Ρευστομηχανική. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Ρευστομηχανική Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Στατική των Ρευστών 3 ο Μάθημα

Στατική των Ρευστών Ρευστά σε ισορροπία Όχι σχετική κίνηση του ενός μορίου του ρευστού ως προς κάποιο άλλο Διατμητικήτάση(τ) = 0 ΔF s = 0 μόνοδf n 0 (κάθετη δύναμη) Ταχύτητα διάτμησης dυ(ψ) /dψ = 0 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 3

Δυνάμεις σε επίπεδη επιφάνεια μέσα σε ρευστό. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 4

Δυνάμεις σε επίπεδη επιφάνεια μέσα σε ρευστό Η στοιχειώδης δύναμη df σε μια στοιχειώδη επιφάνεια da : df = p da Η συνολική δύναμη του υγρού προκύπτει από την άθροιση : F = p da (1) A Αν στην ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού είναι p o = 0 τότε p = γ h = γ y sina (2) { (1),(2) } F = γ sina y da, y = 1 A A y da A F = γ h Α F = p κβ Α F = Δύναμη που ασκεί ρευστό σε επιφάνεια βυθισμένη σ αυτό. p κβ = Πίεση στο κέντρο βάρους της επιφάνειας ( x, y ) } F = γ y Α sina (*) Η δύναμη δεν εξαρτάται από τον προσανατολισμό της επιφάνειας (δεν υπάρχει η γωνία) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 5

Δυνάμεις σε επίπεδη επιφάνεια μέσα σε ρευστό Για να υπολογίσουμε το σημείο που ασκείται η δύναμη αρκεί να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ροπών: «Η ροπή της συνισταμένης δύναμης είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών» Έστω ότι η δύναμη ασκείται στο σημείο c p (x p, y p ), τότε : y p F = y p = y pda = A γ sina A y 2 y(γ y sina)da = γ sina A da γ y Α sina = A y 2 da y Α (1) 2 y da y p = A γ sina A y F 2 da Ροπή αδρανείας = Εμβαδόν x (απόσταση) 2, δηλαδή I x = Ix { (1),(2) } y p = Α y, I x = Ι + A 2 y y p = Ι+Α Α y 2 y da (2) A 2 y y p = y + Ι Α y ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 6

Δυνάμεις σε επίπεδη επιφάνεια μέσα σε ρευστό I x = Ροπή αδράνειας ως προς άξονα x Ι = Ροπή αδράνειας ως προς κ.β. επιφάνειας (*) Τα κ.β. ( x, y ) και οι ροπές αδράνειας Ι θα δίνονται (Παράρτημα βιβλίου) Το κέντρο πίεσης (c p ) είναι χαμηλότερα από το κ.β. Όσο βαθύτερα είναι η επιφάνεια τόσο συγκλίνουν τα c p και το κ.β. Το c p δεν εξαρτάται από τη γωνία α και το ειδικό βάρος γ ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 7

Δύναμη ρευστού σε εμβαπτισμένο σώμα ΗδύναμηF R που ενεργεί σε επίπεδη επιφάνεια τελείως βυθισμένη σε ομογενές ρευστό είναι ίση με F R =P C *A ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 8

Κέντρο πίεσης Line of action of resultant force F R =P C A does not pass through the centroid of the surface. In general, it lies underneath where the pressure is higher. Vertical location of Center of Pressure is determined by equation the moment of the resultant force to the moment of the distributed pressure I xx, C force. $I xx,c is tabulated for simple geometries. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 9 y p = y + C ya c

ΣΤΑΤΙΚΗ ΡΟΠΗ μιας επιφάνειας εμβαδού Α περί τον άξονα των y: A xda ΚΕΝΤΡΟΒΑΡΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ : ένας παράλληλος άξονας x=k= x περί τον οποίο η ΡΟΠΗ ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ ( x k) da= xda ka= 0 xda= ka A A A Οι Άξονες Συμμετρίας είναι και κεντροβαρικοί άξονες (γιατί η ροπή γύρω απ αυτούς είναι ίση με μηδέν ( = 0) 1 x= xda A A ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ: Το σημείο τομής των κεντροβαρικών αξόνων. Η στατική ροπή περί οποιουδήποτε άξονα διερχόμενο από το κέντρο βάρους = 0. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 10

Κέντρο Βάρους γνωστό : Στατική Ροπή = A zda = za (Α: εμβαδό επιφάνειας, z : απόσταση από κ.β.) Στατική Ροπή ενός όγκου V περί ένα επίπεδο yz Απόσταση του κ.β. του όγκου από το επίπεδο x 1 = xdv V V Κέντρο Μάζας (Μ:ολική μάζα, dm: στοιχείο μάζας) x m 1 = xdm M M ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 11

ΡΟΠΕΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 1) Ροπή αδράνειας μιας επιφάνειας περί τον άξονα y (πάντα θετική) 2 I y = xda A 2) Με μεταφορά σε παράλληλο άξονα διερχόμενο από το κέντρο βάρους της επιφάνειας 2 2 2 Ic = ( x x) da= ( x da) (2 x xda) + x da A A A A 2 Iy 2xxA+ x A I = I x A I = I + x A 2 2 c y y c 3) Γινόμενο αδράνειας επιφάνειας (θετικό ή αρνητικό) Ι xy = A xyda = ( x + x )( y + y ) da = xya + x y da + x y da + y x da A A A A I = xya + I xy xy ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 12

ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 13

Παράδειγμα Να βρεθεί η δύναμη (δηλαδή το μέτρο και το σημείο εφαρμογής της) και το κέντρο πίεσης που ασκείται σε ορθογώνια επίπεδη επιφάνεια, τμήμα της οποίας βρίσκεται μέσα σε υγρό ειδικού βάρους γ. Διαστάσεις ορθογωνίου ( h, α ), κ.β. ορθογωνίου ( h, a ) 2 2 2 h h F = γ h A = γ h a = γ a (μέτρο δύναμης) 2 2 2 Σημείο εφαρμογής : (x p, y p ) = x p = a, y p = h 2 3 ( 3 ah I h y p = y + = 12 ) h h 2 + = + = h Α y 2 h ah 2 6 3 2 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 14

Φράγμα Hoover ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 15

Υδροστατικές δυνάμεις σε επίπεδες επιφάνειες On a plane surface, the hydrostatic forces form a system of parallel forces For many applications, magnitude and location of application, which is called center of pressure, must be determined. Atmospheric pressure P atm can be neglected when it acts on both sides of the surface. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 16

Πρόβλημα (εξετάσεων) Αναφερόμενοι στο σχήμα που ακολουθεί ποια τιμή πλάτους είναι αναγκαία για να προφυλάξει τον ορθογώνιο κτιστό τοίχο από ολίσθηση αν ο συντελεστής τριβής είναι 0,4; Αποδείξτε ότι ο τοίχος είναι ασφαλής έναντι ανατροπής. (φαινόμενο βάρος τοίχου=2,4 t/m 3, γ νερού =1000 kg/m 3, σημείωση: το νερό δεν εισχωρεί κάτω από τον τοίχο) NEΡΟ 12 m 14 m πλάτος ; ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 18

Στατική των Ρευστών Ο υδατοφράχτης Ι έχει ύψος 40 m και συγκρατεί το νερό μιας πολύ μεγάλης λίμνης. Ο υδατοφράχτης ΙΙ έχει ύψος 50 m και συγκρατεί το νερό μιας πολύ μικρής λίμνης. Ποιος από τους δύο πρέπει να έχει κατασκευαστεί έτσι ώστε να παρουσιάζει μεγαλύτερη αντοχή: 1) ουδατοφράχτηςι, 2) ο υδατοφράχτης ΙΙ, 3) και οι δύο πρέπει να έχουν την ίδια αντοχή. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 19

Στατική των Ρευστών ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 20

Υδροστατικές δυνάμεις σε καμπύλες επιφάνειες Πολύπλοκος ο υπολογισμός της F R διότι απαιτεί την ολοκλήρωση των δυνάμεων πίεσης που αλλάζουν διευθλυνσεις κατά μήκος της καμπύλης επιφάνειας Ηπιοεύκοληπροσέγγιση: ανάλυση σε οριζόντια και κάθετη συνιστώσες F H και F V αντίστοιχα. Μέτρο της δύναμης F R =(F H2 +F V2 ) 1/2 Γωνία εφαρμογής της δύναμης a = tan -1 (F V /F H ) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 21

Δυνάμεις σε καμπύλες επιφάνειες 1. Οριζόντια συνιστώσα δυνάμεως σε καμπύλη επιφάνεια Όταν οι στοιχειώδεις δυνάμεις p da μεταβάλλουν διεύθυνση, όπως στην περίπτωση καμπύλης επιφάνειας, τότε προστίθενται ανυσματικά. Μέτρο Δύναμης : Η οριζόντια δύναμη που ασκείται σε οποιαδήποτε καμπύλη επιφάνεια είναι ίση με τη δύναμη που ασκείται στην κατακόρυφη προβολή της επιφάνειας F x = pda x = p(cos θ da) A A = p δα όπου cosθ da είναι η κατακόρυφη προβολή της επιφάνειας Σημείο εφαρμογής : Το κέντρο πίεσης (αποδεικνύεται όπως και για επίπεδη επιφάνεια : συνισταμένη ροπή = 0 ) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 22

Δυνάμεις σε καμπύλες επιφάνειες 2. Κατακόρυφη συνιστώσα δυνάμεως σε καμπύλη επιφάνεια F y = PyδΑ F y = p cosθ δα A (1) A p = γ h (2) cosθ δα = προβολή του δα στο οριζόντιο επίπεδο (3) {(1), (2), (3)} F y = γ h cosθ da F y = γ Α V dv F y = γ V Μέτρο Δύναμης : Η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης πιέσεως σε μια καμπύλη επιφάνεια ισούται με το βάρος του υγρού που περιέχεται κατακόρυφα, μεταξύ της καμπύλης επιφάνειας και της ελεύθερης επιφάνειας. Σημείο Εφαρμογής : Το κέντρο βάρους του όγκου Ροπή συνισταμένης δύναμης = άθροισμα ροπών στοιχειωδών κατακόρυφων δυνάμεων F x = γ xdv γ V x = γ V V xdv x = 1 xdv V V που είναι η απόσταση του γεωμετρικού κέντρου του όγκου από το Ο. Άλλος Τρόπος : Επειδή είναι ίση με το βάρος του υπερκείμενου ρευστού (αφού η επιφάνεια ισορροπεί) θα διέρχεται και από την ίδια κατακόρυφο που διέρχεται το βάρος δηλαδή από το κ.β. του όγκου. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 23

Βρείτε τη δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια ΑΒ. Πρώτα υπολογίζουμε τις συνιστώσες F Rx και F Ry. Η οριζόντια προβολή της καμπύλης επιφάνειας AB είναι η AC. Η x-συνιστώσα της δύναμης είναι η δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια AC, δηλαδή, F Rx = ρgh c A AC = (1000 kg/m 3 ) (9.8 m/s 2 ) (4.5 m) (3 m) (8 m) = 1,058 kn Σημείωση: h c είναι η κατακόρυφη απόσταση του κέντρου της επίπεδης επιφάνειας AC. Η y-συνιστώσα της δύναμης είναι το βάρος του νερού υπεράνω της καμπύλης επιφάνειας (δηλ. ο φανταστικός όγκος ABEF). F Ry = ρg V ABEF = ρg (V ADEF + V ABD ) = = (1000 kg/m 3 )(9.8 m/s 2 )[(3m)(3m)(8m)+(π3 2 /4)m 2 (8m)] = 1,260 kn Η συνισταμένη δύναμη : F R = (F Rx 2 + F Ry 2 ) 0.5 = [(1,058 kn) 2 + (1,260 kn) 2 ] 0.5 = 1,645 kn Και η γωνία θ : θ = tan -1 (F Ry / F Rx ) = tan -1 (1,260 kn / 1,058 kn) = 50 o Επίσης η συνισταμένη δύναμη F R πρέπει να περνά από το σημείο D αφού όλες οι δυνάμεις πίεσης είναι κάθετες στην καμπύλη επιφάνεια. Πλάτος: 8m ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 28

Άνωση ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 29

Άνωση και σταθερότητα ΗδύναμηάνωσηςF B ισούται με τον εκτοπιζόμενο όγκο r f gv displaced. 3 πιθανά σενάρια : 1. r body <r fluid : Επίπλευση 2. r body =r fluid : Αιώρηση 3. r body >r fluid : Βύθιση ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 30

Θερμόμετρο Γαλιλαίου Μεταβολή της πυκνότητας του εμπεριοχόμενου στον κύλινδρο ρευστού Εξίσωση της δύναμης άνωσης με τα βαρίδια διαφόρων χρωμάτων Ανάγνωση της θερμοκρασίας ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 31

Παράδειγμα: Ναυπηγείο που επιπλέει Μερικώς βυθισμένο Επιπλέει μαζί με ένα υποβρύχιο ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 32

Σταθερότητα εμβαπτισμένων σωμάτων Η σταθερότητα σωμάτων εμβαπτισμένων σε ρευστό εξαρτάται από τη σχετική θέση του κέντρου βάρους G και του κέντρου άνωσης B. G κάτω από B: σταθερότητα G πάνω από B: αστάθεια G σύμπτωση με B: ουδετερο-σταθερότητα ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 33

Σταθερότητα επιπλεόντων σωμάτων Επιπλέοντα σώματα μπορεί να είναι σταθερά όταν το G είναι υψηλότερα από το Β εξαιτίας της μετατόπισης του κέντρου άνωσης και της δημιουργίας επανορθωτικής δύναμης ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 34

Άνωση (Πρόβλημα) Canoe In preparation for the upcoming Concrete Canoe Competition, the University of Oklahoma chapter of the American Society of Civil Engineers (ASCE) is currently soliciting design ideas from its student members. Two canoe design layouts (as shown in the figures) have been received so far. These designs are similar in shape but with different dimensions. Assume either canoe weighs 120 pounds and the total weight of the paddlers and gear is 630 pounds. Question Design Diagram A Based on a simple buoyancy analysis, determine if the designs will float or sink by calculating the submerged waterline. Approach Design Diagram B For a simple analysis, use a single concentrated load instead of distributed load. Assume a fluid density of 1.94 slugs/ft 3. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 37

The total weight of the canoe and the paddlers is W = 120 lb + 630 lb = 750 lb For equilibrium, the total weight must be balanced by the buoyant force. That is, W = F B Force Equilibrium where the buoyant force is the weight of the liquid displaced by the volume and is given by F B = ρgv displaced The submerged waterline is denoted as h and the displaced volume for each design will be expressed in terms of h as follows: Submerged Water Line For Design Layout A: The displaced volume of layout A is given by V displaced = 2(10 + h)h Applying force equilibrium yields Displaced Volume of Design Layout A 750 = (1.94) (32.2) (2) (10 + h)h h 2 + 10h - 6 = 0 h = 0.57 ft The submerged height h (0.57 ft) is less than the height of the canoe (1 ft), hence this canoe will float. For Design Layout B: The displaced volume of layout B is given by V displaced = 2(11 + h)h Applying force equilibrium yields 750 = (1.94) (32.2) (2) (11 + h)h Displaced Volume of Design Layout B h 2 + 11h - 6 = 0 h = 0.52 ft ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 38 The submerged height h (0.52 ft) is greater than the height of the canoe (0.5 ft), hence this canoe will sink.

A wooden telephone pole falls into a lake as shown. What is the density of the pole? The pole will come to a static position where the sum of the moments about the point O is equal to zero. ΣM o = 0 Therefore, the buoyancy force multiplied by its lever arm must be equal and opposite the gravitational force times its lever arm. ΣM o = 0 = (W pole L pole - F B L B )cosθ where L pole = L/2 (gravity acts uniformly along the entire length), and (buoyancy force acts at the centroid of the submerged part of the pole) Note: θ is not needed since it factors out of the equation. From the sum of the moments equal zero, W pole L pole = F B L B where Cancelling πd 2 L 2 Multiplying both sides by 8/g ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 39 (Note: 1 slug = 1 lb f -s 2 /ft)

Άνωση (Πρόβλημα) Ένα αερόστατο έχει όγκο 3.000 m 3 και είναι γεμάτο με θερμό αέρα πυκνότητας 0,97 kg/m 3. Το αερόστατο έχει μάζα 500 kg και περιβάλλεται από ψυχρό αέρα πυκνότητας 1,26 kg/m 3. Πόσους ανθρώπους 75 kg μπορεί να σηκώσει; ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 40

Άνωση (Απάντηση προβλήματος) Η μάζα του αέρα που εκτοπίζει το αερόστατο είναι: 1.26 kg/m 3 3000 m 3 = 3780 kg Αυτή η μάζα ζυγίζει 3780 g N = άνωση Άνωση = Β αεροστάτου + Β θερμού αέρα μπαλονιού + Β ανθρώπων (3780 g) = (500 g) + (0,97 3000 g) + (m ανθρώπων g) m ανθρώπων = 370 kg = 4,93 άτομα Λύση : 4 άτομα ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 41

Το χρυσό στέμμα του βασιλιά των Συρακουσών Αρχιμήδης, 287-212 π.χ. Ο βασιλιάς υποψιάστηκε ότι ο σιδηρουργός αντικατέστησε χρυσό από το στέμμα με ασήμι και ζήτησε τη βοήθειατουαρχιμήδηγιανατο επαληθεύσει Ο Αρχιμήδης έπρεπε να βρεί μια μη καταστροφική μέθοδο δοκιμής ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 42

Το χρυσό στέμμα του βασιλιά των Συρακουσών Το βάρος του στέμματος και το βάρος του καθαρού χρυσού τον αέρα είναι ίδια: W c = ρ c V c = W n = ρ n V n Αν το στέμμα είναι από καθαρό χρυσό τότε ρ c =ρ n και επειδή W c = W n τότε και οι όγκοι τους είναι ίδιοι, V c =V n Στο νερό η άνωση είναι B c =ρ H2O V c για το στέμμα και B n =ρ H2O V n για τον καθαρό χρυσό, καιεπειδήοιόγκοιείναιίδιοικαιηπυκνότητα του νερού ίδια θα πρέπει να ισσοροπεί Αν δεν ισορροπεί τότε V c V n, πράγμα που σημαίνει ότι και ρ c ρ n ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 43 Ο σιδηρουργός ήταν απατεώνας τελικά!

Υδροστατική λιπομέτρηση Μέτρηση βάρους σώματος W=ρ body V Είσοδος σε δοχείο με νερό και μέτρηση φαινόμενου βάρους στο νερό W a Άνωση B = W-W a = ρ H2O V και άρα υπολογίζεται ό όγκος του σώματος ρ body =W/V Το % λίπους ως συνεισφορά στην πυκνότητα του ανθρώπινου σώματος υπολογίζεται από τύπους ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 44

Υδροστατική λιπομέτρηση στον αέρα Ίδια μέθοδος με την προηγούμενη Τι διαφέρει η χρήση αέρα? Η πυκνότητα του αέρα είναι 0,1% της πυκνότητας του νερού Εξάρτηση της πυκνότητας με τη θερμοκρασία Μετρήσεις μικρών όγκων ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 45

Στατική των Ρευστών Μπορεί ένα θωρηκτό να επιπλέει σε μια μπανιέρα; ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 46

Στατική των Ρευστών Και όμως μπορεί!!! ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 47

Ρευστά σε επιτάχυνση Μεταβολή της πίεσης για ρευστό που ηρεμεί (υπό μορφή συνιστωσών): θρ θρ θρ = 0 = 0 = -γ = -ρg dρ = - ρgdz θχ θy θz (γ = ρg για ομογενή και ασυμπίεστα ρευστά) ή P 1 P 2 = ρg(z 2 z 1 ) όπου το h μετριέται προς τα κάτω h = - z (υδροστατικός νόμος της μεταβολής πίεσης) Για επιταχυνόμενο ρευστό (βλ. διπλανό σχήμα) Για p 1 =p 2 (ελεύθερη επιφάνεια) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 48

Μεταβολή της πίεσης στα ρευστά Στοιχείο ρευστού που ηρεμεί Δυνάμεις που ενεργούν στο ρευστό: α) πιέσεις, β) βάρος θρ δz θρ δz θp δf z = - P + δχ δy + P δχ δy γδχδyδz = - δχδyδz - γδχδyδz θz 2 θz 2 θz θp θp δf x = - δχδyδz δf y = - δχδyδz θχ θy Το άνυσμα της συνισταμένης δύναμης που ενεργεί στο σημείο είναι: θρ θρ θρ δf = iδf x + jδf y + kδf z = - i + j + k δχδyδz - kγ δχδyδz, θχ θy θz δf και επειδή ηρεμεί το ρευστό ηρεμεί = 0 (δύναμη / μονάδα όγκου = 0) δv ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 49

Ρευστά σε επιτάχυνση Μεταβολή της πίεσης για ρευστό που ηρεμεί (υπό μορφή συνιστωσών): θρ θρ θρ = 0 = 0 = -γ = -ρg dρ = - ρgdz θχ θy θz (γ = ρg για ομογενή και ασυμπίεστα ρευστά) ή P 1 P 2 = ρg(z 2 z 1 ) όπου το h μετριέται προς τα κάτω h = - z (υδροστατικός νόμος της μεταβολής πίεσης) Για επιταχυνόμενο ρευστό (βλ. διπλανό σχήμα) Για p 1 =p 2 (ελεύθερη επιφάνεια) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 50

Rigid-Body Motion There are special cases where a body of fluid can undergo rigid-body motion: linear acceleration, and rotation of a cylindrical container. r r P+ ρgk = ρa Newton's 2nd law of motion can be used to derive an equation of motion for a fluid that acts as a rigid body (Cartesian coordinates): P x, P = ρa = ρay, P = ρ( g+ ax) x y z ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 51

Linear Acceleration Container is moving on a straight path a 0, a = a = 0 x y z P P P = ρax, = 0, = ρg x y z Total differential of P dp = ρa dx ρgdz Pressure difference between 2 points Find the rise by selecting 2 points on free surface P 2 = P 1 ax Δ zs = zs2 zs 1 = ( x2 x1) g ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 52 x ( ) ρ ( ) P P = ρa x x g z z 2 1 x 2 1 2 1

Περιστροφή ρευστού σε κυλινδρικό δοχείο Container is rotating about the z-axis P a, P = ρ = ρa, P = ρ g+ a x y z ( ) x y x Total differential of P 2 dp = ρω r dr ρgdz 2 ar rω aθ az =, = = 0 P P P r, 0, r θ z 2 = ρ ω = = ρg On an isobar, dp = 0 dzisobar rω ω = = + dr g 2g 2 2 2 zisobar r C1 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 56

Παράδειγμα : Ανοιχτή κυλινδρική δεξαμενή ύψους h και διαμέτρου d = 2r περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Αν ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον γεωμετρικό του άξονα: Βρείτε την εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού. Ποια σταθερή γωνιακή ταχύτητα μπορεί να επιτευχθεί χωρίς να χαθεί καθόλου νερό (h = 2, d = 1, h = 1,5 m). Ποια είναι η πίεση στον πυθμένα της δεξαμενής (σημεία Δ, Ε) Όταν η γωνιακή ταχύτητα είναι ω = 20 rad/sec, τι μέρος του πυθμένα είναι ακάλυπτο; Λύση a) ΣF x = ma x Psinθ = w g α X Psinθ = w g x ω2 (1) ΣF y = W Pcosθ = W (2) 2 xω tanθ = g (1), (2) dy 2 2 2 dy tanθ = dx = xω ω ω dy = χ dx y = g g g dx Για y = 0, x = 0 c= 0 2 ω y= x 2 g 2 Εξίσωση παραβολής 2 χ 2 + c b) Όγκος παραβολοειδούς από περιστροφή = 1 2 (όγκου περιγεγραμμένου κυλίνδρου) Για να μην χυθεί το υγρό πρέπει π π ( ) Επειδή h 1 = h - h =0,5 m h 1 = 2 1 h + h rh= ( r h+ h ) h = h= h 2 2, y 0.5,1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 h =0,5 m ( χ Β Β ) = ( ) 2 2 y ω 2 2 1 ( 0.5) 8.86 / sec 2 x ω = = ω = g 2x9,81 rad ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 58

Παράδειγμα : Ανοιχτή κυλινδρική δεξαμενή ύψους h και διαμέτρου d = 2r περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Αν ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από τον γεωμετρικό του άξονα: Λύση Βρείτε την εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού. Ποια σταθερή γωνιακή ταχύτητα μπορεί να επιτευχθεί χωρίς να χαθεί καθόλου νερό (h = 2, d = 1, h = 1,5 m). Ποια είναι η πίεση στον πυθμένα της δεξαμενής (σημεία Δ, Ε) Όταν η γωνιακή ταχύτητα είναι ω = 20 rad/sec, τι μέρος του πυθμένα είναι ακάλυπτο; c) Βάθος υγρού : στα τοιχώματα της δεξαμενής : 2m PE = ρ gh = 9810x2 = 19.620Pa στο κέντρο της δεξαμενής : 1m P = ρ gh = Δ 9810x1 = 9.810Pa 2 20 3 0.5 3 5.1 2 d) y = ( ) y = m ( x, y ) = ( 0.5,5.1) 2g 3 3 2 2 20 2 20 2 y2 = 2+ y1 = x2 () 1 (1α) y1 = x1 ( 2) 2g 2g (Όγκος SAB) (Όγκος SEZ) = όγκος αέρα πριν την περιστροφή 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 20 2 πx2 y2 πx1 y1 = ( πr 0.5) x2 2 x1 x1 = r 0.5 (3) 2 2 2 2 2g 1, 2, 3 x = 0.116 ()( ) ( ) 1 Ακάλυπτη επιφάνεια = π x1 = 0.042m 2 2 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 59

Παράδειγμα ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 60