Άσκηση Θεωρήματα Δικτύων. Θεώρημα Βρόχων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των βρογχικών ρευμάτων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό των βρογχικών ρευμάτων. Σε ένα κύκλωμα με περισσότερους από έναν βρόγχους, όπως αυτό του σχήματος, ορίζουμε ένα ρεύμα για κάθε βρόγχο. Στο συγκεκριμένο κύκλωμα, τα βρογχικά ρεύματα που μπορούμε να ορίσουμε είναι τρία: Ι, Ι, Ι. Τα βρογχικά αυτά ρεύματα συνδέονται με τα ρεύματα που διαρρέουν την κάθε αντίσταση με τις παρακάτω σχέσεις: i =I i =I - I i =I i =I I i =I Η μέθοδος Για να βρούμε τα βρογχικά ρεύματα, αρκεί η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων n x n, όπου n ο αριθμός των άγνωστων βρογχικών ρευμάτων. Σημειώστε πως το σύστημα αυτό δεν είναι παρά η διατύπωση του νόμου του Ohm σε μορφή πινάκων: [] [I] = [] όπου [] είναι ο πίνακας των αντιστάσεων με διάσταση n x n [I] είναι η στήλη των αγνώστων βρογχικών ρευμάτων, n x και [] είναι η στήλη των σταθερών όρων, των γνωστών τάσεων, n x. Όταν το κύκλωμα περιέχει μόνο ανεξάρητες πηγές τάσης (όχι εξαρτημένες πηγές) ο πίνακας των αντιστάσεων [] κατασκευάζεται εύκολα ακολουθώντας τους εξής απλούς κανόνες: r r rn r r r n r nn
Τα στοιχεία της διαγωνίου, r, r,, r nn, συμπληρώνονται ως εξής: Το r είναι το άθροισμα όλων των αντιστάσεων που διαρρέει το ρεύμα Ι. Το r είναι το άθροισμα όλων των αντιστάσεων που διαρρέει το ρεύμα Ι... Το r nn είναι το άθροισμα όλων των αντιστάσεων που διαρρέει το ρεύμα Ι n. Το πρόσημο είναι πάντα θετικό. Τα εκτός διαγωνίου στοιχεία, r, r, r, r, κλπ, συμπληρώνονται ως εξής: Λόγω συμμετρίας, ισχύει ότι r =r, r =r, κλπ. To στοιχείο r =r είναι το άθροισμα των αντιστάσεων που διαρρέουν από κοινού τα ρεύματα Ι και Ι. Κανόνας προσήμων: Εάν τα ρεύματα Ι και Ι, όταν συναντώνται, είναι συγγραμμικά τότε το πρόσημο του αθροίσματος είναι θετικό. Διαφορετικά, το πρόσημο είναι αρνητικό. Με τον ίδιο τρόπο συμπληρώνονται και οι υπόλοιπες γραμμές της στήλης: To r =r είναι το άθροισμα των αντιστάσεων που διαρρέουν τα ρεύματα Ι και Ι. κ.ο.κ.. Το πρόσημο καθορίζεται πάντα από τον παραπάνω κανόνα. Η στήλη n των σταθερών όρων κατασκευάζεται ως εξής: Στη γραμμή τοποθετείται το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών τάσης που βρίσκονται στη διαδρομή του ρεύματος Ι. Εάν το ρεύμα εισέρχεται από τον αρνητικό πόλο της πηγής το πρόσημο της τάσης είναι θετικό. Εάν εισέρχεται από τον θετικό πόλο το πρόσημο είναι αρνητικό. Με τον ίδιο τρόπο συμπληρώνονται και οι υπόλοιπες γραμμές της στήλης: Στη γραμμή τοποθετείται το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών τάσης που βρίσκονται στη διαδρομή του ρεύματος Ι. κ.ο.κ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στην περίπτωση που υπάρχουν πηγές έντασης και όχι τάσης, μία λύση είναι να μετασχηματίσουμε τις πηγές έντασης σε πηγές τάσης προκειμένου να βρούμε τις τιμές των σταθερών όρων. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν το κύκλωμα περιέχει και εξαρτημένες πηγές οι παραπάνω κανόνες δεν ισχύουν και πρέπει πρώτα να καταστρωθούν οι εξισώσεις Kirchhoff ( ) για κάθε βρόγχο και μετά να γραφεί το σύστημα των n x n εξισώσεων σε μορφή πινάκων.
Εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου στο κύκλωμα της άσκησης.. Ορίζουμε τα βρογχικά ρεύματα (με αυθαίρετες φορές) όπως φαίνεται στο σχήμα.. Κατασκευάζουμε τον πίνακα των αντιστάσεων []:. Κατασκευάζουμε την στήλη των σταθερών όρων []: s. Λύνουμε το σύστημα για τη στήλη των αγνώστων I I I I χρησιμοποιώντας, κατά προτίμηση, την μέθοδο των οριζουσών. s I s I s I. Τέλος, από τα βρογχικά ρεύματα υπολογίζουμε τα ρεύματα που διαρρέουν τον κάθε κλάδο του κυκλώματος, σύμφωνα με τις σχέσεις που δόθηκαν πιο πάνω.
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Α. ΚΥΚΛΩΜΑ s Ι Ι Ι Β. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΟΡΓΑΝΑ Τροφοδοτικό σύστημα συνεχούς ρεύματος (D) μεταβλητής τάσης Βολτόμετρο D Αμπερόμετρο D Ωμόμετρο Πέντε γνωστές ωμικές αντιστάσεις από Κ έως Κ. Ακροδέκτες Γ. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ. Με τη βοήθεια του βολτομέτρου, ρυθμίστε το τροφοδοτικό s στα.. Με τη βοήθεια του ωμομέτρου, επιλέξτε πέντε αντιστάσεις. Προτεινόμενες τιμές: =K, =K, =K, =K, =K.. Πραγματοποιήστε το κύκλωμα του σχήματος.. Μετρήστε: τα άγνωστα βρογχικά ρεύματα: Ι, Ι και Ι. τις τάσεις στα άκρα κάθε αντίστασης:,,,, και.. Καταχωρήστε τις μετρήσεις σε πίνακα.
Δ. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Λύστε θεωρητικά το παραπάνω κύκλωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων και τη μέθοδο των οριζουσών: βρείτε τις τιμές των βρογχικών ρευμάτων I, I, Ι. Χρησιμοποιήστε αυτές τις τιμές για να βρείτε τις θεωρητικές τιμές της τάσης στα άκρα της κάθε αντίστασης. Συμπληρώστε τις θεωρητικές τιμές των I, I, Ι και,,,, στον πίνακα αποτελεσμάτων.. Υπολογίστε τα σχετικά σφάλματα και καταχωρήστε τα επίσης στον πίνακα.. Σχολιάστε την πορεία του πειράματος και προσπαθήστε να ερμηνεύσετε τυχόν αποκλίσεις και σφάλματα. Επαληθεύτηκε πειραματικά η μέθοδος των βρογχικών ρευμάτων;
. Θεώρημα Κόμβων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των κομβικών τάσεων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των κομβικών τάσεων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό των κομβικών τάσεων. Σε ένα κύκλωμα με περισσότερους από δύο κόμβους, όπως αυτό του σχήματος, ορίζουμε ένα δυναμικό για κάθε κόμβο. Στη συνέχεια, ένας από τους κόμβους επιλέγεται ως κόμβος αναφοράς και έτσι οι τάσεις (θυμηθείτε: τάση = διαφορά δυναμικού) των υπόλοιπων κόμβων ορίζονται πλέον ως προς αυτόν. Το κύκλωμα έχει επιλυθεί όταν υπολογίσουμε τις τάσεις των υπόλοιπων κόμβων ως προς τον κόμβο αναφοράς. Στο κύκλωμα της άσκησης, υπάρχουν τρεις κόμβοι συνολικά. Ο ένας επιλέγεται ως κόμβος αναφοράς,. Συνεπώς, οι κομβικές τάσεις που πρέπει να υπολογίσουμε για να λύσουμε το κύκλωμα είναι δύο: και. Όπως παρατηρούμε, οι κομβικές αυτές τάσεις συνδέονται με τις τάσεις στα άκρα κάθε αντίστασης με τις παρακάτω σχέσεις: = S = = = = Για να βρούμε τις κομβικές τάσεις, αρκεί η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων n x n, όπου n είναι ο αριθμός των αγνώστων κομβικών τάσεων. Σημειώστε πως το σύστημα αυτό δεν είναι παρά η διατύπωση του νόμου του Ohm για την αγωγιμότητα, σε μορφή πινάκων: [] [] = [I] όπου [] είναι ο πίνακας των αγωγιμοτήτων με διάσταση n x n [] είναι η στήλη των άγνωστων κομβικών τάσεων, n x [I] είναι η στήλη των σταθερών όρων, των γνωστών ρευμάτων, n x. Όταν το κύκλωμα περιέχει μόνο ανεξάρητες πηγές έντασης (όχι εξαρτημένες πηγές ) ο πίνακας [] κατασκευάζεται εύκολα ακολουθώντας τους εξής απλούς κανόνες: g g g n g g g g n nn Τα στοιχεία της διαγωνίου, g, g,, g nn, συμπληρώνονται ως εξής:
Το g είναι το άθροισμα όλων των αγωγιμοτήτων (=/) που συνδέονται στον κόμβο. Το g είναι το άθροισμα όλων των αγωγιμοτήτων που συνδέονται στον κόμβο... Το g nn είναι το άθροισμα όλων των αγωγιμοτήτων που συνδέονται στον κόμβο n. Το πρόσημο είναι πάντα θετικό. Τα εκτός διαγωνίου στοιχεία, g, g, g, g, κλπ, συμπληρώνονται ως εξής: Λόγω συμμετρίας, ισχύει ότι g =g, g =g, κλπ. To g =g είναι το άθροισμα των κοινών αγωγιμοτήτων μεταξύ των δυο κόμβων και. To g =g είναι το άθροισμα των κοινών αγωγιμοτήτων μεταξύ των δυο κόμβων και. κ.ο.κ.. Το πρόσημο είναι πάντα αρνητικό. Η στήλη I I I I n των σταθερών όρων κατασκευάζεται ως εξής: Στη γραμμή τοποθετείται το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών έντασης που συνδέονται με τον κόμβο. Κανόνας προσήμων: εάν το ρεύμα εισέρχεται στον κόμβο το πρόσημό του είναι θετικό. Εάν απομακρύνεται από τον κόμβο το πρόσημο είναι αρνητικό. Με τον ίδιο τρόπο συμπληρώνονται και οι υπόλοιπες γραμμές της στήλης: Στη γραμμή τοποθετείται το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών έντασης που συνδέονται με τον κόμβο. κ.ο.κ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στην περίπτωση που υπάρχουν πηγές τάσης και όχι έντασης, μία λύση είναι να μετασχηματίσουμε τις πηγές τάσης σε πηγές έντασης προκειμένου να βρούμε τις τιμές των σταθερών όρων. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν το κύκλωμα περιέχει και εξαρτημένες πηγές η παραπάνω μέθοδος δεν εφαρμόζεται και πρέπει πρώτα να καταστρωθούν οι εξισώσεις Kirchhoff ( i ) για κάθε κόμβο και μετά να γραφεί το σύστημα των n x n εξισώσεων σε μορφή πινάκων.
Εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου στο κύκλωμα της άσκησης.. Ορίζουμε τις κομβικές τάσεις όπως φαίνεται στο σχήμα.. Κατασκευάζουμε τον πίνακα των αγωγιμοτήτων []:. Κατασκευάζουμε την στήλη των σταθερών όρων [Ι]: Παρατηρούμε, ότι ο μόνος μη μηδενικός σταθερός προέρχεται από το μετασχηματισμό της πηγής τάσης s σε πηγή έντασης: διαιρούμε την τάση της πηγής s με την αντίσταση που τη συνδέει με τον κόμβο.. Λύνουμε το σύστημα για τη στήλη των αγνώστων χρησιμοποιώντας, κατά προτίμηση, την μέθοδο των οριζουσών.. Τέλος, από τις κομβικές τάσεις υπολογίζουμε τις τάσεις στα άκρα όλων των αντιστάσεων του κυκλώματος, σύμφωνα με τις σχέσεις που δόθηκαν πιο πάνω. I s s s
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Α. ΚΥΚΛΩΜΑ s Β. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΟΡΓΑΝΑ Τροφοδοτικό σύστημα συνεχούς ρεύματος (D) μεταβλητής τάσης Βολτόμετρο D Αμπερόμετρο D Ωμόμετρο Πέντε γνωστές ωμικές αντιστάσεις από Κ έως Κ. Ακροδέκτες Γ. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ 6. Με τη βοήθεια του βολτομέτρου, ρυθμίστε το τροφοδοτικό s στα. 7. Με τη βοήθεια του ωμομέτρου, επιλέξτε πέντε αντιστάσεις. Προτεινόμενες τιμές: =K, =K, =K, =K, =K. 8. Πραγματοποιήστε το κύκλωμα του σχήματος. 9. Μετρήστε: τα ρεύματα που διαρρέουν κάθε αντίσταση: i, i, i, i, και i. τις άγνωστες κομβικές τάσεις:,.. Καταχωρήστε τις μετρήσεις σε πίνακα. Δ. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Λύστε θεωρητικά το παραπάνω κύκλωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κομβικών τάσεων και τη μέθοδο των οριζουσών: βρείτε καταρχήν τις τιμές των κομβικών τάσεων και και στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε αυτές τις τιμές για να βρείτε τις θεωρητικές τιμές των μεγεθών που μετρήσατε, δηλαδή των ρευμάτων και τάσεων κάθε αντίστασης. Επαληθεύστε τις τιμές που υπολογίσατε επιλύοντας το κύκλωμα με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων. Συμπληρώστε τον πίνακα των αποτελεσμάτων.. Υπολογίστε τα σχετικά σφάλματα και καταχωρήστε τα επίσης στον πίνακα. 6. Σχολιάστε την πορεία του πειράματος και προσπαθήστε να ερμηνεύσετε τυχόν αποκλίσεις και σφάλματα. Επαληθεύτηκε πειραματικά η μέθοδος των κομβικών τάσεων;
. Ισοδύναμα κυκλώματα: Αστέρας - Τρίγωνο ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της ισοδυναμίας των συνδεσμολογιών αστέρα (Υ) και τριγώνου (Δ). Είσοδος έξοδος διθύρου. ΘΕΩΡΙΑ Δυο ευρύτατα χρησιμοποιούμενες συνδεσμολογίες είναι αυτές του αστέρα (σχ. ) και του τριγώνου (σχ. ). (Πού χρησιμοποιούνται;). Σημειώστε πως στις συνδεσμολογίες αυτές οι αντιστάσεις δεν είναι ούτε παράλληλες μεταξύ τους ούτε σε σειρά. Α Β σχ. : στέρας b c a Επιπλέον, με κατάλληλη επιλογή αντιστάσεων μπορούμε να μετασχηματίσουμε μια συνδεσμολογία αστέρα (Υ) σε τρίγωνο (Δ) και αντίστροφα έτσι ώστε να πάρουμε ισοδύναμα μεταξύ τους κυκλώματα. Ο μεταχηματισμός αυτός είναι χρήσιμος σε περιπτώσεις που θέλουμε να απλοποιήσουμε ένα κύκλωμα ώστε να γίνει ευκολότερη η επίλυσή του. μετασχηματισμός Υ σε Δ Για να μετασχηματίσουμε έναν αστέρα (γνωρίζουμε τις,, ) σε τρίγωνο (πρέπει να υπολογίσουμε τις a, b, c ) χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις: a b σχ. : Τρίγωνο c μετασχηματισμός Δ σε Υ
Για να μετασχηματίσουμε ένα τρίγωνο (γνωρίζουμε τις a, b, c ) σε αστέρα (πρέπει να υπολογίσουμε τις,, ) χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις: a b b c c a a b c c a a b b c Είσοδος-Έξοδος Διθύρου Συνδεσμολογίες όπως αυτές του αστέρα και του τριγώνου αποκαλούνται δίθυρα: έχουν είσοδο και έξοδο. Στα παραπάνω σχήματα η είσοδος είναι στα σημεία ΑΒ και η έξοδος στα σημεία. Έτσι μπορούμε να ορίσουμε μεγέθη όπως η τάση εισόδου (εξόδου), η αντίσταση εισόδου (εξόδου) και το ρεύμα εισόδου (εξόδου). Αυτός ο τρόπος ανάλυσης κυκλωμάτων περιγράφεται από τη θεωρία τετραπόλων και είναι εξαιρετικά χρήσιμος όταν ένα σύστημα αποτελείται από πολλά δίθυρα ενωμένα μεταξύ τους (όπως π.χ. σε μια γραμμή μεταφοράς) οπότε η έξοδος του ενός είναι η είσοδος του άλλου κ.ο.κ. Ισοδυναμία των συνδεσμολογιών αστέρα τριγώνου Τα κυκλώματα των σχ. - είναι ισοδύναμα μεταξύ τους εάν: μια διέγερση (π.χ. τάση s) στην είσοδο και των δυο κυκλωμάτων έχει ως αποτέλεσμα ίδια απόκριση στην έξοδο (π.χ. η τάση στα άκρα της 7) ή, τα ρεύματα εισόδου/εξόδου (Ι /Ι ) είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις: δηλαδή, το ρεύμα εισόδου στο κύκλωμα του σχ. είναι ίδιο με το ρεύμα εισόδου στο κύκλωμα του σχ. και το ρεύμα εξόδου στο κύκλωμα του σχ. είναι ίδιο με το ρεύμα εξόδου στο κύκλωμα του σχ. ή εάν τα παραπάνω ισχύουν και για τις αντιστάσεις εισόδου / εξόδου ( / ). (Δείξτε ότι οι αντιστάσεις εισόδου και εξόδου είναι ίδιες και στα δυο κυκλώματα.)
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Α. ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ I I s 7 σχ. : συνδεσμολογία αστέρα I I s 6 7 σχ. : συνδεσμολογία τριγώνου Β. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΟΡΓΑΝΑ Τροφοδοτικό σύστημα D μεταβλητής τάσης Βολτόμετρο D Αμπερόμετρο D Ωμόμετρο Επτά ωμικές αντιστάσεις. Ακροδέκτες Γ. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Κύκλωμα ΑΣΤΕΡΑ. Με τη βοήθεια του βολτομέτρου, ρυθμίστε το τροφοδοτικό s στα.. Με τη βοήθεια του ωμομέτρου, επιλέξτε τρεις αντιστάσεις. Προτεινόμενες τιμές: = Ω, =7 Ω, = Ω.. Συνδέστε τις τρεις αντιστάσεις σε αστέρα (χωρίς την πηγή και την 7).. Μετρήστε τις αντιστάσεις,,.. Επιλέξτε μια αντίσταση 7= Ω. 6. Συνδέστε στον αστέρα την πηγή s (στην είσοδο) και την 7 (στην έξοδο).
7. Μετρήστε: τα ρεύματα εισόδου και εξόδου, Ι και Ι. την τάση εξόδου, 7. 8. Καταχωρήστε όλες τις μετρήσεις σε πίνακα. Κύκλωμα ΤΡΙΓΩΝΟΥ 9. Χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους τύπους, υπολογίστε τις αντιστάσεις που πρέπει να χρησιμοποιήσετε για το ισοδύναμο κύκλωμα τριγώνου. Για τις προτεινόμενες τιμές των,, στο βήμα, οι αντίστοιχες τιμές για το τρίγωνο είναι = Ω, = Ω, 6= Ω. Επαληθεύστε τις.. Συνδέστε τις τρεις αντιστάσεις σε τρίγωνο (χωρίς την πηγή και την 7).. Μετρήστε τις αντιστάσεις,,.. Συνδέστε στον αστέρα την πηγή s = (στην είσοδο) και την 7 = Ω (στην έξοδο).. Μετρήστε: τα ρεύματα εισόδου και εξόδου, Ι και Ι. την τάση εξόδου, 7.. Καταχωρήστε όλες τις μετρήσεις σε πίνακα. Δ. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Λύστε τα παραπάνω κυκλώματα ώστε να βρείτε τις θεωρητικές τιμές για τα Ι, Ι και 7. (Μην ξεχάσετε στους υπολογισμούς σας να χρησιμοποιήσετε τις ακριβείς τιμές των αντιστάσεων που χρησιμοποιήσατε και στο εργαστήριο.) Συμπληρώστε τον πίνακα αποτελεσμάτων.. Υπολογίστε τα σχετικά σφάλματα και καταχωρήστε τα επίσης στον πίνακα.. Σχολιάστε την πορεία του πειράματος και προσπαθήστε να ερμηνεύσετε τυχόν αποκλίσεις και σφάλματα. Σχολιάστε τις τιμές των διαφόρων μεγεθών (τάση, ένταση, αντίσταση) στην είσοδο και στην έξοδο του κάθε κυκλώματος. Επαληθεύτηκε πειραματικά η ισοδυναμία των δυο κυκλωμάτων;
. Θεώρημα Thevenin-Norton ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση του θεωρήματος Thévenin. Ισοδύναμα κυκλώματα. ΘΕΩΡΙΑ Στην περίπτωση που δεν ενδιαφερόμαστε για τα ρεύματα ή τις τάσεις παντού σε ένα κύκλωμα αλλά μόνο για το τι συμβαίνει σε δυο συγκεκριμένα σημεία του (σχ. ), δε χρειάζεται να επιλύσουμε ολόκληρο το κύκλωμα. Σύμφωνα με το θεώρημα Thévenin, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με ένα ισοδύναμο και πολύ απλό - κύκλωμα το οποίο θα συμπεριφέρεται όπως και το αρχικό κύκλωμα στα σημεία που μας ενδιαφέρουν. Το ισοδύναμο κύκλωμα Thévenin αποτελείται από μια πηγή τάσης και μια αντίσταση σε σειρά (σχ. ): Πολύπλοκο κύκλωμα oc th σχ. : Μόνο η συμπεριφορά στα άκρα και του κυκλώματος μας ενδιαφέρει. σχ. : Ισοδύναμο κύκλωμα πηγή τάσης oc σε σειρά με αντίσταση th. Ισοδύναμο κύκλωμα: τα κυκλώματα των πιο πάνω σχημάτων λέμε ότι είναι ισοδύναμα γιατί αν συνδέσουμε μια αντίσταση στα άκρα και και στα δύο κυκλώματα αυτή θα εμφανίζει την ίδια τάση στα άκρα της και θα την διαρρέει ρεύμα ίσης έντασης και στις δύο περιπτώσεις. Για να κατασκευάσουμε το ισοδύναμο κύκλωμα Thévenin πρέπει να γνωρίζουμε τις τιμές της τάσης oc και της αντίστασης th. Οι τιμές αυτές μπορούν είτε να υπολογιστούν (χρησιμοποιώντας τις γνωστές τεχνικές ανάλυσης κυκλωμάτων) είτε να μετρηθούν στο εργαστήριο. Η τάση oc λέγεται τάση ανοιχτού κυκλώματος (open circuit) και αντιστοιχεί στην τάση στα άκρα - όταν δεν υπάρχει σε αυτά συνδεδεμένο φορτίο. Η αντίσταση th λέγεται ισοδύναμη αντίσταση Thévenin και είναι η αντίσταση που "βλέπουμε" (μετράμε ή υπολογίζουμε) από τα άκρα - με απενεργοποιημένες όλες τις πηγές του κυκλώματος. (Πώς απενεργοποιείται μια πηγή τάσης και πώς μια πηγή έντασης;) Σύμφωνα με το νόμο του Ohm, ο λόγος της τάσης oc προς την αντίσταση th πρέπει να αντιστοιχεί σε κάποιο ρεύμα. Το ρεύμα αυτό λέγεται ρεύμα βραχυκυκλώσεως (short circuit), i sc, και αντιστοιχεί στο ρεύμα που μετράμε με βραχυκυκλωμένα τα άκρα - και ενεργοποιημένες όλες τις πηγές. Ισοδύναμα, το ρεύμα i sc είναι το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση th όταν βραχυκυκλώσουμε τα άκρα - του ισοδύναμου κυκλώματος. Σε κάθε περίπτωση: isc oc th
(Άλλο ισοδύναμο κύκλωμα είναι το ισοδύναμο κύκλωμα Norton. Περιγράψτε το και σχεδιάστε το. Τι σχέση έχει με το ισοδύναμο κύκλωμα Thévenin ; ) Εφαρμογή του θεωρήματος Thévenin στο κύκλωμα της άσκησης (σχ. ) Η τάση oc Παρατηρούμε ότι η τάση ανοιχτού κυκλώματος oc στα άκρα ισοδυναμεί με την τάση στα άκρα της (γιατί;). Εφαρμόζοντας τον τύπο του διαιρέτη τάσης: oc s Η αντίσταση th Βραχυκυκλώνουμε την πηγή και υπολογίζουμε την ισοδύναμη αντίσταση από τα άκρα : η είναι σε σειρά με τον παράλληλο συνδυασμό των και (σχεδιάστε το κύκλωμα που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της ισοδύναμης αντίστασης th ): th Το ρεύμα i sc Με βραχυκυκλωμένα τα άκρα ΑΒ λύνουμε το κύκλωμα για να βρούμε το ρεύμα i sc : s isc i (Στο συγκεκριμένο παράδειγμα χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων σε συνδυασμό με τη μέθοδο των οριζουσών. Δεν είναι ο μοναδικός τρόπος λύσης. Μπορείτε να υπολογίσετε το ρεύμα i sc χρησιμοποιώντας τον τύπο του διαιρέτη έντασης;) oc ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Επειδή ισχύει πάντα η σχέση isc είναι προφανές ότι δεν χρειάζεται να th υπολογίζουμε και τα τρία μεγέθη. Τα δύο μόνο από τα τρία αρκούν.
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Α. ΚΥΚΛΩΜΑT th s oc σχ. : το υπό μελέτη κύκλωμα σχ. : το ισοδύναμο κύκλωμα Β. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΟΡΓΑΝΑ. Τροφοδοτικό σύστημα D μεταβλητής τάσης. Βολτόμετρο D. Αμπερόμετρο D. Ωμόμετρο. Τέσσερις ωμικές αντιστάσεις 6. Ακροδέκτες Γ. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗ: Το πείραμα που περιγράφεται παρακάτω θα επαναληφθεί δύο φορές: την πρώτη φορά θα χρησιμοποιήσετε ίδιες αντιστάσεις και για τις τρεις,, του κυκλώματος του σχ., ενώ τη δεύτερη φορά θα χρησιμοποιήσετε διαφορετικές τιμές για κάθε αντίσταση. Το πείραμα αυτό αποτελείται από δύο φάσεις: στην πρώτη φάση παίρνετε μετρήσεις στο κύκλωμα του σχ. ενώ στη δεύτερη φάση, με βάση τις μετρήσεις της πρώτης φάσης, κατασκευάζετε το ισοδύναμο κύκλωμα του σχ. για να επαληθεύσετε (;) την ισοδυναμία των δύο κυκλωμάτων και συνεπώς το θεώρημα Thévenin. Α' ΦΑΣΗ: μελέτη του κυκλώματος του σχ.. Με τη βοήθεια του βολτομέτρου, ρυθμίστε το τροφοδοτικό s στα.. Με τη βοήθεια του ωμομέτρου, επιλέξτε τρεις αντιστάσεις. Προτεινόμενες τιμές: (α) ===K και (β) =K, =K και =K. Πραγματοποιήστε το κύκλωμα του σχήματος ( τα άκρα είναι ανοιχτά ).. Μετρήστε: την τάση ανοιχτού κυκλώματος ΑΒ την ισοδύναμη αντίσταση στα άκρα, ΑΒ το ρεύμα βραχυκυκλώσεως i ΑΒ. Καταχωρήστε τις μετρήσεις σε πίνακα.
' ΦΑΣΗ: μελέτη του κυκλώματος του σχ.. Με τη βοήθεια του βολτομέτρου, ρυθμίστε το τροφοδοτικό s έτσι ώστε s= ΑΒ, όπου ΑΒ είναι η τιμή της ανοιχτής τάσης που μετρήσατε στην προηγούμενη φάση.. Με τη βοήθεια του ωμομέτρου, επιλέξτε μια αντίσταση: th = ΑΒ.. Πραγματοποιήστε το κύκλωμα του σχήματος ( τα άκρα είναι ανοιχτά ).. Μετρήστε: το ρεύμα βραχυκυκλώσεως του ισοδύναμου κυκλώματος i' ΑΒ. Είναι τα δυο κυκλώματα ισοδύναμα;. Συμπληρώστε τον πίνακα που φτιάξατε στην πρώτη φάση. Δ. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Υπολογίστε τις θεωρητικές τιμές των, th, και i sc στο κύκλωμα του σχ.. (Στους υπολογισμούς σας, χρησιμοποιήστε τις ακριβείς τιμές των αντιστάσεων που χρησιμοποιήσατε και για τις μετρήσεις σας.). Συμπληρώστε τις τιμές τους στον σχετικό πίνακα.. Υπολογίστε τα σχετικά σφάλματα και καταχωρήστε τα επίσης στον πίνακα.. Σχολιάστε την πορεία του πειράματος και προσπαθήστε να ερμηνεύσετε τυχόν αποκλίσεις και σφάλματα. Επαληθεύτηκε πειραματικά το θεώρημα;