Κεφάλαιο 4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ - ΦΩΝΟΝΙΑ

Σχετικά έγγραφα
Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΚΥΜΑΤΑ ( )

ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 24 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2011

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Κρούσεις-Ταλαντώσεις-Κύματα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 5.4 Η ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος, η περίοδός του Τ και το μήκος κύματος λ, συνδέονται με τη σχέση:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ Λ ΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 27/11/2016. Θέμα A Στις ερωτήσεις Α1-Α4 επιλέξτε την σωστή απάντηση

δ. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Τ =

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

2-1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2-2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

Φυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

Φυσική για Μηχανικούς

2 ΓΕΛ ΧΑΙΔΑΡΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 24/09/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 5

Φυσική για Μηχανικούς

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 29/12/2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ 08/01/2017 ΘΕΜΑ Α

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό κάθε μίας από τις παρακάτω ερωτήσεις Α.1- Α.4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Θέµατα Πανελληνίων Φυσικής Κατ ο Κεφάλαιο (µέχρι και Στάσιµα)

1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Όταν το ελατήριο έχει μάζα

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΙΟΣ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΝΕΑ (6)

Φυσική για Μηχανικούς

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Ε.

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ :

Διαγώνισμα στη Φυσική Θετικού Προσανατολισμού στα κεφάλαια Ταλαντώσεις-κρούσεις κύματα και Doppler. Κυριακή

t 1 t 2 t 3 t 4 δ. Η κινητική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t 1, ισούται με τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t 2.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24

Όλα τα θέματα των πανελληνίων στις μηχανικές ταλαντώσεις έως και το 2014 ΣΑΛΑΝΣΩΕΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής

Εκφώνηση 1. α). β). γ). Επιλέξτε τη σωστή πρόταση και αιτιολογείστε.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα

ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ-ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Physics by Chris Simopoulos

ΘΕΜΑ Β Β.1 Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια 100J και αρχικό πλάτος A o. Το έργο της δύναμης αντίστασης μετά από N ταλαντώσε

Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

7. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις,

Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Ταλαντώσεις Κρούσεις (θέματα Πανελληνίων)

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0.

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (23 ΠΕΡΙΟΔΟΙ)

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα.

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γʹ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΡΙΤΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

1. Το σημείο Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση,

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Ονοματεπώνυμο: Επιμέλεια διαγωνίσματος: Αξιολόγηση :

Ημερομηνία: Παρασκευή 27 Οκτωβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

ΟΡΟΣΗΜΟ. 1ο Κριτήριο αξιολόγησης στα κεφ Θέμα 1. Κριτήρια αξιολόγησης Ταλαντώσεις - Κύματα.

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Β έκδοση Θέµα Α

Ταλαντώσεις - Λύσεις

1. Ένα σώμα εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α. Η ταχύτητα του σώματος:

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά

1. Ένα σώμα εκτελεί ΑΑΤ πλάτους Α. Η ταχύτητα του σώματος:

Physics by Chris Simopoulos

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

Transcript:

Κεφάλαιο 4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ - ΦΩΝΟΝΙΑ Προαπαιτούμενη γνώση Συστήματα γραμμικών ταλαντωτών, δυναμική πλέγματος, κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής, φωνόνια, ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, ζώνες Brllou. Πρόβλημα Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k), για ένα μονοδιάστατο (Δ) μονοατομικό κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς αποτελούμενο από άτομα μάζας Μ συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς. Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς που υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brllou (ΖΒ) και σχολιάστε την. Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) αποτελούμενη από ένα άτομο, ανά κυψελίδα, πλεγματικής σταθεράς. Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει, ότι το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής σταθεράς π. Τα άτομα στις πλεγματικές θέσεις συνδέονται μεταξύ τους με ελατήρια ελαστικής σταθεράς. Λαμβάνοντας υπόψη αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, το -οστό άτομο της αλυσίδας δέχεται ελαστικές δυνάμεις ( u u + ) από το άτομο, στα δεξιά του [ ( + ) - οστό άτομο] και ( u u ) από το άτομο, στα αριστερά του [ ( ) -οστό άτομο]. Η εξίσωση κίνησης του -οστού ατόμου θα γράφεται du = ( u u ) ( u u+ ) du [ ] = u u u+, () όπου u είναι η μετατόπιση του -οστού ατόμου στην αλυσίδα. Για την παραπάνω διαφορική εξίσωση, αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ) u ( ) ep t = u k ωt, () π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u το πλάτος της λ ταλάντωσης. Αντικαθιστώντας την () στην (), λαμβάνουμε 66

( ) [ ] ( ) = cos( k) ep ( k ωt), ω ep k ωt = ep( k) ep( k) ep k ωt η οποία έχει λύση, αν διαλέξουμε ω = ω( k), τέτοιο, ώστε cos( k) k ω( k) = = s. (3) Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η παραπάνω σχέση διασποράς ω = ω( k), εντός της ΖΒ, π π δηλαδή, k <. ω -π/ k π/ Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς αποτελείται από έναν κλάδο, εφόσον ο Δ κρύσταλλος αποτελείται από ένα άτομο, ανά κυψελίδα. Καθώς αυτός ο κλάδος lm ω( k) = θα είναι ένας ακουστικός κλάδος, η κλίση του οποίου στο παραπάνω όριο θα μας δίνει την ταχύτητα διάδοσης ακουστικών κυμάτων, στον παραπάνω Δ κρύσταλλο. k Πρόβλημα Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k), για ένα μονοδιάστατο (Δ), διατομικό κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενο από εναλλασσόμενα άτομα, με μάζες και, αντίστοιχα, συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς (βλέπε το παρακάτω σχήμα). Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς, την οποία υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brllou (ΖΒ) και σχολιάστε την. Βρείτε τη μορφή της σχέσεως διασποράς στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος, k <<. 67

Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) αποτελούμενη από δύο διαφορετικά άτομα, με μάζες και ανά κυψελίδα, η οποία έχει πλεγματική σταθερά. Το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής π σταθεράς. Τα άτομα στις πλεγματικές θέσεις συνδέονται μεταξύ τους με ελατήρια ελαστικής σταθεράς. Έστω, uv, οι μετατοπίσεις των ατόμων και, σε μια κυψελίδα. Λαμβάνοντας υπόψη μόνο αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, ένα άτομο μάζας της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( u v + ) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο Μ της ( + ) -οστής κυψελίδας] και ( u v) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο της -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου της -οστής κυψελίδας γράφεται du + = ( u v ) ( u v ) du = + [ ] u v v. (4) Αντίστοιχα, ένα άτομο μάζας της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( v u) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο Μ της -οστής κυψελίδας] και ( v u ) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο της ( ) -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου της -οστής κυψελίδας γράφεται dv = ( v u ) ( v u ) dv = [ ] v u u. (5) Έχουμε, λοιπόν, να επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων du = + [ ] u v v dv = [ ] v u u Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ω ) ( ω ). (6) u( t) = uep k t, (7) v( t) = v ep k t 68

π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u, v τα πλάτη λ των ταλαντώσεων των ατόμων και, αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας τις Εξ.(7) στις Εξ. (6), λαμβάνουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ( ω ) u [ k ] v [ ] ( ω ) + ep( ) =. (8) + ep( k) u + v = Καθώς το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι ομογενές, για να έχει λύση πέρα από την τετριμμένη [ u = v = ], θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών του να είναι μηδέν, δηλαδή η οποία δίνει το πολυώνυμο τετάρτου βαθμού Οι ρίζες του παραπάνω πολυωνύμου είναι [ ] ω + ep( k) det =, [ + ep( k) ] ω ( ) ω [ ] ω + + cos( k) =. (9) 4 4 k ω ( k) = + ± + s, () όπου από τις παραπάνω λύσεις δεχόμαστε μόνο τις θετικές τιμές της κυκλικής συχνότητας ω. Καθεμία από τις τιμές του ω μας δίνει μία τιμή με ω ( k) >. Συμβολίζουμε με ω+ ( k), ω ( k) τις δύο τιμές του ω ( k). Συγκεκριμένα, 4 k ω+ ( k) = + + + s () 4 k ω ( k) = + + s. Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς ω = ω( k) έχει δύο κλάδους, οι οποίοι αντιστοιχούν στις δύο σχέσεις ω = ω + ( k) και ω = ω ( k) με ω+ ( k), ω ( k) >. Και οι δύο παραπάνω κλάδοι για = 3 απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, εντός της ΖΒ, δηλαδή π π k <. 69

οπτικός κλάδος ω ακουστικός κλάδος -π/ k π/ Ο κλάδος ω = ω ( k) ονομάζεται ακουστικός κλάδος, ενώ ο κλάδος ω = ω + ( k) ονομάζεται οπτικός κλάδος (βλέπε παραπάνω σχήμα). Η ειδοποιός διαφορά τους έγκειται στη συμπεριφορά τους, στο όριο k, δηλαδή, πρακτικώς, στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος: k <<. Σε αυτό το όριο, λοιπόν, λαμβάνουμε k 4 ω ( k) + + + ( k) + + + ( + ) ω ( k) k, ( + ) όπου κάναμε χρήση των προσεγγιστικών τύπων s( ), +. Επίσης, για τον οπτικό κλάδο αποδεικνύεται, ότι στο όριο μεγάλου μήκους ( k << ) ω + ( k) = + ( k) 8 + Για k << ο ακουστικός κλάδος δίνει μια γραμμική εξάρτηση της κυκλικής συχνότητας ω από το κυματάνυσμα k και περιγράφει τη διάδοση ενός ακουστικού κύματος σε ένα ομοιογενές μέσο, με ταχύτητα ήχου. 7

c ήcου ω ( k) = k ( + ). () Πρόβλημα 3 Δείξτε, ότι σε μια διατομική αλυσίδα, αποτελούμενη από άτομα με εναλλασσόμενες μάζες και Μ και συνδεδεμένα με ελατήρια σταθεράς (βλέπε σχήμα προβλήματος ), το πηλίκο των μετατοπίσεων των δυο διαφορετικών ατόμων στην ίδια κυψελίδα, για το μέσο της ΖΒ (k=) και για τον οπτικό κλάδο, είναι ίσο με. Επίσης, δείξτε, ότι στο άκρο της ΖΒ π k m =, τα δύο υποπλέγματα, τα οποία αντιστοιχούν στα δύο είδη μαζών και Μ, δρουν ανεξάρτητα μεταξύ τους: το ένα κινείται, ενώ το άλλο παραμένει ακίνητο. Λύση Στο μέσο της ΖΒ, k=, η συχνότητα του οπτικού κλάδου δίνεται από την πρώτη των Εξ.() Επίσης, οι Εξ.(8) για k= γράφονται ω = = + + ( k ). ω ( k ) u v + = = u + ω k = v = + ( ) + u v =. u + + v = Λύνοντας ως προς u v ότι, είτε την πρώτη είτε τη δεύτερη του παραπάνω συστήματος βρίσκουμε, u v =. Υποθέτουμε, τώρα, ότι >, χωρίς βλάβη της γενικότητας. Για το δεξί άκρο της ΖΒ, π k =, έχουμε δύο τιμές της κυκλικής συχνότητας ω, μία για κάθε κλάδο της σχέσεως διασποράς ω = ω( k), π ω = ω ( k = ) = και π ω = ω+ ( k = ) =, 7

π οι οποίες προέκυψαν, θέτοντας k = στις σχέσεις (). Λύνοντας ως προς u v και v u την πρώτη και δεύτερη των Εξ.(8) αντίστοιχα, έχουμε [ ep( k) ] u + = v ω. v [ + ep( k) ] = u ω π π Για ω = ω + ( k = ) = και k =, μόνο, η πρώτη των παραπάνω εξισώσεων έχει νόημα, δίνοντας u v =, οπότε το υποπλέγμα των μαζών Μ παραμένει ακίνητο (u=) και κινείται, μόνο, το υποπλέγμα των μαζών Μ. π π Αντίστοιχα, για ω = ω ( k = ) = και k =, μόνο η δεύτερη των παραπάνω εξισώσεων έχει νόημα, δίνοντας v u =. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι το υποπλέγμα των μαζών Μ, το οποίο παραμένει ακίνητο (v=), ενώ κινείται, μόνο, το υποπλέγμα των μαζών Μ. Πρόβλημα 4 Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k) για ένα μονοδιάστατο (Δ) κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενο από όμοια άτομα μάζας, τα οποία συνδέονται εναλλάξ με ελατήρια σταθερών και (βλέπε το παρακάτω σχήμα). Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς που υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brllou (ΖΒ) και σχολιάστε την. Βρείτε τη μορφή της σχέσεως διασποράς στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος, k. Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενη από άτομα ίδιας μάζας Μ, τα οποία αλληλεπιδρούν με ελατήρια 7

διαφορετικών σταθερών ελατηρίου και, με τους πλησιέστερους γείτονές τους. Έτσι η μοναδιαία κυψελίδα αποτελείται από δύο άτομα τύπου Α και Β, όπου τα τύπου Α (Β) αλληλεπιδρούν με το γειτονικό άτομο στα αριστερά (δεξιά) τους, με ελατήριο ( ) και με το άτομο στα δεξιά τους, με ελατήριο ( ). Το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής σταθεράς π.έστω uv, οι μετατοπίσεις των ατόμων τύπου Α και Β σε μια κυψελίδα. Λαμβάνοντας υπόψη αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, ένα άτομο μάζας τύπου A της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( u v + ) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο τύπου Β της ( + ) -οστής κυψελίδας] και ( ) u v από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο τύπου Β της -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου τύπου Α της -οστής κυψελίδας γράφεται du = ( u v+ ) ( u v) du ( ) = + u + v + + v. (3) Αντίστοιχα, ένα άτομο μάζας τύπου Β της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( ) v u από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο τύπου Α της -οστής κυψελίδας] και ( v u ) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο τύπου Α της ( ) -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου τύπου Α της -οστής κυψελίδας γράφεται du = ( v u) ( v u ) du ( ) = + v + u + u. (4) Έχουμε, λοιπόν, να επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων du du ( ) = + u + v + + v. (5) ( ) = + v + u + u Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ω ) ( ω ) u( t) = uep k t, (6) v( t) = v ep k t π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u, v τα πλάτη λ των ταλαντώσεων των ατόμων τύπου Α και Β, αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας τις Εξ.(6) στις Εξ. (5), λαμβάνουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ( ω ) + v [ + ep( k)] u =, (7) [ + ep( k)] v+ + u = ( ω ) 73

Καθώς το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι ομογενές, για να έχει λύση πέρα από την τετριμμένη [ u = v = ], θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών του να είναι μηδέν, δηλαδή + ω [ + ep( k)] det =, [ + ep( k)] ( + ω ) η οποία έχει λύσεις τις + ± + + cos( k) ω ( k) =, (8) όπου από τις παραπάνω λύσεις δεχόμαστε, μόνο, τις θετικές τιμές της κυκλικής συχνότητας ω. Καθεμία από τις τιμές του ω μας δίνει μία τιμή με ω ( k) >. Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς ω = ω( k) έχει δύο κλάδους, οι οποίοι αντιστοιχούν στα δύο διαφορετικά πρόσημα της Εξ.(8). Και οι δύο παραπάνω κλάδοι για = 3 απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, π π εντός της ΖΒ, δηλαδή, k <. ω -π/ k π/ Πρόβλημα 5 Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς για διαμήκη και εγκάρσια φωνόνια, κατά μήκος της διεύθυνσης [] ενός κρυστάλλου cc, τα άτομα του οποίου συνδέονται μέσω ελατηρίων, με τους κοντινότερους γείτονές τους. Λύση Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται δύο διαδοχικές μοναδιαίες κυψελίδες ενός κρυστάλλου cc, καθώς και οι δεσμοί ενός ατόμου με τους πλησιέστερους γείτονές του. 74

Οι θέσεις των πλησιέστερων (πρώτων) γειτόνων συμβολίζονται με R, ενώ το κεντρικό άτομο της παραπάνω εικόνας βρίσκεται στην αρχή των αξόνων R = (,,). Έστω ˆ το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του R. Υποθέτουμε, ότι κάθε άτομο δέχεται ελαστική δύναμη από κάθε πλησιέστερο γείτονα (κάθε άτομο είναι συνδεδεμένο με ελατήρια, με καθένα από τους γείτονές του). Η παραμόρφωση (επιμήκυνση ή συσπείρωση) του ελατηρίου είναι ίση με τη διαφορά των μετατοπίσεων, μεταξύ του κεντρικού και του -οστού ατόμου, προβαλλόμενη στη διεύθυνση του ελατηρίου ˆ, ( ) u u, ˆ όπου u η μετατόπιση του κεντρικού ατόμου και u η μετατόπιση του -οστού πλησιέστερου γείτονα. Η δύναμη F η οποία ασκείται από τον -οστό γείτονα στο κεντρικό άτομο, βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση του ελατηρίου (δηλαδή τη διεύθυνση του ˆ ) και είναι ανάλογη της παραμόρφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ( ) F ˆ ˆ = u u. Οι συνιστώσες της F κατά τους άξονες z,, θα γράφονται ˆ ˆ ˆ z F = F, F = F, Fz = F, z όπου ˆ ˆ = το μοναδιαίο στη διεύθυνση, ˆ ˆ =, στη διεύθυνση, κ.ο.κ. Έχουμε, ˆ F [ ˆ ] ˆ = ( u u ) = ˆ = ( ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ + + z u u + + z ) ˆ ˆ ˆ ˆ + + z ( ) ( ) z ( z z ) = u u + u u + u u F = ( u u ) + ( u u ) + z ( u ) z u z 75

όπου χρησιμοποιήσαμε την ορθοκανονικότητα των ˆ, ˆ, ˆ z : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = z = z =. = = = z Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε τις άλλες δύο συνιστώσες της F, F = ( u u ) + ( u u ) + z ( uz uz ), Fz = z ( u u ) + z ( u u ) + z ( uz uz ) Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τις συνιστώσες των δυνάμεων, τις οποίες ασκούν οι πλησιέστεροι γείτονες στο κεντρικό άτομο: 3 4 5 6 7 8 9 R ( ˆ + ˆ) ( ˆ + ˆ) ( ˆ + ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) ( u u ) + ( u u ) ( + ) F ˆ ˆ z z u u + u u ˆ + ˆ 3 3z z u u + u u ˆ + ˆ z 4 4 u u u u ˆ ˆ 5 5 u u u u ˆ ˆ z ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ ˆ 6 6 ( u u ) + ( u u ) ( + ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) ˆ ˆ 7 7z z z u ˆ ˆ 8 u u8z uz + z z ( u u ) ( u u ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ ˆ 9 9z z z z ( u u ) + ( u u ) ( + ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) ˆ ˆ z z z u ˆ ˆ u uz u z z z ( u u ) ( u u ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ ˆ z z z z ( u u ) + ( u u ) ( + ) Προσθέτοντας όλες τις δυνάμεις που ασκούνται από τους πρώτους γείτονες, στο κεντρικό άτομο, προκύπτει η εξίσωση κίνησης ( ος νόμος Νεύτωνα) του κεντρικού ατόμου για τη διεύθυνση 76

mω u F F F F = = + + + = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mω u u u u u u u uz uz u4 u u4 u ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) + + + + 5 5 6 6 7 7z z ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) _ 8 8z z + 9 + 9z. Το θεώρημα του Bloch μας δίνει, ότι u ep( ) = u k R. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θεωρήματος του Bloch, για καθένα από τους πλησιέστερους γείτονες ενός ατόμου πλέγματος cc u ep( ) = u k R u ep ( ) / = u k + k u = u ep [ k ( ) / + kz ] 3 u ep ( ) / 3 = u k + kz 4 u ep ( ) / 4 = u k k 5 u ep ( ) / 5 = u k + k 6 u ep ( ) / 6 = u k + k 7 u7 = u ep [ k ( ) / kz ] 8 u8 = u ep [ ( k ) / + kz ] 9 u9 = u ep [ k ( ) / + kz ] u ep ( ) / = u k kz u ep ( ) / = u k + kz u ep ( ) / = u k + kz Αντικαθιστώντας τις τιμές του παραπάνω πίνακα για τις μετατοπίσεις u, u,, u στην Εξ. (), λαμβάνουμε, mω + cos( k / + k /) + cos( k / + k z /) + cos( k / k /) + cos( k / k z /) 8]} u () + cos( k / + k /) cos( k / k /) u + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u =. [ ] z z z Κάνοντας τις αντικαταστάσεις, z, z, βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης για τη διεύθυνση () 77

cos( / /) cos( / /) mω + k + k + k + k z ]} + cos( k/ k/) + cos( k/ k/) 8 u z + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u, (3) + cos( k / + k z /) cos( k / k z /) uz = ενώ με τις αντικαταστάσεις z, z, στην Εξ.(), βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης στη διεύθυνση z cos( / /) cos( / /) mω + k z + k + k z + k + cos( k/ k/) + cos( k/ k/) 8 u z z z + cos( k z / + k /) cos( k z / k /) u + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u =. [ ] z z ]} (4) Θέλουμε να υπολογίσουμε τη σχέση διασποράς κατά μήκος της διεύθυνσης []. Αυτό σημαίνει, ότι θα υπολογίσουμε τις σχέσεις διασποράς για τα σημεία της ΖΒ που ικανοποιούν τις παρακάτω k = kz = π. (5) k < Από τις Εξ.() και (5), προκύπτει ο διαμήκης ακουστικός (LA) κλάδος της σχέσης διασποράς κατά μήκος της διεύθυνσης [] k ω = cos m, (6) 4 ενώ τόσο οι Εξ.(3) και (5), όσο και οι Εξ.(4) και (5), δίνουν την ίδια σχέση διασποράς, η οποία αντιστοιχεί στο διπλά εκφυλισμένο εγκάρσιο ακουστικό (TA) κλάδο της σχέσεως διασποράς, κατά μήκος της [] k ω = cos m. (7) Οι σχέσεις διασποράς (6) και (7) απεικονίζονται στην παρακάτω γραφική παράσταση 78

ω LA m TA m Γ (k=) k Χ (k=π/) Πρόβλημα 6 Σε μία Δ περιοδική αλυσίδα πλεγματικής σταθεράς, τα σώματα (άτομα) έχουν μάζα m και συνδέονται με τους πλησιέστερους γείτονές τους, με ελατήρια σταθεράς. Επιπρόσθετα, στις ελαστικές δυνάμεις, σε κάθε σώμα ασκείται μια δύναμη αντίστασης FD = Γ u, όπου u η απομάκρυνση του -οστού σώματος από τη θέση ισορροπίας και u η αντίστοιχη ταχύτητα. Πώς επηρεάζει τη σχέση διασποράς των φωνονίων ω = ω( k) η εισαγωγή μιας δύναμης απωλειών (αντίστασης); Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια Δ ατομική αλυσίδα, αποτελούμενη από ένα άτομο, ανά κυψελίδα. Θεωρούμε αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, το -οστό άτομο της αλυσίδας δέχεται ελαστική δύναμη ( u u + ) από το άτομο, στα δεξιά του και ( u u ) από το άτομο, στα αριστερά του. Επίσης, λαμβάνουμε υπόψη και τη δύναμη αντίστασης πάνω σε κάθε σώμα (άτομο). Η εξίσωση κίνησης του -οστού ατόμου θα γράφεται d u du = ( u u ) ( u u+ ) Γ d u du = [ u u u+ ] Γ. () Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων Bloch ( ) u ( ) ep t = u k ωt, () 79

π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u το πλάτος της λ ταλάντωσης. Αντικαθιστώντας την Εξ. () στην (), λαμβάνουμε ( ) [ ] ( ) ( ) = cos( k) ωγ ep ( k ωt), ω ep k ωt = ep( k) ep( k) ep k ωt + ωγep k ωt η οποία δίνει, τελικά, τη σχέση διασποράς Γ 4 s k Γ ω = ±, (3) όπου χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα cos( ) = s. Από την Εξ.(3) παρατηρούμε τα εξής: Γ (α) Οι συχνότητες των φωνονίων ω είναι μειωμένες κατά, σε σχέση με τις συχνότητες, με την απουσία δυνάμεων αντίστασης. (β) Οι συχνότητες των φωνονίων είναι, τώρα πια, μιγαδικές ποσότητες με φανταστικό μέρος Γ ίσο με. Αυτό σημαίνει, ότι τα φωνόνια δεν είναι πια ιδιοκαταστάσεις της αλυσίδας με άπειρο χρόνο ζωής, αλλά φθίνουν με χαρακτηριστικό χρόνο τ =. Στο παρακάτω Γ σχήμα απεικονίζονται οι σχέσεις διασποράς για =.5 και για διάφορες τιμές των απωλειών Γ. ω Γ/Μ= Γ/Μ=. Γ/Μ=.5 Γ/Μ=. k 8

Πρόβλημα 7 Υπολογίστε την ιδιοσυχνότητα μίας Δ γραμμικής αλυσίδας ατόμων, η οποία περιέχει μια σημειακή ατέλεια (ισότοπο) διαφορετικής μάζας Μ από τα υπόλοιπα άτομα, τα οποία έχουν μάζα m. Υποθέστε, ότι η σημειακή ατέλεια καταλαμβάνει την πλεγματική θέση =, ενώ οι μετατοπίσεις των ατόμων στην αλυσίδα περιγράφονται από τη (δοκιμαστική) συνάρτηση u ep ( ) = u k ω ωt, όπου u η μετατόπιση του ατόμου στη θέση. Τα άτομα συνδέονται με τους πλησιέστερους γείτονές τους, με ελατήρια σταθεράς (βλέπε παρακάτω σχήμα). Λύση Οι εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα για την ατέλεια (=), καθώς και για τις δύο γειτονικές της είναι ή στη γενική περίπτωση Δοκιμάζουμε τη λύση της μορφής στις Εξ. (). Έχουμε du du du ( ) m = u u + u ( ) = u u + u ( ) m = u u + u du ( + ), για m = u u + u. ( ω ) ( ω ), () u = u ep k t, για >, () u = u ep k t, για < [ ] [ ep( ) ep( )], για [ ] mω ep( k) = ep( k) ep( k) + ep( k), για > ω = k + k =, ep( ) ep( ) ep( ) ep( ), για mω k = k k + k < 8

Οι παραπάνω εξισώσεις καταλήγουν σε σύστημα δύο εξισώσεων οι οποίες έχουν λύση [ ] [ ep( ) ep( )] ω = ep( k) = mω k k, m/ ω = m / m και m k = l. (3) Η συχνότητα ω ως συνάρτηση του πηλίκου m απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, όπου ω =. 5 ω/ω 4 3..5..5. /m Για να σχεδιάσουμε την παραπάνω γραφική παράσταση, ακολουθήσαμε την παρακάτω μελέτη, όπου διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις για τη συχνότητα ω: (α) Για > m, η συχνότητα ω είναι φανταστική και το k είναι πραγματικό και αρνητικό. Αυτό σημαίνει, ότι η δοκιμαστική συνάρτηση u ep = u k ωt δεν είναι λύση, αφού αυξάνεται εκθετικά με την απόσταση (με το ). (β) Για < m, η συχνότητα ω είναι πραγματική και το k είναι μιγαδικό. Αυτό σημαίνει, ότι η δοκιμαστική συνάρτηση u ep = u k ωt έχει ταλαντωτική συμπεριφορά (ως προς το χρόνο). Μένει να δούμε τη συμπεριφορά της στο χώρο. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα l( ) = π + l( ), μπορούμε να γράψουμε για το k 8

m k = π + l. Από την παραπάνω σχέση βρίσκουμε, ότι () Για m< < m, το Re( k ) είναι αρνητικό και η δοκιμαστική συνάρτηση αυξάνεται εκθετικά με την απόσταση (με το ). Επομένως, δεν αποτελεί λύση του προβλήματος. () Για < m, το Re( k ) είναι θετικό και επομένως, η δοκιμαστική συνάρτηση είναι αποδεκτή ως λύση, αφού εμφανίζει μια ταλαντωτική συμπεριφορά. Επίσης, το πλάτος της συνάρτησης φθίνει εκθετικά με την απόσταση, από τη σημειακή ατέλεια. Συνοψίζοντας, η δοκιμαστική συνάρτηση u, η οποία μελετήθηκε παραπάνω, αποτελεί λύση του προβλήματος, μόνο όταν < m. Πρόβλημα 8 Θεωρήστε έναν κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή με την παρακάτω Χαμιλτονιανή p H = + ω, όπου Μ η μάζα, ω η συχνότητα, p η ορμή και η θέση του αρμονικού ταλαντωτή. Οι τελεστές θέσης και ορμής ικανοποιούν τη σχέση αντιμετάθεσης [ p, ] καταστροφής και δημιουργίας ορίζονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις =. Οι τελεστές ω = + p ω ω = ω p. (α) Υπολογίστε τον αντιμεταθέτη,. (β) Δείξτε, ότι η Χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί ως H= ω +. (γ) Με συμβολίζουμε την κανονικοποιημένη ιδιοκατάσταση με ενέργεια E ω = +. Δείξτε, ότι = + + και =. Λύση (α) Έχουμε, = = ω ω ω ω = + p p p + p ω ω ω ω = [ p p p + p] = ( p p) = [ p, ] = = (β) Είναι 83

ω ω ω + = ω p + p + ω ω ω p = ω + + ( p p) + ω ω p ω = ω + + + p = + ω = H. (γ) Βρίσκουμε το μέτρο του τελεστή. Είναι H = = + = + ω E ω( + / ) = + = + = + ω ω, () όπου χρησιμοποιήσαμε την κανονικοποίηση των ιδιοκαταστάσεων =, καθώς και την H = E = ω( + ). Από την τελευταία των Εξ.() βρίσκουμε, τελικά, ότι = + ή = + +. Με όμοιο τρόπο = H E / / ω ω = ή =. 84

Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H. Ibch και H. Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ). [] C. Kttel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, 979). [3] N. W. Ashcrot και N. D. erm, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, ). [4] R. Lev, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, 968). [5] Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997). [6] Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 3). [7] Α. Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994). [8] Σ. Η. Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα, 4). [9] Π. Βαρώτσος και Κ. Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995). [] Κ. Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (Ε.Μ.Π., Αθήνα, 3). Ξενόγλωσσα: []. P. rder, Codesed tter Phscs, (Wle, New Jerse, ). [] H. E. Hll, Sold Stte Phscs, (Wle, Brstol, 974). [3] J.. Zm, Prcples o the Theor o Solds, (Cmbrdge, Cmbrdge, 964). [4] H. J. Goldsmd, (ed.), Problems Sold Stte Phscs, (Po Lmted, Lodo, 968). [5] V.. Agrovch d A. A. rdud (eds.), oder Problems Codesed tter Sceces, (Elsever, Amsterdm, 989). [6] A. L. Ivov d S. G. Tkhodeev (eds.), Problems o Codesed tter Phscs, (Oord, Oord, 8). [7] A. Rgmot d P. Crett, Structure o tter, (Sprger, l, 9). Λέξεις-κλειδιά ος νόμος του Νεύτωνα ακουστικός κλάδος ανάστροφο πλέγμα δυναμική πλέγματος ευθύ πλέγμα ζώνες Brllou θεώρημα του Bloch κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής κυματάνυσμα οπτικός κλάδος πολυώνυμο συστήματα γραμμικών ταλαντωτών υποπλέγμα φωνόνια Χαμιλτονιανή 85