Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Πείραμα Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων Επαλήθευση απλών νόμων Εκπαίδευση στον υπολογισμό της «καλύτερης» τιμής μίας μέτρησης και των σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=-x όπου & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα. Υπάρχουν 3 ειδών σφάλματα Λάθη παρατηρητή παράλλαξη ρύθμιση του μηδενός στα όργανα επιλογή ακατάλληλης κλίμακας ευαισθησίας στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων στην συγγραφή αναφοράς/εργασίας που περιγράφει το πείραμα, τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα συνοπτικά & περιεκτικά. Η επιτυχία του πειράματος προϋποθέτει Ακριβή & λεπτομερή προγραμματισμό του πειράματος ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΟ ΣΠΙΤΙ ΠΡΙΝ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ Προσεκτική καταγραφή της πειραματικής διαδικασίας & των αποτελεσμάτων ΣΕ ΤΕΤΡΑΔΙΟ, χωρίς επεξεργασία & εξομάλυνση Καλή συνεργασία μεταξύ των μελών της ομάδος. Page of 33 Τυχαία σφάλματα προκαλούνται από άγνωστες και απρόβλεπτες αστάθειες του πειραματικού συστήματος (π.χ. μεταβολές θερμοκρασίας, τάσης δικτύου κλπ) i προκαλούν διασπορά στις μετρήσεις i N αναιρούνται με επανάληψη των μετρήσεων ή/και την κατάλληλη επεξεργασία των δεδομένων Συστηματικά σφάλματα προκαλούνται από κακή ρύθμιση οργάνων ή/και λανθασμένη πειραματική διαδικασία Page of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 μετατοπίζουν όλες τις μετρήσεις κατά το ίδιο Δ. δύσκολα εντοπίζονται Παράδειγμα-Τυχαία σφάλματα Επίδραση των σφαλμάτων στις μετρήσεις Πείραμα μέτρησης ροής (Q) Η O σε t=4sec. Τα τυχαία σφάλματα προκαλούν διασπορά στις μετρήσεις Τα συστηματικά σφάλματα, απουσία τυχαίων, μετατοπίζουν κατά την ίδια ποσότητα όλες τις μετρήσεις Ο συνδυασμός συστηματικών & τυχαίων σφαλμάτων προκαλεί διασπορά γύρω από την μέση τιμή. Πραγματική τιμή Αποτελέσματα α/α 3 4 5 V(cm 3 ) 436.5 437.5 435.9 436. 436.9 Q Q i 436.6 cm 3 5 Q Διασπορά αποτελεσμάτων: ma Qmin 0. 8 3 Αποτέλεσμα: Q 0.8 436.6 0.8 cm Πηγές σφαλμάτων στο συγκεκριμένο πείραμα: σφάλματα στη χρονομέτρηση σφάλματα στην ογκομέτρηση μεταβολές πίεσης στο δίκτυο Μία μέτρηση χαρακτηρίζεται από την ακρίβεια (precision) και την ευστοχία /ορθότητά της (accuracy). Μία μέτρηση είναι εύστοχη/ορθή (accurate) όταν είναι απαλλαγμένη από συστηματικά σφάλματα δίνει αποτέλεσμα κοντά στην πραγματική τιμή Μία μέτρηση είναι ακριβής (precise) όταν οι μετρήσεις είναι απαλλαγμένες από τυχαία σφάλματα Page 3 of 33 Page 4 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 εύστοχη μέτρηση : απαλλαγμένη από συστηματικά σφάλματα δίνει αποτέλεσμα κοντά στην πραγματική τιμή ακριβής μέτρηση : οι μετρήσεις είναι απαλλαγμένες από τυχαία σφάλματα Τα πειραματικά αποτελέσματα παρουσιάζονται μαζί με το σφάλμα που τα χαρακτηρίζει Τα μηδενικά που υπάρχουν μεταξύ μη-μηδενικών ψηφίων είναι σημαντικά, π.χ. ο αριθμός 0, έχει 5 σημαντικά ψηφία. Τα μηδενικά που προηγούνται μη-μηδενικών ψηφίων δεν είναι σημαντικά, π.χ. ο αριθμός 0.000 έχει σημαντικά ψηφία: & Τα μηδενικά που έπονται του δεκαδικού κόμμα είναι σημαντικά, π.χ. το.300 έχει 6 σημαντικά ψηφία:,,, 3, 0 και 0. Αυτή η σύμβαση δηλώνει ότι η μέτρηση έχει ακρίβεια 4 δεκαδικών. Σε αριθμούς που δεν έχουν το κόμμα δεν είναι σαφές το πόσα ψηφία είναι σημαντικά. Π.χ. ο αριθμός 300 έχει 4 σημαντικά ή είναι στρογγυλευμένος στην πλησιέστερη εκατοντάδα? Αντίθετα ο αριθμός 300. Έχει 4 σημαντικά. Παράδειγμα : μέτρηση περιόδου εκκρεμούς από φοιτητές : Τ=,04±0,03 sec T=.94±0.08 sec Τα αποτελέσματα συμφωνούν ή όχι?? Ποια μέτρηση είναι πιο ακριβής?? Σημαντικά ψηφία Όλα τα μη-μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά, π.χ. ο αριθμός 3,45 έχει 5 σημαντικά ψηφία. Page 5 of 33 Παράδειγμα : Στρογγύλεμα σε σημαντικά 300 000 3 3 0.003 0.00 0. 0.0 0.0084 0.0 0.05 0.0 (ή 0.03). Page 6 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Επιγραμματικά : Σημαντικά είναι όλα τα ψηφία που διαβάζουμε από την κλίμακα ενός οργάνου συν ένας αριθμός κατ εκτίμηση ψηφίων. Δηλαδή το πλήθος των σημαντικών ψηφίων εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου. Το τελευταίο σημαντικό ψηφίο στην τιμή μίας μέτρησης πρέπει να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους (ή στην ίδια δεκαδική θέση) με την αβεβαιότητα μίας μέτρησης. Παράδειγμα =9.8 0,0385 m X =9,8 0,0 m υ=605,78 30 m/s X υ=6050 30 m/s Ζυγαριά ακριβείας 0,gr 3.343 gr 3.3 gr Η τιμή αντίστασης 450,00% 45045 Ω. Πρόσθεση & αφαίρεση: το αποτέλεσμα έχει τόση ακρίβεια όση ο προσθετέος με τη μικρότερη ακρίβεια. Παράδειγμα: 3.56+.35=35.9=35.9 3.56-.3=.6=.6=.3 Παράδειγμα: d 345. 45.0 4.50 ms v t 5. d v t 0.530.5 65.66m 65.7 6.60 m Αβεβαιότητα ή σφάλμα μίας μέτρησης: είναι η διαφορά μεταξύ της σωστής τιμής και της τιμής που μετρούμε και εξαρτάται από τη φύση του υπό μέτρηση μεγέθους. Παραδείγματα Μέτρηση μήκους με χάρακα που έχει υποδιαιρέσεις mm: σφάλμα 0,5mm Μέτρηση γωνίας με μοιρογνωμόνιο που έχει υποδιαιρέσεις σε μοίρες: σφάλμα 0,5 ο Μέτρηση χρόνου με χρονόμετρο (χειροκίνητη λειτουργία): σύνηθες σφάλμα 0,5s. Μέτρηση ηλεκτρικών μεγεθών με αναλογικά ηλεκτρικά όργανα: σύνηθες σφάλμα 3% της κλίμακας (μέγεθος που αντιστοιχεί σε πλήρη απόκλιση της βελόνας). Πολλαπλασιασμός & διαίρεση: ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων μετά το αποτέλεσμα των πράξεων ισούται προς αυτόν του τελεστέου με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Page 7 of 33 Page 8 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Διάδοση / συνδυασμός σφαλμάτων Σχετικό ή κλασματικό σφάλμα: Επί τοις εκατό σφάλμα : Παράγοντας βάρους των αποτελεσμάτων. 00 Εστω ότι εχουμε σειρές μετρήσεων: 7 Σειρά Α,, 3, 4, 5, 6, 7 7 A i i Σειρά Β: 8, 9, 0 3 0 B i i8 Ζητούμε τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων των σειρών μετρήσεων: 0 0 7 3 i ή A B i 0 0 αλλά A B Ο Aπου προκύπτει από σύνολο 7 μετρήσεων έχει «μεγαλύτερο βάρος» από τον Bπου προκύπτει από μόνον 3 μετρήσεις. Page 9 of 33 Το πρόβλημα: υπολογισμός του Z=Z(A,B,C ) από τις τιμές των πρωτογενών μεγεθών που μετρούμε, δηλ. των Α, Β, C κλπ. Πως υπολογίζουμε το σφάλμα ΔΖ από τα ΔΑ, ΔΒ, ΔC κλπ??? Πως διαδίδονται/συνδυάζονται τα σφάλματα ΔΑ, ΔΒ, ΔC κλπ? Παράδειγμα: υπολογισμός πυκνότητας κύβου όταν μετρούμε πειραματικά την μάζα & τις διαστάσεις. μέγεθος σφάλμα =ABC C =AB ή A B =A n n =ka Δ=kΔΑ και =kab k =kab ή A k B =ka n n =ln A =e A Δ= Page 0 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Γενικές οδηγίες επί των σφαλμάτων το σφάλμα δίδεται με ή σημαντικά ψηφία σφάλματα σε διαφορές & αθροίσματα: αγνοήστε τα σφάλματα που είναι μικρότερα του /3 του μεγίστου σφάλματος. σφάλματα σε γινόμενα & πηλίκα: αγνοήστε τα σχετικά σφάλματα που είναι μικρότερα του /3 του μεγίστου σχετικού σφάλματος. Ιδιαίτερη προσοχή όταν υπολογίζετε τη δύναμη μετρηθείσης ποσότητας Ιδιαίτερη προσοχή όταν μετράτε τη διαφορά περίπου ίσων μεγεθών. Υπολογισμός του διαδιδόμενου σφάλματος. d Z Z(A) d A o A Z Z(A,B,...) B Παράδειγμα Z A n na n n na A n A... Z A n Z Page of 33 Παράδειγμα Να υπολογίσετε τη διαφορά θ των γωνιών θ & θ που μετρήθηκαν πειραματικά και βρέθηκαν ίσες προς: θ =(73±3) ο, θ =(65±3) ο, αντίστοιχα. Λύση H θ=θ -θ είναι της μορφής =A-B Επομένως θ=(θ -θ )±Δθ=(73-65)± 3 3 θ=(8±4) ο Προσοχή: το σφάλμα ανέχεται στο 50% του τελικού αποτελέσματος πρέπει οι μετρήσεις να γίνουν με υψηλή ακρίβεια. Παράδειγμα 3 Να υπολογίσετε το σφάλμα στον υπολογισμό του όγκου κύβου με ακμή l =(6±0.5)mm Λύση V l 3 V ( 6 V ) mm Η συνάρτηση είναι της μορφής ka V V 3 n A n A l V 0.5 3 3 0.5 ΔV=0,5V=54 mm 3 l V 6 V=(6±54) mm 3 ενώ το σφάλμα στην μέτρηση του μήκους είναι 8% το διαδιδόμενο σφάλμα ανέρχεται στο 5% της τελικής τιμής!!!!!!!!!!!! χρειάζεται μεγάλη ακρίβεια στις μετρήσεις Page of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Ιστόγραμμα: γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων που δείχνει γραφικά την συχνότητα επανάληψης μίας τιμής. Πείραμα : μέτρηση της μάζας μεταλλικού ελάσματος 4 φορές με την ίδια ζυγαριά. Αποτελέσματα : ποια είναι η επικρατούσα τιμή?? Μέτρηση της μάζας (gr) μεταλλικού ελάσματος 8,50 8.45 8.48 8.45 8.55 8.55 8.56 8.5 8.4 8.43 8.44 8.48 8.50 8.53 8.5 8.50 8.40 8.49 8.46 8.46 8.48 8.45 8.48 8.4 κατανομή : Το σύνολο των μετρήσεων Συχνότητα επανάληψης (f): Κατασκευή ιστογράμματος. Βρίσκουμε το εύρος R των τιμών του συνόλου των i ( ma - min ). Διαιρούμε το R σε αυθαίρετο /κατάλληλο αριθμό ισομήκων διαστημάτων R k : R R k 3. Βρίσκουμε τη συχνότητα επανάληψης f k των τιμών k σε κάθε διάστημα R k : N f k 4. Γραφική παράσταση : R k, yf k (συχνότητα επανάληψης) Κανονική ή κωδωνοειδής κατανομή ή καμπύλη Gauss Αύξηση του πλήθους των μετρήσεων ελάττωση του διαστήματος R και συνεχής κατανομή τιμών Παρατηρήσεις Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα επανάληψης είναι η 8,48 Οι τιμές που αποκλίνουν πολύ από αυτή την τιμή έχουν μικρή συχνότητα επανάληψης. Η κανονική κατανομή είναι μία συνάρτηση πιθανότητας και χαρακτηρίζεται από την μέση τιμή & την τυπική απόκλιση. Βρίσκει πολύ εκτεταμένες εφαρμογές στη στατιστική, τις φυσικές επιστήμες, την επεξεργασία εικόνας & σήματος & στις επιστήμες της συμπεριφοράς (π.χ. ψυχολογία). Page 3 of 33 Page 4 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 H κανονική κατανομή δίνει την σχετική συχνότητα εμφάνισης μίας τιμής i και δίνεται από τη σχέση: Φυσική σημασία του s: i f () ep s όπου s είναι η τυπική απόκλιση. s Ιδιότητες της Gaussian συμμετρική γύρω από το. έχει μέγιστη τιμή στο τα σημεία καμπής εμφανίζονται σε s 68.30% των μετρήσεων βρίσκονται εντός των ορίων 95.5% των μετρήσεων βρίσκονται εντός των ορίων s s Η κανονική κατανομή χαρακτηρίζεται από τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση s. Μεταβολή της κατανομής με την τυπική απόκλιση του συνόλου των μετρήσεων N i i N s N i i N Η τυπική απόκλιση δίνει την ακρίβεια μίας μέτρησης που ανήκει στην κατανομή και είναι μέτρο του εύρους της κατανομής Αυξανομένου του s αυξάνει το εύρος της καμπύλης ή όσο λιγότερο ακριβείς είναι οι μετρήσεις τόσο αυξάνει το s και το εύρος της καμπύλης. Επίσης ορίζονται: Η αβεβαιότητα στον μέσο όρο: αργά ( N ) αυξανομένου του Ν. s s που μειώνεται N Το αποτέλεσμα παρατίθεται ως : s Page 5 of 33 Page 6 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 s Το σχετικό σφάλμα στο μέσο όρο: r s Το ποσοστιαίο σφάλμα: r% 00 Ασύμμετρες κατανομές Αρνητική ασυμμετρία Θετική ασυμμετρία Χαρακτηρίζονται από Τον μέσο όρο (mean) Την επικρατούσα τιμή (mode) μέγιστη συχνότητα εμφάνισης Τον median που χωρίζει την καμπύλη σε ίσα εμβαδά. Παράδειγμα: Η ασύμμετρη κατανομή βαθμών σε 3 διαφορετικές τάξεις. Page 7 of 33 Page 8 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Για τις γραφικές παραστάσεις και την προσομοίωση των αποτελεσμάτων προτιμούμε την ευθεία γραμμή διότι: είναι εύκολος ο έλεγχος των αποκλίσεων από τη γραμμική συμπεριφορά είναι εύκολη η προέκταση σε περιοχές τιμών που δεν μετρήθηκαν είναι εύκολος ο προσδιορισμός της κλίσης & της τεταγμένης επί την αρχή. u (km/min) Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή γραφικών παραστάσεων Σχήμα : Γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για το κινητό Κ που εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, 0,8 0,6 0,4 0, 0 άξονας τεταγμένων ανεξάρτητη μεταβλητή Καμπύλη y=f() -0, 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 t(min) Error barsγραμμές σφάλματος Πειραματικό σημείο με συντεταγμένες (,y) άξονας τετμημένων ανεξάρτητη μεταβλητή Τυπικό σφάλμα στο Μ.Ο. a 0 Εξίσωση ευθείας y a Κλίση της ευθείας y y a 0 a y y Τεταγμένη επί την αρχή y y (cm) Y 60 50 v=0t+5 40 30 y B(,y ) 0 A(,y ) 0 0 0 3 4 5 t(sec) 5000 4000 3000 000 A(6,000) 000 y 0 0 4 6 8 0 X Η θεωρία ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζει την αναλυτική έκφραση της «καλύτερης» (πιο σωστής) ευθείας y=a+b που περιγράφει ομάδα δεδομένων ( i,y i ). A i yi i iyi Όπου i y i i y B i Τα σφάλματα στην τεταγμένη επί την αρχή (σ Α ) και την κλίση (σ Β ) δίνονται από τις σχέσεις: A y B y Το μέτρο της ποιότητας της προσομοίωσης σ y (δηλ. του πόσο απέχουν τα πειραματικά σημεία από την ευθεία). y N y A B i i Page 9 of 33 Page 0 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Χρησιμοποιούμε γραφικές παραστάσεις γιατί: Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων είναι εποπτική Ευκολότερη διατύπωση του νόμου που διέπει το φαινόμενο Παράδειγμα Η έκταση σύρματος Cu συναρτήσει της μάζας που το εκτείνει m (kg) Δ (mm) m (kg) Δ (mm) 5.0 0. 3.5.7 0.0 0.5 35.0.8 5.0 0.8 37.5.9 0.0.0 40.0.0.5.5 4.5.3 5.0.3 45.0.5 7.5.4 47.5.8 30.0.5 50.0 3. 3.5.7 Ποιος νόμος διέπει το φαινόμενο? Οδηγίες για την κατασκευή γραφικών παραστάσεων. Ονομασία αξόνων : σύμβολα & μονάδες Κατάλληλη επιλογή περιοχής τιμών που καλύπτει ο κάθε άξονας Ευδιάκριτα σύμβολα Η «καλύτερη ευθεία» ( ευθεία ελαχίστων τετραγώνων) είναι ποιοτική και πρέπει να είναι ομαλή Η ανεξάρτητη μεταβλητή κατά μήκος του άξονα και η εξηρτημένη κατά τον y. Τα σφάλματα πρέπει να σημειώνονται επάνω στο σχήμα. Νόμος του Hook F k Page of 33 Page of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Page 3 of 33 Page 4 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Μετασχηματισμός αξόνων: Με κατάλληλη επιλογή της ανεξάρτητης & εξηρτημένης μεταβλητής μετατροπή καμπύλης σε ευθεία ευκολότερος έλεγχος αποκλίσεων. Παραδείγματα *** Ελεύθερη πτώση: k s o y a b ***Κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο t, όπου Α=σταθερά sin y a b Page 5 of 33 Page 6 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Συναρτήσεις της μορφής k D e y και Σχέσεις μετατροπής k y D0 ημι-λογαριθμικοί άξονες. k k y D e log y logd.303 y b k y D0 log y log D k a ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!!!!!!!!!! Θεωρία ελαχίστων τετραγώνων εξίσωση της ευθείας που προσομοιώνει ακριβέστερα τις πειραματικές μας τιμές όταν μετρούμε συναρτήσεις y=y(). Ιστόγραμμα: χρησιμοποιείται όταν έχουμε πολλές μετρήσεις για ένα και μόνο φυσικό μέγεθος (π.χ. ταχύτητα αντίδρασης,.μήκος ενός αντικειμένου κλπ). Προσοχή: στα δεδομένα αυτά δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε θεωρία ελαχίστων τετραγώνων. Παράδειγμα χρήσεως αξόνων log-log X Y 0.058 0.4 0.08 0.6 0.50.00 0.8.88 5.9 47.7 Ημιλογαριθμικοί & λογαριθμικοί άξονες Επιλέγονται όταν οι τιμές του ή/και του y καλύπτουν πολλές τάξεις μεγέθους.. Κάθε δύναμη του 0 αντιστοιχεί στο ίδιο μήκος του άξονα. Παράδειγμα 0.058 0.08 0.50 0.8 5.90 y 0.4 0.6.00.88 47.7 50.00 000 00.00 00 log(y) =.5005 * log(x) +.8499 logy=alog+b 50.00 Y 0 00.00 50.00 0.00 0.00.00 4.00 6.00 0 0.0 0.0.00 0.00 X Page 7 of 33 Page 8 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Χιλιοστομετρικό χαρτί Λογαριθμικό Χαρτί (log-log) Page 9 of 33 Page 30 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Ημιλογαριθμικό χαρτί (semi log) Page 3 of 33 Page 3 of 33
Ε. Κ. Παλούρα 00 Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικό χαρτί 000 00 f(khz) 0 0. 0.0 A(, logy ) A(, logy ) 4 6 8 0 4 6 V (Volt) log y log y ί Γραφική παράσταση σε λογαριθμικό χαρτί 000 00 B(log, logy ) log y log y ί log log Y 0 A(log, logy ) 0 X Page 33 of 33