Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας

Τα μαθηματικά της φύσης και της ζωής: μια αντίληψη για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Παρουσίαση ενός αποσπασματικού παραδείγματος από εκπαίδευση εκπαιδευτικών. Περίληψη Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας e-mail: lemonidi@auth.gr Η αντίληψη μας για τη διδασκαλία των Μαθηματικών, που ονομάσαμε «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» δίνει μεγάλη σημασία στις καταστάσεις και τα πραγματικά προβλήματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη διδασκαλία. Θεωρούμε ότι η σύνδεση των Μαθηματικών με την καθημερινή ζωή και τις εμπειρίες των μαθητών αυξάνει το ενδιαφέρον τους και δημιουργεί θετική στάση προς τα μαθηματικά. Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε τέσσερις αρχές διδασκαλίας, που είναι σχετικές με τις δραστηριότητες και τα σενάρια των Μαθηματικών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη διδασκαλία, αλλά επίσης και με τις ικανότητες που πρέπει να διαθέτουν οι εκπαιδευτικοί. Τέλος, παρουσιάζουμε μια περίπτωση από την εκπαίδευση των μελλοντικών δασκάλων στη λογική των «Μαθηματικών της φύσης και της ζωής». Φαίνεται ότι για τους μελλοντικούς δασκάλους η σύνδεση των μαθηματικών εννοιών με τις καθημερινές καταστάσεις δεν γίνεται από μόνη της. Είναι απαραίτητη μια ειδική παρέμβαση, ώστε να γίνουν ικανοί να χρησιμοποιήσουν πιο πλούσιες και ουσιαστικές δραστηριότητες από την καθημερινότητα, στη διδασκαλία τους. Ι. Εισαγωγή Τα «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» είναι μια αντίληψη για τη διδασκαλία των Μαθηματικών που αναπτύχθηκε στο εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών της Φλώρινας. Αυτή η αντίληψη βρίσκει εφαρμογή στη διδασκαλία των Μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση καθώς και στη διδασκαλία των ενηλίκων στα «Σχολεία Δεύτερης Ευκαιρίας». Τα σχολεία αυτά απευθύνονται σε ενήλικες που δεν κατάφεραν να ολοκληρώσουν τις σπουδές τους στο Γυμνάσιο. Στα σχολεία αυτά, η διδασκαλία των Μαθηματικών πραγματοποιείται με τη λογική του μαθηματικού Γραμματισμού ή του Αριθμητισμού. Προφανώς, σε παγκόσμιο επίπεδο, η κυρίαρχη τάση είναι να διδαχτούν τα Μαθηματικά με ένα τρόπο πιο κοντινό με την πραγματικότητα, κυρίως στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι αυτό των Ολλανδών με τα Ρεαλιστικά Μαθηματικά, Realistic Mathematics Education (RME), επηρεασμένα από την οπτική του Freudenthal για τα Μαθηματικά. Ο Freudenthal πιστεύει ότι τα Μαθηματικά οφείλουν να είναι συνδεδεμένα με την πραγματικότητα, βασίζεται, δηλαδή, πολύ στην κοινωνική εμπειρία του παιδιού. Επιμένει στην ιδέα ότι τα μαθηματικά πρέπει να είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Το σημείο στο οποίο επικεντρώνεται η διδασκαλία των Μαθηματικών πρέπει να είναι 1

η μαθηματικοποίηση και τα Μαθηματικά δεν πρέπει να είναι ένα κλειστό σύστημα (Freudenthal, 1968). Η πρότασή μας για τη διδασκαλία των Μαθηματικών δίνει μεγάλη σημασία στις καταστάσεις και τα προβλήματα της πραγματικότητας που χρησιμοποιούνται για την εισαγωγή και την εφαρμογή των μαθηματικών εννοιών. Οι καταστάσεις αυτές αποτελούν το πεδίο στο οποίο εφαρμόζονται τα Μαθηματικά. Με αυτόν τον τρόπο τα Μαθηματικά συνδέονται με την πραγματικότητα. Τα θέματα και τα σενάρια των καταστάσεων αυτών μπορούν να προκαλέσουν ή όχι το ενδιαφέρον των μαθητών. Οι καταστάσεις στις οποίες βρίσκουν την εφαρμογή τους μερικές μαθηματικές έννοιες είναι λοιπόν σημαντικές όσον αφορά τις στάσεις και το ενδιαφέρον των μαθητών. Οι βασικές αρχές της αντίληψης αυτής για τη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι οι ακόλουθες: πρωτίστως να αμβλυνθεί το χάσμα μεταξύ των σχολικών Μαθηματικών και των Μαθηματικών της καθημερινής ζωής. Στη συνέχεια, η διδασκαλία των Μαθηματικών οφείλει να κάνει τους μαθητές να δράσουν και να δεχτούν με ευχαρίστηση τα Μαθηματικά, καλλιεργώντας μια θετική στάση προς αυτά. Από την εμπειρία μας στην εκπαίδευση των μελλοντικών δασκάλων στα Μαθηματικά, παρατηρήσαμε ότι η ικανότητα της σύνδεσης των Μαθηματικών με την πραγματικότητα δεν ήταν δεδομένη: οι μελλοντικοί δάσκαλοι δεν διακρίνουν εύκολα της εφαρμογές μιας φορμαλιστικής μαθηματικής έννοιας, και αντίστροφα, δεν προσδιορίζουν τις μαθηματικές έννοιες σε πραγματικές καταστάσεις. Στην εργασία αυτή, θα παρουσιάσουμε κάποιες διδακτικές αρχές που χαρακτηρίζουν την αντίληψή μας. Οι αρχές αυτές δίνουν κάποιες κατευθυντήριες γραμμές σχετικά με τα θέματα και τα σενάρια που μπορούν να επιλεχτούν σε μια διδασκαλία. Παρουσιάζουμε στη συνέχεια ένα εμπειρικό παράδειγμα από την Πρακτική άσκηση στη Διδακτική των Μαθηματικών που πραγματοποιήθηκε με τους φοιτητές μελλοντικούς δασκάλους. Με το παράδειγμα αυτό δείχνουμε πώς οι φοιτητές οδηγήθηκαν να επιλέξουν και να ενσωματώσουν στα σχέδια της διδασκαλίας τους καταστάσεις από αποσπάσματα της καθημερινής ζωής τα οποία ήταν κατάλληλα και πλούσια. ΙΙ. Κάποιες βασικές αρχές της αντίληψης μας για τη διδασκαλία, που προσδιορίζουν το παιδαγωγικό υλικό Θα περιγράψουμε κάποιες βασικές αρχές που υιοθετούμε για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Οι αρχές αυτές προσδιορίζουν το είδος των καταστάσεων που μπορεί να χρησιμοποιεί ο διδάσκων. Η μάθηση μέσα και έξω από το σχολείο. Προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών. Αν και είναι προφανές ότι μια πιο ισχυρή σύνδεση μεταξύ των σχολικών Μαθηματικών και των Μαθηματικών της καθημερινής ζωής θα εμπλουτίσει τη μάθηση στο σχολείο, είναι πολύ περιορισμένες οι γνώσεις μας σχετικά με τις μαθηματικές ικανότητες των μαθητών μέσα στο πλαίσιο των καθημερινών δραστηριοτήτων. Δεν γνωρίζουμε επιπλέον πώς να προσαρμόσουμε τις εμπειρίες αυτές στα σχολικά προγράμματα. Πραγματοποιήθηκαν πολλές έρευνες σχετικά με το πώς χρησιμοποιούν τα παιδιά των χωρών του Τρίτου κόσμου τα Μαθηματικά στην καθημερινή τους ζωή (Abreu, 1995, Lave, 1977, Nunes et al. 1993, Saxe, 1991). Οι μελέτες αυτές δείχνουν ότι το 2

μαθηματικό περιεχόμενο και η διαδικασία της λύσης ενός προβλήματος που χρησιμοποιείται από τα παιδιά είναι πολύ διαφορετικές μέσα στο σχολείο και έξω από το σχολείο. Φαίνεται επίσης ότι η επιτυχία στις μαθηματικές δραστηριότητες της καθημερινότητας δεν μεταφράζεται αναγκαστικά σε μαθηματικές ικανότητες μέσα στο σχολείο. Σε μια προηγούμενη έρευνα, μελετήσαμε τις προβλέψεις και τις εκτιμήσεις που έκαναν οι ίδιοι οι δάσκαλοι σχετικά με τις αριθμητικές ικανότητες των μαθητών τους στην πρώτη τάξη του Δημοτικού Σχολείου (Lemonidis, Diamantis, Triantafillidou, 2002). Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής δείχνουν ότι αυτές οι προβλέψεις, σε μερικές περιπτώσεις, είναι μακριά από την πραγματικότητα. Για παράδειγμα, οι δάσκαλοι υποτιμούν τις ικανότητες των μαθητών τους στη γραφή των αριθμών, τη λύση απλών προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης, κτλ. Φαίνεται ότι αυτή η συμπεριφορά ενισχύεται από τις οδηγίες του ελληνικού Αναλυτικού Προγράμματος, το οποίο δεν λαμβάνει υπόψη του τις γνώσεις που αποκτούν οι μαθητές πριν την εισαγωγή τους στο σχολείο. Δεδομένου ότι σημαντικό ρόλο στη διαδικασία της μάθησης παίζουν τα ήδη υπάρχοντα γνωστικά σχήματα (:Ο άνθρωπος χτίζει τη νέα γνώση επάνω σε αυτήν που ήδη κατέχει), ο δάσκαλος απαιτείται να γνωρίζει και να προσπαθεί να μάθει τις προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών του. Σε πολλές περιπτώσεις, η προέλευση αυτών των γνώσεων και ικανοτήτων βρίσκεται εκτός του σχολείου. Πλαισιωμένα Μαθηματικά Οι μαθηματικές έννοιες και η εφαρμογή τους πηγάζουν από την ίδια την πραγματικότητα που βιώνουν τα άτομα. Η μάθηση πραγματοποιείται πάντοτε μέσα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο και είναι αποτέλεσμα προσωπικών αναγκών. Συνεπώς, η μάθηση των Μαθηματικών καλό είναι να μη συντελείται σε έναν ουδέτερο και αφηρημένο κόσμο, όπου οι εμπειρίες των παιδιών δεν έχουν θέση. Αυτό σημαίνει ότι η ενεργοποίηση των παιδιών σε καταστάσεις και προβλήματα που τους είναι οικεία, και προέρχονται από τον κόσμο που ζουν, συνεπάγεται περισσότερα κίνητρα και αποτελεσματικότερη μάθηση. Στηριζόμαστε στη βασική παιδαγωγική και διδακτική αρχή σύμφωνα με την οποία ένα άτομο μαθαίνει καλύτερα όταν του δημιουργούνται κίνητρα και ενδιαφέρον για μάθηση και όταν έχει να αντιμετωπίσει μια κατάσταση πρόβλημα, στην οποία εμπλέκεται ενεργά και βιωματικά. Στην πρότασή μας, οι καταστάσεις που χρησιμοποιούνται για την εφαρμογή των Μαθηματικών αναφέρονται στη φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό. Όσον αφορά τη φύση, δίνουμε έμφαση σε κανόνες και συμπεριφορές προστασίας του περιβάλλοντος. Ο πολιτισμός στις περιπτώσεις που ασχολούμαστε είναι η ζωγραφική, η λαϊκή παράδοση και γενικότερα όλα τα έργα τέχνης. Είναι επίσης, η ιστορία των ελληνικών, αλλά και των παγκόσμιων Μαθηματικών. Ο αριθμός των εμπειρικών καταστάσεων στις οποίες βρίσκει εφαρμογή μια μαθηματική έννοια στην καθημερινή ζωή δεν είναι άπειρος. Οι εμπειρικές αυτές καταστάσεις μπορούν, κατά κάποιον τρόπο, να προσδιοριστούν και να αξιολογηθούν. Κάποιες από αυτές της εφαρμογές είναι πιο πλούσιες για τη διδασκαλία από κάποιες άλλες. Ο δάσκαλος θα πρέπει να γνωρίζει αυτές τις εφαρμογές των Μαθηματικών για να μπορεί να τις χρησιμοποιεί στη διδασκαλία του. Η εμπειρία που αποκομίσαμε από την εκπαίδευση των εκπαιδευτικών δείχνει ότι μόνο η γνώση των μαθηματικών εννοιών δεν αρκεί για να είναι σε θέση ο δάσκαλος να αποκαλύψει τις εφαρμογές τους σε καθημερινές καταστάσεις. Χρειάζεται ειδική 3

διδασκαλία στους εκπαιδευτικούς και υποψηφίους εκπαιδευτικούς για να μπορέσουν να συνδέσουν τα Μαθηματικά με τις διαφορές εφαρμογές τους στην καθημερινότητα. Θεωρούμε ότι ένας από τους βασικότερους στόχους για το δάσκαλο των Μαθηματικών είναι η αποπλαισιοποίηση των πραγματικών καταστάσεων, προκειμένου να αναδειχθεί η τυπική μαθηματική έννοια και οι σχέσεις μεταξύ των εννοιών. Δηλαδή ξεκινώντας από εμπειρικές και πλαισιωμένες καταστάσεις να καταλήγει στις μαθηματικές έννοιες με διαδοχικές αφαιρέσεις. Αλλά δεν παίρνουμε υπόψη μας ότι προϋπόθεση για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι να μπορεί ο διδάσκων να πραγματοποιεί την πλαισιοποίηση των μαθηματικών εννοιών που αυτός ήδη κατέχει. Δηλαδή να μπορεί να βρίσκει και να επιλέγει τις κατάλληλες εφαρμογές για τη διδασκαλία των μαθηματικών εννοιών που αποτελούν το περιεχόμενο του μαθήματός του.. Οι διασυνδέσεις των μαθηματικών εννοιών και οι σχέσεις τους με τα άλλα αντικείμενα Εκτός από την πλαισιοποίηση, βασικός στόχος της διδασκαλίας είναι η σύνδεση των Μαθηματικών με τα άλλα αντικείμενα του Αναλυτικού Προγράμματος. Με αυτόν τον τρόπο οι μαθητές θα μπορούν να βλέπουν τα Μαθηματικά ως ένα μέσον για να αποκτήσει νόημα ο κόσμος τους. Τα τελευταία Αναλυτικά Προγράμματα στην Ελλάδα 1 (Δ.Ε.Π.Π.Σ.) δίνουν μεγάλη έμφαση στη διασύνδεση των μαθηματικών εννοιών μεταξύ τους, αλλά και με τα άλλα αντικείμενα που διδάσκεται ο μαθητής. Τονίζεται ότι τα Μαθηματικά δεν πρέπει να παρουσιάζονται ως μια σειρά από ξεκομμένα και αφηρημένα θέματα, τα οποία δεν συνδέονται καθόλου με τα άλλα γνωστικά αντικείμενα. Πρέπει να δίνεται η δυνατότητα στο παιδί να χειριστεί και να ανακαλύψει έννοιες, μέσα σε ένα πλαίσιο που προσφέρει μια σύνδεση μεταξύ αυτών των εννοιών. Εξάλλου, τα Μαθηματικά αποτελούνται από αλληλοεξαρτώμενες και αλληλοσυνδεόμενες έννοιες, και όχι από χωριστά αντικείμενα τα οποία μπορούν να διδαχτούν αποκομμένα το ένα από το άλλο. Η σύνδεση με τα άλλα αντικείμενα δημιουργεί μια πλατιά εννοιολογική βάση, στην οποία η γνώση γίνεται πλουσιότερη και πιο πολύπλευρη. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκύπτει η ανάγκη να αποκτήσουν οι εκπαιδευτικοί την ικανότητα να χειρίζονται ένα υλικό για τη διδασκαλία των Μαθηματικών, το οποίο να έχει τα χαρακτηριστικά της διαθεματικής προσέγγισης. Διάφοροι τρόποι σημειολογικής αναπαράστασης του υλικού. Οι χειρισμοί των διδασκόντων. Έρευνες έχουν δείξει ότι η διαφοροποίηση του σημειολογικού τρόπου παρουσίασης μιας μαθηματικής έννοιας μπορεί να διαφοροποιεί και τη συμπεριφορά των μαθητών (Duval 1995; Lemonidis 2003a). Οι διαφορετικές αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων παίζουν ένα πολύ σημαντικό ρόλο στη διδασκαλία και τη μάθηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών (Λεμονίδης 2003α). 1 Ήδη από το 1923 η «National Committee on Mathematical Requirements» είχε προτείνει ένα ολοκληρωμένο Αναλυτικό Πρόγραμμα (curriculum) που να δίνει έμφαση στη λειτουργικότητα. Το 1940 η «Commission on the Secondary School Curriculum of the Progressive Education Association» υπογράμμισε πάλι την ανάγκη για ένα curriculum που θα αναδεικνύει τις συνδέσεις μεταξύ των διαφόρων θεματικών περιοχών. 4

Αυτές οι αναπαραστάσεις μπορούν να εμφανιστούν με διαφορετικές μορφές όπως εικονικά, συμβολικά, κτλ. Οι διαφορετικές εκφράσεις μιας έννοιας αφ ενός μεν προϋποθέτουν διαφορετικές καταστάσεις διδασκαλίας (δεδομένου ότι ενεργοποιούν διαφορετικές στρατηγικές εκ μέρους των μαθητών) και αφ ετέρου απαιτούν διάφορους τύπους (και επίπεδα) κατανόησης από την μεριά των μαθητών. Τα αποτελέσματα από έρευνες που έχουμε ήδη πραγματοποιήσει δείχνουν ότι -όσον αφορά την ικανότητα εκτέλεσης απλών πράξεων-, η πειραματική ομάδα που διδάχτηκε με διαφορετικές αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων είχε αποτελέσματα πολύ καλύτερα από τη δεύτερη ομάδα που διδάχτηκε με τον παραδοσιακό τρόπο. Σε μια διδασκαλία λοιπόν, παίζει σημαντικό ρόλο ο σημειολογικός τρόπος με τον οποίο παρουσιάζονται στους μαθητές οι διάφορες διδακτικές δραστηριότητες. Ειδικά στις μικρές ηλικίες, η παρουσίαση δραστηριοτήτων με τη χρήση ποικίλων μορφών αναπαράστασης (με φυσικά αντικείμενα, εικονικές αναπαραστάσεις ή συμβολικές αναπαραστάσεις), διαφοροποιεί τη συμπεριφορά των μαθητών και απαιτεί διαφορετικού τύπου γνωστική διαχείριση. Αυτό σημαίνει ότι ο διδάσκων θα πρέπει να γνωρίζει και να μπορεί να χειρίζεται τις διαφοροποιήσεις στη σημειολογική παρουσίαση των καταστάσεων με βάση τις γνωστικές δυνατότητες των παιδιών. Σε έρευνα που πραγματοποιήσαμε (Lemonidis, 2003b) με υποψήφιους δασκάλους προκειμένου να εξεταστούν οι ικανότητές τους να αξιολογούν και να χειρίζονται τις διάφορες αναπαραστάσεις των αριθμητικών ποσοτήτων σε καταστάσεις διδασκαλίας, διαπιστώσαμε ότι οι υποψήφιοι δάσκαλοι παρουσιάζουν σοβαρές αδυναμίες στο χαρακτηρισμό και χειρισμό αυτών των αναπαραστάσεων. ΙΙΙ. Ένα παράδειγμα άσκησης από την εκπαίδευση των φοιτητών στη διδασκαλία των Μαθηματικών Θα περιγράψουμε μια άσκηση που πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος της πρακτικής άσκησης στα Μαθηματικά στο 3 ο έτος σπουδών (ΣΤ εξάμηνο) των υποψηφίων δασκάλων του Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας. Αυτοί οι φοιτητές είχαν ήδη διδαχτεί δύο εξαμηνιαία μαθήματα σχετικά με το αντικείμενο των Μαθηματικών και ένα εξαμηνιαίο μάθημα Διδακτικής των Μαθηματικών. Στο μάθημα αυτό 2 συμμετείχαν 22 φοιτητές, οι οποίοι επρόκειτο να πραγματοποιήσουν, ο καθένας, μια διδασκαλία στα Μαθηματικά. Η άσκηση που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια, δόθηκε κατά τη διάρκεια του πρώτου μέρους του μαθήματος. Όταν, δηλαδή, οι φοιτητές προετοιμάζονταν θεωρητικά για τη διδασκαλία τους. Πρώτη φάση: Κατασκευή δραστηριοτήτων από τους φοιτητές Οι φοιτητές χωρίστηκαν σε ομάδες και σε όλες τις ομάδες δόθηκε να αναπτύξουν μια διδασκαλία για την Γ τάξη του δημοτικού με θέμα: «Οι αριθμοί μέχρι το 10.000». Τονίστηκε στους φοιτητές ότι πρέπει να καταβάλουν προσπάθεια να αναπτύξουν εισαγωγικές δραστηριότητες που θα συνδέουν τα Μαθηματικά με την πραγματικότητα και τη ζωή των μαθητών. Τους ζητήθηκε επίσης να αναπτύξουν το αντικείμενο με ένα χαρακτήρα διαθεματικότητας. Οι προτάσεις που ανέπτυξαν οι 2 Το πρώτο μέρος του μαθήματος είναι θεωρητικό και προετοιμάζει τους φοιτητές για τη διδασκαλία τους. Στο δεύτερο μέρος οι φοιτητές πραγματοποιούν τη διδασκαλία τους και αξιολογούνται για αυτήν. 5

φοιτητές, σχετικά με το περιεχόμενο των εισαγωγικών δραστηριοτήτων, ήταν φτωχές, περιορισμένης φαντασίας και στερεότυπες σε κάποια θέματα της περιβαλλοντικής εκπαίδευσης. Δεύτερη φάση: Εξοικείωση των φοιτητών με το υπάρχον εκπαιδευτικό υλικό 3 Στη φάση αυτή οι φοιτητές εργάστηκαν στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές όπου υπήρχαν αποθηκευμένες διάφορες διδασκαλίες σχετικές με το θέμα των πολυψήφιων αριθμών. Οι διδασκαλίες αυτές είχαν αναπτυχθεί με τη λογική των «Μαθηματικών της φύσης και της ζωής» που αναφέρουμε παραπάνω. Οι εμπειρικές καταστάσεις οι οποίες είχαν χρησιμοποιηθεί στις διδασκαλίες των διψήφιων και πολυψήφιων αριθμών και που είχαν την ευκαιρία να παρατηρήσουν οι φοιτητές ήταν: Το χρήμα και οι ανταλλαγές μεταξύ των νομισμάτων, παιχνίδια (όπως το παιχνίδι του ταμία), συμπλήρωση επιταγών όπου οι αριθμοί παρουσιάζονται με διαφορετική σημειολογική μορφή, διαχείριση χρηματικών ποσών σε διάφορες καταστάσεις (όπως πχ προϋπολογισμοί έργων), χιλιομετρικοί πίνακες αποστάσεων μεταξύ των πόλεων, πληθυσμοί χωριών και πόλεων, τα ύψη των βουνών, τα μήκη των ποταμών, το βάρος των ζώων (όπως η αρκούδα, ο ελέφαντας κτλ), οι αριθμοί των δωματίων σε ένα ξενοδοχείο, τα κεριά στην τούρτα των γενεθλίων (μεγάλα κεριά που αντιστοιχούν σε 10 χρόνια και μικρά που αντιστοιχούν σε ένα), μετρητής χιλιομέτρων αυτοκινήτου, μετρητής λίτρων βενζίνης, σχηματισμός αριθμών στην αριθμομηχανή, γραφικές παραστάσεις (όπου για παράδειγμα πληθυσμοί χωριών που αναπαρίστανται σε ραβδογράμματα). Όσον αφορά την ιστορία των Μαθηματικών παρουσιάζονται το Ρωμαϊκό και το Ελληνικό σύστημα αρίθμησης και πραγματοποιούνται δραστηριότητες μετατροπής αριθμών στα συστήματα αυτά. Γίνεται αναφορά στους άβακες και στους διάφορους πολιτισμούς που τους χρησιμοποιούσαν και τους χρησιμοποιούν ακόμη και σήμερα. Χρησιμοποιήθηκαν οι κάθετοι άβακες για να παρουσιάζονται σχηματικά και να διαχωρίζονται οι διάφορες μονάδες στους αριθμούς. Υπήρχε επίσης ένα παιχνίδι ρόλων που λέγεται: «Οι λογοτέχνες, οι ζωγράφοι και οι μαθηματικοί». Στο παιχνίδι αυτό οι αριθμοί παρουσιάζονται με διαφορετικό σημειολογικό τρόπο. Οι λογοτέχνες γράφουν τους αριθμούς με λέξεις, οι μαθηματικοί με ψηφία και οι ζωγράφοι τους ζωγραφίζουν επάνω στους άβακες. Σχετικά με τη γλώσσα και τη λογοτεχνία υπήρχαν κάποια κομμάτια από ιστορίες, στις οποίες εμπεριέχονταν πολυψήφιοι αριθμοί. Τρίτη φάση: Οι τελικές διδασκαλίες των φοιτητών Αφού οι φοιτητές είδαν αρκετό εκπαιδευτικό υλικό για τη διδασκαλία των πολυψηφίων αριθμών άλλαξαν τα σενάρια των δραστηριοτήτων τους και ανέπτυξαν νέα, προκειμένου να τα χρησιμοποιήσουν στις διδασκαλίες τους. Οι διδασκαλίες και οι δραστηριότητες που ανέπτυξαν οι φοιτητές σε αυτή τη φάση ήταν πολύ πιο πλούσιες και πιο ουσιαστικές σχετικά με τις πραγματικές καταστάσεις που 3 Στη Φλώρινα, στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας, στην πρακτική άσκηση της Διδακτικής των Μαθηματικών προσπαθούμε να ασκήσουμε τους φοιτητές σε ένα ψηφιακό περιβάλλον. Κατασκευάσαμε το «Ψηφιακό εργαστήριο της Διδακτικής των Μαθηματικών», που περιέχει πολλά παραδείγματα διδασκαλίας, προγράμματα που εξοικειώνουν τους φοιτητές με τις διδακτικές έννοιες, κτλ. Παράδειγμα ενός τέτοιου προγράμματος είναι «Οι στόχοι» που εξασκεί τους φοιτητές στους στόχους μιας διδασκαλίας. 6

διαπραγματεύονταν. Ενδεικτικά αναφέρουμε στη συνέχεια κάποια θέματα από τις διδασκαλίες που επέλεξαν: - Παιχνίδι με μάρκες. Εδώ οι φοιτητές ανέπτυξαν ένα παιχνίδι με μάρκες όπου οι μάρκες ανάλογα με το χρώμα τους είχαν διαφορετική αξία σύμφωνα με τις μονάδες του συστήματος αρίθμησης. - Συνταγές στη μαγειρική (:μέτρηση σε ml). - Σχέδιο εργασίας (project) με θέμα το ψυγείο (:Η ιστορία του, τιμές ψυγείων, πιθανό περιεχόμενο, εξοικονόμηση ενέργειας). - Σχέδιο εργασίας με θέμα το αυτοκίνητο (:Οι αριθμοί στο μετρητή των χιλιομέτρων και στις πινακίδες των αυτοκινήτων, κανόνες οδικής κυκλοφορίας και σήματα). - Οι λίμνες (:Το βάθος της μεγάλων λιμνών του κόσμου). - Τα αθλήματα των ολυμπιακών αγώνων (: Αθλήματα δρόμου, μήκη και επιφάνειες γηπέδων). IV. Συμπεράσματα Η αντίληψή μας για τη διδασκαλία των Μαθηματικών που αναπτύξαμε, απαιτεί μεγαλύτερη σύνδεση των Μαθηματικών του σχολείου με τις καθημερινές καταστάσεις της ζωής, τις εμπειρίες και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών. Σύμφωνα με αυτή την αντίληψη παρουσιάσαμε τέσσερις αρχές, οι οποίες καθορίζουν το περιεχόμενο και τα σενάρια του εκπαιδευτικού υλικού που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη διδασκαλία. Οι αρχές αυτές καθορίζουν και κάποιες ικανότητες που πρέπει να διαθέτουν οι εκπαιδευτικοί. Αυτές οι ικανότητες είναι: Να μπορούν α) να συνδέουν τα σχολικά Μαθηματικά με τα Μαθηματικά της πραγματικής ζωής. Να διαπιστώνουν και να εκμεταλλεύονται τις κοινωνικές, τις προϋπάρχουσες και τις άτυπες γνώσεις μαθητών τους. β) να «αποπλαισιώνουν» εμπειρικές καταστάσεις και με διαδοχικές αφαιρέσεις να φτάνουν στις τυπικές μαθηματικές έννοιες που αποτελούν το στόχο της διδασκαλίας. Αντίστροφα να βρίσκουν κατάλληλες εφαρμογές των μαθηματικών εννοιών στο πλαίσιο της πραγματικότητας και της καθημερινής εμπειρίας των μαθητών. («πλαισοποίηση»). γ) να συνδέουν τα Μαθηματικά με τα άλλα γνωστικά αντικείμενα μέσα από τη λογική της διαθεματικής διδασκαλίας. δ) να χειρίζονται το διδακτικό υλικό με διάφορους τρόπους σημειολογικής αναπαράστασης, σύμφωνα με τις ικανότητες των μαθητών τους. Μπορούμε να διαπιστώσουμε, από το παράδειγμα που παρουσιάσαμε, αλλά και από την εμπειρία μας στην εκπαίδευση των εκπαιδευτικών, ότι η σύνδεση των Μαθηματικών με τα φαινόμενα και τις καθημερινές καταστάσεις της ζωής δεν είναι προφανής για τους εκπαιδευτικούς, οπότε απαιτείται εκ μέρους των ειδικών- ειδική διδακτική παρέμβαση. Πρέπει δηλαδή να παρουσιάζονται στους εκπαιδευτικούς μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών των μαθηματικών εννοιών στην καθημερινή ζωή, τουλάχιστον αυτών που είναι οι πιο σημαντικές. Οι εκπαιδευτικοί ή οι μελλοντικοί εκπαιδευτικοί με βάση αυτές τις εφαρμογές θα μπορούν να τις εμπλουτίσουν, να δημιουργήσουν άλλες και να επιλέξουν συνειδητά αυτές που είναι οι πλέον κατάλληλες για διδασκαλία τους. 7

Αναφορές Abreu, G. de (1995b), Understanding how children experience the relationship between home and school mathematics. Mind, Culture and Activity: An International Journal, 2,119-142. Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών (Δ.Ε.Π.Π.Σ) και Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών (Α.Π.Σ.) υποχρεωτικής εκπαίδευσης (2002), Υπουργείο εθνικής παιδείας και θρησκευμάτων. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Commission on the Secondary School Curriculum of the Progressive Education Association (1940), Committee on the Function of Mathematics in General Education, Mathematics in General Education. New York: D. Appleton-Century Co. Duval, R. (1995), Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuells, Berne: Peter Lang. Freudenthal, H. (1968), Why to Teach Mathematics so as to Be Useful, Educational Studies in Mathematics, 1, 3-8. Lemonidis, Ch., Diamantis, A., Triantafillidou, E. (2002), Teachers estimate the arithmetic skills of their students when they enter the First Grade of Primary School, ICTM 2. 1-6 July, Rethimnon. Lemonidis, Ch. (2003a), L enseignement des premières notions arithmétiques selon l analyse des différentes représentations des quantités. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives vol. 9, (parti 2) des actes du colloque Argentoratum 2002, pages 103 117, Strasbourg, France. Lemonidis, Ch. (2003b), Η αναπαράσταση των ποσοτήτων στις αριθμητικές έννοιες και η ικανότητα των υποψηφίων δασκάλων να τις χειριστούν. Επιστημονική επετηρίδα της Ψυχολογικής Εταιρείας Βορείου Ελλάδος, τόμος 1, σελ. 291-308, Εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα. Lave, J. (1977), Cognitive consequences of traditional apprenticeship training in West Africa. Anthropology and Education Quarterly, 8,177-180. National Committee on Mathematical Requirements of the MAA (1923), The Reorganization of Mathematics in Secondary Education. Buffalo, N. Y.: Mathematical Association of America. Nunes, T., Schliemann, A., & Carraher, D. (1993), Street mathematics and school mathematics. Cambridge, England: Cambridge University Press. Saxe, G. B. (1991), Culture and cognitive development: Studies in mathematical understanding. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. 8