3ωρη ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: Μηχανικό στερεό

ωρη ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: Μηχανικό στερεό Θέμα Α (5Χ5 μονάδες) Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής -4 αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α. Η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυκλικού δίσκου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάετος στο επίπεδό του δίνεται από τη σχέση : I m όπου m η μάζα και η ακτίνα του δίσκου. Αν Ι είναι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα παράλληλο με τον προηγούμενο που περνάει όμως από το μέσο μιας ακτίνας τότε ισχύει : α. I 5 I β. I I γ. I I δ. I I Α. Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων: α. Εξαρτάται από το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζεται. β. Είναι ίση με το άροισμα των μέτρων των ροπών των δυνάμεων που αποτελούν το ζεύγος. γ. Είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείου του επιπέδου των δυνάμεων. δ. Είναι ανεξάρτητη από την απόσταση των φορέων των δυνάμεων. Α. Ένας αλητής του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται με σταερή γωνιακή ταχύτητα χωρίς την επίδραση εξωτερικών ροπών. Κάποια στιγμή συμπτύσσει τα άκρα του με αποτέλεσμα να υποδιπλασιαστεί η ροπή αδράνειάς του γύρω από τον άξονα περιστροφής του. Η περιστροφική κινητική ενέργεια του αλητή : α. Παραμένει σταερή β.υποδιπλασιάζεται γ. Διπλασιάζεται δ.τετραπλασιάζεται. Α4. Η αλγεβρική τιμή της γωνιακής ταχύτητας με την οποία περιστρέφεται ένα μηχανικό στερεό παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η γωνιακή μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0-5s είναι: α. 75rad β. 50rad γ. 00rad δ. 00rad 0

Α5. Για κάε μία από τις παρακάτω προτάσεις οι οποίες αναφέρονται στο διπλανό σχήμα σημειώστε στο φύλλο απαντήσεων το γράμμα της πρότασης και δεξιά της τη λέξη Σωστή εάν τη εωρείς σωστή ή τη λέξη Λάος εάν τη εωρείς λανασμένη. Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα m, μήκος και περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο. Τη στιγμή t η ράβδος σχηματίζει γωνία με την κατακόρυφη, κατέρχεται και έχει γωνιακή ταχύτητα ω. Ο Κ m, Α α. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας τη χρονική στιγμή t είναι κάετο στο επίπεδο του σχήματος, έχει φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα και διέρχεται από το μέσο Κ της ράβδου. β. Καώς η ράβδος κατεβαίνει, η γωνιακή της ταχύτητα αυξάνεται με σταερό ρυμό. γ. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας α γίνει μέγιστο τη στιγμή που η ράβδος α γίνει κατακόρυφη. δ. Η συνισταμένη ροπή ως προς το Ο τη χρονική στιγμή t έχει μέτρο mg συν ε. Ο ρυμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη χρονική στιγμή t είναι ίσος με mgω ηµ Θέμα Β Β. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένας μικρός οδοστρωτήρας ο οποίος εωρείται ομογενής κύλινδρος μάζας M και ακτίνας. Μια σταερή οριζόντια δύναμη F ασκείται στον οδοστρωτήρα με αποτέλεσμα αυτός να κυλίεται χωρίς να ολισαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι IK M. Α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του οδοστρωτήρα είναι : F F F α. a β. a γ. a M M M Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ( μονάδα) ( μονάδες) Β. Η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής για να μην έχουμε ολίσηση είναι: F F F α. μ min β. μ min γ. μmin Mg Mg Mg Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ( μονάδα) ( μονάδες)

M F Β. Ένα μικρό κομμάτι πλαστελίνης μάζας m και ταχύτητας μέτρου u κινείται προς ένα ομογενή κύλινδρο ακτίνας και μάζας M όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο κύλινδρος αρχικά είναι ακίνητος και στερεωμένος σε σταερό, αβαρή οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του. Οι τριβές με τον άξονα εωρούνται αμελητέες. Η διεύυνση της κίνησης της πλαστελίνης είναι κάετη στον άξονα και απέχει απόσταση d< από το κέντρο. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Iκ Μ. Η γωνιακή ταχύτητα που α αποκτήσει το σύστημα μόλις η πλαστελίνη κολλήσει στην περιφέρεια του κυλίνδρου είναι : mud mud mud α. ω β. ω γ. ω M + md (M + m) M Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδα) Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5 μονάδες) m u d M

Β. Ερώτηση του συναδέλφου Θ. Παπασγουρίδη από το ylikonet.gr Μια μικρή σφαίρα μάζας m και ακτίνας αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος h σε κεκλιμένο h επίπεδο και κατέρχεται κυλιόμενη χωρίς να ολισαίνει. Στη συνέχεια κυλίεται χωρίς ολίσηση σε οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγμή αρχίζει να ανέρχεται σε δεύτερο, λείο κεκλιμένο επίπεδο ίδιας γωνίας κλίσης. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μία διάμετρό της είναι ίση με I 5 φαινόμενα κρούσης κατά το πέρασμα από το κεκλιμένο στο οριζόντιο επίπεδο και αντιστρόφως. Στο δεύτερο επίπεδο η σφαίρα α φτάσει σε ύψος h όπου: m. Θεωρείστε την ακτίνα της σφαίρας αμελητέα σε σχέση με το ύψος h και αγνοήστε α. h 5h h β. h γ. h 7 Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδες) Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5 μονάδες) h Β4. Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ του σχήματος έχει μάζα m, μήκος και μπορεί να Ο περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα κάετο σ αυτήν ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο, όπου ΟΓ. Αρχικά η 4 m, ράβδος είναι ακίνητη και ισορροπεί κατακόρυφη με το άκρο της Α στην Α κατώτατη έση. Τη χρονική στιγμή t0 στο άκρο Α της ράβδου και κάετα σ mg αυτήν ασκείται δύναμη F με μέτρο F <. Η δύναμη είναι διαρκώς κάετη στη ράβδο. Η ράβδος αρχίζει να ανεβαίνει και αποκτά μέγιστη γωνιακή ταχύτητα όταν έχει στραφεί κατά γωνία. Ισχύει: F F F α. ηµ β. ηµ γ. ηµ mg mg mg Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδα) Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5 μονάδες) Γ

Θέμα Γ Άσκηση του συναδέλφου Θ. Παπασγουρίδη από το ylikonet.gr (6+6+6+7 μονάδες) Η λεπτή ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα m kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος με τροχαλία μάζας Μ6kg και ακτίνας όπως φαίνεται στο σχήμα ενώ το άλλο στο άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m kg. Η ράβδος, η τροχαλία και το σώμα Σ βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Ο m M Α m Σ Ασκώντας δύναμη F στο σώμα Σ το σύστημα ισορροπεί και η ράβδος είναι οριζόντια. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F και να προσδιορίσετε τη φορά της. Γ. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής στο Ο. Καταργώντας τη δύναμη F αφήνουμε το σύστημα ελεύερο να κινηεί τη χρονική στιγμή t0. Γ. Να δείξετε ότι ισχύει a γων, α γων, όπου α γων, η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου και α γων, η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t0. Γ4. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t0. Θεωρείστε ότι το νήμα δεν ολισαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάετο σ αυτήν ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας της δίνεται από τη σχέση I, ρ m ενώ η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάετος στο επίπεδό της δίνεται από τη σχέση I, τρ M. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g0m/s.

Θέμα Δ Άσκηση συναδέλφου από το ylikonet.gr (6+6+6+7 μονάδες) Αβαρής ράβδος μήκους 4m μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το μέσο της. Στο ένα άκρο της είναι στερεωμένο σημειακό σώμα μάζας m,5kg ενώ σε απόσταση dm από το μέσο της είναι στερεωμένο άλλο σημειακό σώμα μάζας m kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Καώς τα δύο σώματα κινούνται κυκλικά έρχονται σε επαφή με το δάπεδο με το οποίο υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής μ0,. Κάποια στιγμή που το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0 0rad/s, η κατεύυνση της οποίας φαίνεται στο σχήμα συγκρούεται με τρίτο σημειακό σώμα μάζας m 0,5kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου u00m/s η διεύυνση της οποίας είναι κάετη στη ράβδο (στο σχήμα το σώμα μάζας m φαίνεται λίγο πριν την κρούση). Η κρούση είναι πλαστική, έχει αμελητέα διάρκεια και το σώμα μάζας m σφηνώνεται στο σώμα μάζας m. ω 0 m d m m Δ. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος αμέσως μετά τη κρούση. Δ. Να υπολογίσετε την απώλεια κινητικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. Δ. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής από τη στιγμή που τελειώνει η κρούση μέχρι τη στιγμή που το σύστημα ακινητοποιείται. Δ4. Να υπολογίσετε τη γωνιακή μετατόπιση του συστήματος από τη στιγμή που τελείωσε η κρούση μέχρι τη στιγμή που το σύστημα ακινητοποιήηκε. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g0m/s. Καλή τύχη!

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ωρη ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: Μηχανικό στερεό Θέμα Α (5Χ5 μονάδες) Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής -4 αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α. Η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυκλικού δίσκου ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο του και είναι κάετος στο επίπεδό του δίνεται από τη σχέση : I m όπου m η μάζα και η ακτίνα του δίσκου. Αν Ι είναι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα παράλληλο με τον προηγούμενο που περνάει όμως από το μέσο μιας ακτίνας τότε ισχύει : α. I 5 I β. I I γ. I I δ. I I Απ: β Εφαρμόζοντας το εώρημα του Steiner (εώρημα παραλλήλων αξόνων) έχουμε: II + m m + m m m I 4 4 Α. Η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων: α. Εξαρτάται από το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζεται. β. Είναι ίση με το άροισμα των μέτρων των ροπών των δυνάμεων που αποτελούν το ζεύγος. γ. Είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείου του επιπέδου των δυνάμεων. δ. Είναι ανεξάρτητη από την απόσταση των φορέων των δυνάμεων. Απάντηση: γ

Α. Ένας αλητής του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται με σταερή γωνιακή ταχύτητα χωρίς την επίδραση εξωτερικών ροπών. Κάποια στιγμή συμπτύσσει τα άκρα του με αποτέλεσμα να υποδιπλασιαστεί η ροπή αδράνειάς του γύρω από τον άξονα περιστροφής του. Η περιστροφική κινητική ενέργεια του αλητή : α. Παραμένει σταερή β.υποδιπλασιάζεται γ. Διπλασιάζεται δ.τετραπλασιάζεται. Απ: γ K I ω I Η στροφορμή του αλητή διατηρείται σταερή οπότε έχουμε: I I τελ Κ I I I τελ αρχ αρχ τελ Κ I I αρχ αρχ τελ αρχ I αρχ Α4. Η αλγεβρική τιμή της γωνιακής ταχύτητας με την οποία περιστρέφεται ένα μηχανικό στερεό παριστάνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η γωνιακή μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα 0-5s είναι: α. 75rad β. 50rad γ. 00rad δ. 00rad 0 Απ: α Η γωνιακή μετατόπιση είναι ίση με το εμβαδό της επιφάνειας ανάμεσα στην καμπύλη και τον άξονα των χρόνων οπότε Δ 5 0/75rad Α5. Για κάε μία από τις παρακάτω προτάσεις οι οποίες αναφέρονται στο διπλανό σχήμα σημειώστε στο φύλλο απαντήσεων το γράμμα της πρότασης και δεξιά της τη λέξη Σωστή εάν τη εωρείς σωστή ή τη λέξη Λάος εάν τη εωρείς λανασμένη. Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα m, μήκος και περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο. Τη στιγμή t η ράβδος σχηματίζει γωνία με την κατακόρυφη, κατέρχεται και έχει γωνιακή ταχύτητα ω. Ο Κ m, Α α. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας τη χρονική στιγμή t είναι κάετο στο επίπεδο του σχήματος, έχει φορά από τον αναγνώστη προς τη σελίδα και διέρχεται από το μέσο Κ της ράβδου. Λανασμένη. To διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας έχει τα χαρακτηριστικά που περιγράφονται αλλά διέρχεται από το Ο.

β. Καώς η ράβδος κατεβαίνει, η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται με σταερό ρυμό. Λανασμένη. Η ροπή του βάρους (η συνισταμένη των ροπών δηλαδή) δεν έχει σταερό μέτρο επομένως ούτε η γωνιακή επιτάχυνση (δηλαδή ο ρυμός αύξησης της γωνιακής ταχύτητας) είναι σταερή. γ. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας α γίνει μέγιστο τη στιγμή που η ράβδος α γίνει κατακόρυφη. Σωστή. Μέχρι τη στιγμή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη, η γωνιακή επιτάχυνση έχει την ίδια κατεύυνση με τη γωνιακή ταχύτητα αν και το μέτρο της ελαττώνεται (η κίνηση είναι μη ομαλά επιταχυνόμενη με διαρκώς μειούμενο ρυμό αύξησης της ταχύτητας). δ. Η συνισταμένη ροπή ως προς το Ο τη χρονική στιγμή t έχει μέτρο mg συν Λανασμένη. Ο μοχλοβραχίονας του βάρους είναι ηµ ε. Ο ρυμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου τη χρονική στιγμή t είναι ίσος με mgω ηµ Σωστή. Είναι dk Στ ω mg ηµ ω dt Θέμα Β Β. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένας μικρός οδοστρωτήρας ο οποίος εωρείται ομογενής κύλινδρος μάζας M και ακτίνας. Μια σταερή οριζόντια δύναμη F ασκείται στον οδοστρωτήρα με αποτέλεσμα αυτός να κυλίεται χωρίς να ολισαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι IK M. M F Α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του οδοστρωτήρα είναι : F F F α. a β. a γ. a M M M + y + x K Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδα) Σωστή απάντηση: (γ)

Α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ( μονάδες) Εφαρμόζουμε τον ο νόμο του Νεύτωνα για τη μεταφορική κίνηση του οδοστρωτήρα: F Tστ M a () Εφαρμόζουμε τον ο νόμο του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση του οδοστρωτήρα γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του: KXO.. / γων στ γων στ Σ τ ( ) I K K a T / M a T M a () Προσέτοντας τις σχέσεις () και () κατά μέλη παίρνουμε: M F F a a M Β. Η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής για να μην έχουμε ολίσηση είναι: F F F α. μ min β. μ min γ. μmin Mg Mg Mg Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδα) Σωστή απάντηση: (α) Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ( μονάδες) Στην εξίσωση () αντικαιστούμε την τιμή της επιτάχυνσης που υπολογίσαμε και παίρνουμε: T στ M F T F στ M Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσηση πρέπει : F F F Tστ Tστ,max Tστ µ N Tστ µ Mg µ Mg µ µ min Mg Mg 4

Β. Ένα μικρό κομμάτι πλαστελίνης μάζας m και ταχύτητας μέτρου u κινείται προς ένα ομογενή κύλινδρο ακτίνας και μάζας M όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ο κύλινδρος αρχικά είναι ακίνητος και στερεωμένος σε σταερό, αβαρή οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας του. Οι τριβές με τον άξονα εωρούνται αμελητέες. Η διεύυνση της κίνησης της πλαστελίνης είναι κάετη στον άξονα και απέχει απόσταση d< από το κέντρο. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I κ Μ. m u d M Η γωνιακή ταχύτητα που α αποκτήσει το σύστημα μόλις η πλαστελίνη κολλήσει στην περιφέρεια του κυλίνδρου είναι : mud mud mud α. ω β. ω γ. ω M + md (M + m) M Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδα) Σωστή απάντηση: (β) Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5 μονάδες) Το σύστημα πλαστελίνης-κυλίνδρου είναι κατά προσέγγιση μονωμένο γιατί η ώηση της ροπής του βάρους της πλαστελίνης μπορεί να εωρηεί αμελητέα. Εφαρμόζουμε για το σύστημα αυτό την Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής κατά τον άξονα του κυλίνδρου: ΠΡΙΝ u d αρχ τελ mud Iσυστ ω mud M + m ω O αρχ ( M + m) mud ΜΕΤΑ mud ω ω ( M + m) O τελ Β. Μια μικρή σφαίρα μάζας m και ακτίνας αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος h σε κεκλιμένο επίπεδο και κατέρχεται κυλιόμενη χωρίς να ολισαίνει. Στη συνέχεια κυλίεται χωρίς ολίσηση σε οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγμή αρχίζει να ανέρχεται σε δεύτερο, λείο κεκλιμένο επίπεδο ίδιας γωνίας κλίσης. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μία διάμετρό της είναι ίση με h 5

I 5 φαινόμενα κρούσης κατά το πέρασμα από το κεκλιμένο στο οριζόντιο επίπεδο και αντιστρόφως. Στο δεύτερο επίπεδο η σφαίρα α φτάσει σε ύψος h όπου: m. Θεωρείστε την ακτίνα της σφαίρας αμελητέα σε σχέση με το ύψος h και αγνοήστε α. h 5h h β. h γ. h 7 Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδες) Σωστή απάντηση: (β) h Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5 μονάδες) u0, ω0 h u, ω u0, ω Κατεβαίνοντας στο κεκλιμένο επίπεδο η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσηση. Στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου έχει αποκτήσει μεταφορική και περιστροφική κινητική ενέργεια. Έχουμε, εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) για τη σύνετη κίνηση της σφαίρας: Kβά σης W/ N + W/ T + Ww K, ά K, ά mgh στ µετ β σης + στρ β σης Όµως Kστρ, β άσης I ω m ω mu Kµετ, β άσης οπότε 5 5 5 7 5 Kµετ, β άσης + Kµετ, β άσης mgh Kµετ, β άσης mgh Kµετ, β άσης mgh 5 5 7 Στο οριζόντιο επίπεδο η σφαίρα εκτελεί σύνετη κίνηση η οποία μπορεί να εωρηεί επαλληλία μιας ευύγραμμης ομαλής μεταφορικής κίνησης και μιας ομαλής στροφικής γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της σφαίρας. Η συνολική κινητική της ενέργεια διατηρείται σταερή. Εφόσον δεν επιταχύνεται μεταφορικά από κάποια δύναμη, η Τ στ είναι μηδενική ώστε να μην υπάρχει ούτε γωνιακή επιτάχυνση. Στο δεύτερο κεκλιμένο επίπεδο δεν υπάρχει τριβή άρα Στ(Ο)0 οπότε η περιστροφική κινητική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται σταερή ενώ η μεταφορική κινητική της ενέργεια μειώνεται και στο μέγιστο ύψος h μηδενίζεται. Έχουμε λοιπόν: 6

K, ά mgh K ά K, ά K µετ β σης β σης µετ β σης + στρ, β άσης 5 5 h h Kοριζ, επίπ Kβά σης Kστρ, βάσης + mgh Kµετ, β άσης mgh 7 7 Β4. Η λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ του σχήματος έχει μάζα m, μήκος και μπορεί Γ να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από ακλόνητο οριζόντιο Ο άξονα κάετο σ αυτήν ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο, όπου ΟΓ. 4 Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη και ισορροπεί κατακόρυφη με το άκρο της Α m, στην κατώτατη έση. Τη χρονική στιγμή t0 στο άκρο Α της ράβδου και Α mg κάετα σ αυτήν ασκείται δύναμη F με μέτρο F <. Η δύναμη είναι διαρκώς κάετη στη ράβδο. Η ράβδος αρχίζει να ανεβαίνει και αποκτά μέγιστη γωνιακή ταχύτητα όταν έχει στραφεί κατά γωνία. Ισχύει: F F F α. ηµ β. ηµ γ. ηµ mg mg mg Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ( μονάδα) Σωστή απάντηση: (β) Β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (5 μονάδες) Η ράβδος α αποκτήσει μέγιστη γωνιακή ταχύτητα τη στιγμή που η ροπή του βάρους α γίνει στιγμιαία ίση κατά μέτρο με τη ροπή της F ως προς το Ο. Έχουμε λοιπόν: F Σ τ ( Ο) 0 w dw F mg ηµ F ηµ 4 4 4 mg Γ Ο (είναι F<mg/ οπότε ημ< και <90 ο ) Α 7

Θέμα Γ (6+6+6+7 μονάδες) Η λεπτή ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα m kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος με τροχαλία μάζας Μ6kg και ακτίνας όπως φαίνεται στο σχήμα ενώ το άλλο στο άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m kg. Η ράβδος, η τροχαλία και το σώμα Σ βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Ο m M Α m Σ Ασκώντας δύναμη F στο σώμα Σ το σύστημα ισορροπεί και η ράβδος είναι οριζόντια. Θεωρείστε ότι το νήμα δεν ολισαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάετο σ αυτήν ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας της δίνεται από τη σχέση I, ρ m ενώ η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάετος στο επίπεδό της δίνεται από τη σχέση I, τρ M. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g0m/s. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F και να προσδιορίσετε τη φορά της. Στο διπλανό σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται στα τρία σώματα (Σ, τροχαλία, ράβδος). Η ράβδος ισορροπεί επομένως έχουμε: mg Σ τ ( Ο ) 0 mg T T 5N Θ M Κ Z Το νήμα είναι αβαρές επομένως Τ Τ 5Ν. Η τροχαλία ισορροπεί επομένως έχουμε : Σ τ ( K ) 0 T T T T 5N Ο m Α m Σ Το νήμα είναι αβαρές επομένως Τ Τ 5Ν. 8

Το σώμα Σ ισορροπεί επομένως έχουμε: Σ F 0 mg+ F T F 5N με φορά προς τα κάτω όπως φαίνεται στο σχήμα. Γ. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής στο Ο. Το βάρος της ράβδου και η Τ είναι κατακόρυφες επομένως κατακόρυφη α είναι και η δύναμη από τον άξονα στο Ο γιατί διαφορετικά δεν α είχαμε ΣF0. Από την ισορροπία της ράβδου παίρνουμε: Σ F 0 mg F T 0 F 5N αξ αξ Καταργώντας τη δύναμη F αφήνουμε το σύστημα ελεύερο να κινηεί τη χρονική στιγμή t0. Γ. Να δείξετε ότι ισχύει a γων, α γων, επιτάχυνση της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t0. όπου α γων, η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου και α γων, η γωνιακή Το νήμα που συνδέει τη ράβδο με την τροχαλία είναι αβαρές και δεν ολισαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας επομένως α α α α γων, επιτρ, Α επιτρ, Θ γων, γων, αγων, α Γ4. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t0. Καταρχάς εφόσον το νήμα είναι μη εκατό και δεν ολισαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας ισχύει: Θ M Κ Z (+) α α α α Σ επιτρ, Ζ Σ γων, Εφαρμόζουμε για τη ράβδο το εώρημα του Steiner για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειάς της ως προς άξονα κάετο σ αυτήν ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο: Ο m (+) Α m Σ (+) Iρ,( Α) I, ρ + M M + M M 4 Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για το σώμα Σ, την τροχαλία και τη ράβδο: 9

Σ: Σ F m α T mg m α () Σ Σ / Τροχαλία: Στ( Κ ) I, τρ αγων, T4 / T / M / αγων, T4 T M αγων, T4 T M aσ () / / mg Ράβδος: Στ( Ο) I ρ,( Α) αγων, mg T4 / m αγων, T4 m ασ () Προσέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (), () και () και παίρνουμε: M m m mg m + + aσ aσ g aσ M m m s + + mg m m Θέμα Δ (6+6+6+7 μονάδες) Αβαρής ράβδος μήκους 4m μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το μέσο της. Στο ένα άκρο της είναι στερεωμένο ω 0 m d σημειακό σώμα μάζας m,5kg ενώ σε απόσταση dm από το μέσο της είναι στερεωμένο άλλο σημειακό σώμα μάζας m kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Καώς τα δύο σώματα κινούνται κυκλικά έρχονται σε επαφή με το δάπεδο με το οποίο υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής μ0,. Κάποια στιγμή που το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0 0rad/s, η κατεύυνση της οποίας φαίνεται στο σχήμα συγκρούεται με τρίτο σημειακό σώμα μάζας m 0,5kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου u00m/s η διεύυνση της οποίας είναι κάετη στη ράβδο (στο σχήμα το σώμα μάζας m φαίνεται λίγο πριν την κρούση). Η κρούση είναι πλαστική, έχει αμελητέα διάρκεια και το σώμα μάζας m σφηνώνεται στο σώμα μάζας m. Δ. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος αμέσως μετά τη κρούση. m m 0

Θεωρούμε ότι οι ωήσεις των ροπών των τριβών κατά τη διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέες οπότε η στροφορμή του συστήματος ράβδος-σ -Σ -Σ κατά τον άξονα περιστροφής της ράβδου ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση είναι ίδια. Εφαρμόζουμε λοιπόν την αρχή διατήρησης της στροφορμής: ω m d m μετά συστ, τελ συστ, αρχ I ω I ω0 mu m + md + m ω m + md ω0 mu 4 4 4 rad... ω 6 s Δ. Να υπολογίσετε την απώλεια κινητικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. Είναι I m m d m kgm 4 4 + + 0 I m + md 8kgm 4 Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση είναι: Kπριν mu + I ω0 00 + 8 0 4.00J και η κινητική ενέργεια αμέσως μετά την κρούση: ω 0 6 80 Kµετ ά I J Οπότε για την απώλεια κινητικής ενέργειας εξαιτίας της κρούσης έχουμε: K K K.90J µετ ά πριν

Δ. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής από τη στιγμή που τελειώνει η κρούση μέχρι τη στιγμή που το σύστημα ακινητοποιείται. Εφαρμόζουμε για το σύστημα της ράβδου και των τριών σωμάτων το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας από τη στιγμή που ολοκληρώνεται η κρούση μέχρι τη στιγμή που το σύστημα ακινητοποιείται: K/ K W + W + W/ + W/ + W/ + W/ 0 80 W + W W + W 80J τελ αρχ T T w N w N T T T T Δ4. Να υπολογίσετε τη γωνιακή μετατόπιση του συστήματος από τη στιγμή που τελείωσε η κρούση μέχρι τη στιγμή που το σύστημα ακινητοποιήηκε. Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g0m/s. Από την ισορροπία των δυνάμεων στον κατακόρυφο άξονα έχουμε: N w mg και N w mg οπότε T µ N µ mg και T µ N µ m g ος τρόπος Οι ροπές των τριβών είναι σταερές οπότε έχουμε: WT ττ ολ WT ( ττ + τ ) ( ) Τ ολ WT µ m+ m g µ mgd ολ 4 WT µ g ( m+ m) + md ολ 80 0, 0 + ολ 80 ολ 0rad 6 ος τρόπος Εφόσον οι ροπές των τριβών είναι σταερές, η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος μέχρι να σταματήσει είναι επίσης σταερή. Την υπολογίζουμε εφαρμόζοντας τον ο νόμο του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση του συστήματος: µ g ( m m) md + + rad Σ τ I a µ m + m g µ m gd I a a 0,6 ( ) γων γων γων I s Υπολογίζουμε τη χρονική στιγμή t στην οποία μηδενίζεται η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος: ω ω0 + α γων t 0 6 + ( 0, 6) t t 0s

Υπολογίζουμε τώρα τη συνολική γωνιακή μετατόπιση: ολ ω t+ aγων t 6 0 0,6 00 0rad