ΑΣΚΗΣΗ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ Στάσιμα κύματα επί χορδής μήκους, m που είναι στερεωμένη από τα δύο άκρα παρατηρούνται σε διαδοχικές συχνότητες 4 Hz και 36 Hz. α. Ποια είναι η θεμελιώδης συχνότητα καθώς και η κυματική ταχύτητα; β. Φτιάξτε το σχέδιο του στάσιμου κύματος όταν η χορδή ταλαντώνεται στα 36 Hz. Εφόσον οι συχνότητες 4 Hz και 36 Hz αντιστοιχούν σε διαδοχικές αρμονικές των κυμάτων που διεγείρονται στη πάνω στη χορδή, αν η πρώτη συχνότητα είναι η n-οστή αρμονική, οπότε n =4 Hz, τότε η δεύτερη συχνότητα θα είναι η (n+)-οστή αρμονική της χορδής, δηλαδή n+ =36 Hz. Δεδομένου ότι η χορδή είναι στερεωμένη και στα δυο άκρα της, οι συνθήκες διέγερσης των παραπάνω αρμονικών θα εκφράζονται με τις σχέσεις: n n και n L n ( ) όπου L=, m είναι το μήκος της χορδής και υ είναι η L ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων κατά μήκος της χορδής. Αφαιρώντας κατά μέλη τις δυο αυτές εξισώσεις παίρνουμε: α. (36Hz 4Hz) Hz L L L (, m) (36 4 ) 4m/ β. Η συχνότητα των 36 Hz είναι η τρίτη αρμονική της χορδής: 36 Hz=3 η οποία δημιουργεί τρεις κοιλίες ταλάντωση πάνω στη χορδή. ΑΣΚΗΣΗ Χορδή κιθάρας με γραμμική πυκνότητα. g/m τεντώνεται μεταξύ στηριγμάτων που απέχουν 6 cm. Παρατηρείτε ότι η χορδή σχηματίζει στάσιμο κύμα με τρεις κοιλίες όταν η συχνότητά της πλησιάζει τα 4 Hz. Ποια είναι (α) η συχνότητα της πέμπτης αρμονικής της συγκεκριμένης χορδής και (β) η δύναμη που τεντώνει τη χορδή L=6 cm =,6 m γραμμική πυκνότητα μάζας μ=, g/m=,x -3 kg/m συχνότητα n =4 Hz Αφού η χορδή είναι στηριγμένη και στα δυο της άκρα και σε αυτή δημιουργείται στάσιμο κύμα με τρεις κοιλίες, η συχνότητα n = 3 =4 Hz θα αντιστοιχεί στην τρίτη αρμονική, δηλαδή n=3. Δεδομένου ότι η χορδή είναι στερεωμένη και στα δυο άκρα της, η συνθήκη διέγερσης της των αρμονικών θα εκφράζονται με τη σχέση:
L3 (,6m) (4Hz) n n 3 L L 3 3 68m / α. 5 5 5 5 7 Hz. L (,6m) 3 β. -3 Τ (, kg/ m) (68m/ ) 4 56, N 68m/ ΑΣΚΗΣΗ 3 Η χορδή βιολιού έχει μήκος 3 cm. Βγάζει τη μουσική νότα Α (44 Hz) χωρίς κράτημα της χορδής με τα δάκτυλα. Σε ποια απόσταση από το τέλος της χορδής θα πρέπει να τοποθετήσουμε το δάχτυλο για να παίξουμε τη νότα C (53 Hz); L=3 cm =,3 m με αντίστοιχη πρώτη αρμονική A =44 Hz. Δεδομένου ότι η χορδή του βιολιού είναι στερεωμένη και στα δυο άκρες της, η πρώτη αρμονική θα δίνεται από τη σχέση: A L () όπου υ είναι η ταχύτητα του κύματος κατά μήκος της χορδής. Για να διεγερθεί η νότα C, δηλαδή η συχνότητα C =53 Hz πρέπει το δάκτυλο να κρατήσει τη χορδή σε τέτοιο σημείο ώστε το ενεργό μήκος L C της χορδής, όταν διεγερθεί να δίνει την πρώτη αρμονική C. Και στην περίπτωση αυτή η συχνότητα C θα δίνεται από τη σχέση: C () η ταχύτητα υ παραμένει η ίδια. L C Διαιρώντας κατά μέλη τις Εξισώσεις () και () παίρνουμε: A L LC A LC A 44 Hz LC LA LC (,3m) C L C LA C 53Hz LC L C =,5 m Επομένως, η χορδή του βιολιού πρέπει να κρατηθεί σε απόσταση L A L C =,3 m,5 m =,48 m = 4,8 cm από το άλλο άκρο της χορδής. ΑΣΚΗΣΗ 4 Δύο ηχεία βρίσκονται σε δωμάτιο με θερμοκρασία C και εκπέμπουν ηχητικά κύματα 686 Hz κατά μήκος του x-άξονα. α. Αν τα ηχεία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, ποια θα είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ των ηχείων, για την οποία η συμβολή των ηχητικών κυμάτων θα είναι αποσβεστική; β. Αν τα ηχεία είναι εκτός φάσης, ποια θα είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ των ηχείων, για την οποία η συμβολή των ηχητικών κυμάτων θα είναι ενισχυτική;
x x θ= C =686 Hz υ=343 m/ Έστω ότι έχουμε βάλει το αυτί μας σε μια θέσει που απέχει απόσταση x από το ηχείο και απόσταση x από το ηχείο. Στη θέση αυτή: Φάση κύματος από ηχείο : φ =kx -ωt+φ Φάση κύματος από ηχείο φ =kx -ωt+φ Στη θέση που βρίσκεται το αυτί μας, τα κύματα θα έχουν διαφορά φάσης: Δφ=φ φ = kx ωt + φ (kx ωt + φ ) Δφ = k Δx+Δφ () Δφ=k (x x ) + (φ φ ) Όπου Δx = x x είναι η απόσταση μεταξύ των ηχείων και Δφ = φ φ είναι η αρχική διαφορά φάσης των ήχων καθώς αυτά φεύγουν από τα ηχεία. α. Στην περίπτωση αυτή, φ = φ ή φ φ =. Για υπάρχει απόσβεση των κυμάτων στη τυχαία θέση που έχουμε το αυτί μας πρέπει η διαφορά φάσης Δφ των δυο κυμάτων που φτάνουν ταυτόχρονα εκεί να είναι ίση με: Δφ=(m+)π. Οπότε, από τη Σχέση () και αφού πρώτα θέσετε φ φ = θα έχουμε: k x ( m ) x (m ) x (m ) m,,,3,... Για να υπάρχει σε κάποιο τυχαίο σημείο απόσβεση των κυμάτων πρέπει η απόσταση των ηχείων να είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος. Η ελάχιστη απόσταση των ηχείων θα είναι στην περίπτωση που m=, οπότε: x Το μήκος κύματος λ υπολογίζεται από την σχέση: υ=λ όπου υ=343 m/ και =686 Hz είναι η ταχύτητα και η συχνότητα του ήχου. Οπότε: 343m/ 686 Τελικά:,5m,5m x x, 5m β. Στην περίπτωση αυτή φ φ =π επειδή τα δυο ηχεία είναι εκτός φάσης. Οπότε η Σχέση γίνεται: Δφ=k (x x ) = k Δx+π () Για να έχω ενισχυτική συμβολή στην τυχαία θέση που έχω το αυτί μου πρέπει η διαφορά φάσης των κυμάτων στη θέση αυτή να είναι άρτιο πολλαπλάσιο του π. Δηλαδή: Δφ=mπ. Οπότε, η Σχέση () γίνεται: k x m x m x (m ) m,,,3,... Καταλήξαμε στην ίδια σχέση με την περίπτωση (α). Δηλαδή, για να έχω ενισχυτική συμβολή, η ελάχιστη απόσταση των ηχείων που είναι σε ασυμφωνία φάσης πρέπει να είναι Δx=,5 m.
ΑΣΚΗΣΗ 5 Δύο ίδια ηχεία με απόσταση d μεταξύ τους εκπέμπουν ηχητικά κύματα 7 Hz κατά μήκος του x-άξονα. Καθώς περπατάτε κατά μήκος του x-άξονα, μακριά από τα ηχεία, δεν ακούτε τίποτα παρόλο που τα ηχεία είναι σε λειτουργία. Ποιες είναι οι τρεις πιθανές τιμές για το d; Θεωρούμε ταχύτητα ήχου 34 m/; x x Αφού τα δυο ηχεία είναι τα ίδια υποθέτουμε ότι αυτά είναι σε συμφωνία φάσης. Σε μια από τις τρεις πιθανές αποστάσεις των ηχείων οι φάσεις των κυμάτων θα είναι: Φάση κύματος από ηχείο : φ =kx -ωt+φ Φάση κύματος από ηχείο φ =kx -ωt+φ Στη θέση αυτή, τα κύματα θα έχουν διαφορά φάσης: Δφ=φ φ = kx ωt + φ (kx ωt + φ ) Δφ=k (x x ) = k Δx () Όπου Δx=d είναι η απόσταση μεταξύ των ηχείων. Για υπάρχει απόσβεση των κυμάτων στη τυχαία θέση που έχουμε το αυτί μας όταν η απόσταση των ηχείων είναι Δx=d πρέπει η διαφορά φάσης Δφ των δυο κυμάτων που φτάνουν ταυτόχρονα εκεί να είναι ίση με: Δφ=(m+)π. Οπότε, από τη Σχέση () k x ( m ) x (m ) x (m ) m,,,3,... Το μήκος κύματος λ υπολογίζεται από την σχέση: υ=λ όπου υ=34 m/ και =7 Hz είναι η ταχύτητα και η συχνότητα του ήχου. Οπότε: 34m/ 7,m Πρώτη πιθανή απόσταση όταν m=: Δεύτερη πιθανή απόσταση όταν m=: Τρίτη πιθανή απόσταση όταν m=:,m d x d, m,m d x 3 3 d 3, m,m d3 x 5 5 d3 5, m ΑΣΚΗΣΗ 6 Δύο χορδές είναι ρυθμισμένες ώστε να πάλλονται ακριβώς στα Hz. Στη συνέχεια, η δύναμη που τεντώνει τη μια χορδή αυξάνεται λίγο. Μετά, όταν οι χορδές πάλλονται ταυτόχρονα, ακούγονται τρεις παλμοί το λεπτό. Ποια είναι η νέα συχνότητα της χορδής που τεντώθηκε
Αρχικά, οι δυο χορδές είχαν συχνότητες = Hz. Όταν αυξηθεί η δύναμη που τεντώνει τη μια χορδή η συχνότητά της θα αυξηθεί και θα γίνει ίση με και η διαφορά συχνοτήτων που παράγονται από τις χορδές θα είναι ίση με Δ= = Hz. Οι δυο ήχοι με διαφορά συχνοτήτων Δ παράγουν τρία διακροτήματα το δευτερόλεπτο. Αυτό σημαίνει ότι η συχνότητα των διακροτημάτων είναι ίση με = 3 Hz. Από τον ορισμό της συχνότητας των διακροτημάτων είναι ίση με: =Δ= Hz 3 Hz = Hz =3 Hz. ΑΣΚΗΣΗ 7 Χορδή μήκους. m πάλλεται στη δεύτερη αρμονική με μέγιστο πλάτος, cm. Το ένα άκρο της χορδής βρίσκεται στο σημείο x= cm. Βρείτε το πλάτος ταλάντωσης για το σημείο x=,, 3, 4 και 5 cm; Η άσκηση δεν αναφέρει αν η χορδή στη θέση x= έχει δεσμό ή κοιλία. Αυθαίρετα, θεωρούμε ότι η χορδή στηρίζεται στη θέση x= οπότε εκεί θα υπάρχει δεσμός. Αφού η χορδή πάλλεται στη δεύτερη αρμονική με μέγιστο πλάτος A=, cm, όπου Α είναι το πλάτος των δυο κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα, πάνω στη χορδή θα δημιουργούνται δυο () «κοιλίες». Αυτό σημαίνει ότι το μήκος κύματος που δημιουργεί το στάσιμο κύμα θα είναι ίσο με το μήκος της χορδής: λ=l=, m Το πλάτος του στάσιμου κύματος δίνεται από τη σχέση: A( x) Ain( kx) A( x) Ain x A( x) (,cm)in x,m x=cm =,m x=cm =,m x=3cm =,3m x=4cm =,4m x=5cm =,5m 3,4 A( cm) (,cm) in,m, m A(cm), 6cm 3,4 A( cm) (,cm) in,m, m A(cm), 8cm 3,4 A( 3cm) (,cm) in,3m,m A(3cm), 6cm 3,4 A( 4cm) (,cm) in,4m,m A(4cm), 9cm 3,4 A( cm) (,cm) in,5m,m A(5cm), cm ΑΣΚΗΣΗ 8 Χορδή μήκους L πάλλεται στη θεμελιώδη συχνότητά της. Το πλάτος σε σημείο L/4 από το ένα άκρο είναι, cm. Ποιο είναι το πλάτος του καθενός από τα τρέχοντα κύματα που σχηματίζουν το συγκεκριμένο στάσιμο κύμα;
Εφόσον η χορδή πάλλεται στη θεμελιώδη συχνότητα, το μήκος κύματος λ των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα θα είναι ίσο με το διπλάσιο του μήκους L της χορδής. Οπότε: λ=l Το πλάτος ταλάντωσης της χορδής σε σημείο που απέχει απόσταση L/4 από το άκρο της χορδής είναι ίσο με Α(L/4)=, cm Το πλάτος του στάσιμου κύματος στη χορδή είναι ίσο με: A( x) Ain( kx) Ain x A( L/ 4) Ain L, cm L 4,cm Ain cm A,,cm A A, 4cm 4 ΑΣΚΗΣΗ 9 Χορδή κιθάρας μήκους 8 cm και γραμμικής πυκνότητας, g/m τεντώνεται με δύναμη Ν. Κρούεται και πάλλεται στη θεμελιώδη συχνότητά της. Ποιο είναι το μήκος κύματος του ηχητικού κύματος που φτάνει στο αφτί σας μέσα σε θερμοκρασία δωματίου C Δύναμη που τεντώνει τη χορδή: = N Γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής: μ=, g/m =, kg/m Μήκος χορδής: L=8 cm =,8 m Θερμοκρασία αέρα: C. Στη θερμοκρασία αυτή η ταχύτητα του ήχου είναι: υ=343 m/. Ταχύτητα κύματος στη χορδή: tring tring 447m/,kg/ m Αφού η χορδή πάλλεται στη θεμελιώδη αρμονική, το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα θα είναι ίσο με το διπλάσιο του μήκους της χορδής της κιθάρας. Οπότε: λ = L =,6 m Η σχέση που συνδέει την ταχύτητα του κύματος κατά μήκος της χορδής με το μήκος κύματος της χορδής είναι: υ tring =λ, όπου είναι η συχνότητα του κύματος. Οπότε: tring tring 447 m /,6m =79 Hz Το ηχητικό κύμα που δημιουργεί η χορδή και το οποίο διαδίδεται στον αέρα με συχνότητα =883,75 Hz και με ταχύτητα υ=343 m/ θα έχει μήκος κύματος λ, τέτοιο ώστε: υ=λ 343m/,3 m 79Hz
ΑΣΚΗΣΗ Σωλήνας μουσικού οργάνου με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο έχει μήκος 78. cm. Σωλήνας με ανοιχτό/κλειστό άκρο έχει θεμελιώδη συχνότητα ίση με τη δεύτερη αρμονική του σωλήνα με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο. Ποιο το μήκος του σωλήνα με ανοιχτό/κλειστό άκρο; Μήκος σωλήνα μουσικού οργάνου με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο L=78, cm =,78 m. Μήκος ακουστικού σωλήνα με ανοιχτό/κλειστό άκρο L =??? Συνθήκη στάσιμου κύματος σε σωλήνα με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο: m=,, 3,... m m () όπου L Συνθήκη στάσιμου κύματος σε σωλήνα με ανοιχτό/κλειστο άκρο: m (m ) () 4L όπου m=,,, 3,.... και όπου υ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. Η θεμελιώδης συχνότητα ή ισοδύναμα η η ανώτερη αρμονική που διεγείρεται μέσα στο σωλήνα με ανοιχτό/κλειστό άκρο προκύπτει αν στην Σχέση () θέσουμε όπου m=. Επίσης, η δεύτερη αρμονική που διεγείρεται μέσα στο σωλήνα με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο προκύπτει αν στη Σχέση () θέσουμε m=. Οπότε, από τις Σχέσεις () και () θα έχουμε αντίστοιχα: Θεμελιώδη αρμονική σε σωλήνα με ανοιχτό/κλειστό άκρο: Δεύτερη αρμονική σε σωλήνα με ανοιχτό/ανοιχτό άκρο: 4 L L Από τα δεδομένα όμως του προβλήματος έχουμε ότι = ή ισοδύναμα: L,78m L L, 95m 4 4 4L L ΑΣΚΗΣΗ Ένας κατακόρυφος σωλήνας ύψους, m περιέχει νερό θερμοκρασίας C. Διαπασών που πάλλεται σε συχνότητα 58 Hz τοποθετείται ακριβώς πάνω στην κορυφή του σωλήνα καθώς το νερό διαφεύγει σταδιακά από τον πυθμένα του σωλήνα. Σε ποιο ύψος νερού, μετρημένο από τον πυθμένα του σωλήνα, θα υπάρξει στάσιμο κύμα μέσα στο σωλήνα L h=h - L H=,m Η αέρια στήλη που βρίσκεται πάνω από το νερό του είναι αυτή που θα δημιουργήσει τα στάσιμα στη συχνότητα =58 Hz που ταλαντώνεται το διαπασών. Η αέρια αυτή στήλη βρίσκεται μέσα σε σωλήνα μήκους ανοιχτού/κλειστού άξρου που έχει μήκος L. Για να διεγερθεί στάσιμο κύμα μέσα στην αέρια στήλη πρέπει το μήκος της L να είναι ίσο με περιττό πολλαπλάσιο του λ/4 όπου λ είναι το μήκος κύματος του ήχου. Το μήκος κύματος λ υπολογίζεται από τη
σχέση: υ=λ όπου υ=343 m/ είναι η ταχύτητα του ήχου στη θερμοκρασία θ= 343m/ C 58,59m L (m ) όπου m=,,, 3,.... 4,59m Για m= L,48m 4 4 h H L,m,48m h, 85m Για m= Για m=,59m L 3 3,444m h H L,m,444m h, 556m 4 4,59m L 5 5,739m h H L,m,739m h, 6m 4 4 ΑΣΚΗΣΗ Σύρμα μήκους 5 cm και γραμμικής πυκνότητας g/m, περνά από το ανοιχτό άκρο ενός ανοιχτού/κλειστού σωλήνα μήκους 85 cm που περιέχει αέρα. Αν το σύρμα, το οποίο είναι στερεωμένο και από τα δύο άκρα του, πάλλεται στη θεμελιώδη συχνότητά του, το ηχητικό κύμα που θα παράγει θα διεγείρει τον δεύτερο τρόπο ταλάντωση του σωλήνα που περιέχει αέρα. Ποια είναι η δύναμη που τεντώνει το σύρμα; Θεωρήστε υ ound = 34 m/; L t =,85m μ= g/m=, kg/m L =,5m Για να υπολογίσουμε τη δύναμη που τεντώνει τη χορδή πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την ταχύτητα υ με την οποία ένα εγκάρσιο κύμα διαδίδεται κατά μήκος αυτής. Επειδή η χορδή είναι στερεωμένη και στα δυο άκρα της, αυτή θα δημιουργεί στάσιμο κύμα όταν ταλαντώνεται με συχνότητα:, m m m,,3,... όπου υ είναι η ταχύτητα με L την οποία ένα τρέχων κύμα διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Η θεμελιώδης συχνότητα της χορδής προκύπτει όταν m= και είναι ίση με, () L Η αέρια στήλη μέσα στον ανοιχτό/κλειστό σωλήνα δημιουργεί στάσιμο κύμα με συχνότητες ound t,n που ικανοποιούν τη σχέση: t, n (n ) 4Lt n,,,3,... όπου υ ound =34 m/ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. Ο δεύτερος τρόπος ταλάντωσης της αέρια στήλης προκύπτει θέτοντας όπου m= (ο πρώτος ound τρόπος προκύπτει όταν m=). Ο τρόπος αυτός αντιστοιχεί στη συχνότητα: t, 3 () 4L t
Αφού ο δεύτερος τρόπος ταλάντωσης της αέριας στήλης του σωλήνα με συχνότητα t, από το θεμελιώδη τρόπος ταλάντωσης της χορδής που αντιστοιχεί στη συχνότητα,, προκύπτει ότι: οπότε από τις Σχέσεις () και () θα έχουμε: t,, L 3 4L ound t 3L L t ound 3,5m 34m /,85m 5m / Οπότε, από τη σχέση που δίνει τη ταχύτητα ενός εγκάρσιου κύματος σε μια χορδή που έχει γραμμική πυκνότητα μάζας μ και τεντώνεται με δύναμη έχουμε: (,kg/ m) (5m/ ) 45 N ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια κατασκευαστική εταιρεία ανέθεσε στην εταιρεία σας, την Acoutical Conulting, την επίλυση του εξής προβλήματος: οι εργαζόμενοί της παραπονιούνται για το θόρυβο που προκαλεί ένα μηχάνημα. Αν χρησιμοποιήσουμε έναν συχνόμετρο, θα δούμε αμέσως ότι το μηχάνημα εκπέμπει έναν μάλλον δυνατό ήχο στη συχνότητα Hz. Μετά από έρευνα, ενημερώνετε τον ιδιοκτήτη ότι το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί στο σύνολό του, αλλά μπορείτε τουλάχιστον να βελτιώσετε την κατάσταση εξαλείφοντας τις ανακλάσεις του ήχου από τους τοίχους. Προτείνετε να τοποθετηθούν στους τοίχους επιφάνειες πλέγματος. Έτσι, μέρος του ήχου θα ανακλάται από το πλέγμα και το υπόλοιπο μέρος θα διαπερνά το πλέγμα και θα ανακλάται από τους τοίχους. Ποια θα πρέπει να είναι η απόσταση μεταξύ πλέγματος και επιφάνειας τοίχου για να είναι αποτελεσματικό το σχέδιο φ φ φ φ 3 φ 5 Πλέγμα φ 5 d Το πλέγμα τοποθετείται παράλληλα με τον τοίχο και σε απόσταση d από αυτόν. Για να εξασθενήσει ο ήχος από τις ανακλάσεις πρέπει τα κύματα που ανακλώνται από το πλέγμα και τα κύματα που διέρχονται το πλέγμα προερχόμενα από την ανάκλαση αυτών σον τοίχο πρέπει να έχουν διαφορά φάσης rad 5 5. Η διαδικασία εξασθένισης του ήχου είναι η εξής: Το κύμα προσπίπτει αρχικά πάνω στο πλέγμα με φάση φ στη συνέχεια, αυτό ανακλάται μερικώς με φάση φ ώστε διαφορά φάσης rad () Αντίθετα, το μέρος του κύματος που διαπερνά το πλέγμα διατηρεί τη φάση φ. Το κύμα φθάνει στον τοίχο με φάση φ 3 αφού διανύσει διάστημα Δx=d, το οποίο είναι και το ζητούμενο. Στο διάστημα Δx=d το κύμα θα μεταβάλει τη φάση του από φ σε φ 3, όπου: 3 3 φ 4 Τοίχος kd (γιατί;;) ()
Το κύμα ανακλάται σχεδόν ολικώς με φάση φ 4 η οποία διαφέρει από τη φάση φ 3 κατά π rad. Δηλαδή: 43 4 3 rad (3) Το κύμα φθάνει στο πλέγμα με φάση φ 5 αφού διανύσει διάστημα Δx=d. Στο διάστημα αυτό, το κύμα θα μεταβάλει τη φάση του από φ 4 σε φ 5, όπου: 45 5 4 kd (4) Τελικά, το κύμα που θα εξέλθει από το πλέγμα θα διατηρήσει τη φάση φ 5. Προσθέτοντας κατά μέλη της Σχέσεις (), (3) και (4) παίρνουμε: 5 kd (5) Αφαιρώντας από τη Σχέση (5) τη Σχέση () παίρνουμε: kd (6) 5 5 Για να εξασθενίσουν τα ανακλώμενα κύματα πρέπει: 5 5 (7) Από τις Σχέσεις (6) και (7) προκύπτει η σχέση υπολογισμού της απόστασης d του πλέγματος από τον τοίχο: kd d d (8) k 4 Στη θερμοκρασία των C η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ=343 m/. Από τη σχέση υ=λ και με δεδομένο ότι = Hz το μήκος κύματος του ήχου είναι: 343m/,86m Οπότε, από τη Σχέση (8) βρίσκουμε την απόσταση d:,86m d d,75m 7, 5cm 4 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 Στέκεστε σε απόσταση,5 m ακριβώς μπροστά στο ένα από τα δύο ηχεία του παρακάτω Σχήματος. Τα ηχεία έχουν απόσταση μεταξύ τους 3, m και βρίσκονται σε συμφωνία φάσης παράγοντας συχνότητα 686 Hz. Καθώς απομακρύνεστε από το ηχείο, σε ποια απόσταση από αυτό ακούτε την ελάχιστη ένταση του ήχου; Η θερμοκρασία δωματίου είναι C h=3, m d=,5 m r r O Έστω ότι στο σημείο Ο η ένταση του ήχου είναι ελάχιστη. Το σημείο αυτό απέχει από τα μεγάφωνα αποστάσεις r και r αντίστοιχα. Επειδή τα ηχεία είναι σε συμφωνία φάσης, για να έχουμε αποσβεστική συμβολή στο σημείο Ο πρέπει:
k ( r ( r r ) (m ) r ) (m ) m,,,3,... m,,,3,... r r (m ) m,,,3,... () Στη θερμοκρασία C η ταχύτητα του ήχου είναι υ=343 m/ το μήκος κύματος του ήχου που έχει συχνότητα =686 Hz είναι: 343m/, 5m 686 Τα δυο ηχεία μαζί με το σημείο Ο σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τα διαστήματα r και h και με υποτείνουσα το διάστημα r. Χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα για έχουμε και μια δεύτερη εξίσωση η οποία μαζί με την εξίσωση () να μας δώσει την τιμή της ζητούμενης απόστασης r. r r h ( r r )( r r ) h () Από τις Σχέσεις () και () (αντικαθιστούμε το r r με το ίσον του) παίρνουμε: (m ) ( r r ) h r r h (3) (m ) Αφαιρούμε από τη Σχέση (3) τη Σχέση () οπότε παίρνουμε: (3, m) ( ) (,5m) r r 4, 375m ( ) (,5m) h (m ) r h (m ) r (m ) (m ) Για m= ΑΣΚΗΣΗ 5 Δύο ηχεία έχουν 5, m απόσταση μεταξύ τους και εκπέμπουν ήχο στην ίδια συχνότητα. Αν σταθείτε, m μπροστά από το επίπεδο των ηχείων και στο κέντρο μεταξύ αυτών, ακούτε ήχο μέγιστης έντασης. Καθώς περπατάτε παράλληλα προς το επίπεδο των ηχείων, παραμένοντας σε απόσταση, m μπροστά από αυτά, ακούτε στην αρχή μια ελάχιστη ένταση ήχου όταν βρίσκεστε ακριβώς μπροστά στο ένα από τα δύο ηχεία. α. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου; Θεωρήστε ταχύτητα ήχου 34 m/. β. Αν παραμείνετε σε απόσταση, m μπροστά στο ένα από τα δύο ηχεία, για ποιες άλλες συχνότητες μεταξύ Hz και Hz υπάρχει ελάχιστη ένταση ήχου στο συγκεκριμένο σημείο; h=5, m r =, m r O Στη θέση Ο, η απόσταση r προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν τα δυο ηχεία με το σημείο Ο r r h,m) (5,m) r 3m (
Δεχόμαστε ότι τα ηχεία είναι σε συμφωνία φάσης. Για να συμβαίνει στο σημείο Ο αποσβεστική συμβολή πρέπει: k( r r) (m ),,,3,... m ) ( ) r m ( r r r (m ) Επειδή στο σημείο Ο συμβαίνει η πρώτη αποσβεστική συμβολή, πρέπει m=. Οπότε η Σχέση () γίνεται: r r (3m m), m α. Επειδή η ταχύτητα του ήχου είναι υ=34 m/, από τη σχέση υ=λ υπολογίζουμε τη συχνότητα του ήχου: 34m / 7 Hz, m β. Επειδή διατηρούμε τη θέση Ο σταθερή, η διαφορά r r =, m παραμένει σταθερή, ( r r ) οπότε τα μήκη κύματος λ m που θα ικανοποιούν τη Σχέση () θα είναι: m και m οι αντίστοιχες συχνότητες m =υ/λ θα δίνονται από τη σχέση: m (m ). ( r r ) () Για m= Για m= 34m/ ( ) 5 Hz (3m m) 34m/ ( ) 85 Hz (3m m) ΑΣΚΗΣΗ 6 Δύο ηχεία εκπέμπουν συχνότητες 4 Hz. Το ένα ηχείο είναι κάτω στο έδαφος. Το δεύτερο ηχείο βρίσκεται στο πίσω μέρος ενός φορτηγού. Ακούτε 8 διακροτήματα το δευτερόλεπτο καθώς το φορτηγό απομακρύνεται από το σημείο που βρίσκεστε. Ποια είναι η ταχύτητα του φορτηγού; Τα δυο ηχεία εκπέμπουν συχνότητα =4 Hz. Ο ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται πλησίον του ηχείου που είναι τοποθετημένο στο έδαφος. Αφού το άλλο ηχείο που βρίσκεται στο φορτηγό που απομακρύνεται από τον ακίνητο παρατηρητή με ταχύτητα υ, ο παρατηρητής θα αντιλαμβάνεται ένα ήχο με συχνότητα ελαφρώς μικρότερη από τη συχνότητα που εκπέμπει το ακίνητο ηχείο. Η συχνότητα προκύπτει από τη σχέση του Doppler ακίνητο παρατηρητή και κινούμενη ηχητική πηγή που απομακρύνεται από τον παρατηρητή με τη ζητούμενη ταχύτητα υ : ()
Στον ακίνητο παρατηρητή φτάνουν πλέον δυο ήχοι, ο ένας από το ακίνητο ηχείο με συχνότητα και ο άλλος από το κινούμενο ηχείο με συχνότητα, οπότε, ο παρατηρητής αυτός θα αντιλαμβάνεται ένα διακρότημα συχνότηταςq = =8 Hz m m / 7 / 343 8 4 8 ή υ=5 km/h ΑΣΚΗΣΗ 7 α. Η συχνότητα ενός στάσιμου κύματος επί χορδής είναι όταν η δύναμη που τεντώνει τη χορδή είναι. Αν η δύναμη αυτή μεταβληθεί κατά τη μικρή ποσότητα Δ, χωρίς να μεταβληθεί το μήκος της χορδής, να αποδείξετε ότι η συχνότητα αλλάζει κατά Δ, έτσι ώστε: β. Δύο ίδιες χορδές πάλλονται με συχνότητα 5 Hz όταν τεντώνονται με την ίδια δύναμη. Ποια πρέπει να είναι η ποσοστιαία αύξηση της δύναμης που τεντώνει μια από τις χορδές ώστε όταν πάλλονται και οι δυο χορδές ταυτόχρονα Από την εξίσωση που δίνει την ταχύτητα διάδοσης ενός εγκάρσιου κύματος σε μια χορδή καθώς και την εξίσωση υ=λ έχουμε: () Αν η τάση αυξηθεί κατά ΔΤ και γίνει +Δ, τότε, η συχνότητα θα μεταβληθεί κατά Δ και θα γίνει ίση με +Δ. Στην περίπτωση αυτή και με δεδομένο ότι Δ <<, η Σχέση () γίνεται: Χρησιμοποιήσαμε τη διωνυμική προσέγγιση:, ) ( x ό nx x n ΑΣΚΗΣΗ 8
Ο υπέρηχος χρησιμοποιείται ευρέως στην ιατρική, με μια από τις εφαρμογές του να είναι αυτή της παρακολούθησης των καρδιακών παλμών του εμβρύου μέσω της ανάκλασης του υπέρηχου από το έμβρυο που βρίσκεται στη μήτρα. α. Θεωρήστε ότι ένα αντικείμενο κινείται με ταχύτητα υ προς μια ακίνητη πηγή που εκπέμπει ηχητικά κύματα σε συχνότητα. Δείξτε ότι το ανακλώμενο κύμα (η ηχώ δηλαδή) που επιστρέφει στην πηγή, έχει συχνότητα μετατόπισης Doppler echo όπου υ είναι η ταχύτητα του ήχου μέσα στο μέσο. β. Υποθέστε ότι η ταχύτητα του αντικειμένου είναι πολύ μικρότερη από την ταχύτητα του κύματος: υ ο <<υ, και πως το μικρόφωνο που είναι ευαίσθητο σε αυτές τις συχνότητες θα εντοπίσει μια συχνότητα διακροτήματος αν ακούσει ταυτόχρονα τις συχνότητες και τη echo. Χρησιμοποιήστε τη διωνυμική και άλλες κατάλληλες προσεγγίσεις για να δείξετε ότι η συχνότητα διακροτήματος είναι γ. Η ανάκλαση ηχητικών κυμάτων,4 ΜHz από την επιφάνεια της παλλόμενης καρδιάς ενός εμβρύου συνδυάζεται με κύμα.4 MHz για να παράγει συχνότητα διακροτήματος, η οποία φτάνει το μέγιστο στα 65 Hz. Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα της επιφάνειας της καρδιάς; Η ταχύτητα των υπερηχητικών κυμάτων μέσα στο σώμα του εμβρύου είναι 54 m/. δ. Υποθέστε ότι η επιφάνεια της καρδιάς κινείται σε απλή αρμονική κίνηση με 9 παλμούς/min. Ποιο είναι το πλάτος της καρδιάς σε mm; Η γενική περίπτωση όπου παρατηρητής και ηχητική πηγή κινούνται με ταχύτητες υ ο και υ, αντίστοιχα, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο κινούμενος παρατηρητής είναι: () όπου είναι η συχνότητα του ηχητικού κύματος και υ είναι η ταχύτητα του ήχου. α. Εφόσον η πηγή είναι ακίνητη (υ ) και το αντικείμενο πλησιάζει την ηχητική πηγή με ταχύτητα υ, τα ηχητικά κύματα προσπίπτουν πάνω το αντικείμενο με συχνότητα + τέτοια ώστε + > και () Τα κύματα που ανακλώνται από το κινούμενο αντικείμενο αντιστοιχούν σε ηχητική πηγή συχνότητας + που κινείται προς την αρχική ηχητική πηγή με ταχύτητα υ. Οπότε, η συχνότητα echo που αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής θα δίνεται από τη σχέση: echo (3) Από τις Σχέσεις () και (3) παίρνουμε:, υ echo, υ υ +, υ +, υ echo echo (4)
β. Ο ακίνητος παρατηρητής που βρίσκεται πλησίον της ακίνητης ηχητικής πηγής θα αντιλαμβάνεται τη σύνθεση δυο ηχητικών κυμάτων των οποίων οι συχνότητες και echo διαφέρουν πολύ λίγο επειδή υ <<υ, όπου υ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. Το αποτέλεσμα της σύνθεσης αυτή θα είναι ένα διακρότημα με συχνότητα: = echo (5) γ. Τα τοιχώματα της καρδιάς πάλλονται και αντιστοιχούν στο κινούμενο αντικείμενο των ερωτημάτων (α) και (β). Οπότε η ταχύτητα υ του κινούμενου αντικειμένου αντιστοιχεί στη ζητούμενη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωση των τοιχωμάτων της καρδιάς. Η παράμετρος υ=54 m/ στη Σχέση (5) αντιστοιχεί στην ταχύτητα διάδοσης του ήχου μέσα στο σώμα του εμβρύου, η παράμετροι =,4 MHz και =65 Hz αντιστοιχούν στη συχνότητα της ηχητικής πηγής και στη συχνότητα του διακροτήματος που προκύπτει από τη σύνθεση του ηχητικού κύματος που εκπέμπει η ηχητική πηγή με το ηχητικό κύμα που ανακλάται από τα παλλόμενα τοιχώματα της καρδιάς. Οπότε, από τη Σχέση (5) πίρνουμε: 65 54m/ 6 (,4 ),9m / δ. Δεδομένου ότι η επιφάνεια της καρδιά εκτελεί 9 παλμούς/min, η συχνότητα heart της καρδιάς θα είναι ίση με: heart ύ ύ min 9 9 heart,5 min min 6 Από τη θεωρία των αρμονικών ταλαντώσεων γνωρίζουμε τη σχέση που συνδέει τη μέγιστη ταχύτητα υ max με τη γωνιακή ταχύτητα ω και το πλάτος ταλάντωσης Α: max A max,9m / hearta A A,m, mm 3,4,5 heart ΑΣΚΗΣΗ 9: α. Σε ένα τσίρκο, ο κλόουν με μπάσα φωνή εισέπνευσε καθαρό αέριο ήλιο και στη συνέχεια εκπνέοντας το αέριο η φωνή του κλόουν έγινε πολύ λεπτή. Η αλλαγή στον τόνο της φωνής του κλόουν οφείλεται στο γεγονός ότι:. Το αέριο ήλιο επηρεάζει τις φωνητικές χορδές του κλόουν.. Η ταχύτητα του ήχου μέσα στο αέριο ήλιο είναι μεγαλύτερη από ότι στον ατμοσφαιρικό αέρα. 3. Η ταχύτητα του ήχου μέσα στο αέριο ήλιο είναι μικρότερη από ότι στον ατμοσφαιρικό αέρα. 4. Οι συχνότητες συντονισμού της κοιλότητας του λάρυγγα μεταβάλλονται εξαιτίας του αερίου ήλιο. β. Έχετε στη διάθεσή σας μια ράβδο από μαγνήσιο που έχει μήκος L= cm. Η πυκνότητα και ο συντελεστής ελαστικότητας Young του μαγνησίου είναι ρ=.738 g/cm 3 και Y=4.5x Pa. Κρατάτε σταθερά τη ράβδο στο μέσο της και κτυπάτε με ένα σφυρί το ένα άκρο της κατά μήκος του άξονα της ράβδου. Η ράβδος δονείται δημιουργώντας ένα
ήχο. Ποια ή ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι ανταποκρίνεται/ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα:. Η συχνότητα του ήχου που δημιουργείται αντιστοιχεί στην πρώτη αρμονική του στάσιμου διαμήκους κύματος που διαδίδεται κατά μήκος της ράβδου.. Η συχνότητα του ήχου που δημιουργείται αντιστοιχεί στην πρώτη αρμονική του στάσιμου εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται κατά μήκος της ράβδου. 3. Επειδή απαιτούμε το μέσο της ράβδου να είναι δεσμός, η συχνότητα του ήχου που δημιουργείται αντιστοιχεί στη δεύτερη αρμονική στου στάσιμου διαμήκους κύματος που δημιουργείται κατά μήκος της ράβδου. 4. Επειδή απαιτούμε το μέσο της ράβδου να είναι δεσμός, η συχνότητα του ήχου που δημιουργείται αντιστοιχεί στη δεύτερη αρμονική στου στάσιμου εγκάρσιου κύματος που δημιουργείται κατά μήκος της ράβδου. 5. Το στάσιμο κύμα που δημιουργείται στη ράβδο μαγνησίου είναι όμοιο με το στάσιμο ηχητικό κύμα που δημιουργείται μέσα σε ένα ηχητικό σωλήνα με κλειστά τα δυο άκρα του. Η διαφορά στη συχνότητα των δυο στάσιμων κυμάτων (στη ράβδο μαγνησίου και στον ηχητικό σωλήνα) έγκειται στο γεγονός ότι η ταχύτητα του κύματος στη ράβδο μαγνησίου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ταχύτητα του ήχου στον αέρα. 6. Η περίοδος του κύματος που διαδίδεται στη ράβδο μαγνησίου είναι ίση με δυο () φορές το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κύμα αυτό να διατρέξει τη ράβδο από το ένα άκρο στο άλλο άκρο αυτής. ΑΣΚΗΣΗ : Οι ταλαντώσεις της πίεσης του αέρα μέσα σε ένα ηχητικό σωλήνα που έχει μήκος L περιγράφονται από την κυματική εξίσωση: όπου p είναι η μεταβολή της ατμοσφαιρικής πίεσης (p> όταν η πίεση μέσα στον ηχητικό σωλήνα είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική πίεση) και η διεύθυνση z είναι παράλληλη με τον άξονα του ηχητικού σωλήνα. Ο ηχητικό σωλήνας έχει κλειστό το ένα άκρο και ανοικτό το άλλο άκρο. α. Τι αντιπροσωπεύει η παράμετρος υ στην παραπάνω διαφορική εξίσωση; Ποι είναι κατά προσέγγιση η τιμή της παραμέτρου υ; β. Υποθέτοντας ότι η συνάρτηση: είναι λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης, να βρείτε τις άγνωστες παραμέτρους (Α, Β, k και ω) όταν ισχύει η συνοριακή συνθήκη p(z=, t=) =p. Δίνεται επίσης ότι το κλειστό άκρο του ηχητικού σωλήνα είναι στη θέση z= και το ανοικτό άκρο είναι στη θέση z=l. γ. Για L=.5 m, ποιες είναι κατά προσέγγιση οι συχνότητες (σε Hz) και ποια είναι κατά προσέγγιση τα μήκη κύματος (σε m) της πρώτης και της δεύτερης αρμονικής; (Η πρώτη αρμονική καλείται επίσης και θεμελιώδης αρμονική). ΑΣΚΗΣΗ :
Μια χορδή έχει γραμμική πυκνότητα μάζας μ και τεντώνεται με δύναμη. Η χορδή είναι στερεωμένη στα σημεία x= και x=l. Τη χρονική στιγμή t=, η χορδή είναι στην κατάσταση ηρεμίας της και εκτρέπεται προς την κατεύθυνση y σύμφωνα με τη σχέση: α. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια της χορδής τη χρονική στιγμή t=. β. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση της χορδής συναρτήσει του χρόνου t. γ. Σε ποια χρονική στιγμή t η χορδή θα έχει για πρώτη φορά την ίδια μορφή με αυτή που είχε τη χρονική στιγμή t=; Ή αυτό δεν θα συμβεί ποτέ; Δώστε την εξήγησή σας.