1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων."

Transcript

1 .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης πληροφορίας σχετικά µε τη λύση. Εκτιµήσεις των παραµέτρων. Η απλούστερη µορφή που µπορεί να πάρει η λύση ενός αντίστροφου προβλήµατος είναι µε συγκεκριµένα αριθµητικά στοιχεία να αποτελούν το διάνυσµα m των προς ανάκτηση παραµέτρων. Για παράδειγµα est m = [.,3, 4,...5] T. Συνήθως οι εκτιµήσεις αυτής της µορφής είναι οι πλέον χρήσιµες ως λύσεις ενός αντίστροφου προβλήµατος. εν δίνουν όµως πρόσθετη πληροφορία για το ενδεχόµενο οι εκτιµήσεις αυτές να είναι προσεγγιστικές ή να έχουν µεγάλο περιθώριο ασάφειας. Οριακές τιµές Εάν είναι δυνατή η εκτίµηση ακραίων τιµών είτε χρησιµοποιώντας απόλυτη είτε πιθανοθεωρητική έννοια, τότε µπορεί η λύση του αντίστροφου προβλήµατος να δίδεται στη µορφή π.χ.. m.3. Εάν η θεώρηση είναι πιθανοθεωρητική µπορεί η ανωτέρω έκφραση να σηµαίνει ότι η πιθανότητα να βρίσκεται η παράµετρος m ανάµεσα στις δύο παρατιθέµενες τιµές είναι συγκεκριµένη. Έτσι µπορεί να γράφοµε est : m =.± 0. και να εννοούµε ότι η πιθανότητα η παράµετρος m να βρίσκεται ανάµεσα στο. και στο.3 είναι 95 %. Κατανοµές Πιθανοτήτων Εάν θεωρήσοµε ότι οι παράµετροι είναι τυχαίες µεταβλητές και έχοµε τη δυνατότητα να υπολογίσοµε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (δείτε επόµενο κεφάλαιο), για κάθε παράµετρο, µπορεί να δώσουµε τις σχετικές συναρτήσεις ως λύσεις του αντίστροφου προβλήµατος. Στην πράξη αυτό δεν είναι πολύ βολικό γιατί µε εξαίρεση κατανοµές που παρουσιάζουν χαρακτηριστικές µοναδικές κορυφές η πληροφορία που δίνει η κατανοµή δεν είναι άµεσα αξιοποιήσιµη στις εφαρµογές. Σταθµισµένες µέσες τιµές παραµέτρων Σε πολλές περιπτώσεις, ένα αντίστροφο πρόβληµα µπορεί να δώσει καλύτερες απαντήσεις για συνδυασµούς (π.χ. γραµµικούς) παραµέτρων, οι οποίες µπορεί να υπολογιστούν ευκολότερα αλλά και να έχουν νόηµα για τις εφαρµογές. Μπορεί για παράδειγµα εάν το διάνυσµα των παραµέτρων είναι το m = [ m, m ] T, αντί να υπολογιστεί χωριστά κάθε παράµετρος, να είναι ευκολότερο να υπολογιστεί µια µέση τιµή, για παράδειγµα της παράστασης m = 0.m + 0.8m. Το αν αυτή είναι χρήσιµη πληροφορία ή όχι εξαρτάται από την εφαρµογή. Συνήθως αυτή την περίπτωση την

2 αντιµετωπίζοµε όταν οι παράµετροι αφορούν διακριτοποιήσεις συνεχών παραµέτρων προκειµένου να διατυπωθεί ένα διακριτό αντίστροφο πρόβληµα.

3 . ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Στη συνέχεια να αναφερθούµε σε βασικές έννοιες από τη θεωρία πιθανοτήτων που µας είναι ιδιαίτερα χρήσιµες στην περίπτωση που τα δεδοµένα µας και συνακόλουθα και οι προς ανάκτηση παράµετροι θεωρηθούν τυχαίες µεταβλητές. Υπάρχει συγκεκριµένος λόγος γι αυτή τη θεώρηση που έχει να κάνει µε το γεγονός ότι σε µία πραγµατική εφαρµογή, οι µετρήσεις (που δίδουν τα δεδοµένα σε ένα αντίστροφο πρόβληµα) γίνονται µε λάθη ή σε ένα περιβάλλον θορύβου, µε αποτέλεσµα η τιµή της µέτρησης να µπορεί να είναι διαφορετική εάν το πείραµα επαναληφθεί αµέσως. Εποµένως η τιµή της µέτρησης µπορεί να θεωρηθεί τυχαία µεταβλητή (ranom variable). Οι ιδιότητες της τυχαίας µεταβλητής συνήθως είναι γνωστές ποιοτικά, αλλά οι συγκεκριµένες µετρήσεις που προκύπτουν θεωρούνται ως «πραγµατοποιήσεις» (realizations) της τυχαίας µεταβλητής.. Κατανομή πιθανότητας Εάν είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή, η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας P( ) µας δίδει την πιθανότητα, η πραγµατοποίηση της τυχαίας µεταβλητής να πάρει µία τιµή στην γειτονιά του ορίσµατός της, δηλαδή ανάµεσα στο και στο + (Σχήµα.) µέσω του γινοµένου P( ). Η πιθανότητα, η µεταβλητή να πάρει τιµή ανάµεσα στο a και στο b είναι b P( ) ενώ υπάρχει πλήρης βεβαιότητα ότι η µεταβλητή θα πάρει τιµή ανάµεσα a στο και στο +, οπότε έχοµε : + P( ) = (.) Η µέση τιµή (ή αναµενόµενη τιµή) για µία τυχαία µεταβλητή η οποία χαρακτηρίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας P( ) δίδεται από τη σχέση : + E( ) = = P( ) (.) Εάν η τυχαία µεταβλητή είναι διακριτή µε Ν δυνατές πραγµατοποιήσεις, κάθε µία από τις οποίες έχει πιθανότητα P i, η ανωτέρω µέση τιµή δίδεται από την έκφραση : N µ = = ipi i= (.3) 3

4 Η διασπορά (variance) µια συνεχούς τυχαίας µεταβλητής, µας δίδει ποσοτικά το κατά πόσον η κατανοµή πιθανότητας είναι ευρεία ή στενή, γύρω από τη µέση της τιµή. Η σχετική έκφραση είναι : + σ = Var( ) = ( ) P( ) (.4) Το εύρος της κατανοµής γύρω από τη µέση τιµή, δίδεται από το σ. Για την περίπτωση της διακριτής τυχαίας µεταβλητής, η αντίστοιχη έκφραση είναι : N Var( ) = ( i ) Pi i= (.5). Συσχέτιση δεδομένων Εάν σε ένα πείραµα έχοµε περισσότερα από ένα δεδοµένα τα οποία αντιµετωπίζονται ως τυχαίες µεταβλητές, αποκτά ενδιαφέρον η συσχέτιση των µεταβλητών µεταξύ τους. Ορίζουµε στην περίπτωση αυτή την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint istribution) P( ) = P(,,..., N ), που δίνει τη πιθανότητα η πρώτη µεταβλητή να πάρει τιµή στη γειτονιά του, η δεύτερη στη γειτονιά του κ.λ.π.. Εάν τα δεδοµένα είναι ανεξάρτητα τότε µόνο µπορούµε να πούµε ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ίση µε το γινόµενο των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των µεταβλητών ( ) ( ) ( ) ( ) (.6) P = P P P N Σε άλλες περιπτώσεις πάντως τα δεδοµένα συσχετίζονται και αποκτά ιδιαίτερη σηµασία η έκφραση ενός µέτρου συσχέτισης µεταξύ τους. Εάν θεωρήσοµε λοιπόν την περίπτωση συσχέτισης δύο τυχαίων µεταβλητών (συνεχών) και, ορίζεται η συνδιακύµανση (covariance) από τη σχέση : + + cov(, ) =... [ ][ ] P( ) N (.7) Προσέξτε ότι οι τυχαίες µεταβλητές και είναι δύο µόνο από τις µεταβλητές (δεδοµένα) που αποτελούν το διάνυσµα. Για ένα διάνυσµα, Ν τυχαίων αλλά συνεχών µεταβλητών, ορίζοµε το διάνυσµα των µέσων τιµών από τη σχέση = NiP( ) (.8) i 4

5 και τον πίνακα συνδιακύµανσης από τη σχέση : [cov ] = [ ][ ] P ( ) (.9) ij N i i j Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα, αντιπροσωπεύουν το εύρος της κατανοµής της κάθε µεταβλητής (διακύµανση), ενώ τα στοιχεία εκτός διαγωνίου αντιπροσωπεύουν το βαθµό συσχέτισης των αντίστοιχων µεταβλητών. Στο επόµενο σχήµα βλέποµε εποπτικά καµπύλες ίσης κατανοµής πιθανότητας για δύο τυχαίες µεταβλητές και. Στο σχήµα φαίνονται οι µέσες τιµές και οι διακυµάνσεις των δύο µεταβλητών. Η γωνία θ είναι ένα µέτρο της συσχέτισης των δύο µεταβλητών και σχετίζεται µε τη συνδιακύµανση. j Σχήµα. Καµπύλες ίσης κατανοµής πιθανότητας P(, ) για δύο τυχαίες µεταβλητές Στο επόµενο σχήµα. βλέποµε τρία διαγράµµατα στα οποία εµφανίζονται και πάλι καµπύλες ίσης κατανοµής πιθανότητας για δύο τυχαίες µεταβλητές Το πρώτο διάγραµµα αντιπροσωπεύει ουσιαστικά µη συσχετιζόµενες µεταβλητές. Μεγάλες τιµές της µιας από αυτές µπορεί να συσχετίζονται µε µικρές ή µεγάλες τιµές της άλλης µε ίδια πιθανότητα. Αντίθετα το δεύτερο διάγραµµα αντιπροσωπεύει µεταβλητές που συσχετίζονται θετικά. ηλαδή µεγάλες τιµές της µιας µεταβλητής έχουν µεγάλη πιθανότητα να συσχετίζονται µε µεγάλες τιµές της δεύτερης µεταβλητής και µικρές τιµές της µια µε µικρές τιµές της άλλης. Με την ίδια λογική το τρίτο διάγραµµα αντιπροσωπεύει αρνητική συσχέτιση. 5

6 Σχήµα. Καµπύλες ίσης ίσης κατανοµής πιθανότητας P(, ) για δύο τυχαίες µεταβλητές που είναι α) ασυσχέτιστες, β) θετικά και γ) αρνητικά συσχετιζόµενες..3 Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών est εδοµένου ότι στα αντίστροφα προβλήµατα οι προς εκτίµηση παράµετροι m σχετίζονται µε τα δεδοµένα, όταν τα τελευταία είναι τυχαίες µεταβλητές, αντίστοιχα και οι παράµετροι µπορούν να θεωρηθούν τυχαίες µεταβλητές και συνεπώς µπορεί να est οριστούν κατανοµές πιθανοτήτων και γι αυτές P( m ). Σηµειώνεται εν προκειµένω ότι οι πραγµατικές παράµετροι µπορεί να είναι τυχαίες µεταβλητές ή ντετερµινιστικά µεγέθη ανάλογα µε το πρόβληµα. Οι εκτιµήσεις τους πάντως είναι τυχαίες µεταβλητές τη στιγµή που έτσι θεωρούνται οι µετρήσεις. Όταν λοιπόν οι προς ανάκτηση παράµετροι θεωρηθούν συναρτήσεις των δεδοµένων, µπορεί από τα στατιστικά χαρακτηριστικά των µετρήσεων, να προκύψουν τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά των παραµέτρων. Η διαδικασία µπορεί να µην είναι απλή είναι όµως άµεση. Θα εξετάσοµε εδώ ένα απλό πρόβληµα. Υποθέτοµε ότι έχοµε δύο µετρήσεις και και ότι η προς ανάκτηση παράµετρος είναι το άθροισµά τους. Εποµένως ισχύει m= +. Ας υποθέσοµε επίσης ότι οι µετρήσεις µας (δεδοµένα), έχουν ίση πιθανότητα να πάρουν τιµές ανάµεσα στο και στο (Σχήµα.3). Για να υπολογίσοµε την πιθανότητα το άθροισµα των δύο µεταβλητών να πάρει κάποια τιµή, παίρνοµε στο επίπεδο, καµπύλες ίσης τιµής του αθροίσµατος και ολοκληρώνουµε πάνω στις καµπύλες. Εδώ οι καµπύλες είναι ευθείες (διάγραµµα c) και ο υπολογισµός είναι εύκολος οδηγώντας µας στο διάγραµµα που αντιπροσωπεύει την κατανοµή πιθανότητας του αθροίσµατος και βλέποµε ότι είναι ένα τρίγωνο µε βάση ανάµεσα στο και το. 6

7 Σχήµα.3 Κατανοµές πιθανότητας για δύο µεταβλητές και και για το άθροισµά τους m= + Ο υπολογισµός που κάναµε παραπάνω µπορεί να είναι δύσκολος σε γενικές περιπτώσεις, όµως µπορεί να δειχθεί ότι εάν δεδοµένα και παράµετροι συσχετίζονται γραµµικά µέσω της σχέσης : m = M + v (.0) όπου Μ και v είναι κάποιος πίνακας και διάνυσµα αντίστοιχα, η µέση τιµή και η συνδιακύµανση των παραµέτρων υπολογίζονται άµεσα από τις σχέσεις : και m = M + v (.) T [cov m] = M[cov ] M (.) Άσκηση : Να υπολογιστούν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της παραµέτρου mπου είναι η µέση τιµή µιας οµάδας δεδοµένων : 7 N m= / N = (/ N)[,,...] για τα οποία γνωρίζοµε ότι έχουν όλα ίδια µέση τιµή και διακύµανση Λύση : Με βάση τη σχέση.0, θα ισχύει : M = [,,...,] / N, v = 0. Από τη σχέση. έχοµε : m = M + v = και i= i σ T var( m) = [cov ] =σ / M M N. Παρατηρούµε ότι η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης που είναι ένα µέτρο του εύρους της διασποράς των πιθανών τιµών της παραµέτρου m γύρω από τη µέση τιµή, και εποµένως της πιθανότητας ένα πείραµα να δώσει τιµή κοντά στη µέση, είναι / ανάλογη του N που σηµαίνει ότι η ακρίβεια του υπολογισµού του µέσου µιας οµάδας µετρήσεων, αυξάνει πολύ αργά σε σχέση µε την αύξηση του αριθµού των µετρήσεων.

8 .4 Κανονικές κατανομές Μια τυχαία µεταβλητή θα λέγεται κανονική (Normal ή Gaussian) µε παραµέτρους µ και σ αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της δίδεται από τη σχέση : ( µ ) P( ) = exp πσ σ (.3) όπου σ = Var( ) και µ=. Η κανονική κατανοµή εµφανίζεται στις περισσότερες εφαρµογές καθώς είναι και η οριακή κατανοµή για ένα άθροισµα τυχαίων µεταβλητών, βάσει του κεντρικού οριακού θεωρήµατος. Για προβλήµατα ανάκτησης παραµέτρων από µετρήσεις, όταν οι µετρήσεις γίνονται σε περιβάλλον θορύβου που προέρχεται από πολλές πηγές, η κατανοµή τους τείνει στην µορφή της κανονικής κατανοµής. Στο Σχήµα.4 φαίνεται το διάγραµµα για διαφορετικές κανονικές κατανοµές. Για τρείς από αυτές η µέση τιµή είναι 0 ενώ για την Τρίτη είναι -. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η επιφάνεια κάτω από την καµπύλη µε οριακές τιµές < σ < είναι 0.68 ενώ η επιφάνεια κάτω από την καµπύλη µε οριακές τιµές < σ < είναι Με άλλα λόγια η πιθανότητα µια τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανοµή να πάρει τιµή µ ± σ είναι 68 %, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα να πάρει τιµή µ ± σ είναι 95 %. Σχήµα.4 Κανονική Κατανοµή 8

9 Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δύο ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών που ακολουθούν κανονική κατανοµή είναι το γινόµενο των συναρτήσεών πυκνότητας πιθανότητας τους όπως είδαµε και στη γενική περίπτωση. Εάν όµως οι µεταβλητές συσχετίζονται και έχουν µέση τιµή και συνδιακύµανση [ cov ] η κατανοµή είναι περισσότερο περίπλοκη. Η έκφραση : [ ] / cov T P( ) = exp / [ cov N ] ( π ) (.4) µας δίνει τη σωστή µέση τιµή και τη σωστή διακύµανση όταν οι µεταβλητές που αποτελούν το διάνυσµα είναι ασυσχέτιστες και έχει συνδιακύµανση [ cov] για συσχετιζόµενες µεταβλητές..5 Διαστήματα εμπιστοσύνης Η εµπιστοσύνη (confience) µιας συγκεκριµένης παρατήρησης (µέτρησης) είναι η πιθανότητα µια πραγµατοποίηση της µέτρησης να λάβει τιµή µέσα σε ένα προκαθορισµένο εύρος τιµών γύρω από τη µέση της τιµή. Όπως είναι φυσικό, αναφερόµενοι σε µετρήσεις που η τιµή τους είναι τυχαία µεταβλητή, η µεγάλη τιµή της διακύµανσης δίνει µεγάλα διαστήµατα εµπιστοσύνης (confience intervals) και αντίστροφα. Όπως αναφέρθηκε ήδη, τυχαίες µεταβλητές κανονικής κατανοµής έχουν 68 % διάστηµα εµπιστοσύνης για εύρος σ και 95 % για εύρος σ. Εάν λοιπόν µία τυχαία µεταβλητή λάβει µία συγκεκριµένη τιµή α (π.χ. στην περίπτωση µιας µέτρησης), στην περίπτωση που αυτή ακολουθεί την κανονική κατανοµή, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η πιθανότητα η πραγµατική µέση τιµή της µέτρησης να είναι a± σ είναι 95 %. Φυσικά τα διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι πολύ πιο δύσκολο να υπολογιστούν όταν έχοµε περισσότερες συσχετιζόµενες µεταβλητές. 9

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων Στην περίπτωσή µας έχοµε p= 1περιορισµό της µορφής : που γράφεται ως : ' = m + m z ' (3.47) 1 m Fm 1 = [1 z '] = [ '] = h m. (3.48) Η εξίσωση 3.46 στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιώντας τους πίνακες που είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7. Παραμετροποίηση αντιστρόφων προβλημάτων Τα διακριτά αντίστροφα προβλήµατα όπως έχουµε δει αντιµετωπίζουν σχέσεις παραµέτρων ενός φυσικού προβλήµατος και µετρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΟΦΑΕΙΑΣ 5. Η συνάρτηση μέγιστης πιθανοφάνειας Έστω µία τυχαία µεταβλητή η οποία αντιπροσωπεύει την µέτρηση κάποιας συγκεκριµένης ποσότητας µε πραγµατική αλλά άγνωστη τιµή θ σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Σηµειώσεις του Μαθήµατος βασισµένες κυρίως στο Βιβλίο : Geophyscal Data Analyss : Dscrete Inverse heory του Wllam Menke Μιχάλης Ταρουδάκης

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30)

3.6 Μεικτά ορισμένα προβλήματα. 2. Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q= 1,... Mσε διανυσµατική µορφή : G λ (3.30) . Γράφοµε τις ανωτέρω σχέσεις για q=,... Mσε διανυσµατική µορφή : = G λ (3.30) 3. Επειδή ισχύει παράλληλα και d = G, αντικαθιστώντας το από την 3.30 στην αρχική εξίσωση παίρνοµε : d= G G λ / (3.3) 4. Εάν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

' ' ' ' ' ' ' e G G G G. G M ' ' ' ' G '

' ' ' ' ' ' ' e G G G G. G M ' ' ' ' G ' µετασχηµατισµό τέτοιο ώστε επιδρώντας στο λάθος πρόβλεψης e, ( e = e) να οδηγεί σε ελαχιστοποίηση του E = e e όταν ελαχιστοποιείται το Ε, να µετασχηµατίζει τον πίνακα G στον πίνακα G που να έχει άνω τριγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ιατήρηση ορµής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ιατήρηση ορµής Ας θεωρήσοµε δυο υλικά σηµεία και µε µάζες και αντιστοίχως που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες και και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα

ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Μαθηµατικών ιακριτά Αντίστροφα Προβλήµατα Σηµειώσεις του Μαθήµατος βασισµένες κυρίως στο Βιβλίο : Geophyscal Data Analyss : Dscrete Inverse Theory του Wllam Menke Μιχάλης Ταρουδάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)

MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn) MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις:

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: Στοχαστικά σήµατα Έννοια του στοχαστικού σήµατος Θερούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: & α Γνρίζουµε µε απόλυτη βεβαιότητα (µε πιθανότητα ένα), ότι η αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o

Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής Σεναρίων Κινητός Μέσος σε Χρονοσειρές o o o ΙΩΑΝΝΗΣ Κ. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ Εφαρμογές Ποσοτικές Ανάλυσης με το Excel 141 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ανάλυση Δεδομένων Στατιστικές συναρτήσεις Γραφική και πινακοποιημένη αναπαράσταση δεδομένων (ιστόγραμμα) Διαχειριστής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 011-01

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών Βιβλιογραφία Ενότητας Benvento []: Κεφάλαιo Widrow [985]:

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Χωρικά φίλτρα Χωρικά φίλτρα Γενικά Σε αντίθεση με τις σημειακές πράξεις και μετασχηματισμούς, στα

Διαβάστε περισσότερα

5 Παράγωγος συνάρτησης

5 Παράγωγος συνάρτησης 5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων

Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@auth.gr 30 Ιανουαρίου 2018 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών

Μάθηµα 3 ο b. Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών Μάθηµα 3 ο b Από Κοινού Κατανοµή Τυχαίων Μεταβλητών Έχουµε δύο, ή περισσότερες, τυχαίες µεταβλητές έστω Χ και Υ. Η σκπ των ζευγών ( x, y ) λέγεται από κοινού κατανοµή του ζεύγους ή του διανύσµατος ( X,Y

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών 3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων»

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Αργυροπούλου Αιμιλία

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα