Οπτική και κύματα Δημήτρης Παπάζογλου daa@matials.uc.g Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περίθλαση
Κύμα συναντά εμπόδιο - Περίθλαση Τα κύματα παρακάμπτουν το εμπόδιο με αποτέλεσμα η περιοχή της σκιάς να είναι μικρότερη και τα όρια της να είναι πιο ασαφή σε σχέση με την γεωμετρική σκιά. Το φαινόμενο όπου τα κύματα παρακάμπτουν ένα εμπόδιο ονομάζεται περίθλαση. Κυματική διάδοση: Αρχή του Huygns (1665) Κάθε σημείο ενός πρωτεύοντος μετώπου κύματος αποτελεί πηγή σφαιρικών δευτερευόντων κυμάτων, έτσι ώστε σε μιά μεταγενέστερη χρονική στιγμή το κύριο μέτωπο κύματος να είναι η περιβάλλουσα αυτών των κυμάτων. Επίσης τα δευτερεύοντα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα και συχνότητα που είναι ίσες με τις αντίστοιχες του πρωτεύοντος κύματος σε κάθε σημείο στο χώρο. (Huygns 1665) Ερμηνεύει την ανάκλαση & την διάθλαση Αποτυγχάνει να ερμηνεύσει την περίθλαση! Πηγή: wikidia
Κυματική διάδοση: Αρχή του Huygns-Fsnl (180) το πλάτος του κύματος σε κάθε σημείο μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή προκύπτει από την υπέρθεση όλων των δευτερευόντων κυμάτων λαμβάνοντας υπόψη τα πλάτη τους και τις σχετικές τους φάσεις. Ερμηνεύει την ανάκλαση & την διάθλαση και την περίθλαση! Αρχή της επαλληλίας! Πλάτος > λ Πλάτος = λ Πηγή: wikidia Περίθλαση ως μια κατανεμημένη συμβολή συμβολή Περίθλαση από άνοιγμα Συμβολή από δύο πηγές Σημειακές πηγές
Περίθλαση και μήκος κύματος μικρό μήκος κύματος Η περίθλαση εξαρτάται ισχυρά από το μήκος κύματος μεγάλο μήκος κύματος Καθώς το μήκος κύματος αυξάνεται η περίθλαση γίνεται πιο ισχυρή! Περίθλαση και διαστάσεις ανοίγματος μικρό άνοιγμα μεγάλο άνοιγμα πρακτικά δεν παρατηρούμε περίθλαση! Δακτύλιοι περίθλασης Η περίθλαση είναι ισχυρή όταν το πλάτος του ανοίγματος είναι συγκρίσιμο με το μήκος κύματος
Προσέγγιση Fsnl: Εφαρμογή για σημειακή πηγή ζώνες Fsnl ik iks U du ( P) K( ) ds s παράγοντας κλίσης Κ(χ): μέγιστος για χ =0 και μηδέν για χ = π/ ik iks U U( P) K( ) ds s S Hlmhltz Kichhff Αρμονικό κύμα V(,) t U() Εξίσωση Hlmhltz it () () 0, 1 V(, t) U k U k V(,) t 0 t Χρησιμοποιούμε το θεώρημα Gn: V Adv Anˆ ds S ικανοποιούν την κυματική εξίσωση A () U() U() U() U()
A () U() U () U() U () U () U() U () U() U U U U k U U k U U () () () () () () () () 0 Επομένως για την συγκεκριμένη συνάρτηση A ισχύει: S An ˆ ds Adv 0 V Χρησιμοποιούμε ως βοηθητικό κύμα U μια σημειακή πηγή που βρίσκεται στο σημείο P: U() iks s Εφόσον U () είναι απροσδιόριστο στο σημείο P χρησιμοποιούμε σφαιρική επιφάνεια ακτίνας ε που το περιβάλει το επιφανειακό ολοκλήρωμα περιγράφεται ως: S U U () U() [ U () U () ] ds U ˆU U ˆU ( )] ds [ () n () () n n n n S Στην επιφάνεια S : 1 nˆ U() ( ) ik iks iks s iks iks s s nˆ s iks 1 ( ik) nˆ s s Θεωρώντας ότι η σφαιρική επιφάνεια S συρρικνώνεται στο σημείο P: 0 Επίσης από τον ορισμό της στερεάς γωνίας: d ds
lim 0 S [ U( n ) ˆU( ) U( n ) ˆU( )] ds 4 ik ik 1 lim [ U( ) ( ik) nˆ U( )] d 0 0 4 ik ik lim [ U( ) ( 1 ik) nˆ U( )] d 0 0 4 U( P) d4 U( P) 0 1 U( P) [ U( ) ˆU( ) U( ) ˆU( )] ds n n 4 S Θεωρία περίθλασης Kichhff Οριακές συνθήκες Kichhff A: U() Ui () U( ) Ui ( ), n n B: U( ) 0, U() 0 n C: U( ) 0 U() 0 n ik Ui() U ik Ui () 1 U ( ik )cs( n, ) n
iks iks 1 U( ) U( P) U( ) ( ) ds 4 A B C n s s n ik ( s) U UP ( ) i [cs( n, ) cs( ns, )] ds A s Εξίσωση περίθλασης Fsnl - Kichhff παράγοντας κλίσης! Περίθλαση Fsnl, Faunhf Όταν οι διαστάσεις του ανοίγματος Α είναι μικρές σε σχέση με τις αποστάσεις, s,, s cs( n, ) cs( ns, ) cs, ss ( ) U cs ik ( s) U P i ds s A
( x, y, z) (, xy,0) (0,0,0) ( x, y, z) ( x, y,0) ( x, y, z) ( xx, yy, z) s ( x, y, z) ( x, y,0) ( x x, y y, z) x y z, s x y z ( xx ) ( y y ) z x y ( xx y y ) x y z ( xx yy ) x y 1 s ( x x) ( y y) z x y ( xx yy ) x y z s s ( xx yy ) x y s 1 s s Εφαρμόζοντας ανάπτυγμα σε σειρά: 1a 3 4 a a a 5a 1 8 16 18 xx yy x y ( xx yy ) μη γραμμικοί όροι Faunhf 3 xx yy x y ( xx yy) s s s s s 3 Fsnl γραμμικοί όροι
U ik ( s) ik f ( x, y) UP ( ) i ds s A Faunhf: μακρινού πεδίου xx f( x, y) yy cs xx συνθήκη: s yy 4( x y ), s, ( x, y) A Fsnl xx yy xx yy x y 1 1 f( x, y) ( ) s s Περίθλαση Fsnl Περίθλαση Faunhf Η κατανομή της έντασης μεταβάλλεται συνεχώς καθώς απομακρυνόμαστε από το άνοιγμα.
Αν αντί για σημειακή πηγή το πέταμα φωτίζεται με επίπεδο μέτωπο κύματος η κατανομή μακρινού πεδίου (Faunhf) περιγράφεται από την σχέση: τυπικό πλάτος σφαιρικού κύματος σε απόσταση s ik s cs ik s U( P) i U ds s A xx yy μετασχηματισμός Fui (FT) της συνάρτησης ανοίγματος * * Χωρικές συχνότητες: xxyy x ik y s i ( x fxy fy) fx, fy ds A( x, y) dxdy s s A συνάρτηση ανοίγματος 1, ( xy, ) A Axy (, ) 0, ( xy, ) A Γενίκευση για Η/Μ κύμα Γενικεύοντας για φωτισμό από επίπεδο H/M κύμα έντασης ακτινοβολίας I, κάθετα στο άνοιγμα (cs0) και παρατήρηση σε απόσταση η κατανομή μακρινού πεδίου (Faunhf) του ηλεκτρικού πεδίου γράφεται: ik ( x x y y )/ E (,) t E (,) t dxdy i 1 I E (,) t c A ik ( t)
Παραδείγματα: Ορθογώνιο άνοιγμα (, ) hd sinc h sinc d I x y I x y * * sinc x sin x x Τυπικές κατανομές περίθλασης (σε ψευδοχρώματα) από ορθογώνια ανοίγματα Ορθογώνιο άνοιγμα αναλυτικός υπολογισμός d/ y h/ x i y i y E (,) t E (,) t dy dx d/ h/ y d/ / y h i i y i i y E (,) t y x / d h/ d h sin( y) sin( x) E (,) t h d d h y x ( hd ) (, )sinc h d E t xsinc y c * hd h d ( ) (, ) (, ) sinc sinc I E t E t I x y
Ειδική περίπτωση ορθογώνιου ανοίγματος: Σχισμή ( h d) d d (,0) sinc, (, ) 0, 0 I x I y I x y x Τυπικές κατανομές περίθλασης (σε ψευδοχρώματα) από σχισμές Σχισμή αναλυτικός υπολογισμός h d E(, t) ( hde ) (, t)sinc xsinc y h d h sin( x ) 0 x 0 x h sin( x ) 1 x 0 x d d (,0) sinc, (, ) 0, 0 I x I y I x y x d y
Κυκλικό άνοιγμα 1 S D D I() 4 I [ J k q /( k q)] Συνάρτηση Bssl τάξης m i m im ( ucs ) Jm( u) d 0 S D 4 Τυπικές κατανομές περίθλασης (σε ψευδοχρώματα) από κυκλικά ανοίγματα Κυκλικό άνοιγμα αναλυτικός υπολογισμός Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων: x sin, x qsin y cs, x qcs ds dxdy dd xx yy q(cscs sinsin ) qcs Σε αυτό το σύστημα η κατανομή της περίθλασης δίνεται από την σχέση: D/ k i qcs E (,) t E (,) t d d 00 m i im ( ucs ) d m m m( ), m( ) m 1( ) du 0 J u d u J u u J u
D/ kq D / E(,) t E(,) t Jd kq E (,) (,) ' 0 t E t J d 0 kq D D E (, t) J1 0 J10 kq kq d d, D J1 k kq D D D q ( ) E (, t) 4 D k q D J1 k q c * S I() E(,) t E(,) t 4I D k q Διακριτική ικανότητα Κριτήριο ayligh 1. lmin 1. D min D f
Διατεταγμένα περιοδικά ανοίγματα περίθλαση από ένα άνοιγμα ax by sin M sin N I ik ( x xy y )/ I () dxdy ( ) ax by A00 sin sin Παράγοντας συμβολής Διατεταγμένα περιοδικά ανοίγματα αναλυτικός υπολογισμός mna, ik ( xx yy )/ E (,) t E (,) t dxdy mn i 1 I E (,) t c ik ( t) Για κάθε άνοιγμα Α mn μετασχηματίζουμε τις συντεταγμένες x,y στις τοπικές για το άνοιγμα A 00 x m x y nb y M1, N1 ik ( a m xbn y )/ ik ( x xy y )/ E(,) t E(,) t dxdy mn, 0 A 00
M1, N1 M1, N1 ik ( a m x bn y )/ mn, mn, kax kby 1 kax 1 kby i M i N M i m N i n 1 1 kax kby m0 n0 i i ( )( ) kax kax kby kby i M i i N i ik ( am x bn y )/ 1 1 kax kax i M i M kax kby i ( M1) i ( N1) kax kby i m i n kby kby i N i N kax kax kby kby i i i i mn, * kax kby sin Msin N kax kby sin sin * J 1 j0 j J 1 1 kax kby kax sin sin kby M N i ( M1) i ( N1) ik ( x xy y )/ E(,) t E(,) t dxdy kax kby A00 sin sin c I E t E t * () (,) (,) ax by sin M sin N I ( ) ax by sin sin A 00 ik ( x x y y )/ dxdy
Τυπικές τιμές του παράγοντα συμβολής a a q b b g sin ( M q) sin ( N g) sin ( ) sin ( ) q x, g y Μέγιστο Ν (ή Μ ) Τιμή για Ν= (ή Μ=) lim g0 b N g b g sin ( ) sin ( ) N N b g b sin ( g ) sin ( ) b 4cs ( g) Παραδείγματα: σχισμές (πλάτος d, απόσταση α) I d ( ) 4I cs ( )sinc ( ) b d kd sin kb sin tan y
Παραδείγματα: Ν σχισμές (πλάτος d, απόσταση α) I d sin ( N ) () I sinc( ) Ν σχισμές sin ( ) kd sin kb sin tan y Παραδείγματα: διάταξη Μ x N ορθογώνιων ανοιγμάτων Κατανομή έντασης Μ x N ορθογώνιων ανοιγμάτων (πλάτους d και ύψους h): hd sin fam x sin fbn y ( ) sinc sinc sin fax sin fbn y I I f d x f hy * f * Τυπική κατανομή περίθλασης (σε ψευδο-χρώματα) από διάταξη x ορθογώνιων ανοιγμάτων (h = d, = b=d)
(x) (3x) (5x) (5x5) (10x10) (0x0) Τυπικές κατανομές περίθλασης (σε ψευδο-χρώματα) από διατάξεις ορθογώνιων ανοιγμάτων ((h = d, = b=d) Παραδείγματα: διάταξη Μ x N κυκλικών ανοιγμάτων Κατανομή έντασης Μ x N ορθογώνιων ανοιγμάτων (πλάτους d και ύψους h): I S sin sin fam x fbn y J1 fdq () I sin fax sin f f bn y Dq * f * Τυπική κατανομή περίθλασης (σε ψευδο-χρώματα) από διάταξη x κυκλικών ανοιγμάτων ( = b=d)
(x) (3x) (5x) (5x5) (10x10) (0x0) Τυπικές κατανομές περίθλασης (σε ψευδο-χρώματα) από διατάξεις κυκλικών ανοιγμάτων ( = b=d)