ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιµοποιούµε. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Α Β ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εάν χρησιμοποιήσουμε σαν μονάδα μέτρησης του εμβαδού το μικρό τετράγωνο του τετραγωνισμένου χαρτιού τότε το σχήμα Α έχει εμβαδό 7 τετραγωνάκια, ενώ το σχήμα Β έχει εμβαδόν 65 τετραγωνάκια. Άρα το σχήμα Α έχει μεγαλύτερο εμβαδό από το σχήμα Β. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα παρακάτω σχήματα χρησιμοποιώντας ως μονάδα εμβαδού το. Τι παρατηρείτε;
06 ΜΕΡΟΣ Α -3.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εάν χρησιμοποιήσουμε σαν μονάδα μέτρησης του εμβαδού το του τετραγωνισμένου χαρτιού τότε το πρώτο σχήμα έχει εμβαδό 39, το δεύτερο σχήμα 39 και έλος το τρίτο σχήμα έχει εμβαδόν 39. Άρα τα τρία αυτά σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν. ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται τέσσερα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα µε ίσες κάθετες πλευρές: α) Χρησιμοποιώντας μόνο τα δύο τρίγωνα να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. β) Χρησιμοποιώντας και τα 4 τρίγωνα να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο και ένα, ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται πως με δύο τετράγωνα κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. β) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται πως με 4 τετράγωνα κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο,ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο.
ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 07 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΕΙΣ ΜΕ ΤΟ ΤΥΠΟ ΤΟΥ PICK S Γνωρίζετε ότι το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από την μονάδα μέτρησης των επιφανειών που χρησιμοποιούμε. Για την εύρεση του εμβαδού μιας πολυγωνικής επιφάνειας ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών αυτών χρησιμοποιούνται τα μικρά τετραγωνάκια ή τριγωνάκια τετραγωνισμένου χαρτιού. Πριν περίπου εκατό χρόνια ένας αυστριακός μαθηματικός ο George Alexander Pick (859-943) ανακάλυψε μια σχέση, γνωστή σαν τύπος του Pick, για την εύρεση εμβαδού σχημάτων που είναι τοποθετημένα πάνω σε έναν γεωπίνακα χρησιμοποιώντας τους κόμβους ενός γεωπίνακα.
08 ΜΕΡΟΣ Α -3.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ας αρχίσουμε βλέποντας πολύγωνα πάνω σε ένα γεωπίνακα. Όπως βλέπουμε οι παρακάτω γεωπίνακες περιέχουν κόμβους. Στα παρακάτω σχήματα μετράμε τους κόμβους που βρίσκονται στο εσωτερικό του πολυγώνου και αυτούς που βρίσκονται πάνω στις πλευρές του και υπολογίζουμε τα εμβαδά σε κάθε περίπτωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που έχουμε μάθει χωρίζοντας τα πολύγωνα σε γνωστά σχήματα. Ως μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε το μικρότερο τετράγωνο του γεωπίνακα. ΠΟΛΥΓΩΝΟ Α ΠΟΛΥΓΩΝΟ Α,5,5 9 4 0 σημεία πάνω στις πλευρές Εμβαδόν=.(.5)+9+4=6 εσωτερικά σημεία ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΜΒΑΔΩΝ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: O Γεωπίνακας προκύπτει αν σε τετραγωνισμένο χαρτί κρατήσουμε μόνο τις κορυφές των τετραγώνων Κόμβοι είναι τα σημεία πάνω στον γεωπίνακα. ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΜΒΑΔΩΝ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΤΟ ΠΟΛΥΓΩΝΟ Β ΠΟΛΥΓΩΝΟ Β 8 6 6 6 σημεία πάνω στις πλευρές 7 εσωτερικά σημεία Εμβαδόν ορθογωνίου=40 εμβαδόν πολυγώνου=40--8-(6)=9 Τίθεται τώρα το ερώτημα πως οι κόμβοι που βρίσκονται στο εσωτερικό του πολυγώνου και αυτοί που βρίσκονται πάνω στις πλευρές του θα μας βοηθήσουν να βρούμε το εμβαδόν του. Υπάρχουν ένα σωρό από πράγματα που μπορούμε να σκεφτούμε. Φαίνεται δύσκολο να βρούμε μια σχέση που θα μας βοηθήσει στην προσπάθεια αυτή. Μια σπουδαία τεχνική είναι να
ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 09 βάλουμε μια μεταβλητή και να δούμε πως μεταβάλλεται σε σχέση με μια άλλη. Ας δούμε την παρακάτω δραστηριότητα. Δραστηριότητα Α Β Γ Δ Κ Ε Η Θ Ζ Ι Βήμα ο Επιβεβαιώστε ότι κάθε πολύγωνο από το Α έως Κ έχει εμβαδόν Ε=. Βήμα ο Αν ονομάσουμε κ τον αριθμό των κόμβων που είναι πάνω στις πλευρές του κάθε σχήματος και λ τον αριθμό των κόμβων που βρίσκονται στο εσωτερικό του συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα για κάθε πολύγωνο από το Α έως Κ. Πολύγωνο(Ε=) Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Αριθμός κόμβων 4 0 4 8 0 8 6 6 6 (κ) Αριθμός κόμβων 6 8 6 9 8 9 5 0 7 0 (λ) Βήμα 3 ο Ας παραστήσουμε τα ζεύγη αυτών των σημείων σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων Παρατηρούμε ότι αυτά βρίσκονται όλα πάνω σε μια ευθεία της μορφής λ=ακ+β επομένως αρκεί να βρούμε τα α και β για να δούμε ποια είναι αυτή η ευθεία. Επειδή αυτή περνά από τα σημεία Κ(6,0) και Α(4,6) 4 0 8 6 4-5 5 0 5 0 5 30 - λ Δ(8,9)=Ζ(8,9) Θ(6,0) Β(0,8)=Ε(0,8) A(4,6)=Γ(4,6) Ι(,7) Η(6,5) Κ(6,0) κ
0 ΜΕΡΟΣ Α -3.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ έχουμε ότι : 0=6α+ β και 6=4α+ β οπότε από την πρώτη από αυτές έχουμε β=-6α και από την δεύτερη εξίσωση με την βοήθεια της πρώτης έχουμε 6=4α -6α οπότε α= -6 και α =. Από την πρώτη εξίσωση έχουμε 0 = 6 + β ή β = 3 άρα η ευθεία έχει εξίσωση λ = κ + 3 Βήμα 4 ο Ο τύπος του Pick Εάν Ε είναι το εμβαδόν ενός πολυγώνου που προσαρμόζεται σε έναν γεωπίνακα, κ είναι ο αριθμός των κόμβων που είναι πάνω στις πλευρές του κάθε σχήματος και λ ο αριθμός των κόμβων που βρίσκονται στο εσωτερικό του τότε: E =...λ +...κ... Επειδή στην περίπτωση μας έχουμε εμβαδόν ας δούμε μήπως βγάλουμε τον τύπο του Pick από την εξίσωση της ευθείας. Πράγματι έχουμε λ = κ + 3 ή λ + κ = + (γράφουμε το 3=+ για να εμφανίσουμε το εμβαδόν) λ + κ = ή λ + κ = Ε Άρα ο τύπος του Pick είναι Ε = λ + κ Δραστηριότητα Να βρείτε εσείς τώρα τον τύπο του Pick με την βοήθεια πολυγώνων που έχουν εμβαδόν 8 ακολουθώντας την ίδια διαδικασία.
ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο: Ενότητα: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων. Στόχοι: Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια του εμβαδού και ότι αυτό εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται κάθε φορά. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας Η αυλή ενός σπιτιού έχει σχήμα ορθογωνίου και πρόκειται να στρωθεί με τριγωνικά πλακάκια, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν;... Λέμε ότι το εμβαδόν της αυλής με μονάδα μέτρησης το τριγωνικό πλακάκι είναι:... Ποιο θα ήταν το εμβαδόν της αυλής, αν χρησιμοποιούσαμε ως μονάδα μέτρησης ορθογώνια πλακάκια με πλευρές τις κάθετες πλευρές των παραπάνω τριγώνων;. α) Ποιο είναι το εμβαδόν του διπλανού γραμμοσκιασμένου σχήματος με μονάδα μέτρησης το τρίγωνο; β) Ποιο είναι το εμβαδόν του διπλανού γραμμοσκιασμένου σχήματος με μονάδα μέτρησης το ορθογώνιο ;. 3. α) Ποιο είναι το εμβαδόν του διπλανού γραμμοσκιασμένου σχήματος με μονάδα μέτρησης το τρίγωνο; β) Ποιο είναι το εμβαδόν του διπλανού γραμμοσκιασμένου σχήματος με μονάδα μέτρησης το τρίγωνο;.. γ) Ποιο είναι το εμβαδόν του διπλανού γραμμοσκιασμένου σχήματος με μονάδα μέτρησης το τετράγωνο;
ΜΕΡΟΣ Α -3.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο: Ενότητα: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων. Στόχοι: Να «ανακαλύψουν» οι μαθητές τον τρόπο υπολογισμού των εμβαδών τετραγώνου, ορθογωνίου, ορθογωνίου τριγώνου, παραλληλογράμμου, τυχαίου τριγώνου και τραπεζίου. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική). Φύλλο εργασίας. Στο διπλανό τετράγωνο κάθε πλευρά έχει μήκος 4cm. Οι τελείες πάνω στις πλευρές του ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα μήκους cm. α) Να χωρίσετε το τετράγωνο σε τετραγωνάκια πλευράς cm φέρνοντας με το χάρακα ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου. Πόσα τετραγωνάκια σχηματίζονται;. β) Επομένως, το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς 4 cm, είναι..cm. γ) Γενικά, το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α, θα είναι.... Στο διπλανό ορθογώνιο οι πλευρές έχουν μήκος 3 cm και 7 cm. Οι τελείες πάνω στις πλευρές του ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα μήκους cm. α) Να χωρίσετε το ορθογώνιο σε τετραγωνάκια πλευράς cm φέρνοντας με το χάρακα ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του ορθογωνίου. Πόσα τετραγωνάκια σχηματίζονται;. β) Επομένως, το εμβαδόν του ορθογωνίου με πλευρές 3 cm και 7 cm είναι..cm. γ) Γενικά, το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α και β, θα είναι...
ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 3 3. Στο διπλανό ορθογώνιο οι πλευρές έχουν μήκος 3 cm και 5 cm και η διαγώνιος ΑΓ χωρίζει το ορθογώνιο σε δυο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Οι τελείες πάνω στις πλευρές του ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα μήκους cm. α) Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι...cm. β) Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι... cm. γ) Γενικά, το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές α και β, είναι...cm. 4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο του οποίου η μια πλευρά έχει μήκος ΑΒ = ΓΔ = cm και το αντίστοιχο ύψος έχει μήκος ΑΕ = ΓΖ = 4 cm. α) Το εμβαδόν των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΖ είναι. cm. β) Αν κόψουμε με ψαλίδι το τρίγωνο ΑΔΕ και το τοποθετήσουμε έτσι ώστε η πλευρά ΑΔ να συμπέσει με την πλευρά ΒΓ, τότε θα σχηματιστεί.. με μήκη πλευρών.. cm και cm και εμβαδόν.cm. γ) Το εμβαδόν του αρχικού πλάγιου παραλληλογράμμου είναι ίσο με το εμβαδόν του και επομένως είναι ίσο με cm. δ) Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με μήκος πλευράς α και αντίστοιχο ύψος υ είναι..
4 ΜΕΡΟΣ Α -3.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η πλευρά ΔΓ έχει μήκος 9 cm, το αντίστοιχο ύψος έχει μήκος 5 cm και η διαγώνιος ΑΓ χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα τρίγωνα, α) Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι:..cm. β) Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι cm. γ) Γενικά, το εμβαδόν ενός τριγώνου με μήκος πλευράς α και αντίστοιχο ύψος υ, θα είναι.. 6. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ. Το μήκος της μικρής βάσης του είναι β = 8 cm, το μήκος της μεγάλης βάσης του είναι Β = cm, το αντίστοιχο ύψος έχει μήκος υ = 7 cm και η διαγώνιος ΒΔ χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα. α) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ είναι. cm. β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΔ είναι.cm. γ) Επομένως, το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι.cm. δ) Γενικά, το εμβαδόν ενός τραπεζίου με βάσεις που έχουν μήκη β και Β και αντίστοιχο ύψος υ, θα είναι 7. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των παρακάτω σχημάτων: