5. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΥΝΑΜΙΚΗ

5. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΥΝΑΜΙΚΗ Σχετικιστικήµάζα. Σχετικιστική ορµή. Αν εξετάσουµε µια σύγκρουση δύο µαζών σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και επιβάλουµε τη διατήρηση της ορµής, όπως αυτή ορίζεται στην κλασική Μηχανική, θα διαπιστώσουµε ότι εξεταζόµενη από ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς το οποίο κινείται ως προς το πρώτο, η ορµή δεν θα διατηρείται στην κρούση. Θα υποθέσουµε ότι είναι δυνατό να οριστεί η µάζα ως µια τέτοια συνάρτηση της ταχύτητας, m= mυ ( ), ώστε να παραµείνουν σε ισχύ και στη Θεωρία της Σχετικότητας: η αρχή της διατήρησης της µάζας, και η αρχή της διατήρησης της ορµής, η οποία παραµένει p= mυ. Θέλουµε να βρούµε την εξάρτηση της µάζας από την ταχύτητα, mυ ( ). Θα εξετάσουµε µια ειδική περίπτωση: Έστω ότι στο σύστηµα αναφοράς S µια ακίνητη µάζα M διασπάται σε δύο πανοµοιότυπες µάζες, οι ms οποίες κινούνται µε ίσες και αντίθετες ταχύτητες ± Vˆ x. Ένα άλλο σύστηµα αναφοράς, το S, κινείται µε ταχύτητα V xˆ ως προς το S. Πριν S M -V S M V Μετά -V m S m S V m m υ Στο σύστηµα S, παρατηρείται µια µάζα, έστω M, που κινείται µε ταχύτητα V, να διασπάται σε δύο µάζες, την m, που είναι ακίνητη, και την m, που κινείται µε ταχύτητα υ. Ενδέχεται να είναι: M = M ( V ) και m= mυ ( ) m είναι η τιµή που παίρνουν οι m και m όταν είναι ακίνητες. S

Για διατήρηση της µάζας θα έχουµε: M = m + m () Για διατήρηση της ορµής θα έχουµε: () m υ m V MV = mυ οι οποίες λύνονται και δίνουν: = (3) Πριν S M -V S M V Μετά -V m S m S V m m υ Από τον µετασχηµατισµό της ταχύτητας της µάζας : V ( V ) V υ= = V ( V ) V + c c (4) Αυτή δίνει: και V V + = c υ υ υ = V c Αντικαθιστώντας στην (3) έχουµε ή υ υ υ + = V c V m υ = m c και, τελικά, m( υ) = m υ c

Εποµένως, αν ορίσουµε τη σχετικιστική µάζα ως m( υ) = θα έχουµε τόσο διατήρηση της µάζας όσο και διατήρηση της ορµής. Επειδή είναι m, το µέγεθος ονοµάζεται µάζα ηρεµίας = lim m( υ) υ του σώµατος. Έτσι, m( υ) = mγ Προσοχή: Ο παράγοντας Λόρεντς γ =, αντιστοιχεί στην υ ταχύτητα υ της µάζας στο σύστηµα στο οποίο αυτή παρατηρείται. m m υ Η µεταβολή µε την ταχύτητα υ, της σχετικιστικής µάζας m(υ) ενός σώµατος το οποίο έχει µάζα ηρεµίας m.

Ορµή Με τη µάζα του σώµατος να δίνεται από τη σχέση όπου m m( υ) = = υ είναι η µάζα ηρεµίας του σώµατος, η ορµή του ορίζεται ως Με αυτόν τον ορισµό, η ορµή εξακολουθεί να διατηρείται και στη σχετικιστική δυναµική. Το µέτρο της ορµής µπορεί να γραφτεί και ως m γ m mυ p= mυ= = γ m υ υ p=βγ m c Μπορεί να επαληθευτεί ότι, αν οριστεί µε αυτόν τον τρόπο, η ορµή διατηρείται σε κάθε σύγκρουση µαζών και στη σχετικιστική δυναµική. Η µεταβολή µε την ταχύτητα υ, της σχετικιστικής ορµής p. ενός σώµατος το οποίο έχει µάζα ηρεµίας m. p κλ είναι η κλασική ορµή.

Σχετικιστική ενέργεια Επιθυµούµε να διατηρήσουµε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση στη µορφή d F= p dt που έχει και στην κλασική Μηχανική. Στη θέση της ορµής θα θέσουµε όµως τώρα τη σχετικιστική ορµή, F d dt m υ = υ Τα µεγέθη t, υ, p και F αναφέρονται όλα στο ίδιο σύστηµα αναφοράς. Θα διατηρήσουµε επίσης τον ορισµό του έργου dw που παράγει η δύναµη F κατά τη µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της κατά διάστηµα dr ως dw F dr Υποθέτουµε ότι µια δύναµη F ασκείται πάνω σε ένα ελεύθερο σώµα το οποίο έχει µάζα ηρεµίας και το επιταχύνει. Γράφοντας τη δύναµη ως έχουµε Όµως, ολοκληρώνοντας, m d ( ) d υ F= mυ = m + dm υ dt dt dt = dυ dm dt r + υ dt r = υ υ +υ dw m d d m d dm υ dυ= d = d υ = υdυ ( υ υ) ( ) οπότε dw = mυ dυ+ υ dm= mυ+ υ dυ dυ και 3 mυ mυ mυ dυ m dw = + dυ d 3 = = 3 υ / ( υ ) ( υ υ c ) W m c dm = + υ a όπου a µια σαθερά.

Αν υποθέσουµε ότι το σώµα είναι αρχικά ακίνητο όταν η δύναµη αρχίζει να το επιταχύνει, θα είναι W = όταν υ=. Εποµένως, οπότε και = mc + a και a= m c m c = = ( γ ) υ W m c mc Η παραγωγή έργου W από τη δύναµη προσδίδει ταχύτητα υ στο σώµα. Θεωρούµε ότι το έργο αυτό, παραγόµενο πάνω σε ένα ελεύθερο σώµα, είναι η κινητική ενέργειακτου σώµατος: m c = = ( γ ) υ K m c mc Η ποσότητα έχει διαστάσεις ενέργειας και αποτελείται από δύο όρους:. Τον όρο m, που είναι η τιµή της Ε για :, και c υ= E() E = mc. Τη σχετικιστική κινητική ενέργεια Κ του σώµατος. Ονοµάζουµε την ποσότητα Εολική σχετικιστική ενέργεια. Η τιµή της για υ=, E() E = m c, ονοµάζεται ενέργεια ηρεµίας του σώµατος. m c E = mc = K+ m c υ υ = + = + E( ) E K mc K Στη σχετικότητα, είναι: (ολική σχετικιστική ενέργεια ) = = (ενέργεια ηρεµίας) + (σχετικιστική κινητική ενέργεια) Η ολική σχετικιστική ενέργεια γράφεται και ως E = γ mc ή E= mc

Η µεταβολή, µε την ταχύτητα υ, της σχετικιστικής κινητικής ενέργειας Κ και της ολικής σχετικιστικής ενέργειας Ε ενός σώµατος το οποίο έχει µάζα ηρεµίας m. Φαίνεται επίσης και η κλασική κινητική ενέργεια Κ = m υ. Σχέση µεταξύ ορµής και ενέργειας Από τη σχέση γ =, έχουµε γ β γ =. β 4 4 4 4 Πολλαπλασιάζοντας επί m c, έχουµε γ mc β γ m c = m c Επειδή είναι E γ m c και p=βγ m c, η τελευταία σχέση γράφεται και ως = E p c = m c 4 Η ποσότητα ( mc ) είναι ένα αναλλοίωτο µέγεθος, γιατί υπολογιζόµενο παίρνει την ίδια τιµή σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Εποµένως, και το µέγεθος E p c είναι αναλλοίωτο. Το µέγεθος mc είναι το µέτρο του τετραδιανύσµατος της ενέργειας-ορµής, το οποίο έχει συνιστώσες E, pxc, pyc και pzc. Το τετράγωνο του µέτρου του είναι ίσο µε m c = E p c p c p c = E p c 4 x y z το οποίο, ως µέτρο ενός τετραδιανύσµατος, είναι αναλλοίωτο.

Η σχέση E = m c + p c 4 συνδέει τα µεγέθη της µάζας ηρεµίας, της ορµής και της ολικής ενέργειας. Το τρίγωνο του σχήµατος µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως µνηµονικός κανόνας για τη σχέση. 4 Η ολική ενέργεια Ε µπορεί να εκφραστεί ως E= m c + p c Η σχέση µεταξύ της ενέργειας και της ορµής προκύπτει από τις σχέσεις E= mc και p= mυ. Προκύπτει ότι p= E υ c Κλασικές προσεγγίσεις Οι σχετικιστικές σχέσεις πρέπει να ανάγονται στις κλασικές για c ή για β και γ. Οι προσεγγίσεις στις σχετικιστικές σχέσεις βρίσκονται αν αναπτύξουµε το γ 4 υ 3υ γ = = + + +... 4 υ c 8 c Έτσι, η κινητική ενέργειαείναι, προσεγγιστικά, ίση µε υ 3υ 3υ K = m c = m c + + = m + + m c 8 c 4 c 4 ( γ )... 4 υ... υ όπως και στην κλασική Μηχανική. Η ολική ενέργεια είναι υ 3υ E= mc = m c = + + + m c c 8 c 4 γ... 4 3υ = mc + mυ + +... m c + mυ = E+ K 4 c κλ

Παράδειγµα: Ταχύτητες ηλεκτρονίων και πρωτονίων από σύγχρονους επιταχυντές Η ενέργεια στην οποία επιταχύνονται ηλεκτρόνια από τα σηµερικά σύγχροτρα ξεπέρασε τα 5 GeV, ενώ πρωτόνια έχουν επιταχυνθεί προσφάτως σε ενέργειες 7 TeV στο CERN, µε τον επιταχυντή LHC. Να βρεθούν οι ταχύτητες των σωµατιδίων σε αυτές τις ενέργειες. Οι ενέργειες ηρεµίας του ηλεκτρονίου και του πρωτονίου είναι, αντίστοιχα, mec =,5 MeV και mpc = 938 MeV. Σε τόσο µεγάλες ενέργειες, όπως αυτές που δίνονται, ο παράγοντας Λόρεντς είναι αρκετά µεγάλος ώστε η κινητική ενέργεια να µπορεί να ληφθεί ως ίση µε την ολική. Εποµένως είναι K = m c ( γ ) γ m c β, οπότε γ K / m c και mc = γ γ K Για ηλεκτρόνιο µε είναι Βλέπουµε ότι η προσέγγιση που κάναµε είναι δικαιολογηµένη. Η ανηγµένη ταχύτητα του ηλεκτρονίου είναι Για πρωτόνιο µε β = = e / γ e,,999 999 999 8 K = = Η ανηγµένη ταχύτητα του πρωτονίου είναι είναι p 7 TeV 7 ev 9 p K p / mpc 7 /,938 756 γ = = β γ = = p K = = e 5 GeV, 5 ev γ = = 6 e Ke / me c,5 /,5 49 9 / p 8,7,999 999 993 Το πρωτόνιο θα διέσχιζε τον γαλαξία µας σε χρόνο T = 3 έτη, 756 όπως τον µετρά το ίδιο. Για εµάς, ο χρόνος αυτός θα ήταν έτη.

Σωµατίδια µηδενικής µάζας ηρεµίας Υπάρχουν στη φύση σωµατίδια µε µηδενική µάζα ηρεµίας. Το καλύτερα γνωστό είναι το φωτόνιο, ο φορέας του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Το βαρυτόνιο, ή γκραβιτόνιο, ο φορέας της βαρυτικής δύναµης έχει επίσης µηδενική µάζα ηρεµίας. Το νετρίνο, ενδέχεται να έχει και αυτό µηδενική µάζα ηρεµίας. Αν θέσουµε m = την ολική ενέργεια, από την εξίσωση Επειδή είναι, γενικά βρίσκουµε ότι στις σχετικιστικές ενεργειακές σχέσεις έχουµε, για E= pc και ότι E p =, αντικαθιστώντας στην c υ E= pc υ= c Το σηµαντικό αυτό αποτέλεσµα µας λέει ότι E= m c + p c 4 p= E Το ίδιο συµπέρασµα προκύπτει θέτοντας m m c E= οπότε και έχουµε υ c. υ στη σχέση Φωτόνια Για το φωτόνιο, ισχύουν επίσης και οι σχέσεις που συνδέουν την ενέργειά του µε τη συχνότητά του, f, και το µήκος κύµατός του, λ, hc E= hf = λ 34 5 όπου h είναι η σταθερά του Πλανκ h= 6,66 J s= 4,36 ev s Εποµένως, η ορµή του φωτονίου εκφράζεται ως E h p= = c λ

ιατήρηση ορµής και ενέργειας Η ορµή ορίστηκε µε τέτοιο τρόπο ώστε σε µια αλληλεπίδραση σωµατιδίων να διατηρούνται τόσο η µάζα όσο και η ορµή. Με δεδοµένο ότι η ολική ενέργεια ενός σώµατος ισούται µε E= mc, το γεγονός ότι σε µια αλληλεπίδραση ισχύει η διατήρηση σηµαίνει ότι και η ολική ενέργεια διατηρείται: Η αρχή αυτή, µαζί µε την αρχή διατήρησης της ορµής χρησιµοποιούνται στη λύση προβληµάτων στα οποία σωµατίδια αλληλεπιδρούν µε οποιοδήποτε τρόπο. n i= m = σταθ. i n i= E = σταθ. i n pi = σταθ. i= Για n σωµατίδια, οι συνιστώσες της ολικής ορµής και η ολική µάζαενέργεια ορίζονται ως P n n n x, ολ px, i Py, ολ py, i Pz, ολ pz, i i= i= i= n ολ i= για το σύστηµα S, µε αντίστοιχες σχέσεις για το σύστηµα S. Αν, στο σύστηµα S, κατά την αντίδραση n σωµατιδίων η ορµή και η µάζα-ενέργεια διατηρούνται, τότε, για τις ολικές τιµές των συνιστωσών της ορµής και για την ολική ενέργεια ισχύουν: ( Px, ολ ) = ( Px, ολ) ( Py, ολ ) = ( Py, ολ) ( Pz, ολ ) = ( Pz, ολ) πριν µετά πριν ( E ) = ( E ) Τα σωµατίδια µπορούν απλώς να ανταλλάξουν ενέργεια, αλλά και να µετασχηµατιστούν σε άλλα σωµατίδια, να εξαφανιστούν τελείως µετατρεπόµενα σε ενέργεια ή και να δηµιουργηθούν από την ενέργεια που γίνεται διαθέσιµη κατά την αλληλεπίδραση. µετά ολ πριν ολ µετά E πριν E i µετά

Μονάδες της ενέργειας, της µάζας και της ορµής Ενέργεια. Στην Ατοµική Φυσική, την Πυρηνική Φυσική και στη Φυσική των Στοιχειωδών Σωµατιδίων, χρησιµοποιούµε ως µονάδα ενέργειας το ηλεκτρονιοβόλτ (ev). Πολλαπλάσια αυτής της µονάδας που χρησιµοποιούνται είναι το kev 3 6 9, το MeV, το GeV ή ακόµη και το TeV ev. ( ev ) ( ev ) ( ev ) ( ) Μάζα. Το µέγεθος mc έχει διαστάσεις ενέργειας και µετριέται, συνήθως, για σχετικιστικά σωµατίδια, σε MeV ή GeV. Συνηθίζεται να χρησιµοποιούµε τα MeV ή GeV ως µονάδες της µάζας. Έτσι, αν βρούµε, π.χ., το αριθµητικό αποτέλεσµα m, εκφράζουµε τη c = X MeV µάζα ως m = X MeV. Ορµή. Για την ορµή, αν υπολογίσουµε το µέγεθος pc, το οποίο επίσης έχει διαστάσεις ενέργειας, και βρούµε, π.χ., το αριθµητικό αποτέλεσµα pc= X MeV, εκφράζουµε την ορµή ως p= X MeV. Τα πλεονεκτήµατα από τη χρήση αυτών των µονάδων είναι ότι έχουµε µικρούς αριθµούς για την ενέργεια, µάζα και ορµή των σχετικιστικών σωµατιδίων, και ότι οι αριθµοί αυτοί είναι συνήθως της ίδια τάξης µεγέθους. Στη Θεωρία της Σχετικότητας χρησιµοποιείται συχνά και ένα σύστηµα µονάδων στο οποίο λαµβάνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό ως ίση µε τη µονάδα. Αυτό «εξαφανίζει» το σύµβολο c από όλες τις εξισώσεις, οδηγώντας σε µια απλοποίηση.

Παράδειγµα: ιάσπαση καονίου + Ένα ουδέτερο καόνιο διασπάται σε δύο πιόνια, K π + π Αν το παραγόµενο αρνητικό πιόνιο είναι ακίνητο, ποια είναι η ολική ενέργεια του θετικού πιονίου; Ποια ήταν η ολική ενέργεια του καονίου; ίνονται οι µάζες ηρεµίας: του K ίση µε 498 MeV και των ίση µε 39 MeV. π ± Έστω ότι η µάζα ηρεµίας του K είναι M και των π ± είναι m. Αφού το π + είναι το µόνο σωµατίδιο που κινείται µετά τη διάσπαση, η διατήρηση της ορµής υπαγορεύει η ορµή του να είναι ίση µε την ορµή p του K. Αν είναι η ολική ενέργεια του K, η διατήρηση της ενέργειας µας δίνει E K K E = m c + m c γ () Όµως, η ολική ενέργεια του είναι E = m c γ = m c + pc () και του καονίου E = M c + pc (3) Αντικαθιστώντας τις Εξ. () και (3) στην () [ E = m c + m c γ ] έχουµε Υψώνοντας στο τετράγωνο, K π + ( ) M ( ) ( ) c + pc = mc + mc + ( pc) ( Mc ) + ( pc) = ( mc ) + ( mc ) + ( pc) + mc ( mc ) + ( pc) ( ) ( ) = M c m c m c E π π ( ) ( ) K ( ) ( )

και, εποµένως, E π M = mc m Αντικαθιστώντας στην Εξ. () [ E = m c + m c γ ], M c ή EK =. m K M EK = mc + Eπ = mc m Έτσι, 498 E K = = 89 MeV 39 Παράδειγµα: Πύραυλος Φωτονίων Έχει προταθεί η χρήση φωτονίων για την προώθηση πυραύλων. Ενώ για τα χηµικά καύσιµα υπάρχει ένα όριο ταχύτητας αποβολής µάζας της τάξης των km/s, για τα φωτόνια αυτή η ταχύτητα είναι 3 φορές µεγαλύτερη και γι αυτό η εκποµπή από τον πύραυλο φωτονίων, µε τη µεγάλη τους ταχύτητα, θεωρείται ότι θα προσδώσει στον πύραυλο µεγαλύτερη ταχύτητα ανά µονάδα µάζας που αποβάλλεται ως φως. Να βρεθεί η ταχύτητα που επιτυγχάνεται µε αυτήν την µέθοδο, ως κλάσµα κ της µάζας του πυραύλου που αποβάλλεται στη µορφή των φωτονίων.

Έστω ότι η αρχική µάζα του πυραύλου είναι. Αν σε κάποια χρονική στιγµή έχει αποβληθεί ένα κλάσµα κ της αρχικής µάζας, τα φωτόνια που εκπέµφθηκαν µεταφέρουν, συνολικά, ενέργεια E φ και ορµή P. φ = Eφ Αν εκείνη τη στιγµή ο πύραυλος κινείται µε ταχύτητα υ και έχει µάζα M ( υ) = ( κ) M γ, όπου γ = υ, οι αρχές της διατήρησης µας δίνουν: ιατήρηση ενέργειας: E = M c = M ( υ) c + E = ( κ) M c γ + E M ολική φ φ ιατήρηση ορµής: P = = M ( υ) υ+ E = ( κ) M γυ E ολική φ φ Από τις δύο αυτές σχέσεις, απαλείφοντας την M c, προκύπτει ότι = ( κ ) M c γ ( + β ) ή ( κ ) γ ( + β ) = E φ + β ( κ) = β β = ( κ ) + β από την οποία βρίσκουµε ( κ) β = και γ = κ+ + ( κ) κ που δίνουν την ταχύτητα και τον παράγοντα Λόρεντς για ένα δεδοµένο κλάσµα της αρχικής µάζας ηρεµίας του πυραύλου που έχει εκπεµφθεί ως φωτόνια για την προώθηση του διαστηµοπλοίου.

Μερικές αριθµητικές τιµές είναι: β γ κ,5,9,95,99,995,999,6,94 3, 7,9,4,4,77,84,93,95,98 Βλέπουµε πως, για να πετύχουµε µια ταχύτητα,995c, που αντιστοιχεί σε γ =, πρέπει να εκπέµψουµε ως φωτόνια το 95 % της ολικής µάζας του διαστηµοπλοίου. Το ωφέλιµο φορτίο είναι, εποµένως, µόνο το 5 % της αρχικής µάζας ηρεµίας του διαστηµοπλοίου. Αν επίσης επιθυµούµε να επιβραδύνουµε το διαστηµόπλοιο µέχρι να σταµατήσει, να το επιταχύνουµε προς τα πίσω, και να το ξαναφέρουµε στο 4 σηµείο εκκίνησης, το οφέλιµο φορτίο θα είναι µόνο ( κ) που έχει τιµή περίπου 5. Αυτό κάνει τα διαστηµόπλοια µε πυραύλους φωτονίων αµφίβολης χρησιµότητας. Παράδειγµα: Ελαστική κρούση. Κλασική Μηχανική Σχετικιστική Μηχανική Σωµατίδιο µε µάζα 4m κινείται µε ταχύτητα υ = 4 c 5 και συγκρούεται ελαστικά µε ένα άλλο σωµατίδιο το οποίο έχει µάζα m και είναι αρχικά ακίνητο. Μετά την κρούση, τα δύο σωµατίδια κινούνται πάνω στην ευθεία κίνησης του αρχικά κινούµενου σωµατιδίου. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των δύο σωµατιδίων, σύµφωνα µε (α) την Κλασική Μηχανική και (β) τη Σχετικιστική Μηχανική. Να υπολογιστούν και οι κινητικές ενέργειες πριν και µετά την κρούση. Θα χρησιµοποιήσουµε τις αρχές της διατήρησης της ενέργειας και της διατήρηση της ορµής. Έστω ότι µετά την κρούση το σωµατίδιο µε µάζα m κινείται µε ταχύτητα υ και το σωµατίδιο µε µάζα 4m κινείται µε ταχύτητα, όπως φαίνεται στο σχήµα. υ

(α) Λύση σύµφωνα µε την Κλασική Μηχανική ιατήρηση της ενέργειας: () 4mυ = mυ + 4mυ ιατήρηση της ορµής: 4m () υ = mυ + 4mυ Αυτές απλοποιούνται σε υ + 4 υ = 64 c (3) και υ+ 4 υ = 6 c (4) 5 5 Η Εξ. (4) δίνει υ = 6 4 (5) 5 c υ η οποία µπορεί να αντικατασταθεί στην Εξ. (3), οπότε έχουµε 6 64 56 8 64 c 4υ + 4υ = c c cυ + υ = c 5 5 5 5 5 8 9 3 48 υ cυ + c = υ cυ + c = 5 5 5 5 4 Μία ρίζα της Εξ. (6) είναι η υ A = 5 c, οπότε και υ A =. Αυτή είναι η περίπτωση στην οποία τα σωµατίδια δεν µεταβάλλουν τις αρχικές τους καταστάσεις. Η δεύτερη ρίζα βρίσκεται από την Εξ. (6) ως ίση µε 3 4 υ B = c c= c=, 48c. (7) 5 5 5 Η αντίστοιχη ταχύτητα του άλλου σωµατιδίου είναι 6 3 υ. (8) B = c 4 c= c=,8c 5 5 5

(β) Λύση σύµφωνα µε τη Σχετικιστική Μηχανική Προκύπτει το ερώτηµα τί ακριβώς εννοούµε µε τον όρο «ελαστική κρούση» στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Στην Κλασική Μηχανική, µια κρούση δεν είναι ελαστική αν ένα µέρος της ενέργειας «χάνεται», π.χ. µετατρεπόµενη σε εσωτερική ενέργεια των σωµάτων. Στη Θεωρία της Σχετικότητας η εσωτερική ενέργεια των σωµάτων εκδηλώνεται ως αδράνεια και εποµένως λαµβάνεται υπόψη κατά τη διατήρηση της ενέργειας. Θα θεωρήσουµε εποµένως ότι µε τον όρο «ελαστική κρούση» τίθεται η επιπρόσθετη συνθήκη ότι οι µάζες ηρεµίας των σωµάτων παραµένουν οι ίδιες κατά την κρούση. Θα χρησιµοποιήσουµε τις ανηγµένες ταχύτητες υ 4 υ υ β (9) = =, β=, β = c 5 c c και τους παράγοντες Λόρεντς 5 γ = β =, γ= β, γ = β. () 3 ιατήρηση της ενέργειας: m c + 4γ m c = γ m c + 4γ m c () ιατήρηση της ορµής: 4γ mcβ = γmcβ+ 4γ mcβ () Αυτές απλοποιούνται σε + 4γ = γ + 4 γ (3) και 4γ β = γ β + 4 γ β. (4) Αυτές πρέπει να λυθούν για τα β. Αντικαθιστώντας για τα και γ, έχουµε 3 6 γ+ 4 γ = (5) και γ β+ 4 γ β = (6) 3 3 Αφαιρώντας την Εξ. (6) από την Εξ. (5), Προσθέτοντας την Εξ. (6) στην Εξ. (5), οι οποίες πρέπει να λυθούν για τα β. β 7 β β 7 γ( β) + 4γ ( β) = + 4 = 3 + β + β 3 + β + β γ( + β) + 4γ ( + β) = 3 + 4 = 3 β β (7) (8)

β β Ορίζουµε τις µεταβλητές x= και y=, οπότε είναι + β + β x y β= και β. = + x + y (9) Τότε είναι 7 4 x 4 y () και 3. 3 x y () Από την Εξ. () 4 = = y 7 / 3 x 7 3x, () την οποία αντικαθιστούµε στην Εξ. () για να βρούµε 48 + = 3 x 7 3x 7 3x+ 48x= 3 x(7 3 x). (3) 7+ 45x= 9x 39x 39x 46x+ 7=. (4) Μια λύση της Εξ. (4) είναι η x A =, για την οποία, από την Εξ. (), προκύπτει ότι y A = / 3. Οι αντίστοιχες τιµές των β είναι: β A =, / 9 8 4 β A = = =. Και πάλι, αυτή είναι η περίπτωση στην οποία οι + / 9 5 ταχύτητες των δύο σωµατιδίων δεν µεταβάλλονται κατά την «κρούση». 46 7 Η δεύτερη λύση της Εξ. (4) είναι ίση µε x B = =, οπότε και 39 39 7 yb = xb = 4 3 39. Οι αντίστοιχες τιµές των β είναι: 7 / 39 5 49 736 βb = = = =,94 ( γ ) B =,88 + 7 / 39 5+ 49 785 / 39 5 44 54 6 β ( ) B = = = = =,55 γ B =, + / 39 5+ 44 98 9

Κινητικές ενέργειες: Κλασική Μηχανική Σχετικιστική Μηχανική Πριν Μετά m m Μάζα Μάζα 4m Μάζα Μάζα 4m,8 m c,46m c,8m c,67 m c,79m c,88m c Παρατηρούµε ότι, και στη σχετικιστική περίπτωση, επειδή οι µάζες ηρεµίας των σωµάτων δεν αλλάζουν, εκτός από την ολική ενέργεια διατηρείται και η ολική κινητική ενέργεια. Αυτό δε θα συνέβαινε αν υπήρχε µεταβολή στην ολική µάζα ηρεµίας των σωµάτων.