Αρτιες και περιττές συναρτήσεις

Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κώστας Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό και το νέο επίπεδο. Το αρχαϊκό επίπεδο αντιστοιχεί στο βασικό και πρωτόγονο ζωϊκό εγκέφαλο και, απ ότι φαίνεται, πρόκειται για το τμήμα εκείνο του εγκεφάλου μας που έχει την τάση να ανιχνεύει παντού συμμετρία. Marcus du Sauto Υπάρχουν μαθηματικά εργαλεία που κάνουν τη μελέτη των συναρτήσεων πιο α- πλή; Ακούγεται σαν ερώτηση παγίδα και οι περισσότεροι ίσως απαντούσαν ότι οι λέξεις μαθηματικά και απλή δε ϑα έπρεπε ποτέ να συνυπάρχουν σε μια πρόταση, παρά μονάχα ίσως σε αυτήν: τα μαθηματικά δεν είναι απλή υπόθεση! Οτιδήποτε όμως ϑα μπορούσε να κάνει το σχεδιασμό μιας γραφικής παράστασης πιο εύκολο σίγουρα αξίζει να μελετηθεί. Στα πλαίσια της απλούστευσης του σχεδιασμού μίας γραφικής παράστασης ϑα εισάγουμε τις έννοιες της άρτιας και της περιττής συνάρτησης. Μια καλή ερώτηση όμως που ανακύπτει σε αυτό το στάδιο είναι η εξής: Με ποιο τρόπο άραγε μπορεί να απλοποιηθεί ο σχεδιασμός μιας γραφικής παράστασης; Επειδή είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο ότι η γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης είναι ένα σύνολο σημείων - τα οποία μπορεί να σχηματίζουν μια γραμμή, αλλά μπορεί και όχι - αυτήν την ερώτηση μπορούμε να την επαναλάβουμε με γεωμετρικούς όρους: Πώς λοιπόν μπορούμε να απλοποιήσουμε το σχεδιασμό ενός συνόλου σημείων; Η απάντηση έρχεται από το χώρο της συμμετρίας. Αν γνωρίζαμε λοιπόν ότι μια γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς έναν άξονα (ευθεία) ή ένα κέντρο (σημείο), τότε ϑα χρειαζόταν ουσιαστικά να μελετήσουμε και να σχεδιάσουμε μόνο τη μισή, αφού η συμμετρία ϑα καθόριζε τι ισχύει για το άλλο μισό της. Τα ονόματα «άρτια» και «περιττή» για να περιγράψουμε μια συνάρτηση φαίνονται να ξεπήδησαν από άλλη ενότητα, ό- μως στην πραγματικότητα δεν είναι τυχαία. Χρησιμοποιούμε αυτούς τους δύο όρους για να περιγράψουμε δύο ειδών συμμετρίες. Στο Σχήμα 1 παραθέτουμε αριστερά τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f 1 ()= 2, f 2 ()= 4, f 3 ()= 6 (παρατηρήστε ότι όλοι οι εκθέτες των πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι άρτιοι) και δεξιά των συναρτήσεων g 1 ()=, g 2 ()= 3, g 3 ()= 5 (εδώ είναι περιττοί). Αν εξετάσει κανείς τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στα παραπάνω σχήματα, α- ντιλαμβάνεται ότι οι συμμετρίες που μας ενδιαφέρουν εδώ είναι ως προς των άξονα στις περιπτώσεις των συναρτήσεων f 1, f 2 και f 3, καθώς και ως προς την αρ-

Μελέτη συναρτήσεων 2 χή των αξόνων στις περιπτώσεις των συναρτήσεων g 1, g 2 και g 3. Κατά αντιστοιχία, ονομάζουμε άρτιες τις συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα και περιττές τις συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων Ο. A B 8 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 C f1 C g1 Σχήμα 2: Γραφική παράσταση της συνάρτησης φ C f2 C f3 C g2 C g3 Σχήμα 1: Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Σηκώστε όμως τώρα τα μανίκια σας για να ασχοληθούμε με τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από αυτές τις συμμετρίες. Αρχικά ϑα ϑεωρήσουμε τη συνάρτηση φ()= 2, [ 3, 2] [ 1,3] Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο Σχήμα 2. Το κομμάτι της γραφικής παράστασης ανάμεσα στα σημεία Α και Β λείπει, αφού εκεί η συνάρτηση δεν ορίζεται. Είναι εμφανώς μάταιο εδώ να α- ναζητήσουμε οποιαδήποτε συμμετρία στη γραφική παράσταση. Η συνάρτηση φ δεν μπορεί να είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή συνάρτηση. Βέβαια, δε χρειάζεται να λείπει ολόκληρο κομμάτι από τη μία μόνο μεριά της γραφικής παράστασης για να εξαφανίσει οποιαδήποτε υποψία συμμετρίας, αρκεί ένα και μόνο σημείο. Για να είμαστε σίγουροι ότι τα σημεία που λείπουν από τη μια μεριά ϑα λείπουν και από την άλλη (μεριά του άξονα ) απαιτούμε από όλες τις άρτιες ή τις περιττές συναρτήσεις να έχουν πεδίο ορισμού συμμετρικό στο 0. Με άλλα λόγια, για κάθε που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης και το ϑα πρέπει επίσης να ανήκει στο πεδίο ο- ρισμού της. Για να εξετάσουμε επομένως αν μια συνάρτηση f A R είναι άρτια ή περιττή, το πρώτο μας βήμα είναι να σιγουρευτούμε ότι για κάθε A τότε και A. Ας ασχοληθούμε τώρα με την ίδια τη συμμετρία. Γνωρίζουμε ότι το συμμετρικό του σημείου (α,β) ως προς τον άξονα είναι το σημείο( α,β) δηλαδή αυτό που για την αντίθετη τετμημένη έχει την ί- δια τεταγμένη. Η άρτια συνάρτηση είπαμε

Μελέτη συναρτήσεων 3 προηγουμένως ότι έχει γραφική παράσταση συμμετρική ως προς τον άξονα, ο- πότε η παραπάνω πρόταση ισχύει για κά- ϑε σημείο της. Αυτήν την πρόταση τώρα, αν την εκφράσουμε με συμβολισμούς σχετικούς με τη συνάρτηση f, παίρνουμε: f( )=f() για κάθε A. Επομένως, μια συνάρτηση f είναι άρτια στο πεδίο ορισμού της A αν: 1. για κάθε που βρίσκεται στο A, το βρίσκεται επίσης στο A(δηλαδή, το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό στο 0) 2. f( )=f(), A (οι τιμές της συνάρτησης είναι ίσες για αντίθετες τιμές του ) Από την άλλη, το συμμετρικό σημείο του (α,β) ως προς την αρχή των αξόνων Ο είναι το σημείο( α, β) δηλαδή αυτό που για την αντίθετη τετμημένη έχει αντίθετη τεταγμένη. Επειδή οι περιττές συναρτήσεις είναι αυτές που έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο, γι αυτές ϑα πρέπει να ισχύει: f( )= f() για κάθε A. Άρα, μια συνάρτηση f είναι περιττή στο πεδίο ορισμού της Α αν: 1. για κάθε που βρίσκεται στο A, το βρίσκεται επίσης στο A (το πεδίο ορισμού της είναι συμμετρικό στο 0) 2. f( )= f(), A (οι τιμές της συνάρτησης είναι αντίθετες για αντίθετες τιμές του ) Βέβαια υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι ούτε άρτιες, ούτε περιττές. Οι γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων δεν παρουσιάζουν τη συμμετρία που περιγράψαμε, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι δεν μπορεί να παρουσιάζουν συμμετρία ως προς άλλους άξονες ή κέντρα. Ασκήσεις 1. Συμπλήρωσε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που φαίνεται παρακάτω αν ξέρεις ότι η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού τοrκαι είναι (α) άρτια και (β) περιττή. 2. Μια περιττή συνάρτηση σε ποιο σημείο μπορεί να τέμνει τον άξονα ; Ισχύει το ίδιο και για μια άρτια συνάρτηση; 3. Εξέτασε αν καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες, περιττές ή τίποτα από τα δύο: f()= 2 4, g()=3 3 + h()= 6 4, k()= 2 4 2 4. Παρακάτω φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις κάποιων συναρτήσεων. Ποιες από αυτές είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές; (αʹ)

Μελέτη συναρτήσεων 4 4 (βʹ) 3 2 (γʹ) Μονοτονία συνάρτησης 1 1 2 3 4 Η μελέτη της μονοτονίας μιας συνάρτησης είναι μια αρκετά διαισθητική ιδέα. Αυτή ουσιαστικά μας ενημερώνει αν η συνάρτηση παίρνει τιμές που συνεχώς αυξάνουν ή μειώνουν. Μελετούμε λοιπόν τη μονοτονία κάποιας συνάρτησης όταν αποφαινόμαστε αν αυτή είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα ή σταθερή σε υποδιαστήματα (ϑα επανέλθουμε αργότερα σε αυτό) του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ αν οι τιμές της συνεχώς αυξάνουν σε αυτό το διάστημα, αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα αν συνεχώς μειώνουν και σταθερή αν παραμένουν σταθερές. Ας μελετήσουμε τώρα τι αντίκτυπο έ- χουν όλα αυτά στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με τη βοήθεια του παρακάτω παραδείγματος. Στο Σχήμα 3 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης +3, <2 f()= 1, 2 <3 2 8, 3 Εξετάστε τη μονοτονία της συνάρτησης. Σχήμα 3: Γραφική παράσταση της συνάρτησης f Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f συνεχώς κατεβαίνει καθώς το παίρνει τιμές από το μέχρι το 2. Επομένως σ αυτό το διάστημα η f είναι γνησίως φθίνουσα και συμβολίζουμε: f (,2]. Οταν το [2,3] η f είναι σταθερή. Μετά το 3 η γραφική παράσταση της f ανεβαίνει, δηλαδή η f παίρνει όλο και μεγαλύτερες τιμές για 3, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό και γράφουμε: f [3,+ ). Ô Από τα παραπάνω φαίνεται ότι μια συνάρτηση δεν είναι αναγκαίο να διατηρεί σταθερή τη μονοτονία της σε όλο το πεδίο ορισμού της, χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις με στα- ϑερή μονοτονία 1. Τι γίνεται όμως όταν ϑέλουμε να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης χωρίς να έχουμε στα χέρια μας τη γραφική της παράσταση; Αυτό το ερώτημα απαιτεί να δουλέψουμε αλγεβρικά, ώστε να απαλλαγούμε από την ανάγκη της εποπτείας. Ας μιλήσουμε λοιπόν αυστηρά αλγεβρικά, δί- 1 αυτές τις ονομάζουμε γνησίως μονότονες συναρτήσεις

Μελέτη συναρτήσεων 5 f( 2 ) f( 1 ) 1 2 Σχήμα 4: Γνησίως αύξουσα συνάρτηση f( 1 ) f( 2 ) 1 2 Σχήμα 5: Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση νοντας τους ορισμούς της γνησίως αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης. Είπαμε προηγουμένως ότι μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση παίρνει όλο και μεγαλύτερες τιμές καθώς το αυξάνει, δηλαδή η γραφική της παράσταση ανεβαίνει προς τα πάνω καθώς τη διατρέχουμε από τα α- ριστερά προς τα δεξιά. Επομένως, μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (Σχήμα 4) στο διάστημα Δ αν για κάθε 1, 2 με 1 < 2 ισχύει f( 1 )<f( 2 ) (παρατηρείστε ότι η φορά στις δύο ανισώσεις είναι η ίδια). Αντίστοιχα είναι τα πράγματα στην περίπτωση της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης (Σχήμα 5) σε διάστημα Δ. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ αν για κάθε 1, 2 με 1 < 2 ισχύει f( 1 )>f( 2 ) (εδώ η φορά των δύο ανισώσεων αλλάζει). Μια εταιρεία στατιστικών ερευνών μετά α- πό σχετική έρευνα στη Μυτιλήνη, κατάφερε να δώσει προσεγγιστικά τις πωλήσεις των ηλεκτρονικών υπολογιστών που έγιναν την τελευταία δεκαετία, με τη συνάρτηση: S(t)=t 3 +300, t [0,10], όπου S οι πωλήσεις και t ο χρόνος σε έτη. Αυξάνονται ή μειώνονται οι πωλήσεις Η/Υ την τελευταία δεκαετία; Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση χρειάζεται να εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης S. Γι αυτό ϑεωρούμε τα t 1, t 2 [0,10] τέτοια, ώστε t 1 < t 2. Προσπαθούμε τώρα να κατασκευάσουμε την παράσταση S(t 1 ) στο αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας και την S(t 2 ) δεξιά: t 1 < t 2 t 3 1< t 3 2 t 3 1+300<t 3 2+300 S(t 1 )<S(t 2 ) Οπότε η συνάρτηση S είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 10], επομένως οι πωλήσεις συνεχώς αυξάνουν την τελευταία δεκαετία. Ô Ο πολιτικός μηχανικός που είναι υπεύθυνος για το σχεδιασμό ενός roller-coaster υ- πολογίζει το ύψος της κατασκευής με τη βοήθεια της συνάρτησης h()=2( 1) 2 +3, [ 10,15] όπου η οριζόντια απόσταση της γραμμής από τη γεννήτρια. Ποια είναι η οριζόντια απόσταση από τη γεννήτρια ό- ταν το τρενάκι σταματάει την κάθοδο και ξεκινά να ανεβαίνει;

Μελέτη συναρτήσεων 6 Εδώ χρειάζεται να εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης ώστε να εντοπίσουμε πότε παύει να είναι φθίνουσα και αρχίζει να γίνεται αύξουσα. Ο τύπος της συνάρτησης όμως είναι τέτοιος που μας απαγορεύει να μελετήσουμε τη μονοτονία της h σε όλο το πεδίο ορισμού της. Εστω 10 1, 2 1 τέτοια, ώστε 1 < 2 τότε: 1 1< 2 1. Αυτές οι ποσότητες είναι μη ϑετικές, οπότε καθώς υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη της ανισότητας, η φορά της ϑα αλλάξει κι έτσι παίρνουμε: ( 1 1) 2 >( 2 1) 2 2( 1 1) 2 > 2( 2 1) 2 2( 1 1) 2 +3>2( 2 1) 2 +3 h( 1 )>h( 2 ). Οπότε η h [ 10,1]. Εστω τώρα 1 3, 4 15 τέτοια, ώστε: 3 < 4 3 1< 4 1 ( 3 1) 2 <( 4 1) 2 2( 3 1) 2 < 2( 4 1) 2 2( 3 1) 2 +3<2( 4 1) 2 +3 h( 3 )<h( 4 ). Οπότε η h [1,15]. Δηλαδή η συνάρτηση αλλάζει τη μονοτονία της όταν =1 άρα το τρενάκι ξεκινά να ανεβαίνει όταν η οριζόντια απόστασή του από τη γεννήτρια είναι 1m. Ô Ασκήσεις 1. Αν η συνάρτηση f A B είναι γνησίως φθίνουσα, με μια γραμμή ένωσε κάθε A με την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης B. Α 0 5 7 2 2,2 32 Β -9,35 π ημ π 2 2. Να μελετήσεις ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις f() = 4 1 και g() = 3+2. Τι συμπεράσματα βγάζεις για τη μονοτονία συναρτήσεων που οι γραφικές τους παραστάσεις είναι ευθείες με ϑετικό συντελεστή διεύ- ϑυνσης; Τι γίνεται με αυτές που έχουν αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης; 3. Να μελετήσεις ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις f()= 2 και g()= 3 αφού πρώτα εντοπίσεις τα πεδία ορισμού τους. 4. Να μελετήσεις ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f()= 9 2. 5. Η συνάρτηση f()= 2 2011 +2012 είναι γνησίως φθίνουσα. Σωστό ή λάθος; Ακρότατα Συνάρτησης Σε πολλές περιπτώσεις είναι χρήσιμο να ξέρουμε ποια είναι η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης. Αν μια συνάρτηση για παράδειγμα μετράει τα έσοδα μιας εταιρείας, δίνει το κόστος κατασκευής μιας συσκευασίας, περιγράφει το εμβαδόν ενός χωραφιού ή μιας πολυκατοικίας υ- πάρχουν πολλά παραδείγματα συναρτήσεων που μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή τους, για πρακτικούς λόγους. Σε αυτήν την περίπτωση

Μελέτη συναρτήσεων 7 λέμε ότι μελετούμε τα ακρότατα της εν λόγω συνάρτησης. Με τον όρο ακρότατα μιας συνάρτησης εννοούμε επομένως τις ακραίες τιμές της, δηλαδή τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη, αν βέβαια αυτές υπάρχουν. Το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει. Λέμε λοιπόν η συνάρτηση f A R παρουσιάζει ελάχιστο στη ϑέση = 0 αν για κάθε A ισχύει f() f( 0 ). Το μέγιστο μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη τιμή που αυτή μπορεί να πάρει. Λέμε ότι η συνάρτηση f A R παρουσιάζει μέγιστο στη ϑέση = 0 αν για κάθε A ισχύει f() f( 0 ). Το μέγιστο ή το ελάχιστο μιας συνάρτησης, όταν αυτά υπάρχουν, δεν παρουσιάζονται κατ ανάγκη σε μία ϑέση, οπότε μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο σε περισσότερες από μία ϑέσεις, δηλαδή για περισσότερα από ένα. Οταν μια συνάρτηση διατηρεί σταθερή τη μονοτονία της στο πεδίο ορισμού της, τότε η διαδικασία εντοπισμού των ακροτάτων της δεν παρουσιάζει εκπλήξεις. Ο Πίνακας 1 δίνει συγκεντρωτικά τις τιμές των ακροτάτων μιας συνάρτησης σταθερής μονοτονίας, όταν αυτή έχει πεδίο ορισμού της μορφής[α,β] ή [α,β) ή (α,β]. Παρατηρείστε ότι όταν μια τέτοια συνάρτηση (γνησίως μονότονη) ορίζεται σε διάστημα της μορφής(α,β) τότε δεν παρουσιάζει α- κρότατα, αφού δεν έχει ούτε ελάχιστη ούτε μέγιστη τιμή. Σημείωση. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι μια συνάρτηση ενδέχεται να παίρνει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή, ή μόνο μέγιστη τιμή, ή μόνο ελάχιστη τιμή ή να μην παίρνει ούτε ελάχιστη ούτε μέγιστη τιμή. [α,β] [α,β) (α,β] ελαχ. μεγ. ελαχ. μεγ. ελαχ. μεγ. = α β α - - β = f(α) f(β) f(α) - - f(β) = β α - α β - = f(β) f(α) - f(α) f(β) - Πίνακας 1: Ακρότατα της γνησίως μονότονης συνάρτησης f A R Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f()= 3+3, [ 2,4] και να εντοπίσετε τα ακρότατά της. Για τη μονοτονία: Εστω 1, 2 [ 2,4] τέτοια, ώστε 1 < 2. Είναι: 1 < 2 3 1 > 3 2 3 1 +3> 3 2 +3 f( 1 )>f( 2 ). Επομένως η f [ 2,4] οπότε παρουσιάζει: μέγιστο για = 2 το οποίο είναι f( 2)=9 και ελάχιστο για =4 που είναι ίσο με f(4)= 9. Ô Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που η μονοτονία της f δεν είναι σταθερή σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της; Τα πράγματα εδώ γίνονται ελαφρώς πιο πολύπλοκα. Θα μας απασχολήσει μόνο μια περίπτωση: ό- ταν η f αλλάζει μονοτονία μόνο μία φορά σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της, ενώ το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα (και όχι ένωση διαστημάτων). Δύο τέτοιες περιπτώσεις φαίνονται στο Σχήμα 6 και στο Σχήμα 7. Αντιλαμβάνεται κανείς ότι στην πρώτη περίπτωση (Σχήμα 6) η συνάρτηση παρου-

Μελέτη συναρτήσεων 8 f( 0 ) 0 Σχήμα 6: Ελάχιστο συνάρτησης σιάζει ελάχιστο στη ϑέση = 0 το οποίο είναι ίσο με f( 0 ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση (Σχήμα 7) η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στη ϑέση = 0 το οποίο είναι ίσο με f( 0 ). Στο τελευταίο ματς ο Καραγκούνης έριξε μια μπαλιά της οποίας το ύψος ως συνάρτηση του χρόνου ήταν h(t)= (t 3) 2 +9, t [0,6] (το t σε sec το h σε m) Να βρεθεί σε πόσα δευτερόλεπτα αφού έφυγε από το πόδι του ποδοσφαιριστή η μπάλα έφτασε στο μέγιστο ύψος της και ποιο είναι αυτό. Παρατηρούμε ότι(t 3) 2 0 με το να ισχύει όταν t=3. Ξεκινώντας από την παραπάνω ανισοτική σχέση, προσπαθούμε να κατασκευάσουμε τη συνάρτηση h στο ένα μέλος της: (t 3) 2 0 (t 3) 2 0 (t 3) 2 +9 9 h(t) 9 Ενώ h(3)=9 οπότε: f( 0 ) 0 Σχήμα 7: Μέγιστο συνάρτησης h(t) h(3), t [0,6] Άρα η συνάρτηση h παρουσιάζει μέγιστο στη ϑέση t=3 το οποίο είναι ίσο με h(3) = 9. Επομένως η μπάλα φτάνει στο μέγιστο ύψος, το οποίο είναι 9m, μετά από 3 δευτερόλεπτα.ô Ασκήσεις 1. Να βρεθεί (αν υπάρχει) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f() = 2 +8, [ 3,1). 5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε.

Μελέτη συναρτήσεων 9 2. Εντόπισε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης που δίνεται και τη ϑέση στην οποία παίρνει την τιμή αυτή. f()=(2 1) 2 4, g()= 5 +3 h()= 2 +9 1 7