ενός κυκλώματος οποιονδποτε κλειστό δρόμο αγωγών. Στο σχμα 2 βρόχοι είναι οι διαδρομές ΑΔΑ, ΖΑΖ, ΖΑΔΖ. Ορίζουμε ακόμη ως κλάδο του κυκλώματος κάθε τμμα του το οποίο διαρρέεται από ρεύμα. Έχοντας ορίσει αυτές τις έννοιες μπορούμε να διατυπώσουμε τους κανόνες του Kirchhoff. Ο πρώτος κανόνας του Kirchoff έχει την διατύπωση: "Σε έναν κόμβο όπου συνέρχονται αγωγοί οι οποίοι διαρρέονται από ρεύμα, το αλγεβρικό άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων είναι μηδέν"
Δηλαδ: ΣΙ=0 για κάθε κόμβο. Ή αλλιώς: "Σε έναν κόμβο όπου συνέρχονται αγωγοί οι οποίοι διαρρέονται από ρεύμα, το άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων που εισέρχονται είναι το ίδιο με το άθροισμα των ρευμάτων που εξέρχονται" Δηλαδ: ΣΙ εισ = ΣΙ εξ για κάθε κόμβο. Ο δεύτερος κανόνας του Kirchoff έχει την διατύπωση: "Το αλγεβρικό άθροισμα των μεταβολών του δυναμικού κατά μκος ενός βρόχου που διαρρέεται από ρεύμα, είναι μηδέν". Δηλαδ: ΣΔV=0 για κάθε κλειστό βρόχο. Ο πρώτος κανόνας φαίνεται στο παρακάτω σχμα: 2 1 4 3 Σχμα 5. Κόμβος τεσσάρων αγωγών όπου εφαρμόζεται ο 1 ος κανόνας του Kirchhoff. Όπου ισχύει Σ = 0 2 = 1 3 4. Ο δεύτερος φαίνεται στο σχμα 6:, R 1 Ι, R 2 Σχμα 6. ρόχος στον οποίο εφαρμόζουμε το 2 ο κανόνα του Kirchhoff. ια το σχμα 6 ισχύει: ΕΙR 1 R 2 =0. Όταν εφαρμόζουμε το νόμο των βρόχων είναι αναγκαίο να ακολουθούμε σωστά κάποιες συμβάσεις για τα πρόσημα. Πρώτα πρέπει να επιλέξουμε μια φορά για το ρεύμα σε κάθε κλάδο του κυκλώματος και να τη σημειώσουμε στο διάγραμμα μας. Στη συνέχεια ξεκινώντας από κάποιο σημείο του κυκλώματος προσθέτουμε τις πηγές και τα γινόμενα R που συναντούμε. Αν συναντσουμε πηγ τότε θεωρούμε την πηγ θετικ αν η φορά του ρεύματος συναντά πρώτα τον αρνητικό πόλο και μετά το θετικό ενώ τη θεωρούμε αρνητικ αν συναντούμε πρώτα το θετικό και μετά τον αρνητικό. Αν συναντσουμε αντίσταση τότε θεωρούμε το γινόμενο R αρνητικό αν είναι προς τη φορά του ρεύματος και θετικό αν είναι προς την ανάποδη. Σχηματικά αυτοί οι κανόνες φαίνονται παρακάτω στο σχμα 7:
Η πηγ είναι θετικ (Ε) Η πηγ είναι αρνητικ (Ε) Το γινόμενο είναι αρνητικό (R) Το γινόμενο είναι θετικό (R) Σχμα 7. Κανόνες εφαρμογς προσμων κατά τη μελέτη με το 2 ο κανόνα. ια παράδειγμα, στο σχμα 6 αν είχαμε επιλύσει το κύκλωμα με την φορά ΑΑ τότε (όπως βρκαμε) θα ίσχυε: ΙR 1 R 2 Ε=0, αν όμως το επιλύαμε με τη φορά ΑΑ τότε θα ταν: ΕΙR 2 R 1 =0. Φυσικά το αποτέλεσμα θα ταν το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις. Άσκηση 2) ρείτε τα ρεύματα Ι 1, Ι 2, και Ι 3 του σχματος 8. R 2 =4 Ω Ζ 2 =14V R 1 =6 Ω 1 =10V R 3 =2 Ω Δ Σχμα 8. Κύκλωμα με τρεις αντιστάσεις και δύο πηγές. Λύση: ια τα ρεύματα ισχύει στον κόμβο από τον 1 ο κανόνα: Σ = 0 = 1 2 3 1 Η 2 3
ια τον βρόχο ΑΔΑ έχουμε: Ε 1 Ι 1 R 1 3 R 3 =0 6 1 23 = 10 ια τον βρόχο ΖΗ είναι: Ι 2 R 2 Ε 2 1 R 1 Ε 1 =0 6 1 42 = 24 Λύνοντας τις τρεις εξισώσεις με τρεις αγνώστους έχουμε μια μόνο λύση η οποία είναι Ι 1 =2Α, Ι 2 =3Α και Ι 3 =1Α Η φορά δηλαδ των ρευμάτων Ι 2 και Ι 3 είναι αντίθετη από αυτ που εμείς θέσαμε.