ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f / ( ) af( ) για κάθε f ( )!, ( a πραγµατικός αριθµός). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) είναι a σταθερή και να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι f (). (β) ίνεται η συνάρτηση y. Να δείξετε ότι ικανοποιεί την εξίσωση cos( ) d y dy ta( ) y () d d Λύση: f ( ) (α) Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση g ( ) έχουµε σύµφωνα µε τους κανόνες a a a f '( ) a f( ) f '( ) af( ) της σελ. 78 του βιβλίου g'( ), αφού µας a a δίνεται / a f ( ) af( ) και η εκθετική συνάρτηση δεν µηδενίζεται σε κανένα!. Άρα η g() είναι σταθερή. Εποµένως, αν ονοµάσουµε τη συνάρτηση a αυτή g ( ) c, δείξαµε ότι f ( ) c. Για βρούµε τον ακριβή τύπο της f() αρκεί να υπολογίσουµε τη σταθερά c. Αφού όµως δίνεται f (), είναι φανερό ότι c και ο ζητούµενος τύπος είναι f ( ) a. (β) Αρχίζοντας από τη συνάρτηση y cos( ) y και παραγωγίζοντας ως cos( ) dy προς έχουµε cos( ) y( si( )). Εποµένως, d dy y si( ) yta( ) () d cos( ) cos( ) Παραγωγίζοντας την σχέση αυτή άλλη µία φορά ως προς, παίρνουµε

2 d y cos( ) si( ) dy y ta( ) d d () cos ( ) cos ( ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () και χρησιµοποιώντας το δεδοµένο έχουµε για το αριστερό µέρος της () y cos( ) d y dy dy y dy y d d cos( ) cos( ) d cos ( ) d ta( ) ta( ) ta( ) ta( ) y y y yta( ) ta( ) yta( ) y cos( ) cos ( ) y cos ( ) y yta ( ) si ( ) y cos ( ) cos ( ) y y y cos ( ) si ( ) y y y cos ( ) cos ( ) cos ( ) αφού cos ( ) si ( ). Πρέπει να σηµειώσουµε όµως ότι όλα αυτά ισχύουν για cos( ), (k ) π /, k Z. Άσκηση. ( µον.) Αναζητούµε τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις t (), y yt (), z zt (), t! για τις οποίες γνωρίζουµε ότι: / y / y y / z y z όπου οι τόνοι δηλώνουν παραγώγιση ως προς τη µεταβλητή t και ισχύει (), y(), z() Θέτοντας Y [ y z] T dy / / / T και y z dt το παραπάνω σύστηµα γράφεται dy AY dt, όπου A (α) Να βρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P AP D, όπου D διαγώνιος πίνακας. (β) Θέτοντας Z P Y, δείξτε ότι η επίλυση του αρχικού συστήµατος καταλήγει στην επίλυση του dz dt DZ. (γ) Χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα της Άσκησης (α), λύστε το σύστηµα dz DZ και βρείτε τις συναρτήσεις,, dt yz.

3 Λύση: Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι: ( I A) λ ϕλ ( ) dt λ λ λ αναπτύσσοντας ως προς την η στήλη προκύπτει λ ϕλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Οι ιδιοτιµές ( ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ) είναι το 4 και το (διπλή) ( ) ( ) ( )[( ) ] ( )( 6 8) ( ) ( 4 Μια βάση του ιδιοχώρου της ιδιοτιµής λ 4 προκύπτει από την επίλυση του συστήµατος: 4I A ( ) Εποµένως τα διανύσµατα του ιδιοχώρου είναι της µορφής ) [ ] [ ],! T T Μια βάση του ιδιοχώρου της ιδιοτιµής λ προκύπτει από την επίλυση του συστήµατος: I A ( ) Εποµένως τα διανύσµατα του ιδιοχώρου είναι της µορφής,!,! Τα διανύσµατα [ ] T,[ ] ανεξάρτητα, άρα αποτελούν µια βάση του. T παράγουν τον ιδιοχώρο και είναι γραµµικώς Αποδείξαµε λοιπόν ότι η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την γεωµετρική της πολλαπλότητα. Άρα ο πίνακας Α διαγωνοποιείται (σελ.4 6. ).

4 Αν θέσουµε P τότε γνωρίζουµε ότι ο πίνακας P είναι αντιστρέψιµος και P AP 4 D µε P β) Έστω z() t a a a () t a() t ay() t az() t Z z() t P Y a a a y() t a() t ay() t az() t z() t a a a z() t a() t ay() t az() t όπου τα aij είναι τα στοιχεία του P (πραγµατικοί αριθµοί ανεξάρτητοι του t ). Από τους κανόνες παραγώγισης προκύπτει: Άρα dz a a y az i / / i i i dt /, i,, dz dt a a y a z a a a a a y a z a a a y P a a y a z a a a z / / / / / / / / / / / / dy dt Έχουµε διαδοχικά: dy dy dy dy dz dt dt dt dt dt AY PDP Y PDZ P DZ DZ ηλαδή οδηγηθήκαµε στην επίλυση χωριστών εξισώσεων της ίδιας µορφής: dz dt / / z() t 4 z() t 4 z() t z() t 4 z() t / / DZ z() t z() t z() t z() t z () t / / z() t z() t z() t z() t z() t Εποµένως (από την άσκηση α ) 4

5 z () t c z () t c z () t c 4t t t, c, c, c! Επειδή Z P Y προκύπτει Y P Z και άρα t () z() t c c () t c c y() t z () t c c y() t c c 4t t 4t t zt () z() t c c z() t c c 4t t 4t t 4t t 4t t Από την υπόθεση γνωρίζουµε ότι (), y(), z() c c c c c c c c c c c c c c Εποµένως οι ζητούµενες συναρτήσεις είναι:, άρα t () 4t t yt () 4t t zt () 4t t Άσκηση. ( µον.) (α) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων i) ( ) y 6 iii) y cos ( ) ii) y cos( ), ta( ) iv) y l ( cos ( ) ) (β) Έστω συνάρτηση f µε συνεχή παράγωγο στο [,], f / () > και f() f(). Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Μέσης Τιµής να αποδείξετε ότι υπάρχει a (,), έτσι ώστε f / ( a) a (γ) Να επαληθευθεί το Θεώρηµα του Roll για τη συνάρτηση y 4 7 στο [, ] 5

6 Λύση: (α) i) Αφού y ( 6), έχουµε σύµφωνα µε τους κανόνες της σελ. 78: dy ( 6) 6 d 5/ 6 6 / ii) Παραγωγίζουµε την y ( ) ( ) cos( ) και απλοποιούµε όσο είναι δυνατόν: ta( ) ( ta( ) ) cos( ) si( ) ( ) cos( ) ( ) ta( ) dy cos ( ) d ( ta( )) 6 cos ( ) ( )si( ) ( )(si ( ) ) ta( ) cos( ) iii) Παραγωγίζοντας την y cos και απλοποιώντας έχουµε: dy ( ) cos si si cos d ( ( ) ( ) iv) Παραγωγίζοντας την y l cos ( ) και απλοποιώντας βρίσκουµε: dy cos( )si( ) si( ) cos( ) ( si( ) ) d cos ( ) cos ( ) cos ( ) ) (β) Θεωρούµε την συνάρτηση g ( ) f( ), [,] που είναι συνεχής στο [,], ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιµη στο (,) ως διαφορά / / παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε g ( ) f ( ). Εποµένως από το Θεώρηµα Μέσης Τιµής υπάρχει a (,) έτσι ώστε / g() g() g ( a). Όµως g() f() και g() f() f(), εποµένως / / g ( a) f ( a) a f / ( a) a (γ) Αφού η f ( ) είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο διάστηµα [-,], και ισχύει f( ) f( ), παίρνοντας την παράγωγο βρίσκουµε : 6

7 ( ) 8 7 () f Σύµφωνα λοιπόν µε το Θεώρηµα του Roll, θα υπάρχει τιµή του ξ µεταξύ των και για την οποία έχουµε f '( ξ ). Πράγµατι, από την () βρίσκουµε ότι οι ρίζες της f '( ) είναι, 7, οπότε το ξ είναι η ρίζα που ζητούσαµε αφού - < <. Άσκηση 4. (8 µον.) Έστω f ( ) συνάρτηση συνεχής στο [ ab, ], παραγωγίσιµη στο (, ) f ( b) a. Να αποδείξετε ότι: ab µε f ( a) f ( ) (α) Για τη συνάρτηση g ( ) ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του a b Θεωρήµατος Roll στο [ ab, ]. (β) Υπάρχει ( ab, ) ώστε η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f( )) να διέρχεται από το σηµείο ( a b, ). b, Υπόδειξη: Για το (β), εφαρµόστε το θεώρηµα Roll στη g ( ), παρατηρώντας ότι η εφαπτόµενη στο σηµείο (, f( )) έχει εξίσωση y f '( ) f( ) )(. Λύση (α) Η g( ) στο [ ab, ] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής, ενώ η g( ) στο f '( )( ab) f( ) ( ab), είναι παραγωγίσιµη µε παράγωγο g'( ) ( ab) ( ) ( ) Επιπλέον ισχύει ga ( ) f a b, gb ( ) f b a και εποµένως aab b bab a ga ( ) gb ( ). Άρα, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Roll, υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ab) τέτοιο ώστε, f '( )( ab) f( ) g'( ) f '( )( ab) f( ) ( ab) f '( )( a b) f( ) (β) Η εφαπτόµενη στο σηµείο (, f( )) έχει εξίσωση y f '( )( ) f( ) οπότε από τα συµπεράσµατα του ερωτήµατος (α) αντικαθιστώντας το έχουµε y f '( )( ) f( ) y f '( )( ) f '( )( ab) y f '( )( ab) y f '( )( ab) Η τελευταία αυτή εξίσωση επαληθεύεται για y και a b εποµένως η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f( )) διέρχεται από το σηµείο ( a b, ) 7

8 Άσκηση 5. (8 µον.) Χρησιµοποιήστε τον υπολογιστή σας (και το Λογιστικό φύλλο Ecl, αν σας διευκολύνει) για να υλοποιήσετε 5 επαναλήψεις της µεθόδου προσέγγισης ριζών της f( ) που περιγράφεται στις σελίδες 9-95 του βιβλίου για καθεµία από τις παρακάτω επιλογές της f ( ): f( ), f( ) Ταξινοµήστε τις παραπάνω συναρτήσεις µε βάση την ταχύτητα σύγκλισης των ακολουθιών fi( ), µε i, και,,,., στην εκάστοτε ρίζα της fi ( ). Για περιπτώσεις που δε συγκλίνουν σε κάποια ρίζα να αιτιολογήσετε το αποτέλεσµα µε βάση αυτά που αναφέρονται στο βιβλίο σας. Λύση: Η εξίσωση είναι g ( ). Είναι λοιπόν φανερό ότι ισχύει g () και g () 4 οπότε η εξίσωση έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ). Σε ένα φύλλο εργασίας του Ecl βάζουµε στο κελί A το αρχικό σηµείο στο Α τον τύπο σε σχέση µε το Α (π.χ. Α/) επιλέγουµε τα κελιά Α έως Α5 και κάνουµε Edit->Fill-> Dow. Ως αρχικό σηµείο ας θεωρήσουµε το. Είναι φανερό ότι η δεύτερη συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα (βλ. δύο πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα). Πως εξηγείται αυτό; Όπως αναφέρει το βιβλίο, για να συγκλίνει µια επαναληπτική διαδικασία της µορφής f ( ) σε µια ρίζα της εξίσωσης f ( ), είναι απαραίτητο να ισχύει f '( ) < σε µια περιοχή της εν λόγω ρίζας. Εδώ είναι φανερό από τις εξισώσεις f( ) ( )( ), f( ) ( )( ), ότι η ρίζα που ζητάµε στο διάστηµα (,) είναι η. Παίρνοντας τις παραγώγους τώρα των fi ( ) και υπολογίζοντας τις στο, βλέπουµε ότι f'(), f '(). Εποµένως, αν και η f( ) θα συγκλίνει και αυτή στο (µε κάποιες ταλαντώσεις γύρω από αυτό), η f( ) συγκλίνει ταχύτερα, γιατί ικανοποιεί κατά τον «ισχυρότερο» τρόπο τη συνθήκη f '( ) <, αφού f '()! Με άλλα λόγια, προσπαθώντας να επιλύσουµε τις ανισότητες f '( ) <, i,, διαπιστώνουµε ότι σε µια περιοχή γύρω από το, ισχύει η i ανισότητα f ' ( ) f ( ) ' f ( ) συγκλίνει πιο γρήγορα στην λύση. < και συνεπώς η επαναληπτική σχέση µε την Μάλιστα παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει περιοχή γύρω από το - στην οποία η παράγωγος της πρώτης συνάρτηση για να είναι απολύτως µικρότερη της µονάδας και γι αυτό θα συγκλίνει πάντα στην ρίζα, σε αντίθεση µε την δεύτερη συνάρτηση που 8

9 ικανοποιεί f '( ) <και εποµένως η f( ) θα συγκλίνει στο, για αρκετά κοντά στη ρίζα (βλ. η και 4 η στήλη του παρακάτω πίνακα). Άσκηση 6. ( µον.). f() f() f() f() -, -, -,888 -,,666667, -, ,,765 -,846 -,999,46-4, -,4769,58 -, ,888 -,765,4594 -,9945,4 -,9,8879 -,99856,9656 -,7, ,99964,878 -,8, ,99998,5687 -,46, ,999977,4 -,,9999 -,999994,55 -,,9998 -,999999,89 -,, , -, ,6 -, , -, (α) Υπολογίστε τα όρια a i) lim l( ) iii) lim π 4 a si cos l(si ) ii) iv) lim ( ) l lim l Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε, όπου εφαρµόζεται, τον κανόνα L Hospital. Λύση: (i) a a ( ) a a a a a a a a lim lim lim a l( ) ( l( ) )' 9

10 (ii) lim ( ) lim lim l l (iii) Για π 4 η παράσταση (iii) παίρνει τη µορφή. Άρα, λόγω L Hospital sicos cos si si ( cos si ) lim lim lim και πάλι µε π l si π cos π cos si ( si cos ) cos si ( cos si ) L Hospital, έχουµε τελικά lim. π 4si 4 4 (iv) Παρατηρείστε ότι: l l l Αλλά lim l l Οπότε lim l. ηλαδή έχουµε απροσδιοριστία της µορφής. Έτσι χρησιµοποιώντας επανειληµµένα L Hospital, βρίσκουµε: l( ) l( ) lim l lim l ( ) l ( ) ( ) lim lim ( ) lim lim ( ) ( ) Άσκηση 7. ( µον.) ίνεται η συνάρτηση : όπου > και ab, ( ) f ( ) al( ) b πραγµατικοί αριθµοί. α) Να βρεθούν οι παράγωγοι ης, ης και ης τάξης: f f f () ( ), ( ), ( ) β) Αν θέλουµε το να είναι θέση τοπικού ελαχίστου, να γράψετε τις αναγκαίες συνθήκες που οφείλουν να ικανοποιούν οι παράγωγοι f () και f (). Τι συµπεραίνουµε για τις τιµές των παραµέτρων ab, ; γ) Αν a, b, να δείξετε ότι το είναι τοπικό αλλά όχι ολικό ελάχιστο.

11 δ) Τι µπορούµε να πούµε για το όταν a, b / ; ε) Αν a, b να δείξετε ότι η f είναι κυρτή. Στην περίπτωση αυτή τι µπορούµε να πούµε για τη θέση ; Λύση: / a // a ( α) f ( ) b( ), f ( ) b, f ( ) ( ) ) a ( ) β) Αν θέλουµε το να είναι θέση τοπικού ελαχίστου τότε θα πρέπει να ισχύουν: f / () ( αναγκαία συνθήκη ης τάξης) f // () > ( αναγκαία συνθήκη ης τάξης) από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι : a και a b>, δηλαδή a και b >. / // γ) Αν a, b τότε f (), f () > και εποµένως το είναι θέση τοπικού ελαχίστου (σελ., θεώρηµα ακροτάτων). Επειδή δε lim f( ) lim[ l( ) ( ) ] lim[ l( )] lim[ ( ) ] η συνάρτηση παίρνει τιµές µικρότερες του f () 6και εποµένως το είναι θέση τοπικού αλλά όχι ολικού ελαχίστου. / // () δ) Αν a, b /, τότε: f (), f (), f () 6, εποµένως το είναι θέση σηµείου καµπής (µε οριζόντια εφαπτοµένη), (σελ., θεώρηµα ακροτάτων). ε) Αν a, b τότε f είναι κυρτή στο διάστηµα (, ). > f b> ( ) //, ( ),που µας δείχνει ότι η Αφού f / () και f // () >, το f () είναι τοπικό ελάχιστο. Επειδή όµως η / συνάρτηση είναι κυρτή, η f είναι γνησίως αύξουσα και κατά συνέπεια το είναι η µοναδική της ρίζα και εποµένως το µοναδικό κρίσιµο σηµείο. Άρα το f () 6είναι ολικό ελάχιστο. Άσκηση 8. ( µον.) (α) ίνεται η παραβολή y 4 και η χορδή αυτής ΒΓ που βρίσκεται πάνω στην ευθεία 4. Φέρνουµε την χορδή Ε που βρίσκεται επί της ευθείας α όπου α<4

12 και τις κάθετες, ΕΕ στη χορδή ΒΓ. Να υπολογισθεί το α έτσι ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράµµου Ε Ε να είναι µέγιστο (β) Υπολογίστε τις διαστάσεις τετραγωνικής ανοικτής πισίνας µε πλευρά και (σταθερό) βάθος y που έχει συνολικό όγκο m, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος επένδυσης µε πλακάκια του βυθού και των εσωτερικών τοιχωµάτων. Λύση: (α) Κάνοντας το σχήµα, παρατηρούµε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράµµου Ε Ε ισούται µε f ( a) 4 a(4 a). Παραγωγίζοντας τη 8 συνάρτηση αυτή ως προς α έχουµε f '( a) (4 a) 4 a 6 a και a a 4 f ''( a). Για να υπολογίσουµε τα τοπικά της ακρότατα, θέτουµε a a a f '( a ) και βρίσκουµε α 4/. Επειδή δε έχουµε f ''(4 / ) <, συµπεραίνουµε ότι για α 4/, το εµβαδόν f ( a) γίνεται µέγιστο. (β) Ο όγκος της πισίνας ισούται µε V y Οπότε y. 8 Η συνολική επιφάνεια ισούται µε S 4y 4. Για να βρούµε τα πιθανά ελάχιστο της συνάρτησης S, στο διάστηµα (, ) όπου έχει νόηµα το φυσικό πρόβληµα, παραγωγίζουµε και λύνουµε ως προς 8 S' Η δεύτερη παράγωγος S '' είναι θετική για 4, οπότε έχουµε ελάχιστο. Άσκηση 9. (8 µον.) α) Να αποδείξετε ότι η σειρά συγκλίνει για κάθε!.!!! β) Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Taylor (σελ. ) να δείξετε ότι η παραπάνω σειρά συγκλίνει στο Λύση: α) Επειδή lim ( σελ. 7), η ακτίνα σύγκλισης της δυναµοσειράς είναι! R. Εποµένως η δυναµοσειρά συγκλίνει για κάθε!. β)! Αν η δυναµοσειρά συγκλίνει στο. Αν > ή <, από το θεώρηµα Taylor για την συνάρτηση f ( ) στο

13 διάστηµα [, ] ή [,] προκύπτει ότι υπάρχει ξ µεταξύ του και τέτοιο ώστε: / // ( ) ( ) f () f () f () f ( ξ ) f ( ) f()...!! ( )!! Επειδή ( ) f ( ) για κάθε φυσικό αριθµό έχουµε: ξ... S( ) R( ) ( )! "! #$$$$$%$$$$$& S ( ) όπου S ( )είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της δυναµοσειράς του α) R ( ) ερωτήµατος και R ( ) το υπόλοιπο του αναπτύγµατος Taylor. Αν για κάθε!, lim R ( ) τότε lim S ( ) lim[ R ( )], οπότε η δυναµοσειρά συγκλίνει στο για κάθε πραγµατικό αριθµό δείξουµε ότι:!, lim R ( ).. Αρκεί εποµένως να! Το είναι ο γενικός όρος της σειράς του ερωτήµατος (α) που δείξαµε ότι! συγκλίνει για κάθε!, εποµένως lim.!! Αν < τότε < ξ < εποµένως ξ <. Άρα και εποµένως ξ R ( ) <!! lim R ( ).! Αν > τότε < ξ < εποµένως ξ <. Άρα ξ R ( ) <!! και εποµένως lim R ( ). Εποµένως για κάθε! η δυναµοσειρά συγκλίνει στο. Άσκηση. ( µον.) (α) Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα του si σε σειρά υπολογίστε το όριο

14 si lim si (β) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor δυνάµεων του την συνάρτηση l και l υπολογίστε το lim (γ) Εφαρµόζοντας το ανάπτυγµα Maclauri αναπτύξτε σε δυνάµεις του 9 (συµπεριλαµβανόµενου και του ) τη συνάρτηση f ( ) l( ) στο διάστηµα [,]. (δ) Βρείτε ένα άνω όριο του σφάλµατος της προσέγγισης και υπολογίστε 5 προσεγγιστικά το l. 4 Λύση: (α) Αφού η σειρά Taylor για τη συνάρτηση si γύρω από το είναι (βλ.σελ. 8) si..., αντικαθιστώντας στην δοσµένη παράσταση έχουµε:! si ( / 6...) / 6... li m lim lim lim 4 si ( / 6...) / (β) Αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor δυνάµεων του την συνάρτηση l βρίσκουµε (βλ. σελ. 8 ) l ( ) ( ) ( )... οπότε αντικαθιστώντας στο ζητούµενο όριο υπολογίζουµε: l l im lim( ( ) ( )...) (γ) Παρατηρούµε ότι f () l() και ότι ( ) f '( ), f ''( ), f ( ), οπότε προκύπτει ( ) ( ) ( 4) ( ) f ( ),..., f ( ) 4 ( ) ( ) ( )! f ( ) ( ) () ( )! ( ) Και σύµφωνα µε τον τύπο (8.5, σελ ) έχουµε l( ) R( ) f ( ξ ) 9!!!( ξ) ( ξ) Έχοντας υπόψη ότι και ξ > έχουµε ότι το σφάλµα φράσσεται (δ) Τώρα το R ( ) ( < ξ < ) 4

15 Έχουµε λοιπόν την προσέγγιση οπότε R ( ) < < ( ξ ) l( ) l( ) l( )