ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5

2 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από το δείγμα με ι=,,, δείγμα,,,, δείγμα,,,, ά δείγμα,,,, Πειραματικό σχέδιο Η : μ = μ = = μ

3 Δηλ: οι μέσες τιμές των πληθυσμών από τους οποίους λαμβάνονται τα εν λόγω δείγματα είναι ίσες μεταξύ τους Θεωρούμε ότι = όπου : είναι το μέγεθος του δείγματος Θα έχουμε ότι για την παρατήρηση που γράφεται ως,,,,;,,, όπου οι τμ ε είναι ανεξάρτητες και ε ~ Ν(,σ ) με σ >

4 Αν θέσουμε: X,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

5 Αν θέσουμε για τα διανύσματα όλων των παρατηρήσεων,,,,,,,,,,,, Για κάθε =,,, έστω μ η κοινή μέση τιμή των Υ =,,, τα οποία είναι ισόνομα Έτσι μπορούμε να γράψουμε το μοντέλο μας ως: E E ε ε X x

6 Η τάξη του πίνακα Χ είναι ανεξάρτητοι γραμμικοί συνδυασμοί E X x Επομένως μπορούμε να παρατηρήσουμε μέσω του Ε(Υ) τα Υ ως: Xb ε X b,,, X,, a

7 Επειδή ο πίνακας Χ είναι ελλιπούς τάξης (+ στήλες είναι γραμμικά εξαρτημένες), οι παράμετροι μ, α, =,,, δεν καθορίζονται μονοσήμαντα από την σχέση Ε(Υ) Για τον λόγο αυτό θα πρέπει να υπάρχουν περιορισμοί όπως Άρα ισχύει: a Το μ έχει την ερμηνεία του συνολικού μέσου όρου, ενώ τα α δείχνουν πόσο κάθε μ διαφέρει από το συνολικό μέσο όρο Τα α ονομάζονται επίδραση του δείγματος

8 Τότε το παραπάνω μοντέλο μπορεί να πάρει την μορφή X () όπου η μήτρα Χ είναι τάξεως, αφού καμία στήλη τη; Δεν μπορεί να είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών τ(χ)= Για τα ε παρατηρούμε ότι ε ~ Ν (,σ I ) Μήτρα διακυμάνσεων-συνδιακυμάνσεων Από τα παραπάνω έχουμε το κανονικό κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα με τ(χ)= όπου Υ ~ Ν (Χβ,σ I )

9 H υπόθεση Η μπορεί να γραφεί: 3,,,

10 Γραμμικοί συνδυασμοί: l l l l l l

11 Τα διανύσματα Άρα τα διανύσματα Μοντελοποίηση είναι ανεξάρτητα είναι ανεξάρτητες εκτιμήσιμες συναρτήσεις Γραμμικές εκτιμήσιμες συναρτήσεις Πρόταση: Δίνεται το υπόδειγμα, l l,, προτάσεις είναι ισοδύναμες: l Τότε οι παρακάτω Η γραμμική συνάρτηση είναι εκτιμήσιμη Το διάνυσμα l x είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών της Χ Ο γραμμικός συνδυασμός δίνεται από: l, l,, l X l l X x x,

12 Αν θέσουμε x l l l C l l l Cμ

13 Έλεγχος υποθέσεων Cμ= Επιλέγουμε επίπεδο σημαντικότητας α Επιλύουμε ως προς x την εξίσωση P F x a όπου F ~F -, - Υπολογίζουμε την ποσότητα F F MSTr MSE s s b w ~ F( ),( ) F μέσο άθροισμα των τετραγώνων των επεμβάσεων (MST r) Μέσοάθροισμα τετραγώνων σφάλματος (MSE )

14 Η ποσότητα Μοντελοποίηση F m X X m X X C Αν F >x τότε απορρίπτουμε την υπόθεση Η Αν F <x τότε δεν απορρίπτουμε την υπόθεση Η όπου Cμ= ερμηνεύεται ως β= άρα οι παράμετροι β μέσα στο γραμμικό μοντέλο εξηγούνται από γραμμικούς συνδυασμούς των μέσων κάθε δείγματος

15 y y y y SSE SST MSE MST F r r F y y y y

16 Έχουμε την ποσότητα όπου είναι η λύση του συστήματος των κανονικών εξισώσεων ( ) Αν θέσουμε X X,,, X X S S

17 Σύστημα κανονικών εξισώσεων: S S S

18 Εκτιμήσεις

19 Επομένως η Μοντελοποίηση παίρνει την μορφή Άθροισμα τετραγώνων των αποκλίσεων Άθροισμα τετραγώνων μέσα στα δείγματα

20 Ας θέσουμε μ την κοινή τιμή των μ, =,,, κάτω από την Η, δηλ: μ = μ = = μ = μ ή β = β = = β = β Έχουμε την ποσότητα όπου είναι η ελάχιστων τετραγώνων εκτιμήτρια της παραμέτρου β κάτω από τους περιορισμούς Cμ= (Cβ=) Αν θέσουμε m X X C C X X S S

21 Σύστημα κανονικών εξισώσεων: S S S

22 Εκτιμήσεις,,, Εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων

23 Επομένως η Μοντελοποίηση παίρνει την μορφή Ολικό άθροισμα τετραγώνων Άθροισμα τετραγώνων εκτός δειγμάτων

24 Ως προς τις μορφές των μέσων έχουμε Μεγάλος μέσος Μικρός μέσος

25 Μπορούμε να γράψουμε:

26 Μπορούμε να γράψουμε:

27 Πίνακας Ανάλυσης Διακύμανσης Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερία ς Μέσο άθροισμα τετραγώνων F Απόκλιση από την Η (μεταξύ δειγμάτων) Κατάλοιπα (εντός δειγμάτων) - - Σύνολο - F

28 Απλοποιήσεις Απόδειξη

29 Απλοποιήσεις Απόδειξη

30 Απλοποιήσεις

31 Πίνακας Υπολογισμού Διακύμανσης # Δείγμα Δείγμα παρατη ρήσεις Υ, Υ,, Υ Υ, Υ,, Υ Άθροισμα παρατηρ ήσεων Μέσο τετραγωνικό άθροισμα Άθροισμα τετραγώνων Μέση τιμή Υ, Υ,, Υ Σύνολο

32 Παραδείγματα Διαθέτουμε 3 είδη χοιριδίων Μελετάμε αν το είδος της τροφής επιδρά στην αύξηση του βάρους Ένα σύνολο χοιριδίων χωριστήκαν τυχαία σε 3 ισοπληθείς ομάδες και σε κάθε μια ομάδα δόθηκε ένα είδος τροφής για ένα χρονικό διάστημα στο τέλος του οποίου μετρήθηκε η αύξηση του βάρους καθενός από τα χοιρίδια

33 Ομάδα χοιριδίων Παραδείγματα Αύξηση βάρους Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις είναι κανονικές, ανεξάρτητες και προέρχονται από κανονικό πληθυσμό Θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση της ισότητας των μέσων έναντι της εναλλακτικής

34 Ομάδα χοιριδί ων Παραδείγματα Σύνολο

35 Παραδείγματα

36 Παραδείγματα Πίνακας Ανάλυσης Διακύμανσης Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερία ς Μέσο άθροισμα τετραγώνων F Απόκλιση από την Η (μεταξύ δειγμάτων) Κατάλοιπα (εντός δειγμάτων) Σύνολο 574 Με επίπεδο σημαντικότητας α=5,παρατηρούμε ότι η τιμή της συνάρτησης F,9,5 =46 46>583 άρα αποδέχομαι την αρχική υπόθεση Η

37 Παραδείγματα ομάδες Μεταβλητή Βάρος χοιριδίων

38 Παραδείγματα

39 p>5, άρα δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά Αποδέχομαι την Η κανονική κατανομή Παραδείγματα

40 Παραδείγματα

41 Παραδείγματα Ανάλυση διακύμανσης έλεγχος μέσων Περιγραφικά στοιχεία των ομάδων

42 Παραδείγματα έλεγχος υποθέσεων Η p=577>5 Αποδέχομαι την Η Δεν διαφέρουν σημαντικά οι μέσοι