Παραγοντικά Πειράµατα Fctoril Design Τα παραγοντικά πειράµατα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων στην εξαρτηµένη µεταβλητή. Τα πλεονεκτήµατα που παρουσιάζουν έναντι των άλλων µεθόδών που έχουµε δει µέχρι τώρα ( Λατινικά και Ελληνολατινικά Τετράγωνα ) είναι ότι δεν χρειάζεται οι παράγοντες να κινούνται σε ίδιο αριθµό επιπέδων και επίσης δεν επηρεάζονται από τυχόν αλληλεπίδραση µεταξύ των παραγόντων η οποία και λαµβάνεται υπ όψι στην ανάλυση. Ορισµοί: Κύρια επίδραση παράγοντα. Οι κύριες επιδράσεις ενός παράγοντα αναφέρονται σε όλες τις δυνατές, ανά δυο, διαφορές µεταξύ των αναµενόµενων τιµών των επιπέδων του παράγοντα. Αν όλες αυτές οι διαφορές είναι ίσες µε το 0, τότε αναφερόµαστε σε µη ύπαρξη κύριων επιδράσεων του παράγοντα Αλληλεπίδραση µεταξύ δυο παραγόντων. Η αλληλεπίδραση µεταξύ δυο παραγόντων αναφέρεται στο κατά πόσον οι κύριες επιδράσεις ενός παράγοντα είναι ίδιες σε όλα τα επίπεδα του άλλου παράγοντα. Αν αυτές είναι ίδιες, τότε αναφερόµαστε σε µη ύπαρξη αλληλεπίδρασης. Προσέξτε ότι η ανυπαρξία αλληλεπίδρασης αναφέρεται µόνο στην ισότητα των κυρίων επιδράσεων του ενός παράγοντα σε κάθε επίπεδο του άλλου. εν αναφέρεται στην ύπαρξη των κυρίων επιδράσεων. Το παρακάτω σχέδιο προσπαθεί να ξεκαθαρίσει τι έννοιες αυτές. Εστω ότι διαθέτουµε δυο παράγοντες κάθε ένας από τους οποίους έχει δυο επίπεδα. Εστω ότι οι µέσοι κάθε παράγοντα καθώς και κάθε συνδυασµού των παραγόντων µπορούν να αναπαρασταθούν από τον παρακάτω πίνακα Παράγοντας Β Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Α Παράγοντας Α µ µ µ. µ µ µ. Περιθώριοι µέσοι παράγοντα Β µ. µ. µ.. Αν υπάρχει αλληλεπίδραση τότε η διαφορές µ -µ και µ -µ δεν είναι ίδιες. Γίνεται φανερό ότι εαν δεν υπάρχει αλληλεπίδραση τότε η διαφορά µ. -µ. είναι πολύ καλή εκτίµηση των προηγούµενων διαφορών. Η ύπραξη αλληλεπίδρασης υποδεικνύει ότι οι διαφορές µ -µ και µ - µ πρέπει να εκτιµηθούν χωριστά. Η αλληλεπίδραση µεταξύ των παραγόντων µπορεί να ανιχνευθεί µε δύο τρόπους:. Μέσω διαγραµµάτων όπως έχουµε προαναφέρει (σελ.:, 3) όπου θυµίζουµε ότι αν στο γράφηµα (x άξονας επίπεδα παραγόντων, άξονας τιµές εξαρτηµένης µεταβλητής) οι ευθείες των παραγόντων είναι σχεδόν παράλληλες, τότε µάλλον δεν έχουµε πρόβληµα αλληλεπίδρασης, ενώ αν οι ευθείες τέµνονται, τότε είναι σχεδόν βέβαιο ότι οι παράγοντες αλληλεπιδρούν.. Μέσω του γραµµικού µοντέλου: 0 x β + β x + β x + β + ε 4
όπου: : οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής x : οι τιµές του πρώτου παράγοντα x : οι τιµές του δεύτερου παράγοντα : η αλληλεπίδραση των δύο παραγόντων x Εκτιµήσεις παραµέτρων: Το β 0 εκτιµάται από τον µέσο όλων των τιµών της εξαρτηµένης µεταβλητής για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των επιπέδων των παραγόντων Τα β,β εκτιµώνται από το µισό της επίδρασης του κάθε παράγοντα ξεχωριστά στην απαντητική µεταβλητή. Η επίδραση του κάθε παράγοντα στην, µπορεί να µετρηθεί από τη διαφορά µεταξύ του µέσου όρου της επίδρασης του παράγοντα στην, όταν αυτός βρίσκεται στο υψηλό επίπεδο και του µέσου όρου της επίδρασης του παράγοντα στην, όταν αυτός βρίσκεται στο χαµηλό επίπεδο Το β εκτιµάται από το της επίδρασης της αλληλεπίδρασης µεταξύ των δύο παραγόντων. Η επίδραση αυτή εκτιµάται από +, + τιµή στο, + ) (τιµή στο +, τιµή στο, )] + : παράγοντας Α στο υψηλό επίπεδο : παράγοντας Α στο χαµηλό επίπεδο + : παράγοντας Β στο υψηλό επίπεδο : παράγοντας Β στο χαµηλό επίπεδο Αν το β είναι στατιστικά σηµαντικό, τότε υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ των παραγόντων. Ο παρακάτω πίνακας περιγράφει γενικά ένα πρόβληµα µε δύο παράγοντες 4
ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ Α M K, K, K, ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ Β K,,,,, n, n, n,, K, K, K, n, n, n,, K, K, K, n, n, n,,, Το µοντέλο που θα περιγράφει το πρόβληµα θα είναι το παρακάτω: k i j ( τβ) + εk µ + τ + β +, όπου i,, K, j,. K, k,, K, n τ i η επίδραση του Α παράγοντα. Ισχύει: i τi 0 β j η επίδραση του Β παράγοντα. Ισχύει: β j 0 j ( ) τβ η επίδραση της αλληλεπίδρασης των δύο παραγόντων. Ισχύει: ( ) ( τβ) 0 i τβ j Με τα παραγοντικά πειράµατα µας δίνεται η δυνατότητα να ελέγξουµε της παρακάτω τρεις υποθέσεις:. Αν ο παράγοντας Α επιδρά στην εξαρτηµένη µεταβλητή H 0 : τ τ K τ 0 H : τουλάχιστον ένα τ 0 i. Αν ο παράγοντας Β επιδρά στην εξαρτηµένη µεταβλητή H 0 : β β K β 0 H : τουλάχιστον ένα β j 0 3. Αν υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ των δύο παραγόντων 43
( ) 0 H 0 : τβ, για όλα τα i, j H : τουλάχιστον ένα ( τβ ) 0 Στατιστική Ανάλυση Για τη διευκόλυνση της ανάλυσής µας, ορίζουµε τα παρακάτω αθροίσµατα: n i k j k n j k i k n k k i j i n j n n n k i j k n Θα ισχύει ότι: + + + T όπου T n i j k k n n i i n j sutotls n n n j i j n Sutotls T T Sutotls Οι βαθµοί ελευθερίας θα είναι: ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Α Β ΑΒ αλληλεπίδραση ( )( ) Σφάλµατα ( n ) Σύνολο n 44
Ο πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης που προκύπτει από τα παραπάνω θα είναι: ΠΗΓΗ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Σ Α Β ΑΒ rror Totl ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ( )( ) ( n ) T n ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ( )( ) ( n ) F 0 F 0 F 0 F 0 Αποδεικνύεται ότι: ( ) σ i ( ) n τ i + σ + n j β j ( ) σ + n i j ( τβ) ( )( ) ( ) σ Ετσι, ο έλεγχος της µη ύπαρξης κύριων επιδράσεων του παράγοντα Α χρησιµοποιεί τα µέσα τετράγωνα και. Αντίστοιχα, οι έλεγχοι της µη ύπαρξης κυρίων επιδράσεων του παράγοντα Β και της µη ύπαρξης αλληλεπίδρασης χρησιµοποιούν τα µέσα τετράγωνα, και,. Παράδειγµα Η διάρκεια ζωής µίας µπαταρίας εξαρτάται από το υλικό κατασκευής (παράγοντας Α) και την θερµοκρασία στην όποια κατασκευάζεται (παράγοντας Β). Θα ελέγξουµε κατά πόσο επιδρούν οι δύο αυτοί παράγοντες και η αλληλεπίδρασή τους (αν υπάρχει) στη ζωή της µπαταρίας (εξαρτηµένη µεταβλητή ) ίνεται ο παρακάτω πίνακας: ΥΛΙΚΟ ΚΑΤΑΣ ΚΕΥΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΕΣ F 5 70 5 30,55, 34,40 0,70, 74,80 80,75 8,58 45
50,88, 59,6 3 38,0, 68,60 36,, 06,5 74,0, 50,39 5,70, 58,45 96,04, 8,60 Από τα παραπάνω δεδοµένα υπολογίζουµε εύκολα τα παρακάτω αθροίσµατα τετραγώνων: T 77.646,97 Mteril 0.683,7 Temperture 39.8,7 Interction 9.63,78 T - Mteril - Temperture - Interction 8.30,75 Έτσι, κατασκευάζουµε και τον πίνακα ανάλυσης διακύµανσης. Πηγή Τύπος Βαθµοί Μέσα Αθροίσµατος Ελευθερίας Τετράγωνα F 0 P-Vlue Τύπος µπαταρίας 0.683,7 5.34,86 7,9 0,000 Θερµοκρασία 39.8,7 9.559,36 8,97 <0,000 Αλληλεπίδραση 9.63,78 4.403,45 3,56 0,086 Σφάλµα 8.30,75 7 675, Σύνολο 77.646,97 35 Παρατηρώντας τις στατιστικές σηµαντικότητες στην τελευταία στήλη, βλέπουµε πως η αλληλεπίδραση των δυο παραγόντων είναι στατιστικά σηµαντική (p0.09). Με αυτό το αποτέλεσµα δεν προχωράµε σε εξέταση των απλών επιδράσεων γιατί κάθε πληροφορία για αυτές µπορεί να είναι παραπλανητική. Ο λόγος είναι ότι µια στατιστικά σηµαντική αλληλεπίδραση µπορεί να κρύψει µια πραγµατική επίδραση ενός παράγοντα. Το καλύτερο που έχουµε να κάνουµε στο συγκεκριµένο πρόβληµα είναι να συνεχίσουµε στην εξέταση των απλών επιδράσεων (για τον παράγοντα τύπος µπαταρίας για παράδειγµα) αλλά σε κάθε επίπεδο του παράγοντα θερµοκρασία. Εντελώς ανάλογα προχωράµε και για τον παράγοντα θερµοκρασία. Ο εµπειρικός κανόνας που υπάρχει για το επίπεδο σηµαντικότητας που πρέπει να χρησιµοποιήσουµε αναφέρει ότι αυτό πρεπει να βρεθεί διαιρώντας το άθροισµα των επιπέδων σηµαντικότητας που χρησιµοποιούµε για κάθε έλεγχο (έλεγχοι απλών επιδράσεων παραγόντων Α και Β και έλεγχος αλληλεπίδρασης ΑΒ), µε το σύνολο των ελέγχων NOV που θα κάνουµε (ουσιαστικά αυτό είναι ίσο µε το άθροισµα των επιπέδων των δυο παραγόντων). Για το παράδειγµά µας, το επίπεδο σηµαντικότητας που θα χρησιµοποιήσουµε για κάθε έλεγχο NOV είναι 5 + 5 + 5.5% 3 + 3 Εναλλακτικά, οι τεχνικές πολλαπλών συγκρίσεων µπορούν να βοηθήσουν εδώ. Τεστ για τη διαφορά των µέσων Στο παραπάνω παράδειγµα διαπιστώσαµε πως η µέση διάρκεια ζωής της µπαταρίας επηρεάζεται στατιστικά και από τους δύο υπό εξέταση παράγοντες, τη θερµοκρασία και τον τύπο της µπαταρίας. Έτσι, αν θέλουµε να διαπιστώσουµε ποιοι είναι αυτοί οι µέσοι οι οποίοι διαφέρουν µεταξύ τους κάνουµε τεστ για κάθε δύο µέσους ξεχωριστά για κάθε παράγοντα. Παρακάτω, έχουµε την παρουσίαση του τεστ του Duncn. Ωστόσο, στη συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε αλληλεπίδραση µεταξύ των παραγόντων εποµένως η διαφορά των µέσων ενός παράγοντα µπορεί 46
να οφείλεται και στην αλληλεπίδραση αυτή πέρα από τη δική του διαφορά. Γι αυτό το λόγο θα πρέπει να σταθεροποιήσουµε τον ένα από τους δύο παράγοντες και να µελετήσουµε µόνο τον άλλο για διαφορές στους µέσους του. Έστω ότι θέλουµε να µελετήσουµε τις διαφορές στους µέσους των διαφορετικών τύπων µπαταρίας για τη θερµοκρασία των 70 F. Σύµφωνα µε την τεχνική Duncn, παραθέτουµε τους µέσους των τύπων µπαταρίας σε αύξουσα σειρά και υπολογίζουµε το τυπικό σφάλµα αυτών των µέσων µε βάση το µιας που είναι αµερόληπτος εκτιµητής του σ δηλ.: 57,5 (τύπος µπαταρίας ) 9,75 (τύπος µπαταρίας ) 3 45,75 (τύπος µπαταρίας 3) Τυπικό σφάλµα: S n 675, 4 i,99 το n είναι ίσο µε 4 διότι κάθε µέσος περιέχει 4 παρατηρήσεις. Από τους πίνακες παίρνουµε τις τιµές r 0. 05 (. 7), 9 και r 0. 05 ( 3. 7) 3, 06. Εποµένως, οι διαφορές R είναι: R r (.7)S (,9)(,99) 37,80 και οι συγκρίσεις είναι: R 0.05 i 3 r0.05 (3.7)S i (3,06)(,99) 39,75 3 vs : 45,75-57,5 88,50 > 39,75(R 3 ) 3 vs : 45,75-9,75 6,00 < 37,80(R ) vs : 9,75 57,5 6,50 > 37,80(R ) Παρατηρούµε εποµένως πως για τη θερµοκρασία των 70 F η µέση ζωή της µπαταρίας είναι η ίδια για τους τύπους και 3 ενώ διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά και οι δύο τύποι µπαταρίας από τον πρώτο ο οποίος είναι και µικρότερης απόδοσης. Με παρόµοιο τρόπο συγκρίνουµε τους µέσους για κάθε επίπεδο θερµοκρασίας ή τύπου µπαταρίας. Ενας εναλλακτικός τρόπος για να µελετήσουµε την αλληλεπίδραση περισσότερο προκύπτει από τη χρήση των διαφορών (contrsts). Σε προηγούµενο κεφάλαιο είχαµε δει ότι για να ελέγξουµε τις κύριες επιδράσεις ενός παράγοντα µπορούµε να κατασκευάσουµε τόσα ορθογώνια contrsts όσοι είναι και οι βαθµοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στον παράγοντα αυτό. Εστω ότι τα contrsts που χρησιµοποιούνται για τον παράγοντα Α και Β αντίστοιχα είναι C C p i l j m k µ, pk 47 i, K, j. µ, p, K,. k όπου µ j. και µ.j είναι οι περιθώριοι µέσοι των επιπέδων των παραγόντων Α και Β αντίστοιχα. Τα contrst αυτά εκτιµώνται από C i l j K j.., i,,
C p m pk. k., p, K, k όπου j.. και.k. είναι τα αθροίσµατα των παρατηρήσεων στα επίπεδα j και k των παραγόντων Α και Β αντίστοιχα. Οι συντελεστές των contrsts της αλληλεπίδρασης ΑΒ κατασκευάζονται από γινόµενα της µορφής l m pk και βέβαια αναφέρονται στους µέσους µ jk. Τέτοια contrst υπάρχουν (- )(-). Ετσι, για παράδειγµα, ένα contrst αλληλεπίδρασης το οποίο προκύπτει από το ο contrst κυρίων επιδράσεων του παράγοντα Α και το ο contrst κυρίων επιδράσεων του παράγοντα Β είναι το C j όπου jk. είναι το άθροισµα των παρατηρήσεων στο j,k συνδυασµό επιπέδων των παραγόντων Α και Β αντίστοιχα. Το άθροισµα τετραγώνων κάθε τέτοιου contrst υπολογίζεται µε το γνωστό τρόπο και είναι εύκολο να δει κανείς ότι το άθροισµα των αθροισµάτων τετραγώνων από τα (- )(-) contrst αλληλεπίδρασης είναι ίσο µε το άθροισµα τετραγώνων της αλληλεπίδρασης. Σηµειώστε ότι ακόµα και contrsts ορθογωνίων πολυωνύµων µπορούν να χρησιµοποιηθούν εδώ έτσι ώστε να διευκρινιστεί πλήρως η δοµή της αλληλεπίδρασης. Συνέχεια παραδείγµατος της µπαταρίας k Μπορούµε να έχουµε από δυο ορθογώνια contrsts για κάθε παράγοντα. Μια και τα επίπεδα του παράγοντα «θερµοκρασία» µπορούν να θεωρηθούν ποσοτικά µπορούµε να θεωρήσουµε contrsts ορθογωνίων πολυωνύµων (µέχρι ου βαθµού). Οι παρακάτω δυο πίνακες δείχνουν τους συντελεστές των contrsts για κάθε παράγοντα. Υλικό 3 C - 0 C - Θερµοκρασία 3 Γραµµικός - 0 Τετραγωνικός - Οσον αφορά το υλικό, το πρώτο contrst ελέγχει τη διαφορά των µέσων των πρώτων δυο υλικών, ενώ το δεύτερο contrst ελέγχει τη διαφορά του µέσου όρου του τρίτου υλικού και των µέσων όρων των πρώτων δυο υλικών. Οσον αφορά τα contrst των ορθογωνίων πολυωνύµων, το τετραγωνικό contrst ελέγχει τη στατιστική σηµαντικότητα του τετραγωνικού όρου ενός πολυωνύµου που προσαρµόζεται στις 3 µέσες τιµές της ζωής της µπαταρίας στα τρία επίπεδα θερµοκρασίας. Εφόσον αυτό το contrst είναι στατιστικά ασήµαντο, τότε µπορούµε να ελέγξουµε τη στατσιτική σηµαντικότητα του γραµµικού όρου µε το γραµµικό contrst. Μια και η αλληλεπίδραση των παραγόντων «υλικό» και «θερµοκρασία» βρέθηκε στατιστικά σηµαντική, αυτή θα αναλυθεί µε τη βοήθεια των contrsts. Ο αριθµός τους για την αλληλεπίδραση είναι 4. Οι συντελεστές τους σύµφωνα µε όσα έχουν ειπωθεί παραπάνω είναι: l j m k jk. 48
Θερµοκρασία 5 70 5 Γραµµικό Υλικό - 0-0 - 0-0 0 0 0 Θερµοκρασία 5 70 5 Τετραγωνικό Υλικό - - - - - 0 0 0 0 Θερµοκρασία 5 70 5 Γραµµικό Υλικό - 0-0 - 0-0 - Θερµοκρασία 5 70 5 Τετραγωνικό Υλικό - - - - - 4 - Οι συντελεστές αυτοί εφαρµόζονται στα αθροίσµατα των παρατηρήσεων σε κάθε συνδυασµό επιπέδων των δυο παραγόντων. Αυτά δίνονται στον παρακάτω πίνακα Θερµοκρασία Υλικό 5 70 5 539 9 30 63 479 98-576 583 34 ουλεύοντας µε το γνωστό τρόπο βρίσκουµε ότι C,Γραµµικό 6, C,Τετραγωνικό 448, C,Γραµµικό -66 C,Τετραγωνικό 670. Τα αθροίσµατα τετραγώνων που αντιστοιχούν στα παραπάνω contrsts είναι 6 448 ( 66) 670 84 48.3 476.08 37.36 4 4 4 4 4 36 αντίστοιχα. Ετσι, ο πίνακας ανάλυσης διασποράς γίνεται τελικά, 49
Πηγή Τύπος Βαθµοί Μέσα Αθροίσµατος Ελευθερίας Τετράγωνα F 0 P-Vlue Τύπος µπαταρίας 0683.7 534.86 7.9 0.000 Θερµοκρασία 398.7 9559.36 8.97 <0.000 Αλληλεπίδραση 963.78 4 403.45 3.56 0.086 C,Γραµµικό 84 84.5 0.73 C,Γραµµικό 476.08 476.08.9 0.5 C,Τετραγωνικό 48.30 48.30 6.9 0.09 C,Τετραγωνικό 37.36 37.36 4.6 0.04 Σφάλµα 830.75 7 675. Σύνολο 77646.97 35 Γίνεται φανερό από τον παραπάνω πίνακα ότι και τα δυο contrsts για το ο βαθµό του πολυωνύµου είναι στατιστικώς σηµαντικά κάτι το οποίο σηµαίνει ότι δεν έχει νόηµα να προχωρήσουµε στον έλεγχο των γραµµικών contrst. Το συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι έχουµε να κάνουµε µε µια εξαρτηµένη µεταβλητή η οποία µπορεί να δοµηθεί µε ένα δευτέρου βαθµού πολυώνυµο. Τα πολυώνυµο αυτά µάλιστα είναι διαφορετικά και µεταξύ του ου και ου υλικού αλλά και µεταξύ του 3 ου και των άλλων δυο. Γίνεται φανερό πως η απόκριση είναι πολύπλοκη και δεν µπορεί να δοµηθεί µε απλό τρόπο. Αν προσαρµοστεί λάθος µοντέλο? Αν τώρα υποθέσουµε (κάνοντας λάθος, όµως) ότι δεν υπάρχει αλληλεπίδραση τότε θα έχουµε το παρακάτω µοντέλο: k µ + τ + β + ε όπου i j k i,, K, j,, K, k,, K, n Κάνοντας τώρα την ανάλυση µας, χωρίς βέβαια την αλληλεπίδραση των παραγόντων και στο παράδειγµα µας θα έχουµε τον παρακάτω πίνακα NOV: Πήγες µεταβλ. Sum of squres Βαθµοί ελευθ. Men squre F 0 Υλικό () 0,6383.7 5,34.86 5.95 Θερµοκρασία () 39,8.7 9,558.36.78 rror 7,844.5 3 898. Totl 77,646.96 35 Γίνεται φανερό ότι στο άθροισµα τετραγώνων του rror συµπεριλαµβάνεται και αυτό της αλληλεπίδρασης. 50
H εκτίµηση του k είναι: ŷk i + j. Κάνοντας τώρα ένα διάγραµµα του k ˆ k µε τα ŷk θα δούµε ότι αυτό παρουσιάζει κάποια ηµιτονοειδή µορφή υποδεικνύοντας ότι το µοντέλο για τα δεδοµένα πρέπει να διορθωθεί. Εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου Η εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου µπορεί να γίνει µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Έτσι, αφού το µοντέλο έχει + α + + α παραµέτρους προς εκτίµηση (το είναι για τον σταθερό όρο, το α για τους i παράγοντες του τύπου της µπαταρίας, το για τους j παράγοντες της θερµοκρασίας και το α για την αλληλεπίδραση των α,) θα έχουµε και + α + + α κανονικές εξισώσεις. Χρησιµοποιώντας τη γνωστή µέθοδο i αποδεικνύεται ότι έχουµε τις παρακάτω κανονικές εξισώσεις µ: α µ + n τi + n β j + n ( τβ) n ˆ i ˆ j τ i : n µ ˆ + nτ + n βˆ + n ( τβ) α i ˆ j j j β j : n µ ˆ + n τˆ + nˆ β + n ( τβ) i j i i α i j i j, i,,, α, j,,, i,,..., (τβ) : n µ ˆ + nˆ τi + nˆ β j + n( τβ) j,,..., Καθώς προσπαθούµε να επιλύσουµε τις παραπάνω κανονικές εξισώσεις παρατηρούµε πως οι πρώτες α εξισώσεις στη δεύτερη εξίσωση και οι πρώτες εξισώσεις στην Τρίτη εξίσωση αθροίζουν στην πρώτη εξίσωση. Εξάλλου, αθροίζοντας την τέταρτη εξίσωση για όλα τα j και για κάποιο σταθερό i παίρνουµε τη δεύτερη εξίσωση ενώ αθροίζοντας την ίδια για όλα τα i µε σταθερό το j παίρνουµε την τρίτη εξίσωση. Συνεπώς, παρατηρούµε πως υπάρχουν α + + γραµµικές εξαρτήσεις στο παραπάνω σύστηµα εξισώσεων και εποµένως δεν θα έχει µοναδική λύση. Για να έχουµε λύση, θέτουµε τους περιορισµούς: τˆ i 0 α i j i j ( τβ ) 0 ( ) 0 τβ βˆ j 0 5 j,,..., i,,..., Με τους παραπάνω περιορισµούς τώρα έχουµε τη επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε λύσεις τις µ ˆ τˆ i i i,,..., βˆ j j j,,..., i,,..., ( τβ) i j + j,,...,
Αποδεικνύεται επίσης ότι η εκτιµηθείσα τιµή της k υπολογίζεται ως ŷ µ ˆ + τˆ + βˆ + τβ k i j ( ) + ( i ) + ( j )( i j + ) ηλαδή, η k παρατήρηση του κελιού εκτιµάται από το µέσο των n παρατηρήσεων σε εκείνο το κελί. Μέθοδοι επιλογής του δείγµατος n. Με την βοήθεια των χαρακτηριστικών καµπυλών είναι δυνατόν να υπολογίσουµε το αριθµό των επαναλήψεων που θα έχει το πείραµα µας (n) για ανάλυση κατά δύο παράγοντες. Ένας πολύ αποτελεσµατικός τρόπος χρήσης των χαρακτηριστικών καµπυλών, είναι να βρούµε την ελάχιστη τιµή του Φ αντίστοιχα µε µια καθορισµένη τιµή της διαφοράς µεταξύ δύο επιπέδων. 5
Για παράδειγµα είναι η διαφορά των µέσων µεταξύ δύο γραµµών είναι D τότε η ελάχιστη τιµή του Φ είναι: nd Φ σ ενώ όταν θέλουµε η διαφορά των µέσων µεταξύ δύο στηλών να είναι D τότε η ελάχιστη τιµή του Φ είναι: nd Φ σ Τέλος αν η διαφορά µεταξύ της αλληλεπίδρασης των παραγόντων Α, Β είναι D τότε η ελάχιστη τιµή του Φ είναι: Φ σ nd [( )( ) + ] Με την χρήση βέβαια του παρακάτω πίνακα θα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε πίνακες και τις χαρακτηριστικές καµπύλες που είπαµε στην αρχή: Πίνακας. Παράµετροι για τους πίνακες που χρησιµοποιούµε µε τις χαρακτηριστικές καµπύλες. Fctor (Παράγοντες) Φ Βαθµούς ελευθερίας Αριθµητής για τους ν ) Α Β ΑΒ σ n τ n i σ i ( β j j σ ( ) i j ( )( ) n τβ [( )( ) + ] Παρονοµαστής για τους βαθµούς ελευθερίας. ( ν ) (n ) (n ) (n ) Έστω για παράδειγµα ότι θέλω να απορρίπτων την µηδενική υπόθεση µου µε µεγάλη πιθανότητα όταν η διαφορά των µέσων ανάµεσα σε δύο στήλες είναι µεγαλύτερη του 40 και µια διακύµανση της απαντητικής µεταβλητής µας που την θέτουµε εµείς ίση µε 5 τότε παίρνουµε µια τιµή για το Φ ~n. Μια παρατήρηση σε κάθε κελί 53
Είναι δυνατόν για διάφορους λόγους να έχουµε αριθµό επαναλήψεων ίσο µε ένα ( n ). Το µοντέλο για τα δεδοµένα έχει ως εξής: i,, K, µ + τi + β j + ( τβ) + ε όπου j,, K, Το σ εδώ δεν µπορεί να εκτιµηθεί εκτός αν υποθέσουµε ότι δεν υπάρχει αλληλεπίδραση οπότε το άθροισµα τετραγώνων για την αλληλεπίδραση παίρνει τη θέση του αθροίσµατος τετραγώνων για το σφάλµα. ηλαδή, i,, K, µ + τi + β j + ε όπου j,, K, Αν το µοντέλο είναι κατάλληλο (πίνακας.) τότε το residul είναι ένας αµερόληπτος εκτιµητής του σ και τότε µπορεί να γίνουν τα ανάλογα F tests για να ελέγξουµε διαφορές. Πίνακας. Πηγή µεταβλητότητας Γραµµές (Α) Στήλες (Β) Sum of squres i j i j α Βαθµοί ελευθερίας Men squres - - Ε[Men squres) τi σ + β j σ + Residul ( ή ) ιαφορά (-)(-) residul σ Totl i j - Άρα αυτό που χρειαζόµαστε είναι να δούµε αν όντως υπάρχει αλληλεπίδραση (interction). Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε το τεστ του Tuke. Τεστ του Tuke τ i Υποθέτουµε ότι ισχύει :( τβ ) γ τ i β j, όπου γ είναι παράµετρος προς εκτίµηση και τα τ i και β j είναι η επιδράσεις των παραγόντων Α και Β εκτιµώµενοι από τα τˆ i i και βˆ j j. Το άθροισµα τετραγώνων που οφείλεται στον παράγοντα είναι N i j + i j + µε ένα βαθµό ελευθερίας. Επίσης: 54
error, µε {(-)(-)-} βαθµούς ελευθερίας. residul N Για να ελέγξουµε αν υπάρχει αλληλεπίδραση αυτής της µορφής: F 0 error N [( )( ) ] Αν F0 > Fα,,{( α)() } τότε η µηδενική υπόθεση για τη µη ύπαρξη αλληλεπίδρασης απορρίπτεται. 55
Γενίκευση των Παραγοντικών Πειραµάτων Τα αποτελέσµατα που βγάλαµε σχετικά µε δύο παράγοντες, είναι φυσιολογικό να µπορούν να µπορούν να γενικευθούν και σε περισσότερους παράγοντες καθώς και παραπάνω επίπεδα. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε τρεις παράγοντες Α Β C, µε, και c επίπεδα αντίστοιχα και το πείραµα εκτελείται µε n επαναλήψεις. To µοντέλο για τα δεδοµένα θα είναι µ + τ + β + γ + τβ + τγ + βγ + τβγ + ε όπου kl i j k ( ) ( ) ik ( ) jk ( ) k kl i,, K, j,, K, k,, K,c l,, K,n Τα αθροίσµατα τετραγώνων προκύπτουν εύκολα ως γενίκευση των προηγούµενων T C c k i j k l cn cn n i j c k kl i j k cn cn cn cn Τώρα όσον αφορά τα αθροίσµατα τετραγώνων για τις αλληλεπιδράσεις θα έχουµε: cn n i j C n c i k C n c k j C i j k cn sutotls() i k C sutotls(c) cn jk C sutotls(c) c cn sutotls(c) T sutotls(c) k C C C cn C C C C C 56
Ο πίνακας ανάλυσης διακύµανσης θα έχει ως εξής: Πηγή µεταβλ. C C C C rror Totl Sum of Βαθµοί Men squres ελευθερίας squre - - C c- C (α-)(-) C (α-)(c-) C C (-)(c-) C C (α-)(- )(c-) C αc(n-) σ Αcn- T cn τ σ + cn j σ + n γ k σ + c [] F 0 i cn ( τβ) + ( )( ) σ n ( τγ) ik + ( )(c ) σ n ( βγ) + ( )(c ) σ jk n ( τβγ) k + ( )( )(c ) σ F 0 F 0 F 0 C F 0 F 0 F 0 C C F 0 C Με βάση τον πίνακα θα µπορούµε να κάνουµε τα διάφορα τεστ που µας ενδιαφέρουν για να ελέγξουµε τις διαφορές. Η διαδικασία είναι όµοια όπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις της ανάλυσης διακύµανσης. Παράδειγµα Μία βιοµηχανία παρασκευής αεριούχων ποτών ενδιαφέρεται να ελέγξει την επίδραση : του ποσοστού ανθρακικού (Α) που εισέρχεται στο µπουκάλι, της πίεσης που ασκείται κατά την εισαγωγή του ποτού (Β) και του αριθµού των µπουκαλιών που γεµίζονται ανά λεπτό (Γ), στη στάθµη του ποτού µέσα στο µπουκάλι. Εδώ θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι στόχος της βιοµηχανίας δεν είναι η επίτευξη της όσο το δυνατόν υψηλότερης στάθµης αλλά µιας συγκεκριµένης στάθµης αρκετά χαµηλότερα από το στόµιο του µπουκαλιού. Παρακάτω δίνεται ο πίνακας των παρατηρήσεων όπου, όπως είναι φανερό, έχουµε δύο παρατηρήσεις για κάθε συνδυασµό επιπέδων των παραπάνω τριών παραγόντων. 57
Πίεση (Β) 5psi 30psi Ποσοστό Ταχύτητα παραγωγής(c) Ταχύτητα παραγωγής(c) ανθρακικού (Α) 00 50 00 50 i... 0-3 - - -4-0 0 0 6 0 3 5 4 5 7 7 0 59 4 6 9.jk. 6 5 0 34 75....j.. 54 Ο πίνακας της NOV που ακολουθεί δείχνει ότι και οι τρεις παράγοντες επηρεάζουν στατιστικά σηµαντικά την στάθµη, ενώ από τις αλληλεπιδράσεις η µόνη που ενδεχοµένως να υπάρχει είναι αυτή µεταξύ των Α και Β. Source of Vrition Sum of Squres Degrees of Freedom Men Squre F 0 P-Vlue Ποςοςτό ανθρακικού (Α) 5.750 6.375 78.4 <0.000 Πίεςη (Β) 45.375 45.375 64.059 <0.000 Ταχύτητα Παραγωγής (Γ).04.04 3.8 0.000 ΑΒ 5.50.65 3.706 0.0558 ΑC 0.583 0.9 0.4 0.673 C.04.04.47 0.485 C.083 0.54 0.765 0.4867 rror 8.500 0.708 Totl 336.65 3 Παρακάτω έχουµε και τα διαγράµµατα των τριών παραγόντων, όπου παρατηρούµε µία θετική επίδραση στην στάθµη καθώς µεταφερόµαστε σε υψηλότερα επίπεδα, καθώς και το διάγραµµα µε την αλληλεπίδραση ΑΒ, όπου παρατηρούµε ότι πράγµατι η αλληλεπίδραση ΑΒ φαίνεται να είναι πολύ µικρή. Τέλος, θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι στα παρακάτω διαγράµµατα και σε κάθε επίπεδο παράγοντα έχουµε αντιστοιχίσει τον µέσο των παρατηρήσεων στο αντίστοιχο επίπεδο. 58
8,00 Μέσος όρος στάθµης 6,00 4,00,00 0,00 -,00 0 4 Ποσοστό ανθρακικού (Α) 6,00 Μέσος όρος στάθµης 4,00,00 0,00 -,00 5 30 Πίεση (Β) 59
6,00 Μέσος όρος στάθµης 4,00,00 0,00 -,00 00 50 Ταχύτητα παραγωγής (c) 0,00 Μέσος όρος στάθµης 8,00 6,00 4,00,00 0,00 Β5psi 30psi -,00 Α 0 Αλληλεπίδραση ΑΒ Βlocking στον Παραγοντικό Σχεδιασµό Είδαµε προηγουµένως τον παραγοντικό σχεδιασµό στα πλαίσια ενός πλήρους τυχαιοποιηµένου πειράµατος. Μερικές φορές όµως η παρουσία ενός ενοχλητικού παράγοντα (nuisnce fctor) µπορεί να µην επιτρέπει την τυχαιοποίηση στο σύνολο των παραγόντων, αλλά να απαιτεί το πείραµα να τρέξει µε την µορφή lock. Τότε χρησιµοποιούµε ένα νέο παραγοντικό µοντέλο στο οποίο ενσωµατώνεται και η διαδικασία του locking. 60
Περιγραφή µοντέλου Έστω ένα παραγοντικό πείραµα µε δύο παράγοντες (Α και Β) και n επαναλήψεις. Το µοντέλο για ένα τέτοιο πείραµα είναι, όπως γνωρίζουµε, k µ + τ i + β j + ( τβ) + ε k i,,..., j,,..., k,,..., n Υποθέτουµε τώρα ότι οι πειραµατικές µονάδες που θα χρησιµοποιηθούν για ένα τέτοιο πείραµα είναι αρκετά µεγάλες για να µας δώσουν (η κάθε µια) α παρατηρήσεις αλλά όχι αρκετά µεγάλες για να επιτρέψουν όλους τους αn συνδυασµούς. Στην περίπτωση αυτή ένας εναλλακτικός σχεδιασµός είναι να τρέξουµε κάθε µια από τις n επαναλήψεις χρησιµοποιώντας ένα ξεχωριστό lock ( συνολικά θα χρησιµοποιήσουµε n locks). Το µοντέλο σε αυτή την περίπτωση θα έχει την µορφή : k µ + τ i + β j + ( τβ) + δ k + ε k i,,..., j,,..., k,,..., n όπου τ i, β j είναι οι αποκλίσεις των µέσων των δύο παραγόντων από τον συνολικό µέσο µ, και δ κ είναι η επίδραση του κ lock. Παρατηρήσεις : Η αλληλεπίδραση ανάµεσα στα locks και στα tretments υποθέτουµε ότι είναι αµελητέα. Εάν κάτι τέτοιο δεν ισχύει, τότε δεν µπορούµε να την διαχωρίσουµε από το και κατά συνέπεια θα οδηγηθούµε σε λανθασµένα συµπεράσµατα. Μέσα σε κάθε lock υπάρχει πλήρης τυχαιοποίηση όσον αφορά τη σειρά µε την οποία θα πάρουµε τους διάφορους συνδυασµούς των επιπέδων των παραγόντων. Παρακάτω έχουµε και τον αντίστοιχο πίνακα NOV Source of Vrition locks Degrees of Sum of Squres Freedom k n n- n n k i α- n i j - n j xpected Men Squre F 0 σ + σ δ n τi σ + n β j σ + 6
6 i j n n (α-)(-) ( ) ( )( ) n τβ + σ rror Sustrction (α-)(n- ) σ Totl n i j k k αn-
63