ÊÅÖÁËÁÉÏ 4 ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ 4.1 ÃÅÍÉÊÁ Ìå ôïí ôßôëï "Ýëåã ïò êáëþò ðñïóáñìïãþò" (goodness-of-fit) åííïïýìå ôçí äéáäéêáóßá (Þ ôéò äéáäéêáóßåò) åêåßíåò ìå ôéò ïðïßåò ìðïñïýìå íá åëýãîïõìå áí ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýí ìéá óõãêåêñéìýíç êáôáíïìþ (ð.. ÄéùíõìéêÞ, Poisson, ÊáíïíéêÞ). Ôï üôé ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýí êüðïéá êáôáíïìþ åßíáé Ýíá åñþôçìá ðïõ ðïëý åýêïëá óõíáíôüìå óôçí ðñüîç. Ãéá ðáñüäåéãìá ãéá ôçí ñþóç ôùí äéüöoñùí óôáôéóôéêþí (z, t, F), ðïõ áíáöýñèçêáí óôá äýï ðñïçãïýìåíá êåöüëáéá, áðáéôåßôáé üðùò ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. Ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò êáëþò ðñïóáñìïãþò õðüñ ïõí äéüöïñïé ìýèïäïé. Åìåßò åäþ èá áíáöýñïõìå ìüíïí ìßá áõôþ ðïõ åßíáé ðéï ãíùóôþ êáé ðéï åýêïëá ñçóéìïðïéïýìåíç. Ç ìýèïäïò áõôþ åßíáé ãíùóôþ ìå ôï üíïìá - êñéôþñéï ðñïóáñìïãþò êáé èá ðáñïõóéáóèåß óôçí óõíý åéá.
ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ 4. - ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ Áò õðïèýóïõìå üôé Ý ïõìå Ýíá ôõ áßï äåßãìá x 1, x,..., x n áðü Ýíá ðëçèõóìü êáé áò óõìâïëßóïõìå ìå ôï öõóéêü ìýãåèïò (ð.. ýøïò, âüñïò, åðßäïóç ê.ô.ë.) ôï ïðïßï ìåëåôüìå. Ôï öõóéêü áõôü ìýãåèïò ìðïñåß íá åßíáé åßôå óõíå Ýò (ðïóïôéêü) åßôå äéáêñéôü (ðïéïôéêü), ðáßæåé äå ôïí ñüëï ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò êáé óáí ôõ áßá ìåôáâëçôþ èá áíáöýñåôáé óôá åðüìåíá. Óôá ðñïâëþìáôá êáëþò ðñïóáñìïãþò ç õðüèåóç ðïõ Ý ïõìå íá åëýãîïõìå åßíáé ç Ç ï : ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýí ôçí óõãêåêñéìýíç êáôáíïìþ ùò ðñïò ôçí åíáëëáêôéêþ Ç á : ôá äåäïìýíá ìáò äåí áêïëïõèïýí ôçí óõãêåñêéìýíç êáôáíïìþ. Ç áðïäï Þ Þ ç áðüññéøç ôçò Ç ï óçìáßíåé üôé ôï äåßãìá ìáò, êáé êáôü óõíýðåéá êáé ç õðü ìåëýôç ôõ áßá ìåôáâëçôþ, áêïëïõèåß Þ äåí áêïëïõèåß, áíôßóôïé á, ôçí õðü åîýôáóç óõãêåêñéìýíç êáôáíïìþ. Óå êüèå êáôáíïìþ äéáêñßíïõìå êüðïéåò ðïóüôçôåò ôéò ïðïßåò ïíïìüæïõìå ðáñáìýôñïõò. Ð.. óôçí äéùíõìéêþ êáôáíïìþ óáí ðáñüìåôñïò èåùñåßôáé ôï ðïóïóôü "åðéôõ ßáò" p, óôçí êáôáíïìþ Poisson ï "áñéèìüò ôùí áëëáãþí óôçí ìïíüäá ôïõ ñüíïõ" ë, åíþ óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ ôá ì êáé ó. Óôçí ðñïçãïýìåíç äéáôýðùóç ôçò Ç ï ïé ïðïéåóäþðïôå ðáñüìåôñïé ôçò õðü åîýôáóç êáôáíïìþò èåùñïýíôáé Üãíùóôïé êáé èá ðñýðåé íá åêôéìçèïýí áðü ôá äåäïìýíá. Óôçí áíôßèåôç ðåñßðôùóç, üôáí äçëáäþ êüðïéá Þ êüðïéåò áðü ôéò ðáñáìýôñïõò ôçò õðü åîýôáóç êáôáíïìþò åßíáé Þ èåùñïýíôáé ãíùóôýò, ôüôå ç ðñïò Ýëåã ï õðüèåóç äéáôõðþíåôáé óáí Ç ï : ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýí ôçí óõãêåêñéìýíç êáôáíïìþ ìå ðáñüìåôñï (Þ ðáñáìýôñïõò) (ôüäå...) åíþ ç åíáëëáêôéêþ óáí Ç á : ôá äåäïìýíá ìáò äåí áêïëïõèïýí ôçí óõãêåêñéìýíç êáôáíïìþ ìå ðáñüìåôñï (Þ ðáñáìýôñïõò) (ôüäå...). Êáé 30
óôéò äýï äéáôõðþóåéò ç âáóéêþ ìåèïäïëïãßá åëýã ïõ ôçò Ç ï åßíáé ç ßäéá ìå åëü éóôåò äéáöïñýò ôéò ïðïßåò èá äïýìå ðéï êüôù. Ç ðïñåßá ðïõ ðñýðåé íá áêïëïõèþóïõìå ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò Ç ï ìå ôçí ìýèïäï ôïõ -êñéôçñßïõ ðñïóáñìïãþò åßíáé ç áêüëïõèç. ÂÞìá 1. Ïñßæïõìå ôçí ôõ áßá ìåôáâëçôþ, Ýóôù, ãéá ôï öõóéêü ìýãåèïò ðïõ ìåëåôüìå. ÂÞìá. ÃñÜöïõìå ôïí ìáèçìáôéêü ôýðï ôçò êáôáíïìþò ôçí ðñïóáñìïãþ ôçò ïðïßáò, óôá äåäïìýíá ìáò, èýëïõìå íá åëýãîïõìå. ôóé ð.. áí ç åßíáé ðïéïôéêþ ìåôáâëçôþ êáé ôï ðåßñáìü ìáò éêáíïðïéåß ôá áîéþìáôá ôçò äéùíõìéêþò êáôáíïìþò (âë. ÆùãñÜöïò, 1993) ôüôå ç êáôáíïìþ ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò èá åßíáé ç af F HG I K J a f, x=0,1,...,n, 0<p<1. p x = n x p x 1 - p n x ÂÞìá 3. Ïìáäïðïéïýìå ôá äåäïìýíá ìáò. Áí ç õðü åîýôáóç êáôáíïìþ åßíáé ðïéïôéêþ ôüôå ïé ïìüäåò ìáò åßíáé ïé ôéìýò ôçò äéáêñéôþò áõôþò êáôáíïìþò. Ãéá ðáñüäåéãìá áí ç åßíáé üðùò óôï âþìá, ôüôå ïé ïìüäåò ìáò èá åßíáé ïé 0, 1,..,n (âë. ðáñáäåßãìáôá 4.1 êáé 4.). Áí ç õðü åîýôáóç êáôáíïìþ åßíáé ðïóïôéêþ ôüôå ïé ïìüäåò ìáò åßíáé äéáóôþìáôá ôéìþí. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá ðñýðåé íá õðïëïãßóïõìå êáé ôá áíôßóôïé á ðñáãìáôéêü üñéá (âë. ðáñüäåéãìá 4.3). Ï õðïëïãéóìüò ôùí ðñáãìáôéêþí ïñßùí äåí åßíáé áðáñáßôçôïò áí ôá áñ éêü ìáò üñéá éêáíïðïéïýí ôçí éäéüôçôá ôçò óõíý åéáò ôùí ïñßùí ôùí ïìüäùí (âë. ðáñüäåéãìá 4.3). ÂÞìá 4. Ìå âüóç ôá äåäïìýíá ìáò âñßóêïõìå ôïí áñéèìü ôùí ðáñáôçñþóåþí ìáò ðïõ áíôéóôïé ïýí óå êüèå ïìüäá. Ôïõò áñéèìïýò áõôïýò ôïõò ïíïìüæïõìå ðáñáôçñïýìåíåò óõ íüôçôåò êáé ôïõò 31
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ óõìâïëßæïõìå ìå Ï i, üðïõ ôï i ðáßñíåé ôéìýò áðü 1 Ýùò üóïò åßíáé ï áñéèìüò ôùí ïìüäùí ðïõ Ý ïõìå äçìéïõñãþóåé. ÂÞìá 5. ÅêôéìÜìå üóåò ôõ þí áðü ôéò ðáñáìýôñïõò ôçò õðü åîýôáóç êáôáíïìþò äåí ìáò äßíïíôáé Þ äåí ìðïñïýí íá èåùñçèïýí óáí ãíùóôýò. Áí ç Üãíùóôç ðáñüìåôñïò åßíáé ç ìýóç ôéìþ ì, ôüôå ôçí åêôéìüìå áðü ôçí ìýóç ôéìþ ôïõ äåßãìáôïò X, äçëáäþ ì = ŸX, áí åßíáé ç äéáêýìáíóç ó, ôüôå ôçí åêôéìüìå ìå ôçí äéáêýìáíóç ôïõ äåßãìáôïò S, äçëáäþ ó =S, åíþ áí åßíáé ðïóïóôü p, ôï åêôéìüìå ìå ôïí ëüãï p =(åõíïúêýò ðåñéðôþóåéò)/(óýíïëï ðåñéðôþóåùí). ÂÞìá 6. Õðïëïãßæïõìå ôéò ðéèáíüôçôåò ç ôõ áßá ìåôáâëçôþ, üðùò ôçí ïñßóáìå óôï âþìá 1, íá ðüñåé, ùñéóôü, êüèå ìßá áðü ôéò ôéìýò ôùí ïìüäùí (âë. âþìá ), áí ç åßíáé ðïéïôéêþ, Þ ç íá ðáßñíåé ôéìýò, ùñéóôü, óå êáè' Ýíá áðü ôá ðñáãìáôéêü äéáóôþìáôá, áí ç åßíáé ðïóïôéêþ. Ï õðïëïãéóìüò ôùí ðéèáíïôþôùí áõôþí ãßíåôáé Þ ìå ôçí âïþèåéá ðéíüêùí, êõñßùò ãéá ôéò ðïéïôéêýò êáôáíïìýò, Þ êáô' åõèåßáí áðü ôïí ìáèçìáôéêü ôýðï ôçò êáôáíïìþò Þ, ôýëïò, ìå ôçí âïþèåéá åíüò çëåêôñïíéêïý õðïëïãéóôþ. ÂÞìá 7. ÅëÝã ïõìå áí ôï Üèñïéóìá ôùí ðéèáíïôþôùí, óôï ðñïçãïýìåíï âþìá, åßíáé ßóï Þ ðïëý êïíôü óôçí ìïíüäá. Áí åßíáé ßóï ìå ôçí ìïíüäá, ôüôå ðñï ùñüìå óôï åðüìåíï âþìá. Áí äåí åßíáé, ôüôå ðñïóèýôïõìå ìßá Þ ðåñéóóüôåñåò ïìüäåò óôá äåäïìýíá ìáò, ìáæß ìå ôéò áíôßóôïé åò ðéèáíüôçôåò, Ýôóé þóôå ôï Üèñïéóìá ôùí ðéèáíïôþôùí íá ãßíåé ßóï ìå ôçí ìïíüäá. Ç ðñïóèþêç áõôþ ôùí ïìüäùí ãßíåôáé óõíþèùò óôï ôýëïò (âë. ðáñáäåßãìáôá 4.1 êáé 4.) Þ êáé óôçí áñ Þ ôùí ïìüäùí ìáò (âë. ðáñüäåéãìá 4.3), áíüëïãá ìå ôï áí ïé ïìüäåò ìáò êáëýðôïõí üëï ôï 3
åýñïò ôùí ôéìþí ðïõ ìðïñåß íá ðüñåé ç ãéá ôçí óõãêåêñéìýíç êáôáíïìþ. ÂÞìá 8. Ãéá êüèå ïìüäá õðïëïãßæïõìå ôéò áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò. Ï õðïëïãéóìüò áõôüò ãßíåôáé ìå ôï íá ðïëëáðëáóéüóïõìå ôçí ðéèáíüôçôá ôçò ïìüäïò (âë. âþìá 6) ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ðáñáôçñïýìåíùí óõ íïôþôùí Ï i. Ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò óõìâïëßæïíôáé ìå Å i êáé ìáò äåß íïõí ôïí áñéèìü ôùí ðáñáôçñþóåùí ðïõ èá Ýðñåðå íá Ý ïõìå óå êüèå ïìüäá áí ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýóáí ôçí õðü åîýôáóç êáôáíïìþ. Óáí Ýíá Ýëåã ï üôé êüíáìå óùóôü ôéò ðñüîåéò ìáò, ìý ñé ôï óçìåßï áõôü, ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôï ãåãïíüò üôé ôï Üèñïéóìá ôùí áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí èá ðñýðåé íá éóïýôáé ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ðáñáôçñïýìåíùí óõ íïôþôùí. ÂÞìá 9. ÅëÝã ïõìå áí ãéá êüèå ïìüäá ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò ðïõ õðïëïãßóáìå åßíáé ìåãáëýôåñåò ôïõ áñéèìïý 0,5. Áí õðüñ ïõí áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò ìå ôéìþ ìéêñüôåñç ôïõ 0,5 ôüôå áõôýò, êáôü êáíüíá, èá åìöáíßæïíôáé óôéò ðñþôåò Þ óôéò ôåëåõôáßåò ïìüäåò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò: ç ôéìþ ç ìéêñüôåñç ôïõ 0,5 íá åìöáíßæåôáé óôçí ðñþôç (Þ óôéò ðñþôåò) ïìüäá Þ íá åìöáíßæåôáé óôçí ôåëåõôáßá (Þ óôéò ôåëåõôáßåò) ïìüäá. Áí åìöáíßæåôáé óôçí ðñþôç ïìüäá, ôüôå áèñïßæïõìå ôçí óõ íüôçôá áõôþ ìå ôçí ôéìþ ôçò áìýóùò åðüìåíçò óõ íüôçôáò. Áí êáé ç íýá ôéìþ ðïõ ðñïêýðôåé åßíáé ìéêñüôåñç ôïõ 0,5 ôüôå áèñïßæïõìå êáé ôçí ôéìþ ôçò åðüìåíçò áíáìåíüìåíçò óõ íüôçôáò ê.ï.ê. Ýùò üôïõ âñïýìå áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ìå ôéìþ ìåãáëýôåñç Þ ßóç ôïõ 0,5. ÁíÜëïãá åíåñãïýìå êáé óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ç áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ìå ôéìþ ìéêñüôåñç ôïõ 0,5 âñßóêåôáé óôçí ôåëåõôáßá ïìüäá, ìüíï ðïõ ôþñá ç Üèñïéóç ôùí 33
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí ãßíåôáé ìå ôéò ðñïçãïýìåíåò áðü áõôþ ïìüäåò. Óå ïðïéáäþðïôå ðåñßðôùóç ïé ïìüäåò ôùí ïðïßùí ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò Ý ïõí áèñïéóèåß áðïôåëïýí ðëýïí ìßá ïìüäá ìå ðáñáôçñïýìåíç êáé áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ôï Üèñïéóìá ôùí ðáñáôçñïýìåíùí êáé áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí ôùí áíôßóôïé ùí ïìüäùí. ÂÞìá 10. Õðïëïãßæïõìå ôçí ôéìþ ôïõ óôáôéóôéêïý k c Oi -Ei =, (4.1) E i=1 üðïõ k åßíáé ï áñéèìüò ôùí ïìüäùí ðïõ Ý ïõìå ìåôü áðü ôá âþìáôá 7 êáé 9. ÂÞìá 11. Áðïññßðôïõìå ôçí õðüèåóç üôé ôá äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýí ôçí õðï åîýôáóç êáôáíïìþ áí á; k-r-1 (4.) üðïõ r åßíáé ï áñéèìüò ôùí ðáñáìýôñùí ôçò õðï åîýôáóç êáôáíïìþò ðïõ åêôéìþóáìå ìå âüóç ôá äåäïìýíá ìáò. Ç ôéìþ ôïõ á; k-r-, ãéá äïèýí á, 1 äßíåôáé áðü ôïõò ðßíáêåò ôçò -êáôáíïìþò (âë. ðßíáêá 3 óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ). Óôçí óõíý åéá, ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôùí üóùí áíáöýñáìå ðñïçãïõìýíùò, èá äþóïõìå ôñßá ðáñáäåßãìáôá ðñïóáñìïãþò äåäïìýíùí óå óõãêåêñéìýíåò êáôáíïìýò. i h ÐáñÜäåéãìá 4.1 (ÊáôáíïìÞ Poisson) Óå Ýíá íïóïêïìåßï, ãéá äéüóôçìá 88 çìåñþí, ìåôñþóáìå ôïí áñéèìü ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí áíü çìýñá. Ôá áðïôåëýóìáôá ðáñïõóéüæïíôáé óôïí ðßíáêá ðïõ áêïëïõèåß. Óêïðüò ìáò åßíáé, ìå âüóç ôá äåäïìýíá ðïõ óõãêåíôñþóáìå, íá ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí ðéèáíüôçôá ìéá äåäïìýíç çìýñá ï 34
áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí íá ãßíåé ìåãáëýôåñïò áðü êüðïéá óõãêåêñéìýíç ôéìþ. Ðßíáêáò 4.1 Áñéèìüò åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí, áíü çìýñá, ãéá äéüóôçìá 88 çìåñþí óå Ýíá íïóïêïìåßï. ÇìÝñá Ðåñéóô. ÇìÝñá Ðåñéóô. ÇìÝñá Ðåñéóô. ÇìÝñá Ðåñéóô. 1 3 3 45 67 3 4 5 46 3 68 1 3 4 5 3 47 4 69 3 4 5 6 48 70 5 5 3 7 4 49 71 4 6 8 4 50 3 7 1 7 3 9 3 51 4 73 1 8 0 30 5 5 74 6 9 1 31 1 53 3 75 3 10 0 3 3 54 1 76 3 11 1 33 55 77 5 1 0 34 4 56 3 78 13 6 35 57 79 1 14 4 6 5 58 5 80 7 15 4 37 0 59 81 7 16 4 38 6 60 7 8 1 17 3 39 4 61 3 83 5 18 4 40 4 6 1 84 1 19 3 41 5 63 3 85 4 0 3 4 1 64 1 86 4 1 3 43 3 65 0 87 4 44 1 66 3 88 3 Ãéá íá ìðïñýóïõìå íá áðáíôþóïõìå óôï åñþôçìá ôïõ ðáñáäåéãìáôüò ìáò èá ðñýðåé íá âñïýìå ðïéá åßíáé ç êáôáíïìþ ðïõ áêïëïõèåß ï áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí. Åßíáé öáíåñü üôé, óôï ðáñüäåéãìá áõôü, ôï öõóéêü ìýãåèïò ðïõ ìåôñüìå åßíáé ï áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí áíü çìýñá êáé êáôü óõíýðåéá áõôþ èá åßíáé êáé ç ôõ áßá ìáò ìåôáâëçôþ (ÂÞìá 1). Ïé ôéìýò ôçò ìåôáâëçôþò áõôþò, èåùñçôéêü, ìðïñåß íá åßíáé 0, 1,,.... 35
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ ÄçëáäÞ óå ìéá çìýñá ìðïñåß íá ìçí Ý ïõìå êáíýíá åðåßãïí ðåñéóôáôéêü, íá Ý ïõìå Ýíá, äýï ê.ô.ë.. Áðü ôéò ôéìýò ðïõ ìðïñåß íá ðüñåé ç ôõ áßá ìåôáâëçôþ óõìðåñáßíïõìå üôé ðñüêåéôáé ãéá ìéá ðïéïôéêþ ôõ áßá ìåôáâëçôþ. Óõíåðþò êáé ç ðéèáíþ êáôáíïìþ ðïõ èá áêïëïõèïýí ôá äåäïìýíá ìáò èá ðñýðåé íá åßíáé ìéá ðïéïôéêþ (Þ äéáêñéôþ ) êáôáíïìþ. ÃåíéêÜ, áí ç ôõ áßá ìåôáâëçôþ ôïõ ðñïâëþìáôüò ìáò åßíáé ðïéïôéêþ êáé åêöñüæåé áñéèìü áëëáãþí óå êüðïéï äéüóôçìá, ôüôå ç êáôáíïìþ ôçò åßíáé óõíþèùò ç êáôáíïìþ Poisson. Óôï ðáñüäåéãìü ìáò ç åßíáé ðïéïôéêþ, ï áñéèìüò áëëáãþí åßíáé ï áñéèìüò åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí êáé ôï äéüóôçìá åßíáé ç çìýñá. Óõíåðþò åßíáé ëïãéêü íá åîåôüóïõìå áí, ìå âüóç ôá äåäïìýíá ìáò, ï áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí áíü çìýñá, óôï åí ëüãù íïóïêïìåßï, áêïëïõèåß ôçí êáôáíïìþ Poisson. Ï ìáèçìáôéêüò ôýðïò ôçò êáôáíïìþò áõôþò åßíáé (ÂÞìá ): ë x p(x) =ðéè( = x) = e ë, x=0, 1,,... ; ë>0 (4.3). x! Óôçí óõíý åéá ïìáäïðïéïýìå ôá äåäïìýíá ìáò (ÂÞìá 3). ÅðåéäÞ ç ôõ áßá ìáò ìåôáâëçôþ åßíáé ðïéïôéêþ ïé ïìüäåò ìáò èá åßíáé ïé ôéìýò ôçò õðï åîýôáóç êáôáíïìþò, äçëáäþ ïé 0, 1,,.... Áðü ôá äåäïìýíá ìáò âñßóêïõìå ôïí áñéèìü ôùí ðáñáôçñþóåþí ìáò ðïõ áíôéóôïé ïýí óå êüèå ïìüäá (ÂÞìá 4) äçëáäþ âñßóêïõìå ôéò ðáñáôçñïýìåíåò óõ íüôçôåò. Ç ïìáäïðïßçóç áõôþ öáßíåôáé óôïí ðßíáêá 4. (âë. äéðëáíþ óåëßäá). Ïé ãñáììýò ôïõ ðßíáêá 4. äçëþíïõí, ìå ôçí óåéñü, üôé óôçí äéüñêåéá ôùí 88 çìåñþí õðþñîáí 5 çìýñåò ùñßò êáíýíá åðåßãïí ðåñéóôáôéêü, 14 çìýñåò ìå Ýíá åðåßãïí ðåñéóôáôéêü, 15 çìýñåò ìå äýï åðåßãïíôá ðåñéóôáôéêü ê.ï.ê.. 36
Ðßíáêáò 4. Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáôáíïìþ Poisson. (É) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) 0 5 1 14 15 3 3 4 16 5 9 6 3 7 3 Áðü ôçí ó Ýóç (4.3) âëýðïõìå üôé ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðéèáíïôþôùí ìå ôçí âïþèåéá ôçò êáôáíïìþò Poisson èá ðñýðåé íá ãíùñßæïõìå ôçí ôéìþ ôçò ðïóüôçôáò ë. Ç ðïóüôçôá áõôþ ïíïìüæåôáé ðáñüìåôñïò ôçò êáôáíïìþò êáé åö' üóïí äåí äßíåôáé èá åêôéìçèåß áðü ôá äåäïìýíá (ÂÞìá 5). (Áí ç ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ ë äßíïíôáí ôüôå ç äéáôýðùóç ôïõ ðñïâëþìáôüò ìáò èá Þôáí : íá âñåèåß áí ôá äåäïìýíá ìáò óôçñßæïõí ôçí õðüèåóç üôé ï áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí, óôï åí ëüãù íïóïêïìåßï, áêïëïõèåß ôçí êáôáíïìþ Poisson ìå ðáñüìåôñï ë=4, ð..). ÅðåéäÞ ôï ë åêöñüæåé ôçí ìýóç ôéìþ ôçò êáôáíïìþò Poisson, èá åêôéìçèåß áðü ôçí ìýóç ôéìþ ôïõ äåßãìáôïò, äçëáäþ ôï. ôóé ëïéðüí èá Ý ïõìå ë= Üñá ë 3. 0 5+1 14+ 15+3 3+4 16+5 9+6 3+7 3 5+14+15+3+16+9+3+3 = 61 88 =,97 Ãéá ë=3 êáé ìå ôçí âïþèåéá ôçò ó Ýóçò (4.3) Þ áðü ôïõò ðßíáêåò ôçò êáôáíïìþò Poisson (âë. ðßíáêá óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ) âñßóêïõìå ôéò ðéèáíüôçôåò óå ìéá ïðïéáäþðïôå çìýñá íá ìçí Ý ïõìå êáíýíá åðåßãïí ðåñéóôáôéêü, íá Ý ïõìå Ýíá åðåßãïí ðåñéóôáôéêü, íá Ý ïõìå äýï åðåßãïíôá ðåñéóôáôéêü ê.ô.ë. êáé ôýëïò íá Ý ïõìå åðôü åðåßãïíôá 37
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ ðåñéóôáôéêü. Ïé ðéèáíüôçôåò áõôýò óõìâïëéêü ãñüöïíôáé óáí ðéè( =0), ðéè( =1), ðéè( =) ê.ô.ë. ðéè( =7) (ÂÞìá 6). Ïé ðéèáíüôçôåò áõôýò áðïôåëïýí ôçí ôñßôç óôþëç ôïõ ðßíáêá 4. êáé ðáñïõóéüæïíôáé óôïí ðßíáêá 4.3. Ðßíáêáò 4.3 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáôáíïìþ Poisson. (ÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) Poisson ë =3 0 5 0,05 1 14 0,149 15 0,4 3 3 0,4 4 16 0,168 5 9 0,101 6 3 0,05 7 3 0,0 88 0,988 Ç ôåëåõôáßá ãñáììþ óôïí ðßíáêá 4.3 ìáò äßíåé ôá áèñïßóìáôá ôùí áíôßóôïé ùí óôçëþí. Óôïí ðáñáðüíù ðßíáêá ðáñáôçñïýìå üôé ôï Üèñïéóìá ôùí ðéèáíïôþôùí åßíáé ìéêñüôåñï ôçò ìïíüäïò. Áõôü óçìáßíåé (âë. ÂÞìá 7) üôé óôá äåäïìýíá ìáò èá ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå ìßá Þ ðåñéóóüôåñåò ïìüäåò. Ç ðñüóèåóç ôùí ïìüäùí ãßíåôáé êáôü ôýôïéï ôñüðï þóôå áõôýò íá êáëýðôïõí üëåò ôéò äõíáôýò ôéìýò ðïõ ìðïñåß íá ðüñåé ç ôõ áßá ìåôáâëçôþ. (Èõìçèåßôå üôé óôçí ðåñßðôùóç ôùí ðïéïôéêþí ìåôáâëçôþí ïé ïìüäåò áíôéóôïé ïýí óôéò ôéìýò ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò ðïõ Ý ïõìå ïñßóåé). Óôï ðáñüäåéãìü ìáò êáé áðü ôçí ó Ýóç (4.3) âëýðïõìå üôé ïé ôéìýò ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò åßíáé 0, 1,,... Ýùò ôï Üðåéñï. Óôá äåäïìýíá ìáò ïé ôéìýò áõôýò åßíáé áðü ôï 0, 1,..., 7. Åßíáé ëïéðüí öáíåñü üôé èá ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå ôéò ïìüäåò ðïõ ëåßðïõí, äçëáäþ ôéò 8, 9,.. 38
., Ýùò ôï Üðåéñï. ÅðåéäÞ áõôü äåí åßíáé åýêïëï ãé' áõôü ðñïóèýôïõìå ôçí ïìüäá 8 ç ïðïßá åßíáé éóïäýíáìç ìå ôï óýíïëï ôùí ðñïçãïýìåíùí ïìüäùí. ÅðåéäÞ óôçí äéüñêåéá ôùí 88 çìåñþí, ðïõ êáôáãñüöáìå ôá åðåßãïíôá ðåñéóôáôéêü, äåí ðáñáôçñþóáìå 8 Þ ðåñéóóüôåñá åðåßãïíôá ðåñéóôáôéêü ãé' áõôü ï áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí ãéá ôçí íýá ïìüäá èá åßíáé ìçäýí. Óõíåðþò ï ðßíáêáò 4.3 èá ðüñåé ôçí ìïñöþ ôïõ ðßíáêá 4.3.á Ðßíáêáò 4.3á Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáôáíïìþ Poisson. (ÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) Poisson ë =3 0 5 0,05 1 14 0,149 15 0,4 3 3 0,4 4 16 0,168 5 9 0,101 6 3 0,05 7 3 0,0 8 0 0,01 88 1,000 Ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò Å i (ÂÞìá 8), ãéá êüèå ïìüäá ôïõ ðßíáêá 4.3á, èá âñåèïýí áí ðïëëáðëáóéüóïõìå ôï óýíïëï ôùí ðáñáôçñþóåùí, 88, ìå ôçí áíôßóôïé ç ðéèáíüôçôá. ôóé ð.. ç áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ãéá ôçí ðñþôç ïìüäá èá åßíáé Å 1 =88 0,05=4,4, ãéá ôçí äåýôåñç ïìüäá Å =88 0,149=13,11, ãéá ôçí ôñßôç ïìüäá Å 3 =88 0,4=19,71 ê.ï.ê.. Ïé ôéìýò áõôýò öáßíïíôáé óôïí ðßíáêá 4.4. 39
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ Ðßíáêáò 4.4 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáôáíïìþ Poisson. (ÉÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò Áíáìåíüìåíåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) Poisson ë =3 óõ íüôçôåò (Å i ) 0 5 0,05 4,4 1 14 0,149 13,11 15 0,4 19,71 3 3 0,4 19,71 4 16 0,168 14,784 5 9 0,101 8,888 6 3 0,05 4,4 7 3 0,0 1,936 8 0 0,01 1,056 88 1,000 88 ÐáñáôçñÞóôå üôé, óôïí ðßíáêá 4.4, ôï Üèñïéóìá ôùí áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí éóïýôáé ìå ôï óýíïëï ôùí ðáñáôçñþóåùí, äçëáäþ 88. Ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò, ãéá êüèå ïìüäá, ìáò äåß íïõí ôïí áñéèìü ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí ôá ïðïßá èá Ýðñåðå íá åß áìå áí ôá äåäïìýíá ìáò óôþñéæáí ôçí õðüèåóç ôçò êáôáíïìþò Poisson, ìå åêôéìþìåíç ðáñüìåôñï ë =3. ÅðåéäÞ üëåò ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò åßíáé ìåãáëýôåñåò ôçò ôéìþò 0,5 (âë. ÂÞìá 9) ðñï ùñüìå óôïí õðïëïãéóìü ôçò ôéìþò ôïõ, üðùò áõôü äßíåôáé áðü ôçí ó Ýóç 4.1 (âë. ÂÞìá 10). Ç ôéìþ áõôþ èá åßíáé: cï Å 1 1h c = + Ï Å h c h +... + Ï 9 Å 9 Å Å Å Üñá = 4,01. 1 a f a14-13, 11f a = 5-4,4 4, 4 + 13, 11 +... + 9 0-1, 056 1, 056 f, Óôï ðáñüäåéãìü ìáò áõôü Ý ïõìå 9 ïìüäåò, Üñá k=9, åíþ Ý ïõìå åêôéìþóåé ìßá ìüíï ðáñüìåôñï ôï ë, Üñá r=1. Óõíåðþò ãéá á=5% áðü ôïõò ðßíáêåò ôçò -êáôáíïìþò âñßóêïõìå üôé á; = k r 1 0, 05;7 = 14,07. 40
ÅðåéäÞ ç áíéóüôçôá 4., á; k-r-1, äåí éó ýåé óõìðåñáßíïõìå (âë. ÂÞìá 11) üôé "ìå ðéèáíüôçôá 95% ï áñéèìüò ôùí åðåéãüíôùí ðåñéóôáôéêþí, áíü çìýñá, óôï åí ëüãù íïóïêïìåßï, áêïëïõèåß ôçí êáôáíïìþ Poisson ìå ðáñüìåôñï ë=3 ". ÐáñÜäåéãìá 4. (ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ). Ìéá öáñìáêåõôéêþ åôáéñåßá ãéá íá ìåëåôþóåé ôïí áñéèìü ôùí áóèåíþí ðïõ ðñïôéìïýí Ýíá êáéíïýñãéï ðáõóßðïíï Ýêáíå ôï åîþò ðåßñáìá. ÄéÜëåîå óôçí ôý ç 100 ãéáôñïýò êáé óôçí óõíý åéá êüèå ãéáôñüò äéüëåîå ôõ áßá 5 áóèåíåßò óôïõò ïðïßïõò êáé ïñþãçóå ôï õðü åîýôáóç ðáõóßðïíï. ÌåôÜ áðü êüðïéï ïñéóìýíï ñïíéêü äéüóôçìá êüèå áóèåíþò áðüíôçóå óôï åñþôçìá áí ðñïôéìüåé ôï íýï ðáõóßðïíï Þ ü é. Ôá áðïôåëýóìáôá ôçò Ýñåõíáò áõôþò åßíáé ôá åðüìåíá. ÄåäïìÝíá Áñéè. áóèåíþí, áðü ôïõò 5, ðïõ ðñïôéìïýí ôï íýï ðáõóßðïíï 0 1 3 4 5 6 7 8 9 Áñéè. ãéáôñþí ðïõ êáôýãñáøå ôïí 5 6 8 10 10 15 17 10 10 9 ðñïçãïýìåíï áñéèìü Íá åîåôáóèåß, óå åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò 5%, áí ôá äåäïìýíá áõôü áêïëïõèïýí ôçí äéùíõìéêþ êáôáíïìþ. Óôï ðáñüäåéãìá áõôü ï êüèå ãéáôñüò ìåôñüåé ôïí áñéèìü ôùí áóèåíþí, áðü ôïõò 5 ðïõ ðáñáêïëïýèçóå, ðïõ áðáíôüíå èåôéêü óôçí åñþôçóç áí ðñïôéìüíå Þ ü é ôï íýï ðáõóßðïíï. Óõíåðþò ç ôõ áßá ìáò ìåôáâëçôþ èá ìåôñüåé ôïí ßäéï áñéèìü áóèåíþí ïé äå ôéìýò ôçò èá åßíáé, ðñïöáíþò, ïé 0, 1,,..., 5. Ï ìáèçìáôéêüò ôýðïò ôçò äéùíõìéêþò êáôáíïìþò, ðïõ èýëïõìå íá ðñïóáñìüóïõìå óôá äåäïìýíá ìáò, äßíåôáé áðü ôçí ó Ýóç: p(x) =ðéè(x = x) = x n p ( 1 - p F x H I K ) n x, x=0,1,,...,n ; 0 p 1. (4.4) 41
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ Óôï ðáñüäåéãìá áõôü äåí ñåéüæåôáé ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ìáò (âë. ÂÞìá 3) äéüôé ôá äåäïìýíá ìáò åßíáé Þäç ïìáäïðïéçìýíá. Ôá äåäïìýíá ìáò ëïéðüí óå áíáëïãßá ìå ôïí ðßíáêá 4. ìðïñïýí íá ãñáöïýí óôçí ìïñöþ ôïõ ðßíáêá 4.5 Ïé ãñáììýò ôïõ ðßíáêá 4.5 äçëþíïõí, ìå ôçí óåéñü, üôé óôü ôýëïò ôïõ ðåéñüìáôïò 5 ãéáôñïß áíýöåñáí üôé êáíýíáò áðü ôïõò 5 áóèåíåßò ôïõò äåí ðñïôßìçóå ôï íýï ðáõóßðïíï, 6 ãéáôñïß áíýöåñáí üôé 1 áðü ôïõò 5 áóèåíåßò ôïõò ðñïôßìçóå ôï íýï ðáõóßðïíï, 8 ãéáôñïß áíýöåñáí üôé áðü ôïõò 5 áóèåíåßò ôïõò ðñïôßìçóáí ôï íýï ðáõóßðïíï ê.ï.ê.. Ðßíáêáò 4.5 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ. (É) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) 0 5 1 6 8 3 10 4 10 5 15 6 17 7 10 8 10 9 9 Áðü ôçí ó Ýóç (4.4) âëýðïõìå üôé ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðéèáíïôþôùí ðïõ åßíáé áðáñáßôçôïé óôï ÂÞìá 6 èá ðñýðåé íá ãíùñßæïõìå ôçí ôéìþ ôçò ðáñáìýôñïõ p. (Ç ôéìþ ôïõ n åßíáé ãíùóôþ êáé ßóç ìå 5). Ôï p, ãåíéêü, åêöñüæåé ôçí ðéèáíüôçôá "åðéôõ ßáò". Óôï ðáñüäåéãìü ìáò "åðéôõ ßá" åßíáé Ýíáò ïðïéïóäþðïôå áóèåíþò, áðü ôïõò 5 ôïõ êüèå ãéáôñïý, íá áðáíôþóåé üôé ðñïôéìüåé ôï íýï ðáõóßðïíï. ÅðåéäÞ ôï p åßíáé ìéá ðéèáíüôçôá, äçëáäþ Ýíá ðïóïóôü, ãé' áõôü ç ôéìþ ôïõ èá âñåèåß áðü ôïí ãåíéêü ôýðï åêôßìçóçò ðïóïóôþí 4
Áñéèìüò åõíïúêþí ðåñéðôþóåùí p = Óýíïëï ðåñéðôþóåùí Óôï ðáñüäåéãìü ìáò ï áñéèìüò ôùí åõíïúêþí ðåñéðôþóåùí åßíáé ôï óýíïëï üëùí ôùí áóèåíþí ðïõ åêöñüóèçêáí èåôéêü ãéá ôï íýï ðáõóßðïíï. Ï áñéèìüò áõôüò, áðü ôïí ðßíáêá 4.5, èá åßíáé ßóïò ìå (0 5) + (1 6) + ( 8) + (3 10) + (4 10) + (5 15) + (6 17) + (7 10) + (8 10) + (9 9) = 500. Ôï óýíïëï ôùí ðåñéðôþóåùí èá åßíáé ï áñéèìüò ôùí áóèåíþí ðïõ ðþñáí ìýñïò óôï ðåßñáìá. Ï áñéèìüò áõôüò èá åßíáé ßóïò ìå (Áñéèìüò ãéáôñþí) (Áñéèìüò áóèåíþí óå êüèå ãéáôñü)=100 5=500. Óõíåðþò p = 500/500 = 0,. Ï õðïëïãéóìüò ôùí ðéèáíïôþôùí ôïõ âþìáôïò 6 ìðïñåß íá ãßíåé Þ ìå ôçí âïþèåéá ôùí ðéíüêùí ôçò ÄéùíõìéêÞò êáôáíïìþò Þ áð' åõèåßáò áðü ôçí ó Ýóç (4.4). Ïé ðéèáíüôçôåò áõôýò ðáñïõóéüæïíôáé óôïí ðßíáêá 4.6). Ðßíáêáò 4.6 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ. (ÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) ÄéùíõìéêÞò p=0, n=5 0 5 0,0538 1 6 0,036 8 0,0708 3 10 0,1358 4 10 0,1867 5 15 0,1960 6 17 0,1633 7 10 0,1109 8 10 0,063 9 9 0,095 100 0,987 43
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ Áí ðáñáôçñþóïõìå óôïí ðßíáêá 4.6 èá äïýìå üôé ïé ïìüäåò ìáò åßíáé áðü ôï 0 Ýùò ôï 9 åíþ ïé ôéìýò ôçò, áðü ôçí ó Ýóç (4.4) åßíáé áðü ôï 0 Ýùò ôï 5. Èá ðñýðåé ëïéðüí óôïí ðßíáêá 4.6 íá ðñïóèýóïõìå ìéá áêüìá ïìüäá ç ïðïßá íá êáëýðôåé ôéò õðüëïéðåò ôéìýò ôçò. Ç ïìüäá áõôþ èá åßíáé ç 10, èá Ý åé ôçí ôéìþ 0 óáí ðáñáôçñïýìåíç óõ íüôçôá, åíþ ç áíôßóôïé ç ðéèáíüôçôá ôçò ïìüäïò èá åßíáé üóç ìå 0,0173. ôóé ï ðßíáêüò ìáò èá ðüñåé ôçí ìïñöþ ðïõ ìáò äßíåé ï ðßíáêáò 4.6á. Ðßíáêáò 4.6á Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ. (ÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) ÄéùíõìéêÞò p=0, n=5 0 5 0,0538 1 6 0,036 8 0,0708 3 10 0,1358 4 10 0,1867 5 15 0,1960 6 17 0,1633 7 10 0,1109 8 10 0,063 9 9 0,095 10 0 0,0173 100 1,0000 Áí ôþñá óôïí ðáñáðüíù ðßíáêá ðïëëáðëáóéüóïõìå ôï óýíïëï ôùí ðáñáôçñïýìåíùí óõ íïôþôùí (äçëáäþ ôï 100) ìå ôçí ðéèáíüôçôá êüèå ïìüäïò, ôüôå èá âñïýìå ôéò áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò. Ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò, ìáæß ìå ôéò õðüëïéðåò óôþëåò ôïõ ðßíáêá 4.6á, ðáñïõóéüæïíôáé óôïí ðßíáêá 4.7 (âë. åðüìåíç óåëßäá). 44
Ðßíáêáò 4.7 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ. (ÉÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò Aíáìåíüìåíåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) ÄéùíõìéêÞ p=0, n=5 óõ íüôçôåò(å i ) 0 5 0,0038 0,38 1 6 0,036,36 8 0,0708 7,08 3 10 0,1358 13,58 4 10 0,1867 18,67 5 15 0,1960 19,60 6 17 0,1633 16,33 7 10 0,1109 11,09 8 10 0,063 6,3 9 9 0,095,95 10 0 0,0173 1,73 100 1,0000 100 Óôïí ðßíáêá áõôü ðáñáôçñïýìå üôé ç áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ôçò ðñþôçò ïìüäïò åßíáé ìéêñüôåñç áðü ôçí ôéìþ 0,5 (âë. ÂÞìá 9). Óõíåðþò ç ôéìþ ôçò èá ðñïóôåèåß óôçí ôéìþ ôçò åðüìåíçò áíáìåíüìåíçò óõ íüôçôáò. Ôï Üèñïéóìá ôùí ôéìþí áõôþí åßíáé 0,38+,36=,74. Ç íýá ôéìþ åßíáé ìåãáëýôåñç ôïõ 0,5 êáé ãé' áõôü ç ðñüóèåóç ôùí áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí, ðñïò ôá êüôù, óôáìáôüåé óôï óçìåßï áõôü. ÅðåéäÞ ðñïóèýóáìå ôéò áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò ôùí äýï ðñþôùí ïìüäùí èá ðñýðåé íá ðñïóèýóïõìå êáé ôéò áíôßóôïé åò ðáñáôçñïýìåíåò óõ íüôçôåò ãéá íá õðüñ åé áíôéóôïé ßá ìåôáîý ðáñáôçñïýìåíùí êáé áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí. Áõôü öõóéêü åðçñåüæåé êáé ôïí áñéèìü ôùí ïìüäùí ðïõ Ý ïõìå. ôóé ëïéðüí ï ðßíáêáò 4.7 èá ðüñåé ôçí ìïñöþ ôïõ ðßíáêá 4.7á (âë. åðüìåíç óåëßäá). Ìå âüóç ôïí ðßíáêá áõôü ìðïñïýìå, áðü ôçí ó Ýóç (4.), íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôéìþ ôïõ. Ç ôéìþ áõôþ èá åßíáé 45
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ a f a f a f = 11 -, 74 + 8-7,08 +... + 0-1,73 = 47, 64, 74 7, 08 1, 73 Ðßíáêáò 4.7á Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ. (ÉÉÉ) ÏìÜäåò Ðáñáôçñïýìåíåò Ðéèáíüôçôåò Aíáìåíüìåíåò (ÔéìÝò ) óõ íüôçôåò (Ï i ) ÄéùíõìéêÞ p =0, n=5 óõ íüôçôåò(å i ) 0-1 11 0,0374,74 8 0,0708 7,08 3 10 0,1358 13,58 4 10 0,1867 18,67 5 15 0,1960 19,60 6 17 0,1633 16,33 7 10 0,1109 11,09 8 10 0,063 6,3 9 9 0,095,95 10 0 0,0173 1,73 100 1,0000 100 Óôï ðáñüäåéãìü ìáò áõôü (âë. ðßíáêá 4.7á) Ý ïõìå 10 ïìüäåò, Üñá k=10, åíþ Ý ïõìå åêôéìþóåé ìßá ìüíï ðáñüìåôñï ôï p, Üñá r=1. Óõíåðþò ãéá á=5% áðü ôïõò ðßíáêåò ôçò -êáôáíïìþò âñßóêïõìå üôé á; = 0, =15,51. ÅðåéäÞ ç áíéóüôçôá 4., k r 1 05;8 á; k-r-1, éó ýåé óõìðåñáßíïõìå üôé " ìå ðéèáíüôçôá óöüëìáôïò 5% ï áñéèìüò ôùí áóèåíþí ðïõ ðñïôéìïýí ôï íýï ðáõóßðïíï äåí áêïëïõèåß ôçí ÄéùíõìéêÞ êáôáíïìþ ìå p=0, ". ÐáñÜäåéãìá 4.3 (ÊáíïíéêÞ êáôáíïìþ) Ôá ðáñáêüôù äåäïìýíá åßíáé ç âáèìïëïãßá 50 ìáèçôþí åíüò öñïíôéóôçñßïõ óôï ìüèçìá ôùí Áããëéêþí. Íá åîåôáóèåß áí ç âáèìïëïãßá ôùí ìáèçôþí óôï åí ëüãù ìüèçìá áêïëïõèåß ôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. (á=5%). 46
ÄåäïìÝíá ÏìÜäá: 0-9 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 Óõ íüôçôá: 1 15 18 51 6 55 4 Óôï ðáñüäåéãìá áõôü ôï öõóéêü ìýãåèïò ðïõ ìåëåôüìå åßíáé ç âáèìïëïãßá ôùí ìáèçôþí, ôïõ åí ëüãù öñïíôéóôçñßïõ, óôï ìüèçìá ôùí Áããëéêþí. Áò óõìâïëßóïõìå ìå ôçí ôõ áßá ìåôáâëçôþ ðïõ ðáñéóôüíåé áõôü ôï öõóéêü ìýãåèïò. Ç âáèìïëïãßá èåùñåßôáé, ãåíéêþò, óáí óõíå Þò ôõ áßá ìåôáâëçôþ, áíåîüñôçôá áðü ôï ãåãïíüò üôé óõíþèùò ïé ôéìýò åßíáé áêýñáéåò. Óôï ðáñüäåéãìá áõôü èýëïõìå íá åîåôüóïõìå áí ôá äåäïìýíá ìáò ðáñý ïõí ôçí Ýíäåéîç üôé ç ôõ áßá ìåôáâëçôþ (äçëáäþ ç âáèìïëïãßá ôùí ìáèçôþí óôï õðü ìåëýôç öñïíôéóôþñéï ôùí Áããëéêþí) áêïëïõèåß ôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. Ï ìáèçìáôéêüò ôýðïò ôçò êáíïíéêþò êáôáíïìþò åßíáé ï f(x) = 1 x ì 1 ð ó e ó a f, - < x < ; - < ì <, ó > 0. (4.5) Ôï åðüìåíï âþìá ìáò (âë. ÂÞìá 3) åßíá ç ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ìáò. ¼ðùò áíáöýñáìå êáé ðñïçãïõìýíùò, óôçí ðåñßðôùóç ðñïóáñìïãþò äåäïìýíùí óå óõíå Þ êáôáíïìþ ïé ïìüäåò ìáò äåí ìðïñåß íá åßíáé ïé ôéìýò ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò, áëëü êüðïéá äéáóôþìáôá áõôþí. Ï ëüãïò ãéá ôçí ñþóç äéáóôçìüôùí áíôß ôùí ôéìþí ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò åßíáé üôé, ãéá ïðïéáäþðïôå óõíå Þ ôõ áßá ìåôáâëçôþ ðéè( =x) = 0, üðïõ x åßíáé ìéá ïðïéáäþðïôå ôéìþ ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò. Ôá äåäïìýíá ìáò, üðùò äßíïíôáé óôçí åêöþíçóç ôïõ ðáñáäåßãìáôïò, åßíáé Þäç ïìáäïðïéçìýíá. ¼ôáí üìùò êüíïõìå ðñïóáñìïãþ äåäïìýíùí óå óõíå Þ êáôáíïìþ, ôüôå èá ðñýðåé ôá Üêñá ôùí ïìüäùí ìáò íá åßíáé óõíå üìåíá, äçëáäþ ôï äåîéü Üêñï ôçò ìéáò ïìüäáò íá óõìðßðôåé ìå ôï 47
ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ áñéóôåñü Üêñï ôçò åðüìåíçò ïìüäáò. Óõã ñüíùò èá ðñýðåé ôï äåîéü Üêñï ôïõ åíüò äéáóôþìáôïò íá ìçí óõìðåñéëáìâüíåôáé óôï äéüóôçìá áõôü åíþ ôï áñéóôåñü Üêñï ôïõ áìýóùò åðüìåíïõ äéáóôþìáôïò íá ðåñéëáìâüíåôáé óôï äéüóôçìá áõôü. Ðéï óõãêåêñéìýíá óôï ðáñüäåéãìü ìáò ôá äéáóôþìáôá åßíáé ôçò ìïñöþò [0, 9], [30, 39], ê.ô.ë. ìå ôï óýìâïëï "[", üðïõ åöáíßæåôáé, íá óçìáßíåé üôé ôï áíôßóôïé ï Üêñï ôïõ äéáóôþìáôïò ðåñéëáìâüíåôáé óôï äéüóôçìá áõôü. (Ç äþëùóç üôé Ýíá Þ êáé ôá äýï Üêñá ôïõ äéáóôþìáôïò äåí óõìðåñéëáìâüíïíôáé óôï äéüóôçìá áõôü ãßíåôáé ìå ôï óýìâïëï "(". ôóé ð.. óôï äéüóôçìá [0, 9] êáé ôá äýï Üêñá ôïõ äéáóôþìáôïò ðåñéëáìâüíïíôáé óôï äéüóôçìá åíþ óôï äéüóôçìá [0, 9) ôï äåîéü Üêñï ôïõ äéáóôþìáôïò (äçë. ç ôéìþ 9) äåí óõìðåñéëáìâüíåôáé óôï äéüóôçìá áõôü). Ãéá íá åðéôåõ èåß ç óõíý åéá ôùí Üêñùí ôùí äéáóôçìüôùí åñãáæüìáóôå ùò åîþò. Âñßóêïõìå ôçí äéáöïñü ìåôáîý ôïõ áñéóôåñïý Üêñïõ ôïõ åíüò äéáóôþìáôïò êáé ôïõ äåîéïý Üêñïõ ôïõ ðñïçãïõìýíïõ ôïõ. Ç äéáöïñü áõôþ äéáéñåßôáé ìå ôï êáé ôï ðçëßêï ôçò äéáßñåóçò áöáéñåßôáé áðü ôï áñéóôåñü Üêñï ôïõ åíüò äéáóôþìáôïò êáé ðñïóôßèåôáé óôï äåîéü Üêñï ôïõ áìýóùò ðñïçãïýìåíïõ äéáóôþìáôïò. Óõã ñüíùò ôï áñéóôåñü Üêñï ôïõ åíüò äéáóôþìáôïò ãßíåôáé áíïéêôü åíþ ôï äåîéü Üêñï ôïõ ðñïçãïýìåíïõ äéáóôþìáôïò ãßíåôáé êëåéóôü. Ðéï óõãêåêñéìýíá ãéá ôï ðáñüäåéãìü ìáò èá Ý ïõìå. Áò ðüñïõìå ôá äýï ðñþôá äéáóôþìáôá ôï [0, 9] êáé ôï [30, 39]. Ç äéáöïñü ìåôáîý ôïõ áñéóôåñïý Üêñïõ ôïõ äåýôåñïõ äéáóôþìáôïò êáé ôïõ äåîéïý Üêñïõ ôïõ ðñþôïõ äéáóôþìáôïò éóïýôáé ìå ôçí ìïíüäá (30-9=1). Áí äéáéñýóïõìå ôçí äéáöïñü áõôþ ìå ôï äýï èá ðüñïõìå ðçëßêï 0,5. Óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá ôï ðñþôï äéüóôçìá èá ãßíåé [0, 9,5) åíþ ôï äåýôåñï [9,5, 39]. Óõíå ßæïíôáò êáô' áõôüí ôïí ôñüðï, ðáßñíïíôáò äçëáäþ ôï äåýôåñï äéüóôçìá ðïõ ðñïýêõøå ìå ôï ôñßôï ê.ü.ê. ðáßñíïõìå ôïí ðßíáêá 4.8. 48
Ðßíáêáò 4.8 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. (É) ÐñáãìáôéêÜ üñéá Ðáñáôçñïýìåíåò ÌÝóç ôéìþ ïìüäùí óõ íüôçôåò (Ï i ) ïìüäïò (m i ) [0, 9,5) 1 4,75 [9,5, 39,5) 15 34,5 [39,5, 49,5) 18 44,5 [49,5, 59,5) 54,5 [59,5, 69,5) 51 64,5 [69,5, 79,5) 6 74,5 [79,5, 89,5) 55 84,5 [89,5, 99,5) 94,5 [99,5, 109] 4 104,5 Ç ôåëåõôáßá óôþëç óôïí ðßíáêá áõôü ìáò äåß íåé ôçí ìýóç ôéìþ êüèå ïìüäáò. Ç ôéìþ áõôþ âñßóêåôáé áí áèñïßóïõìå ôá Üêñá êüèå äéáóôþìáôïò êáé äéáéñýóïõìå äéü äýï. ôóé ð.. (0+9,5)/=4,75, (9,5+39,5)/=34,5 ê.ü.ê.. Áðü ôïí ìáèçìáôéêü ôýðï ôçò êáíïíéêþò êáôáíïìþò (âë. ó Ýóç 4.5) ðáñáôçñïýìå üôé, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôùí ðéèáíïôþôùí ðïõ åßíáé áðáñáßôçôåò óôï ÂÞìá 6, èá ðñýðåé íá åêôéìþóïõìå ôéò ðáñáìýôñïõò ì êáé ó. Óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ ôï ì åêöñüæåé ôçí ìýóç ôéìþ ôçò êáôáíïìþò êáé óõíåðþò èá åêôéìçèåß áðü ôçí ìýóç ôéìþ ôùí äåäïìýíùí ìáò. ôóé ëïéðüí, ìå âüóç ôïí ðßíáêá 4.8, èá Ý ïõìå üôé (4, 75 1) + (34, 5 15) + (44, 5 18) +... + (104, 5 4) ì = = 1 + 15 + 18 +... + 4 17594, 5 êáé óõíåðþò ì = = 70,377. 50 ÅðåéäÞ ôï ó, óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ, åêöñüæåé ôçí äéáêýìáíóç ôçò êáôáíïìþò ãé' áõôü ôï ó èá åêôéìçèåß áðü ôçí äéáêýìáíóç S äåäïìýíùí ìáò. Ç äéáêýìáíóç áõôþ äßíåôáé áðü ôçí ó Ýóç 49
ÅËÅÃ ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ ôóé ëïéðüí S = k cmi - Xh O i= 1 k i=1 O - 1 i i b g b g b 4, 75 70, 377 1 + 34 5 70 377 15+... + 104, 5 70, 377 4 ó =,, g 1 + 15 +... + 4 1 70165, 53 Üñá ó = = 81,789. 49 Ãéá ì=70,377, ó =81,789 êáé ìå ôçí âïþèåéá ôùí ðéíüêùí ôçò ôõðéêþò êáíïíéêþò êáôáíïìþò (âë. ðßíáêá óôï ôýëïò ôïõ âéâëßïõ) âñßóêïõìå ôéò ðéèáíüôçôåò ðéè(0< <9,5), ðéè(9,5< <39,5) ê.ü.ê.. Ç öõóéêþ óçìáóßá ôùí ðéèáíïôþôùí áõôþí åßíáé ç åîþò: ìáò äßíïõí ôçí ðéèáíüôçôá ç âáèìïëïãßá åíüò ïðïéïõäþðïôå ìáèçôþ, óôï õðü åîýôáóç ÖñïíôéóôÞñéï Áããëéêþí, íá âñßóêåôáé óôï óõãêåêñéìýíï äéüóôçìá. Ïé ðéèáíüôçôåò áõôýò ðáñïõóéüæïíôáé óôïí ðßíáêá 4.9. Ôüóï áðü ôïí ðßíáêá 4.9, üðïõ ôï Üèñïéóìá ôùí ðéèáíïôþôùí åßíáé ìéêñüôåñï ôçò ìïíüäáò, üóï êáé áðü ôïí ìáèçìáôéêü ôýðï ôçò êáíïíéêþò êáôáíïìþò (âë. ó Ýóç 4.5), üðïõ ïé ôéìýò ôçò ôõ áßáò ìåôáâëçôþò åßíáé áðü - Ýùò +, óõìðåñáßíïõìå üôé óôéò ïìüäåò ðïõ Þäç ðáñáôçñþèçêáí èá ðñýðåé íá ðñïóôåèïýí äýï áêüìç ïìüäåò ãéá íá êáëýøïõí ïëüêëçñï ôï åýñïò ôéìþí ôçò êáíïíéêþò êáôáíïìþò. Ïé ïìüäåò áõôýò, ìáæß ìå ôéò áíôßóôïé åò ðáñáôçñïýìåíåò óõ íüôçôåò êáé ðéèáíüôçôåò äßíïíôáé óôïí ðßíáêá 4.9á. 50
Ðßíáêáò 4.9 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. (ÉÉ) ÐñáãìáôéêÜ Ðáñáôçñ. ÌÝóç ôéìþ Ðéèáíüôçôåò üñéá óõ íüôçôåò ïìüäïò êáíïíéêþò êáôáíïìþò ïìüäùí (Ï i ) (m i ) ìå ì =70,377,ó =81,789 [0, 9,5) 1 4,75 0,006 [9,5, 39,5) 15 34,5 0,055 [39,5, 49,5) 18 44,5 0,0739 [49,5, 59,5) 54,5 0,1517 [59,5, 69,5) 51 64,5 0,05 [69,5, 79,5) 6 74,5 0,73 [79,5, 89,5) 55 84,5 0,1661 [89,5, 99,5) 94,5 0,0860 [99,5, 109] 4 104,5 0,030 50 0,987 Ðßíáêáò 4.9á Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. (ÉÉ) ÐñáãìáôéêÜ Ðáñáôçñ. ÌÝóç ôéìþ Ðéèáíüôçôåò üñéá óõ íüôçôåò ïìüäïò êáíïíéêþò êáôáíïìþò ïìüäùí (Ï i ) (m i ) ìå ì =70,377,ó =81,789 <0 0 0,0013 [0, 9,5) 1 4,75 0,006 [9,5, 39,5) 15 34,5 0,055 [39,5, 49,5) 18 44,5 0,0739 [49,5, 59,5) 54,5 0,1517 [59,5, 69,5) 51 64,5 0,05 [69,5, 79,5) 6 74,5 0,73 [79,5, 89,5) 55 84,5 0,1661 [89,5, 99,5) 94,5 0,0860 [99,5, 109] 4 104,5 0,030 >109 0 0,0115 50 1,0000 Áðü ôïí ðßíáêá 4.9á ìðïñïýìå åýêïëá íá õðïëïãßóïõìå ôéò áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò Å i, ôéò óõ íüôçôåò äçëáäþ åêåßíåò ïé ïðïßåò ìáò ëýíå ðüóïõò ìáèçôýò èá Ýðñåðå íá åß áìå óå êüèå äéüóôçìá áí ôá 51
ÅËÅà ÏÓ ÊÁËÇÓ ÐÑÏÓÁÑÌÏÃÇÓ äåäïìýíá ìáò áêïëïõèïýóáí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. Ïé áíáìåíüìåíåò óõ íüôçôåò äßíïíôáé óôçí ôåëåõôáßá óôþëç ôïõ ðßíáêá 4.10. Ðßíáêáò 4.10 Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. (ÉÉÉ) ÐñáãìáôéêÜ Ðáñáôçñ. ÌÝóç ôéìþ Ðéèáíüôçôåò Áíáìåíüìåíåò üñéá óõ íüôçôåò ïìüäïò êáíïíéêþò êáôáíïìþò óõ íüôçôåò ïìüäùí (Ï i ) (m i ) ìå ì =70,377,ó =81,789 (Å i ) <0 0 0,0013 0,35 [0, 9,5) 1 4,75 0,006 1,5 [9,5, 39,5) 15 34,5 0,055 6,375 [39,5, 49,5) 18 44,5 0,0739 18,475 [49,5, 59,5) 54,5 0,1517 37,95 [59,5, 69,5) 51 64,5 0,05 55,15 [69,5, 79,5) 6 74,5 0,73 56,85 [79,5, 89,5) 55 84,5 0,1661 41,55 [89,5, 99,5) 94,5 0,0860 1,5 [99,5, 109] 4 104,5 0,030 7,55 >109 0 0,0115,875 50 1,0000 50 ÅðåéäÞ ç áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ãéá ôçí ðñþôç ïìüäá ôïõ ðßíáêá 4.10 åßíáé ìéêñüôåñç áðü 0,5 ãé' áõôü ç ôéìþ áõôþò èá ðñïóôåèåß óôçí áíáìåíüìåíç óõ íüôçôá ôçò åðüìåíçò ïìüäáò. Ç ðñüîç áõôþ Ý åé óáí áðïôýëåóìá ç ôéìþ ôçò íýáò áíáìåíüìåíçò óõ íüôçôáò íá åßíáé ìåãáëýôåñç ôïõ 0,5 (0,35+1,5=1,85 > 0,5). Ç ðñüóèåóç áõôþ ôùí áíáìåíüìåíùí óõ íïôþôùí èá ðñýðåé íá óõíïäåõèåß êáé áðü óýìðôõîç ôùí áíôßóôïé ùí ïìüäùí. ôóé ïé äýï ðñþôåò ïìüäåò èá áðïôåëýóïõí ìéá ïìüäá üðùò öáßíåôáé óôïí ðßíáêá 4.10á. 5
Ðßíáêáò 4.10á Ïìáäïðïßçóç ôùí äåäïìýíùí ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ãéá ðñïóáñìïãþ óôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ. (ÉÉÉ) ÐñáãìáôéêÜ Ðáñáôçñ. ÌÝóç ôéìþ Ðéèáíüôçôåò Áíáìåíüìåíåò üñéá óõ íüôçôåò ïìüäïò êáíïíéêþò êáôáíïìþò óõ íüôçôåò ïìüäùí (Ï i ) (m i ) ìå ì =70,377,ó =81,789 (Å i ) ( -, 9,5) 1 4,75 0,006 1,85 [9,5, 39,5) 15 34,5 0,055 6,375 [39,5, 49,5) 18 44,5 0,0739 18,475 [49,5, 59,5) 54,5 0,1517 37,95 [59,5, 69,5) 51 64,5 0,05 55,15 [69,5, 79,5) 6 74,5 0,73 56,85 [79,5, 89,5) 55 84,5 0,1661 41,55 [89,5, 99,5) 94,5 0,0860 1,5 [99,5, 109] 4 104,5 0,030 7,55 >109 0 0,0115,875 50 1,0000 50 Ï õðïëïãéóìüò ôçò ôéìþò ôïõ (âë. ÂÞìá 10, ó Ýóç 4.1) èá ãßíåé ìå âüóç ôïí ðßíáêá 4.10á. Ç ôéìþ áõ ôþ åßíáé a f a f a 1-1, 85 = + 15-6, 375 0 -, 875 +... + = 8,5 1, 85 6, 375, 875 Óôïí ðßíáêá 4.10á âëýðïõìå üôé Ý ïõìå äýêá ïìüäåò, Üñá k=10. Óôï ðáñüäåéãìá áõôü åêôéìþóáìå äýï ðáñáìýôñïõò ôï ì êáé ôï ó, óõíåðþò r=. ôóé ãéá á=5%, áðü ôïõò ðßíáêåò ôçò êáôáíïìþò, ðáßñíïõìå üôé =14,07. ÅðåéäÞ ç ôéìþ ôïõ = 8,5 åßíáé ìåãáëýôåñç á; k r 1= 0, 05;7 ôçò ôéìþò ôïõ 0, 05;7=14,07, äçëáäþ ç áíéóüôçôá éó ýåé, ãé' áõôü óáí óõìðýñáóìá èá Ý ïõìå üôé " ìå á; k r 1 ðéèáíüôçôá óöüëìáôïò 5% ç âáèìïëïãßá ôùí ìáèçôþí óôï åí ëüãù öñïíôéóôþñéï ôùí Áããëéêþí äåí áêïëïõèåß ôçí êáíïíéêþ êáôáíïìþ ìå ìýóç ôéìþ ì=70,377 êáé äéáêýìáíóç ó =81,789". f 53