Η αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση»

Γενικό Λύκειο Αγριάς Μαγνησίας Η αξία του πεδίου ορισμού Οι έννοιες «Φάση» και «Αρχική Φάση»... ενίοτε επιβάλλεται να ανατρέχουμε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των εξισώσεων κίνησης, με την οποία διάφορες ποσότητες (μεγέθη) ορίζονται... u g x Θρασύβουλος Κων. Μαχαίρας Φυσικός Δεκέμβριος 015

Γενικό Λύκειο Αγριάς Μαγνησίας Το Γενικό Λύκειο Αγριάς σε συνεργασία με τον Σχολικό Σύμβουλο Φυσικών Επιστημών κ. Παναγιώτη Σαραντόπουλο έχουν προγραμματίσει για την Τρίτη 15 Δεκεμβρίου 015 στις 11.00 π.μ. ομιλία του φυσικού κ. Θρασύβουλου Μαχαίρα με θέμα: «Κύματα» Κατά την ομιλία Θα γίνει μια σύντομη περιγραφή των κυμάτων με απλό αλλά συγχρόνως και μαθηματικά αυστηρό τρόπο, ώστε να αναδυθούν οι ορθές οριοθετήσεις που επιβάλλει η θεωρία. Θα προσδιοριστεί ο τρόπος ug παρουσίασης των κυμάτων σε ένα μελλοντικό σχολικό βιβλίο. Θα εντοπιστούν οι παρανοήσεις που υπάρχουν στο σημερινό σχολικό βιβλίο «Φυσική Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών» του Γ Τάξης του Γενικού Λυκείου και θα αναφερθούν κάποια από τα αδιέξοδα στα οποία μπορούν να οδηγήσουν μια «ανυποψίαστη» από μέρους μας διδασκαλία, αυτές οι παρανοήσεις. Θα γίνουν κατάλληλες προτάσεις ώστε τα λάθη του σημερινού σχολικού βιβλίου, τα οποία αναγκαστικά πρέπει να διδάξουμε, να οδηγούν σε όσο το δυνατό λιγότερες μαθηματικές και φυσικές ασυνέπειες και σε λιγότερα συλλογιστικά αδιέξοδα. x Το Γενικό Λύκειο Αγριάς, μέσω των καθηγητών των Λυκείων που θα παρακολουθήσουν την παραπάνω ομιλία, θα προσφέρει στα αντίστοιχα Λύκεια το βιβλίο του Φυσικού Θρασύβουλου Μαχαίρα «Θέματα Φυσικής». Η ομιλία θα πραγματοποιηθεί στο Γενικό Λύκειο Αγριάς και απευθύνεται σε καθηγητές Φυσικών Επιστημών. Στους παρευρισκόμενους θα δοθούν σημειώσεις συμπληρωματικές της ομιλίας.

Ευχαριστώ τον Μαθηματικό του Γενικού Λυκείου Αγριάς κ. Βαγγέλη Ζώη τόσο για τον τεχνικό εξοπλισμό του χώρου, όσο και για την πολύτιμη βοήθειά του κατά την πραγματοποίηση της ομιλίας μου «Κύματα», η οποία έγινε με χρήση δύο προβολέων για καλύτερη επεξήγηση των διαφανειών. Η παρούσα εργασία «Η αξία του πεδίου ορισμού-οι έννοιες Φάση και Αρχική Φάση» είναι συμπληρωματική και άρα υποστηρικτική της ομιλίας «Κύματα» που πραγματοποιήθηκε την Τρίτη 15 Δεκεμβρίου 015 στο Γενικό Λύκειο Αγριάς. Συνεπώς δεν αντικαθιστά την ομιλία, της οποίας εξάλλου ελάχιστα μόνο στοιχεία περιλαμβάνει.

Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις Δεν έχουν κανένα απολύτως νόημα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι», αφού και οι δύο έννοιες δεν αφορούν το φαινόμενο αυτό καθ εαυτό, την ταλάντωση δηλαδή, αλλά την εξίσωση κίνησης που επιλέγουμε για να περιγράψουμε το φαινόμενο. Νόημα έχουν μόνο φράσεις του τύπου «η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης τάδε είναι» ή «η αρχική φάση της ταχύτητας στην εξίσωση τάδε είναι» Οι ορισμοί των εννοιών «φάση» και «αρχική φάση» πρέπει να αντληθούν μέσα από τη διαφορική εξίσωση και τη λύση της (την εξίσωση κίνησης δηλαδή) και όχι να τεθούν αυθαίρετα και εκ των προτέρων. Φάση δεν είναι ό,τι είναι «μέσα» στο ημίτονο ή στο συνημίτονο. Οποιαδήποτε συνάρτηση στη Φυσική επιβάλλεται να συνοδεύεται από το πεδίο ορισμού της. Η απαίτηση να δίνεται το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης στη Φυσική, καθώς και σωστή χρήση των εννοιών «φάση» και «αρχική φάση», εξασφαλίζουν συλλογιστική αυστηρότητα και μας απαλλάσσουν από πολλά αδιέξοδα. Τελικά, οι «εσωτερικοί» της εξίσωσης κίνησης ορισμοί που θα δώσουμε για τη «φάση» και την «αρχική φάση», θα μας εξασφαλίσουν έναν ισχυρότατο τρόπο υπολογισμού των δύο αυτών «μεγεθών». 3

Ορισμοί και εξισώσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Αναντίρρητα οι σωστοί ορισμοί δεν είναι μόνο απαίτηση μιας σωστής Φυσικής, αλλά και απαραίτητη προϋπόθεση μιας σωστής σκέψης. Στην αναζήτηση των ορισμών, πολλές φορές επιβάλλεται να ανατρέξουμε στην ξεχωριστή εκείνη «εσωτερική» λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων και των λύσεών τους, με την οποία διάφορες ποσότητες (μεγέθη) αποκτούν ταυτότητα, καθώς αποκαλύπτονται στον Φυσικό, αλλά όχι απαραίτητα και στον Μαθηματικό. Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η συνισταμένη των δυνάμεων πάνω στο υλικό σημείο προφανώς είναι μηδέν κι αν περιοριστούμε σε μια διάσταση (κάτι που δεν επηρεάζει τα συμπεράσματά μας), η διαφορική εξίσωση που σχετίζεται με την κίνηση είναι d x ma 0 0 με t t R 0 (1) dt Η λύση της διαφορικής εξίσωσης (1) και συνεπώς η γενική μορφή της εξίσωσης κίνησης υλικού σημείου που για t t 0 R εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι x=c1 t+c με t t0 () Η εξίσωση κίνησης () είναι η πιο γενική και συγχρόνως η πιο απλή μορφή με την ο- ποία μπορούμε να δώσουμε την εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης. Απλή ακόμη και με την έννοια ότι και η () και οι σταθερές της C1 και C δεν συνδέονται με κανέναν ορισμό Φυσικής. Είναι απλώς όλα μια συνάρτηση των δύο τυχαίων συνθηκών (όχι απαραίτητα αρχικών συνθηκών x0 και υ0 ) που πρέπει να μας δώσουν. Βλέπουμε δηλαδή τα εξής: α) Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η διαφορική εξίσωση (1) και η μορφή με την οποία δόθηκε η λύση της, η εξίσωση κίνησης () δηλαδή, δεν εισάγουν κανέναν ορισμό απαραίτητο για τη Φυσική. β) Οι ορισμοί αρχική θέση (είναι η θέση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t0 που αρχίζουμε την παρατήρηση της κίνησής του) και αρχική ταχύτητα (είναι η ταχύτητα του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t0 που αρχίζουμε την παρατήρηση της κίνησής του) προϋπάρχουν της διαφορικής (1) και της εξίσωσης κίνησης () και συνεπώς δεν εξαρτώνται ούτε από τη διαφορική, ούτε και από τη λύση της με τη μορφή τουλάχιστον που επιλέξαμε να τη δώσουμε. Το μόνο που μπορούν να κάνουν οι αρχικές συνθήκες x0 και υ0 (αν είναι οι δεδομένες συνθήκες του προβλήματος) είναι να προσδιορίσουν τις σταθερές C1 και C και να δώσουν στην εξίσωση κίνησης () την εμφάνιση που έχουμε συνηθίσει.

Όπως θα δούμε όμως παρακάτω, ακριβώς τα αντίθετα πράγματα συμβαίνουν με τις έννοιες «φάση» και «αρχική φάση». Οι έννοιες αυτές θα οριστούν σε απόλυτη εξάρτηση από τη μορφή της συνάρτησης που θα επιλέξουμε ως λύση της διαφορικής, δηλαδή από τη μορφή της εξίσωση κίνησης που θα επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε. Με άλλα λόγια θέλω να πω τούτο: Όπως έχουμε ορισμούς (π.χ. αρχική θέση) που προϋπάρχουν της διαφορικής εξίσωσης και της λύσης της, έχουμε και σημαντικούς ορισμούς (π.χ. αρχική φάση) που δεν προϋπάρχουν, αλλά προκύπτουν από τη μορφή της λύσης της διαφορικής, από τη μορφή της εξίσωσης κίνησης δηλαδή, που θα επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε. Η ύπαρξη αυτών των σημαντικών ορισμών και οι μαθηματικές απαιτήσεις τους γενικότερα είναι απόλυτα συνδεδεμένες με την εξίσωση κίνησης που θα επιλέξουμε για να περιγράψουμε το φαινόμενο και όχι με αυτό καθ εαυτό το φαινόμενο. Για παράδειγμα, ενώ ο ορισμός της αρχικής θέσης δε συνδέεται με την εξίσωση κίνησης, η οποιαδήποτε αποσύνδεση των ορισμών της «φάσης» και της «αρχικής φάσης» από την εξίσωση κίνησης και την ειδική μορφή της θα είναι συλλογιστικά ολέθρια. Η παραπάνω «λεπτή» διαφορά μεταξύ των ορισμών καθιστά τον οποιοσδήποτε παραλληλισμό τους, π.χ. της «αρχικής θέσης» με την «αρχική φάση», όχι απλά άστοχο, αλλά εξαιρετικά επικίνδυνο. Εύκολα μπορεί να οδηγήσει το μαθητή αλλά και τον Φυσικό σε παρανοήσεις, σε παράλογες αντιστοιχίσεις και σε εννοιολογικά και μαθηματικά λανθασμένους χειρισμούς. Η διαφορετικότητα των ορισμών απαιτεί για τον καθένα τους και μια διαφορετική α- ντιμετώπιση από μέρους μας. Τα μεγέθη πολλές φορές έχουν διαφορετική ποιότητα και ακολουθούν τελείως διαφορετικές εννοιολογικές και φορμαλιστικές διαδρομές, με αποτέλεσμα οι ορισμοί τους να συνδέονται άμεσα με αυτές τις διαδρομές και ο χειρισμός τους να αντανακλά αυτές τις διαδρομές. Έτσι ο παραλληλισμός μεγεθών διαφορετικής διαδρομής (π.χ. αρχική θέσηαρχική φάση) είναι αρκετά προβληματικός έως ανεπίτρεπτος Κοντολογίς: Η πιο γενική και συγχρόνως η πιο απλή μορφή της εξίσωσης της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης είναι η σχέση () Από τη μορφή αυτή που έχει η εξίσωση κίνησης () δεν αντλούνται καινούριοι ορισμοί Φυσικής. Το μόνο που μπορούν να κάνουν οι προϋπάρχοντες της σχέσης () ορισμοί, είναι να προσδιορίσουν τις σταθερές C1 και C και να οδηγήσουν την () σε εκφράσεις που, ανάλογα με τις δύο συνθήκες τις οποίες θα μας δίνει η άσκηση, θα είναι λιγότερο ή περισσότερο οικείες, διδακτικά αξιοποιήσιμες και άρα αξιόλογες. Ας δούμε παραδείγματα συνθηκών και την επίδρασή τους αποκλειστικά πάνω στην εμφάνιση της σχέσης (). Οποιαδήποτε όμως εμφάνιση της () και να προκύψει, δε θα μπορέσουμε να αντλήσουμε από αυτήν (σοβαρούς) ορισμούς Φυσικής, αλλά πιθανώς κάποια διδακτική πρόταση ή έστω μια καινούρια ιδέα. 1 ο παράδειγμα: Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.. Τη χρονική στιγμή t0 που αρχίζει η μελέτη της κίνησης, το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση x0 (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα υ0 (αρχική ταχύτητα). Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου. (Δίνονται δύο συγκεκριμένες συνθήκες. Οι αρχικές συνθήκες) 5

Λύση Το σημείο για t t 0 R εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η γενική μορφή της εξίσωσης κίνησής του είναι η σχέση () Επομένως η εξίσωση της ταχύτητας είναι Για t=t0 οι () και (3) γίνονται από όπου προκύπτει Συμπέρασμα: x=c1 t+c με t t0 () dx υ C 1 με t t0 (3) dt x0= C1 t0 +C και υ0 =C1 C 0 0 0 C1=υ0 και x υ t, είναι Η εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης ενός υλικού σημείου, που αρχίσαμε να το παρατηρούμε τη χρονική στιγμή t 0 R όταν αυτό βρισκόταν στη θέση x 0 R και είχε ταχύτητα 0 R x 0t x0 0t0 με t t0 () ή αλλιώς x ( t t ) x με t t0 (α) 0 0 0 Αν t0=0 τότε η (α) αποκτά τη γνωστή μας εμφάνιση, την οποία διδάσκουμε στα παιδιά ως αποκλειστική επιλογή των σχολικών βιβλίων τους x t x με t 0 0 0 ο παράδειγμα: Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Τη χρονική στιγμή t0 αρχίζουμε να μελετάμε την κίνησή του. Τη χρονική στιγμή t1 t0 βρίσκεται στη θέση x1, ενώ τη χρονική στιγμή t t0 έχει ταχύτητα υ. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησής του. (Δίνονται δύο συγκεκριμένες συνθήκες, οι x1 και υ, αλλά δεν είναι οι αρχικές) Λύση Το υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και επομένως η γενική μορφή της εξίσωσής του είναι x=c1 t+c με t t0 (5) Η εξίσωση της ταχύτητας είναι dx υ C 1 με t t0 (6) dt 6

Βάσει των δεδομένων οι σχέσεις (5) και (6) δίνουν x1=c1 t1+c υ=c1 από όπου τελικά C1= υ C= x1-υ t1 (Εσκεμμένα δεν έγινε αναφορά στο γεγονός ότι η ταχύτητα είναι σταθερή και πάντα ίση με τον συντελεστή C 1 του χρόνου στη σχέση (5), προκειμένου να δοθεί έμφαση στη μεθοδολογία.) Συμπέρασμα: Η εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης ενός υλικού σημείου, το οποίο αρχίζουμε να παρατηρούμε τη χρονική στιγμή και που τη χρονική στιγμή t1 t0 βρίσκεται στη θέση x1, ενώ τη χρονική στιγμή t t0 έχει ταχύτητα υ, έχει μια παράξενη εμφάνιση t R 0 x= υ t+ x1-υ t1 με t t0 (7) 3 ο παράδειγμα: Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Τη χρονική στιγμή t0 αρχίζουμε να μελετάμε την κίνησή του. Το υλικό σημείο τη χρονική στιγμή t1 t0 βρίσκεται στη θέση x1, ενώ τη χρονική στιγμή t t0 βρίσκεται στη θέση x. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου. (Δίνονται δύο συγκεκριμένες συνθήκες. Οι τυχαίες θέσεις x 1 και x ) Λύση Το υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και συνεπώς η γενική μορφή της εξίσωσής του είναι Βάσει των δεδομένων η σχέση (8) δίνει από όπου προκύπτει Συμπέρασμα: C x=c1 t+c με t t0 (8) x x1=c1 t1+c x=c1 t+c x 1 1 και t t1 C x t t Η εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης υλικού σημείου, το οποίο αρχίζουμε να παρατηρούμε τη χρονική στιγμή t 0 R και το οποίο τη χρονική στιγμή t1 t0 βρίσκεται στη θέση x1, ενώ τη χρονική στιγμή t t0 στη θέση x, έχει ακόμη πιο παράξενη εμφάνιση από εκείνη της σχέσης (7) x x x t x t x t t t t t 1 1 1 1 1 1 x t t 1 1 με t t0 (9) 7

ο παράδειγμα: «Αρχίζουμε να παρατηρούμε υλικό σημείο που τη χρονική στιγμή t0=3 sec βρίσκεται στη θέση x0= 0 m και κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ= m/sec. i) Ποια είναι η εξίσωση της κίνησής του ii) Ποια είναι η θέση του κινητού και ποια η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t1= sec iii) Ποια είναι τη χρονική στιγμή t= sec;» Λύση Η εξίσωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης είναι Η εξίσωση της ταχύτητάς του είναι x=c1 t+c (SI) με t 3 sec (10) dx υ C 1 (SI) με t 3 sec (11) dt Με βάσει τις δεδομένες συνθήκες για t=t0=3sec οι παραπάνω σχέσεις γίνονται -0=C1 3+C (SI) από όπου =C1 (SI) C1= και C=-5 Άρα: i) Η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου είναι x=t 5 t 3 sec (SI) (1) ii) Η χρονική στιγμή t1= sec δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης κίνησης (1) και συνεπώς δεν έχει νόημα η ερώτηση. iii) Τη χρονική στιγμή t= sec το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση x = 5= 36m Παρατηρήσεις: a) Στη γενική μορφή x=c1 t+c t t0 της εξίσωσης κίνησης της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης, οι σταθερές C1 και C, δεν είναι απαραιτήτως η αρχική ταχύτητα και η αρχική θέση του υλικού σημείου. Τα C1 και C είναι πραγματικοί αριθμοί, που θα προσδιοριστούν από τις δύο συνθήκες (δεδομένα) που πρέπει απαραίτητα να μας δίνει η άσκηση και που δεν είναι κατ ανάγκη οι αρχικές συνθήκες. β) Η γενική μορφή της εξίσωσης κίνησης υλικού σημείου που για t t 0 R εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι x=c1 t+c με t t0 Αν για τον προσδιορισμό των δύο σταθερών C1 και C δοθούν οι αρχικές συνθήκες x0 και υ0, η παραπάνω εξίσωση γράφεται x t x t με t t0 0 0 0 0 8

ή αλλιώς x 0( t t0) x0 με t t0 Αυτή είναι η συνηθισμένη μας «ειδική εμφάνιση» της εξίσωσης της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης. Προφανώς η εξίσωση κίνησης x t x με t 0 sec (13) 0 0 είναι ακόμη «πιο ειδική εμφάνιση» η οποία προκύπτει όχι μόνο από τις αρχικές συνθήκες, αλλά και από το γεγονός ότι η παρατήρησή μας άρχισε τη χρονική στιγμή t0=0 sec Η σχέση (13) είναι μια διδακτική μας επιλογή, αλλά τίποτε πιο γόνιμο για Φυσικούς. γ) Εκείνο που επίσης πρέπει να τονιστεί είναι το γεγονός ότι σε μια εξίσωση κίνησης πρέπει πάντα να δίνεται το πεδίο ορισμού της μεταβλητής ή των μεταβλητών της. Για παράδειγμα, το να μας δοθεί ως εξίσωση κίνησης «σκέτα» η x=3t+ (SI) (13α) δε μας λέει απολύτως τίποτε, μιας και είναι αδύνατο να προβλέψουμε πού βρίσκεται και τί κάνει το κινητό την τυχαία χρονική στιγμή t, γιατί δεν ξέρουμε ποιες τιμές του χρόνου είναι δεκτές για τη χρήση της (13α) και ποιες όχι. Χωρίς να μας δίνεται το πεδίο ορισμού της (13α) θα ήταν λάθος να πούμε ότι η αρχική θέση του υλικού σημείου είναι η m, μιας και κάτι τέτοιο θα υπονοούσε ότι η παρατήρησή μας ξεκίνησε τη χρονική στιγμή t0=0 sec, στοιχείο το οποίο δε δίνεται. Ορισμοί και εξισώσεις κίνησης στην απλή αρμονική ταλάντωση Σε υλικό σημείο μάζας m που κινείται σε ευθεία, δρα αποκλειστικά δύναμη επαναφοράς F= Dx. Την κίνηση του υλικού σημείου, που ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση, αρχίζουμε να μελετάμε τη χρονική στιγμή t 0. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου. Η εξίσωση κίνησης x(t) (ή πιο απλά x) του υλικού σημείου, προσδιορίζεται από το ο νόμο του Νεύτωνα δηλαδή από τη διαφορική εξίσωση F=ma d x( t) m Dx( t) 0 με t t0 dt 9

d x( t) D ή αλλιώς x( t) 0 dt m Καλούμε D m ( * ) (1) d x( t ) οπότε x( t ) 0 (15) dt Όπως και στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι γραμμική δευτέρου βαθμού και συνεπώς η οποιαδήποτε γενική της λύση, θα περιέχει δύο προσδιοριστέες σταθερές. Αποδεικνύεται ότι οι πιο σημαντικές, ισοδύναμες μεταξύ τους, μορφές με τις ο- ποίες μπορεί να δοθεί η γενική λύση της (15) και κατά συνέπεια η εξίσωση κίνησης του απλού αρμονικού ταλαντωτή, είναι τρεις: 1 η μορφή: x=c1 ημωt + C συνωt t t 0 R η μορφή: x=c3 ημ(ωt + C) t t 0 R 3 η μορφή: x=c5 συν(ωt + C6) t t 0 R Στις παραπάνω ισοδύναμες μορφές της γενικής εξίσωσης της απλής αρμονικής ταλάντωσης ισχύουν σχεδόν τα ίδια που αναφέραμε και στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Δεν απαιτείται καμιά δικιά μας εκ των προτέρων τροποποίηση στο χρόνο t, ώστε να εμφανιστεί t-t0 ή κάτι άλλο. Εκείνο που χρειάζεται μόνο είναι ο προσδιορισμός των σταθερών C1, C, C3, C, C5 και C6 συναρτήσει των συνθηκών που θα μας δώσουν Οι παραπάνω σταθερές C δε χρειάζεται να είναι απαραιτήτως η αρχική θέση x0 και η αρχική ταχύτητα υ0 του υλικού σημείου, αλλά ούτε και συνδυασμοί τους. Είναι εκφράσεις, αποκλειστικά των τυχαίων συνθηκών που θα μας δώσουν και που επιβάλλεται να μας δώσουν. Οι αρχικές συνθήκες είναι απλά κάτι που συνηθίζεται να δίνεται, αλλά όχι αναγκαίο δεδομένο. ( * ) Θα μπορούσαμε το ίδιο καλά να είχαμε καλέσει 10 D m. Οι λόγοι που δε το κάναμε, συνδέονται περισσότερο με συνήθειες και ευκολίες να χειριζόμαστε θετικές ποσότητες, παρά με μαθηματικές απαιτήσεις. Αλλά αυτό είναι μια άλλη κουβέντα. Το βέβαιο είναι ότι η σύνδεσή του ω με κύκλους, «περιστρεφόμενα διανύσματα», γωνίες, γωνιακές ταχύτητες κ.λπ, τη στιγμή που η αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη κίνηση, μόνο παρανοήσεις φυσικής και εκτροχιασμούς με «μαθηματικές» κωμικότητες μπορεί να προκαλέσει. Αν δεν είχαμε χρησιμοποιήσει ως σύμβολο της γωνιακής συχνότητας το ω, αλλά κάποιο άλλο σύμβολο, όπως π.χ. γ ή δ, ίσως να είχαμε αποφύγει τόσα και τόσα απερίγραπτα τρυκ..

Παρατηρούμε ότι το ω το επιλέξαμε θετικό και να το ονομάσουμε κυκλική συχνότητα, εκ των υστέρων! Όταν δηλαδή είχαμε λύσει τη διαφορική και το είδαμε να εμφανίζεται στη λύση της, στην εξίσωση κίνησης δηλαδή που προέκυψε. Το ω δηλαδή ορίστηκε μετά τη λύση της διαφορικής και όχι πριν. Άρα είναι ορισμός που πηγάζει μέσα από τη λειτουργία της διαφορικής και από τη μορφή της εξίσωσης κίνησης. Εύκολα αποδεικνύονται τα παρακάτω πολύ σημαντικά: Τα C1 και C, θεωρητικά τουλάχιστον, δεν πληρούν κανένα περιορισμό και συνεπώς μπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί Για τα C3 και C5 είχαμε το μαθηματικό δικαίωμα και τα επιλέξαμε θετικά. Οι λόγοι που μας ώθησαν σε αυτή την επιλογή είναι παρόμοιοι με εκείνους που μας ώθησαν να επιλέξουμε θετικό και το ω. Η επιλογή των C3 και C5 ως θετικών στηρίζεται και σε έναν ακόμη σημαντικό λόγο στην επιθυμία μας να κάνουμε τα C3 και C5 πλάτος ταλάντωσης, μέγιστη δηλαδή απόσταση από το ελκτικό κέντρο. Πράγματι, αν επιλέξουμε τα C3 και C5 θετικά, αποδεικνύεται ότι το πλάτος της ταλάντωσης είναι A C C C C 3 5 1 0 Με άλλα λόγια, θα μπορούσαμε τα Α, C3, C5, και ω να τα είχαμε επιλέξει αρνητικά. Θα λειτουργούσε όλη η Φυσική μας το ίδιο καλά, απλά θα έπρεπε να προσαρμόσουμε λίγο έως αρκετά τους ορισμούς μας και τις...συνήθειές μας. Τα C, C6 μπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Όμως η περιοδικότητα των συναρτήσεων ημίτονο και συνημίτονο μας δίνει το μαθηματικό δικαίωμα να ακολουθήσουμε τη βασική φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να την παρουσιάζουμε με τον πιο οικονομικό τρόπο. Λόγω αυτής ακριβώς της «οικονομίας» στη Φυσική επιβάλλεται να περιορίσουμε τις τιμές των C και C6 μέσα σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, αφού η επέκταση σε περισσότερους κύκλους, όχι μόνο δεν προσφέρει τίποτε περισσότερο στη φυσική των φαινομένων, αλλά μπορεί να δημιουργήσει και παρανοήσεις. Για τα C και C6 επιλέγουμε ως πεδίο ορισμού τους, το διάστημα [0,π). Δηλαδή επιλέξαμε 0 C <π και 0 C6 <π. Θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, να δεχτούμε ως διάστημα και το [-π,π) ή ο- ποιοδήποτε άλλο διάστημα, αρκεί να καλύπτει έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως Η γενική μορφή της εξίσωσης κίνησης ενός υλικού σημείου που για t κτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, μπορεί να δοθεί με τρεις ισοδύναμες μορφές t 0 R ε- 1 η μορφή: x=c1 ημωt + C συνωt t t 0 R (16) C1 και C πραγματικοί αριθμοί 11

η μορφή: x=α ημ(ωt + C) t t 0 R (17) Α>0 και 0 C <π 3 η μορφή: x=α συν(ωt + C6) t t 0 R (18) Α>0 και 0 C6 <π Σχεδόν όλα όσα προηγήθηκαν και όσα θα ακολουθήσουν αφορούν τις συναρτήσεις και όχι το φαινόμενο. Τα Α, ω, περίοδος, συχνότητα κ.λπ είναι ορισμοί που πηγάζουν από τη μορφή της εξίσωσης κίνησης και όχι ορισμοί που δόθηκαν εκ των προτέρων (πριν λυθεί η διαφορική) όπως γίνεται π.χ. με την αρχική θέση στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης για παράδειγμα, δε μπορούν να ε- ντοπιστούν στην εξίσωση κίνησης αν αυτή έχει τη μορφή (16). Αντίθετα πηγάζουν αν η εξίσωση κίνησης πάρει τη μορφή (17) ή (18). Αποτέλεσμα αυτού είναι το ότι οι ορισμοί που ήδη τέθηκαν, αλλά και αυτοί που θα διατυπωθούν σε λίγο, εφαρμόζονται όχι μόνο στην απλή αρμονική ταλάντωση, αλλά σε όλα σχεδόν τα μεγέθη που μεταβάλλονται αρμονικά με το χρόνο, που έχουν δηλαδή ί- διες εξισώσεις κίνησης με την απλή αρμονική ταλάντωση. Αφήνοντας λοιπόν κατά μέρος την (16), ας εξετάσουμε για παράδειγμα τη μορφή (17) της εξίσωσης κίνησης της (απλής) αρμονικής ταλάντωσης: Στην εξίσωση κίνησης x ( t C ) με t t 0 R Α>0 και 0 C <π (19) θα μπορούσαμε να ονομάσουμε φάση της απομάκρυνσης την ποσότητα φ=ωt+c, οπότε η ποσότητα φ0=ωt0+c θα έπρεπε να ονομαστεί αρχική φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (19). Στην περίπτωση αυτή, ο περιορισμός 0 C <π και το t 0 R, θα επέτρεπαν στην αρχική φάση φ0=ωt0+c να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Επειδή όμως έχουμε συνηθίσει να συνδέουμε την αρχική φάση με το «ξεκίνημα» της μελέτης του φαινομένου (της ταλάντωσης δηλαδή) και συνεπώς με το γεγονός ότι όταν αρχίζουμε να παρατηρούμε το φαινόμενο δεν έχει ολοκληρωθεί καμιά ταλάντωση που να μας ενδιαφέρει (το τι έχει κάνει το υλικό σημείο πριν τη στιγμή t 0 δε μας ενδιαφέρει), δε θα θέλαμε να βλέπαμε ως αρχική φάση απομάκρυνσης, πολλαπλάσια του π Πέρα από αυτή τη «δυσφορία» μας υπάρχει και ο κίνδυνος τα πολλαπλάσια του π να εκληφθούν ως λανθασμένη πληροφορία ότι, πριν καν αρχίσουμε να μελετάμε το φαινόμενο, έχουν ήδη εκτελεστεί πολλές ταλαντώσεις. 1

Για να γλιτώσουμε κυρίως τις συνήθειές μας, μπορούμε να τροποποιήσουμε την εξίσωση κίνησης (19) ως εξής: Από τη σχέση φ0=ωt0+c της αρχικής φάσης προκύπτει C= φ0 ωt0 και συνεπώς η εξίσωση κίνησης (19) γίνεται x=α ημ[ω(t t0)+ φ0 ] με t t 0 R (0) Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (19 ) και (0) και βλέποντας ότι τα C και φ0 μπορούν να μπουν σε «ισάξιες θέσεις», αντί να απαιτήσουμε από το C να παίρνει τις περιορισμένες τιμές 0 C <π, οπότε το φ0 θα παίρνει αναγκαστικά οποιαδήποτε τιμή, απαιτούμε από την αρχική φάση φ 0 να παίρνει τιμές σε ένα τριγωνομετρικό κύκλο 0 φ0 <π, οπότε το C, που σημειωτέον δεν εμφανίζεται στην (0), θα παίρνει οποιαδήποτε τιμή ανάλογα με την επιλογή της αρχής των χρόνων. (Όπως έχουμε ξαναπεί, ένας τριγωνομετρικός κύκλος καλύπτεται και με άλλες επιλογές διαστημάτων, όπως π.χ. π φ 0 <π κ.λπ.) Υιοθετώντας αυτή την επιλογή για την αρχική φάση, η συνάρτηση που δίνει την φάση αλλάζει από φ= ωt+c με t t 0 R και 0 C <π σε φ=ω(t t0)+ φ0 με t t 0 R και 0 φ0 <π Έχουμε συνεπώς τρεις ισοδύναμες δυνατότητες γραφής και άρα επιλογής ορισμών «φάσης» και «αρχικής φάσης» 1η δυνατότητα ορισμού φάσης-αρχικής φάσης: Στην εξίσωση κίνησης x=α ημ(ωt + C) με t t 0 R, Α>0 και 0 C <π (1) ονομάζουμε φάση της απομάκρυνσης, την ποσότητα φ=ωt+c t t 0 R και 0 C <π () Κατά συνέπεια, ονομάζουμε αρχική φάση της απομάκρυνσης την ποσότητα φ0=ωt0+c t 0 R και 0 C <π (προφανώς R ) (3) Οι σταθερές A και C στην (1) θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που μας δίνουν και οι οποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές. 0 13

η δυνατότητα ορισμού φάσης-αρχικής φάσης: Στην εξίσωση κίνησης x=a ημ(ωt + C) με t t 0 R Α>0 και C πραγματικός () ονομάζουμε φάση της απομάκρυνσης, την ποσότητα φ=ωt+c t t 0 R Κατά συνέπεια, ονομάζουμε αρχική φάση της απομάκρυνσης την ποσότητα (5) φ0=ωt0+c με τον ισχυρό περιορισμό 0 φ0 <π (6) Οι σταθερές Α>0 και C στην () θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που θα μας δώσουν και οι οποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές συνθήκες x0 και υ0. Ο προσδιορισμός όμως του C, επειδή είναι πραγματικός αριθμός, θα γίνει με την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π. (βλέπε παραδείγματα παρακάτω). Έτσι η ακριβής τιμή του C θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισμό που μετατοπίσαμε στην αρχική φάση 0 φ0 <π δηλαδή τον 0 ωt0+c <π (7) 3η δυνατότητα ορισμού φάσης-αρχικής φάσης (πιο απλή και άρα προτιμητέα): Εκμεταλλευόμενοι τη σχέση (0), την οποία χρησιμοποιήσαμε προκειμένου να καταλήξουμε στη η δυνατότητα, μπορούμε να δούμε τα πράγματα και με έναν άλλο τρόπο: Στην εξίσωση κίνησης x=a ημ[ω(t t0)+φ0 ] t t 0 R A>0 0 φ0 <π (8) ονομάζουμε φάση της απομάκρυνσης, την ποσότητα φ=ω(t t0 )+φ0 t t 0 R (9) Οπότε η αρχική φάση της απομάκρυνσης είναι φ0 Οι σταθερές A>0 και φ0 στην (8) θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που θα μας δώσουν και οι οποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές. Όπως εξηγήσαμε, η 1η δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνομετρικό κύκλο, δε βάζει κανένα περιορισμό στη φάση και στην αρχική φάση παρά μόνο σε μια σταθερά της εξίσωσης κίνησης, τη 0 C <π (βλέπε σχέση 1). Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη η και 3η δυνατότητα. Όμως χαλά όλες τις συνήθειές μας και το «τραγικότερο» είναι το ότι εύκολα μπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες αν κάποιος άρει το μοναδικό περιορισμό 0 C <π, που θέτει η «οικονομία» με την οποία πρέπει η Φυσική να περιγράφει τα φαινόμενα. Γι αυτή και μόνο την αναστάτωση που αναίτια θα επιφέρει στις συνήθειές μας, στις εκφράσεις μας και στον τρόπο σκέψης μας, η 3η δυνατότητα πρέπει να εγκαταλειφτεί. Στη η δυνατότητα η αρχική φάση φ 0 δεν εμφανίζεται στην εξίσωση κίνησης, αλλά υ- πολογίζεται έμμεσα παρόλο που ελέγχει το σημαντικότατο υπολογισμό της σταθεράς C 1

Πριν υιοθετήσουμε την 3η δυνατότητα ως πιο φιλική από όλες, ας δούμε με παραδείγματα τον υπολογισμό της φάσης και αρχικής φάσης και με τη η δυνατότητα ορισμού αυτών των εννοιών. Ο λόγος που το κάνομε αυτό είναι για να δείτε τη μαθηματική συνέπεια των δυνατοτήτων και 3 μεταξύ τους και επομένως το «μαθηματικό δικαίωμα» που έχουμε να επιλέξουμε την 3η δυνατότητα ως τον τελικό ορισμό φάσης και αρχικής φάσης. 1 ο παράδειγμα: Υλικό σημείο εκτελεί (απλή) αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης της μορφής x=a ημ(ωt+c). Τη χρονική στιγμή t0= sec που αρχίζουμε να μελετάμε την κίνηση το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση x 10 1 0 m (αρχική θέση) κι έχει ταχύτητα 1 m 0 10 sec (αρχική ταχύτητα). Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec, να βρεθούν η εξίσωση κίνησης και η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης στη δεδομένη εξίσωσης κίνησης. (Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριμένες συνθήκες. Οι αρχικές) Λύση α τρόπος: [Εφαρμόζουμε τη η δυνατότητα, δηλαδή τις σχέσεις () έως (7)] Την εξίσωση κίνησης που μας δίνουν, φέρνουμε στη μορφή και τους περιορισμούς της συνάρτησης (): x=a ημ(πt + C) με t sec, Α>0 και C πραγματικός αριθμός (30) Τότε η φάση της απομάκρυνσης είναι και η αρχική φάση της απομάκρυνσης είναι φ=πt+c t sec (30α) φ0=π+c με τον ισχυρό περιορισμό 0 φ0 <π (30β) Επομένως όλο το πρόβλημα εντοπίζεται στον υπολογισμό της σταθεράς C. Ας τον κάνουμε: Η ταχύτητα του υλικού σημείου είναι υ=aπ συν(πt + C) με t sec, Α>0 και C πραγματικός (31) Για t=t0= sec, οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν 1 10 =A ημ(π+c) με Α>0 και C πραγματικός 1 10 =Aπ συν(π+c) με Α>0 και C πραγματικός 15

Από όπου προκύπτει και τελικά Α=10-1 m, C και C Α=10-1 7 m και C k rad k Z (3) Βλέπουμε καθαρά πια, ότι ενώ η τιμή του Α (της μιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και C που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση) έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες, ο προσδιορισμός της ακριβούς τιμής του C, απαιτεί τον ορισμό και τον περιορισμό που υιοθετήσαμε για την αρχική φάση. Πράγματι: Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της απομάκρυνσης στη δεδομένη μορφή της εξίσωσης κίνησης είναι φ=πt+c=πt+ και επομένως η αρχική φάση είναι Πρέπει όμως φ0 = π+ 7 k k Z και t sec (33) 7 k k Z (3) 0 φ0 <π Αντικαθιστώντας την φ0 από την σχέση (3) προκύπτει Τότε από σχέση (3) προκύπτει C k= 7 9π rad και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σημείου (30) γίνεται x=10-1 ημ(πt 9π ) (SI) με t sec (35) Η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) (και όχι η φάση της ταλάντωσης) και συνεπώς η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης x=a ημ(ωt+c) που μας δώσανε είναι και η αρχική φάση 9 φ= t και t sec 9 7 0 rad 16

β τρόπος: [Εφαρμόζοντας την 3η δυνατότητα, δηλαδή τις σχέσεις (8) και (9)] Την εξίσωση κίνησης που μας δίνουν, φέρνουμε στη μορφή και τους περιορισμούς της συνάρτησης (8): x=a ημ[π(t )+ φ0 ] t sec A>0 0 φ0<π (36) τότε η φάση της απομάκρυνσης θα είναι φ=π(t )+ φ0 t sec 0 φ0<π και η αρχική φάση της απομάκρυνσης θα είναι φ0 Επομένως όλο το πρόβλημα εντοπίζεται στον υπολογισμό της φ0. Ας τον κάνουμε: Η ταχύτητα του υλικού σημείου είναι υ=πα συν[π(t )+ φ0 ] t sec Α>0 0 φ0 <π Για t=t0= sec, οι παραπάνω σχέσεις απομάκρυνσης και ταχύτητας δίνουν αντίστοιχα 1 10 =Αημφ0 και 10 =πασυνφ0 1 Από όπου Α=10-1 m, 0 και Τελικά και με δεδομένο ότι 0 φ0 <π προκύπτει Α=10-1 7 m και 0 rad Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης 0 δηλαδή η x=10-1 ημ[π(t-) 7π ) με t sec (37) x=10-1 ημ(πt 9π ) (SI) με t sec (38) Κατά συνέπεια η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38), συνεπώς και στη δεδομένη είναι 9 φ= t με t sec και η αρχική φάση είναι 9 7 0 rad σε συμφωνία με όσα βρήκαμε και προηγουμένως εφαρμόζοντας τη η δυνατότητα ορισμού «φάσης» και «αρχικής φάσης» 17

ο παράδειγμα: Υλικό σημείο εκτελεί (απλή) αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση x=10-1 ημ(πt 9π ) (SI) με t sec (39) Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης στη δεδομένη εξίσωση κίνησης. Λύση α τρόπος: Με τη χρήση των σχέσεων () έως (7) Την εξίσωση κίνησης που μας δίνουν, φέρνουμε στη μορφή και τους περιορισμούς της συνάρτησης () x=a ημ(πt + C) με t sec, Α>0 και C πραγματικός (0) Τότε η φάση της απομάκρυνσης θα είναι φ=πt+c t sec (0α) και η αρχική φάση της απομάκρυνσης θα είναι φ0=π+c με τον ισχυρό περιορισμό 0 φ0 <π (0β) Επομένως όλο το πρόβλημα εντοπίζεται στον υπολογισμό της σταθεράς C. Ας τον κάνουμε: Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που μας δίνουν, τη μορφή της σχέσης (0) για ό- λες τις χρονικές στιγμές t sec, πρέπει να ισχύει Συνεπώς πρέπει Α=10-1 m και ημ(πt + C)= ημ(πt 9π C=kπ k Z Τότε η φάση θα δίνεται από τη σχέση (0α) 9π ) 9 t C t k t sec και η αρχική φάση 9π φ0=π+kπ k Z Απαιτώντας 0 φ0 <π προκύπτει k=0 Άρα η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση (0) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης (39) που μας δίνουν είναι 9π φ= πt με t sec 18

και η αρχική φάση είναι 7π φ0= rad β τρόπος: Με τη χρήση των σχέσεων (8) και (9) Την εξίσωση κίνησης που μας δίνουν, φέρνουμε στη μορφή και τους περιορισμούς της συνάρτησης (8): x=a ημ[π(t )+ φ0 ] t sec A>0 0 φ0<π (1) Τότε η φάση της απομάκρυνσης θα είναι φ=π(t )+ φ0 (1α) και η αρχική φάση της απομάκρυνσης θα είναι Επομένως όλο το πρόβλημα εντοπίζεται στον υπολογισμό της φ0. Ας τον κάνουμε: φ0 Μετασχηματίζουμε την εξίσωση κίνησης (39) που μας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη μορφή της σχέσης (1) x=10-1 ημ[π(t )+π 9π ] t sec και τελικά x=10-1 ημ[π(t )+ 7π ] (SI) t sec () Άρα η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης () και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης (39) που μας έδωσαν είναι φ=π(t )+ 7π και η αρχική φάση της απομάκρυνσης θα είναι 9π = πt με t sec φ0= 7π rad Σημαντικές επισημάνσεις στο ο παράδειγμα: α) Από το παραπάνω παράδειγμα φαίνεται η ευκολία με την οποία λύνεται το πρόβλημα της φάσης και της αρχικής φάσης, αν ακολουθήσουμε την 3η δυνατότητα. Τον τρόπο αυτόν εφαρμόζουμε και στο επόμενο παράδειγμα. Ίσως κάποιος πει, γιατί τα κάναμε όλα αυτά αφού θα μπορούσαμε και μόνο με παρατήρηση, σύγκριση και με μια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που μας δίνουν, να βρούμε τα ζητούμενα πολύ πιο εύκολα. Ο λόγος της ευκολίας, οφείλεται στο γεγονός ότι η (39) ήταν σχέση «μαγειρεμένη». Τα νούμερα που περιείχε είχαν ετοιμαστεί από το πρώτο παράδειγμα. Τα πράματα όμως δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα, ούτε τόσο εύκολα. Θα το διαπιστώσουμε στο επόμενο παράδειγμα. 19

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που μας δώσανε x=10-1 ημ(πt είναι μαθηματικά ισοδύναμη με την x=10-1 ημ(πt 9π π ) (SI) με t sec ) (SI) με t sec η οποία θα μπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης. Μήπως αυτό θα επηρέαζε τις τιμές φάσης και αρχικής φάσης που θα βρίσκαμε, γεγονός που θα καθιστούσε και τους ορισμούς και τις έννοιες άχρηστες; Η απάντηση είναι όχι!!! Οποιαδήποτε από τις δύο παραπάνω μαθηματικά ισοδύναμες σχέσεις και να χρησιμοποιήσουμε, εφόσον ακολουθήσουμε με συνέπεια όσα αναφέραμε, θα καταλήξουμε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιμή για την αρχική φάση. γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιμοποιήσαμε το π 9π και όχι το ισοδύναμο ήταν για να δείξουμε ότι αυτός που θα μας δώσει μια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεωμένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρμες ή να έχει προσέξει τις μαθηματικές ισοδυναμίες. Αυτός που θα μας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να μας δώσει ό,τι μαθηματικά ισοδύναμο θέλει, αρκεί να μας δώσει, όπως οφείλει άλλωστε, το πεδίο ορισμού της εξίσωσης κίνησης. 3 ο παράδειγμα: Υλικό σημείο εκτελεί (απλή) αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνησης x=10-1 ημ( 10π t ) (SI) με t 3 sec (1) 3 π Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση κίνησης Λύση Μετασχηματίζουμε τη σχέση (1) ώστε να αποκτήσει τη μορφή της σχέσης (8), δηλαδή να αποκτήσει τη μορφή Πράγματι η (1) γίνεται x=a ημ[ω(t t0)+φ0 ] t t 0 R A>0 0 φ0 <π x=10-1 ημ[ π 3π 10π (t+3) + ] 3 t -3 sec ή x=10-1 ημ[ π 31π (t+3)+ ] 1 t -3 sec 0

Το 31 1 δε μπορεί να θεωρηθεί αρχική φάση. Αφαιρώ (ή προσθέτω αν με βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του π προκειμένου να δημιουργήσω αρχική φάση φ0 με 0 φ0 <π x=10-1 ημ[ π 31π (t+3) π+ ] 1 t -3 sec και τελικά x=10-1 ημ[ π 7π (t+3)+ ] (SI) με t 3 sec () 1 Άρα η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης () και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης (1) που μας έδωσαν είναι φ= π (t+3)+ 7π 1 = π t+ και άρα η αρχική φάση θα είναι φ0= π 3 7π 1 με t 3 sec Σημείωση: Στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιμή για την αρχική φάση θα είχαμε καταλήξει και αν αρχίζαμε από οποιαδήποτε ισοδύναμη με την (1) εξίσωση κίνησης όπως π.χ. με την x=10-1 ημ( π...... t π ) (SI) με t 3 sec 3 Γενικές Παρατηρήσεις α) Αν στα παραδείγματα είχαμε επιλέξει ως εξίσωση κίνησης τη συνάρτηση (18), τα πράματα θα λειτουργούσαν ανάλογα, αλλά το ίδιο καλά x=α συν(ωt + C6) t t 0 R, Α>0 και 0 C6 <π (8) Οι ορισμοί και η σχέση που θα δίνει τη φάση και την αρχική φάση σε αυτή την περίπτωση, θα βρίσκονταν από το όρισμα του συνημίτονου της (8), εφόσον όμως το μετασχηματίζαμε κατάλληλα όπως κάναμε και με το ημίτονο. Προφανώς η φάση και η αρχική φάση θα είναι διαφορετικές από εκείνες που θα βρούμε χρησιμοποιώντας το ημίτονο. β) Αν στα παραδείγματα είχαμε επιλέξει ως εξίσωση κίνησης τη συνάρτηση (16) x=c1 ημωt + C συνωt t t 0 R δε θα ασχολιόμασταν καθόλου με τις έννοιες φάση και αρχική φάση, μιας και στην μορφή αυτή δεν ορίζονται. Αυτό βέβαια προς το παρόν δεν είναι κάτι σοβαρό, αφού όπως είδαμε οι έννοιες, «φάση» και «αρχική φάση» δε συνδέονται με το φαινόμενο, αλλά με την εξίσωση κίνησης που επιλέξαμε. 1

γ) Εδώ, ίσως πρέπει να μπει και κάποιο άλλο ερώτημα Χρειάζεται τόσο πολύ να υιοθετήσουμε ορισμό για τη φάση και την αρχική φάση; Είναι τόσο σπουδαίες αυτές οι έννοιες ώστε αξίζει να ταλαιπωρούμαστε για τους ορισμούς τους; Αυτό είναι μια πολύ καλή συζήτηση αλλά σε μια άλλη ευκαιρία, γιατί «ανακατεύει» σταθερά φάσης στην ανάλυση κυμάτων κατά Fourier, διαμόρφωση φάσης, συμφασικότητα μεγεθών κ.λπ. κι επομένως είναι αδύνατο να καλυφτεί με μια παρατήρηση. Ανεξάρτητα όμως από την προσωπική στάση του καθενός μας απέναντι στην αξία ή όχι των εννοιών φάση και αρχική φάση, εκείνο που πρέπει να παρατηρήσουμε είναι ότι η διαφορά φάσης ανάμεσα σε μεγέθη του ίδιου φαινομένου έχει μεγάλη αξία, γιατί δεν αλλάζει οποιαδήποτε δυνατότητα και αν υιοθετήσουμε, οποιοδήποτε ορισμό κι αν δεχτούμε, οποιαδήποτε μορφή εξίσωσης κίνησης κι αν χρησιμοποιήσουμε. Όμως σε αυτή την περίπτωση θα ένιωθα την κουβέντα τελείως μετέωρη, γιατί θα μιλούσαμε για διαφορά φάσης χωρίς πρώτα να έχουμε ξεκαθαρίσει το τί είναι η φάση. Και το κυριότερο δεν θα είχαμε δει την «κούραση» μέχρι τον εντοπισμό του ορισμού της. δ) Οι εξισώσεις και οι διαδικασίες για την εύρεση φάσης και αρχικής φάσης γίνονται σαφώς πιο απλές, αν ως αρχική χρονική στιγμή θεωρήσουμε την t0=0. Αυτό επιβάλλεται να το κάνουμε, αν έχουμε να μελετήσουμε ένα μόνο κινητό. Σχεδόν πάντα, για την οικονομία των κινήσεών μας, για την ευκολία κατανόησης δύσκολων σημείων του φαινομένου και για την καλύτερη παρουσίασή του, παίρνουμε σχεδόν πάντα ως ελκτικό κέντρο της ταλάντωσης το σημείο x=0 m και ως «αρχή των χρόνων» τη στιγμή t0=0 sec. Αν όμως είμαστε αναγκασμένοι να ασχοληθούμε με δύο ή περισσότερα κινητά που δεν ξεκίνησαν συγχρόνως (π.χ. κύματα) τότε για κάποιο ή για κάποια κινητά η αρχική χρονική στιγμή δε θα είναι η μηδέν. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να καταφύγουμε σε όσα αναφέρθηκαν, έχοντας πάντα όμως στο μυαλό μας ότι οι ορισμοί και οι περιορισμοί τους δεν πρέπει να αλλάζουν. Η σχέση που δίνει τη φάση θα προκύψει από τη διαδικασία που αναφέραμε και η τιμή της αρχικής φάσης, της κάθε αρχικής φάσης του κάθε ταλαντωτή και του κάθε φυσικού μεγέθους που τον συνοδεύει, θα πρέπει να βρίσκεται μέσα σε ένα τριγωνομετρικό κύκλο. ε) Με όλα τα προηγούμενα δεν ισχυρίζομαι ότι θα πρέπει να διδάξουμε στους μαθητές και τις τρεις μορφές της εξίσωσης κίνησης αρμονικής ταλάντωσης και μάλιστα έτσι όπως τις έδωσα. Ούτε είπα ποτέ να τους βάλουμε να επιλέξουν αυτοί ποια μορφή εξίσωσης ταλάντωσης θέλουν να χρησιμοποιήσουν. Το σχολικό βιβλίο έχει επιλέξει ως εξίσωση κίνησης αρμονικής ταλάντωσης εκείνη με το ημίτονο και επομένως αυτή θα χρησιμοποιήσουμε στην αίθουσα. Εκείνο όμως που θέλω να τονίσω σε Φυσικούς και όχι σε μαθητές είναι ότι κάποιοι ορισμοί, όπως η φάση και η αρχική φάση, αρχίζουν να αποκτούν μαθηματική δύναμη αφού λυθεί η διαφορική εξίσωση δεν πρέπει να εγκλωβιζόμαστε σε μια μόνο μορφή εξίσωσης κίνησης (π.χ. ε- κείνη με το ημίτονο), όταν για κάποιο συγκεκριμένο πρόβλημα η ακριβώς διπλανή της ισοδύναμη εξίσωση κίνησης, κάνει τα πράγματα πολύ πιο ανάγλυφα και σίγουρα κάποιες φορές πολύ πιο εύκολα.

Ισχύει δηλαδή εδώ, έστω και σε αυτή την πολύ περιορισμένη κλίμακα, ό,τι ισχύει και σε βαρύτερους φορμαλισμούς. Μια δεύτερη, διαφορετική μαθηματική και εννοιολογική αποτύπωση κάποιου συγκεκριμένου φαινομένου, έστω κι αν είναι μαθηματικά ισοδύναμη με την πρώτη α- ποτύπωση, μπορεί να κάνει το φαινόμενο πιο διάφανο. Μια διαφορετική μαθηματική και εννοιολογική προσπάθεια ερμηνείας, έστω και μαθηματικά ισοδύναμη με την πρώτη, μπορεί να κάνει τον κόσμο πιο ανάγλυφο. Ενώ δηλαδή και οι τρεις παραπάνω μορφές της εξίσωσης κίνησης της αρμονικής ταλάντωσης είναι μαθηματικά ισοδύναμες, δεν εξυπηρετούν τους εκάστοτε εννοιολογικούς ή διδακτικούς σκοπούς μας με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Κατά συνέπεια χρηστικά, εννοιολογικά και διδακτικά, οι τρεις παραπάνω μορφές ούτε ισοδύναμες είναι, ούτε πρέπει να μας είναι αδιάφορο ποια από τις τρεις θα χρησιμοποιήσουμε αν δεν συγκεκριμενοποιήσουμε τους διδακτικούς μας στόχους. Για παράδειγμα, αφορμή για όλο τον προβληματισμό μας σε αυτή τη συζήτηση και την αναζήτηση των ορισμών «φάση» και «αρχική φάση», δίνουν μόνο οι εξισώσεις (17) και (18), αλλά όχι η (16) στην οποία δεν είναι δυνατό να οριστούν αυτές οι έννοιες. Η (16) όμως μπορεί να δώσει αφορμή για άλλους σοβαρότατους προβληματισμούς, όπως π.χ. «τι είναι η σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων». Και μπορεί να το κάνει αυτό με δύναμη ασύγκριτη εκείνης των σχέσεων (17) και (18). στ) Δε μπορώ επίσης να δεχτώ ότι ο ορισμός της φάσης πρέπει να γίνεται μέσα από έναν συγκεκριμένο τριγωνομετρικό αριθμό, όπως για παράδειγμα το ημίτονο. Γιατί αυτός ο περιορισμός; Ούτε στην ελληνική βιβλιογραφία, ούτε στην παγκόσμια έχει επικρατήσει το ημίτονο. Αλλά και να είχε επικρατήσει δε νομίζω ότι θα έπρεπε να μας ενδιαφέρει, γιατί δεν έχει κανέναν σημαντικό λόγο φυσικής ή μαθηματικών να το κάνει. Γιατί θα πρέπει να εξετάζουμε τις ταλαντώσεις με ημίτονα και όχι με συνημίτονα; Και το σχολικό βιβλίο ακόμη παραπαίει ανάμεσα στο ημίτονο που εισάγει στη μηχανική ταλάντωση και στο συνημίτονο που δέχεται στην ηλεκτρική. Εν κατακλείδι νομίζω ότι η προσήλωση στο ημίτονο μόνο περιττούς περιορισμούς εισάγει στη σκέψη μας, μιας και αποτελεί απλή προσωπική διδακτική προτίμηση, αλλά όχι μαθηματική απαίτηση. Όχι στους αναίτιους περιορισμούς. Χάνεται η αξία των ορισμών! Οι μόνοι περιορισμοί που πρέπει να δεχτούμε είναι αυτοί που επιβάλλονται από τη διαφορική εξίσωση και από την απαίτηση να κάνουμε Φυσική με όλη τη δυνατή οικονομία. Βέβαια συμβιβάζομαι με το σχολικό βιβλίο, χρησιμοποιώ όπου μου λέει το ημίτονο και όπου μου λέει το συνημίτονο, αλλά τουλάχιστον... ξέρω τί μου γίνεται! ζ) Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, υπάρχουν δύο δυνατότητες για να ορίσουμε τις έννοιες «φάση» και «αρχική φάση». Πιστεύω ότι μας ταιριάζει η 3η δυνατότητα (σελ.1). Αν όμως έχουμε σκοπό να δεχτούμε την 3η δυνατότητα μόνο για την απομάκρυνση, και όχι και για τα υπόλοιπα φυσικά μεγέθη του ίδιου φαινομένου όπως είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση, ούτε και για τα κύματα ή τα ρεύματα κ.λπ, τότε θα ήταν καλύτερα να εγκαταλείψουμε την 3η δυνατότητα ορισμού φάσης και αρχικής φάσης και να πάμε στην 1η δυνατότητα (σελίδα 13), όπου η φάση και η αρχική φάση μπορούν να παίρνουν ο- ποιαδήποτε τιμή και όχι τιμή περιορισμένη σε ένα τριγωνομετρικό κύκλο. Δεν είναι δυνατό τη μία φορά να λέμε ότι η αρχική φάση είναι περιορισμένη σε ένα τριγωνομετρικό κύκλο, όταν αναφερόμαστε στην απομάκρυνση και την άλλη να λέμε 3

ότι παίρνει και άλλες τιμές όταν αναφερόμαστε στα υπόλοιπα μεγέθη του ίδιου φαινομένου που επίσης εκτελούν «ταλάντωση». Σε μια ταλάντωση οι αρχικές φάσεις όλων των μεγεθών βρίσκονται με τον τρόπο που α- ναφέραμε και πρέπει να περιέχονται σε διάστημα ενός τριγωνομετρικού κύκλου. η) Ήδη αναφέραμε ότι η γενική μορφή της εξίσωσης κίνησης ενός υλικού σημείου που για χρονικές στιγμές t εκτελεί (απλή) αρμονική ταλάντωση, μπορεί να δοθεί με τρεις ισοδύναμες μορφές 1 η μορφή: t 0 R x=c1 ημωt + C συνωt t t 0 R (3) C1 και C πραγματικοί αριθμοί η μορφή: x=α ημ(ωt + C) t t 0 R () Α>0 και 0 C <π 3 η μορφή: x=α συν(ωt + C6) t t 0 R (5) Α>0 και 0 C6 <π Στη σχέση (3) δεν υπάρχουν οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης. Στις άλλες δύο υπάρχουν Αν επιλέξουμε για εξίσωση κίνησης την () η σχέση που θα προκύψει για τη φάση θα έχει διαφορετική μορφή από τη σχέση που θα προκύψει αν επιλέξουμε την (5). Το ίδιο θα συμβεί και με την τιμή της αρχικής φάσης. Διαφορετική επιλογή εξίσωσης κίνησης οδηγεί σε διαφορετική τιμή τόσο της φάση όσο και της αρχικής φάσης. Μετά από αυτά κοιτάξτε την παρακάτω απαράδεκτη άσκηση Άσκηση: «Υλικό σημείο εκτελεί (απλή) αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t0=0 sec που αρχίζουμε να μελετάμε την κίνηση, το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση x m sec 1 (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα 0 10 (αρχική ταχύτητα). 0 10 Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec, να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση της ταλάντωσης» 1 m

Απάντηση: Οι φράσεις φάση ταλάντωσης και αρχική φάση ταλάντωσης δεν είναι αποδεκτές. Άρα η ερώτηση της άσκησης δεν έχει κανένα απολύτως νόημα! Αποδεκτές είναι ερωτήσεις του τύπου «Στην εξίσωση κίνησης τάδε π.χ. στην x(t)=α ημ(ωt+φ) t 0 να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της απομάκρυνσης». Πράγματι: Άλλη φάση θα βρούμε αν χρησιμοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η και άλλη αν χρησιμοποιηθεί η x(t)=α ημ(ωt+φ) t 0 x(t)=α συν(ωt+φ) t 0. Τα αποτελέσματα θα αλλάξουν πάλι δραματικά αν αντί για πεδίο ορισμού το t 0sec δοθεί ως πεδίο ορισμού κάτι άλλο π.χ. t sec Οι έννοιες «φάση» και «αρχική φάση» είναι απόλυτα συνδεδεμένες με την εξίσωση και όχι με το φαινόμενο, την ταλάντωση δηλαδή. Και βέβαια απαιτείται πάντα το πεδίο ορισμού. Άρα η άσκηση έπρεπε να δίνει τη μορφή της εξίσωσης κίνησης στην οποία αναφέρεται και οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού της. Εμείς όμως δυστυχώς εγκλωβιζόμαστε στη χωρίς νόημα φράση «φάση ταλάντωσης» και έρχεται στιγμή που ξεχνάμε και την ύπαρξη των ισοδύναμων εξισώσεων κίνησης οι οποίες μπορούν να περιγράψουν το φαινόμενο και το πόσο δεμένη είναι η έννοια της φάσης με αυτές τις εξισώσεις. Τελικά ξεχνάμε πολλά. Το να πούμε στο παιδί «η φάση της απομάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης x(t)=α ημ(ωt+φ0) με πεδίο ορισμού t 0 είναι ωt+φ0» (που στο κάτω κάτω είναι και η μόνη με νόημα φράση), δε νομίζω ότι του κάνουμε κανένα κακό. Αντίθετα μάλιστα, του μαθαίνουμε να σκέφτεται και να εκφράζεται σωστά. 5

Ορισμοί και εξισώσεις κίνησης στα (αρμονικά) μονοχρωματικά κύματα Με δεδομένες όλες τις παρανοήσεις που επισημάνθηκαν κατά την ομιλία μου «Κύματα» (βλέπε αφίσα στο μέσα μέρος του εξώφυλλου), σπεύδω να ζητήσω συγγνώμη επειδή σε αρκετά σημεία του κειμένου που ακολουθεί θα χρησιμοποιήσω φρασεολογία που με την ομιλία μου αποδείχτηκε λανθασμένη και συνεπώς δε μου είναι καθόλου αποδεκτή. Κάνω όμως αυτό το «συμβιβασμό» και «ξεχνώ με οδύνη» ότι τα μονοχρωματικά κύματα είναι άπειρης έκτασης και διάρκειας, ότι δε διαδίδονται και ότι δεν έχουν μέτωπο Γιατί πρέπει να μιλήσω με τρόπο που να γίνω κατανοητός βάσει των όσων έχει καθιερώσει μεταξύ μας το σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου στο κεφάλαιο «Κύματα» και βάσει των όσων διδάσκουμε στα παιδιά της Γ Λυκείου. Για να παρουσιάσω σε Φυσικούς έναν τρόπο διδασκαλίας των κυμάτων που και να μην ξεφεύγει πολύ από το σχολικό βιβλίο και να μας προστατεύει, όσο γίνεται, από ασκησιολογικούς εκτροχιασμούς και από εννοιολογικά αδιέξοδα Έτσι λοιπόν, στο τελευταίο μέρος αυτής της εργασίας Θα «ξαναδούμε» με άλλη ματιά κάποια στοιχεία από τα κύματα της Γ Λυκείου Θα εντοπίσουμε μερικά από τα άτοπα στα οποία μας εξωθεί το σχολικό βιβλίο, οι πανελλήνιες εξετάσεις και τα εξωσχολικά βοηθήματα Θα εφαρμόσουμε τους ορισμούς της φάσης και της αρχικής φάσης σε κάποια παραδείγματα κυμάτων και θα δούμε πώς η μαθηματική αυστηρότητα αυτών των ορισμών άρει αμέσως τα αδιέξοδα στα οποία θα φτάναμε χωρίς αυτούς Ας αρχίσουμε λοιπόν την πορεία μας στα «Κύματα» του σχολικού με κάτι γενικό. Όταν πρόκειται να γράψουμε την εξίσωση του κύματος που διδάσκουμε και να μιλήσουμε για διάφορα στοιχεία και έννοιες που το αφορούν, όπως φάση, αρχική φάση κ.λπ., υπάρχουν δύο συνεπείς τρόποι για την εξαγωγή της εξίσωσης κύματος του σχολικού βιβλίου. α) Να ξεκινήσουμε γράφοντας την εξίσωση κίνησης της πηγής Ο. Του πρώτου σημείου δηλαδή του μέσου, που αρχίζει να εκτελεί αρμονική ταλάντωση. β) Να ξεκινήσουμε γράφοντας την εξίσωση κίνησης του τελευταίου σημείου Μ του μέσου, στο οποίο μόλις έχει φτάσει το κύμα Το σημείο Ο ή Μ που θα επιλέξουμε γι αυτό το σκοπό, θα το καλούμε από δω και πέρα και σημείο αναφοράς ( * ) ( * ) Ο λόγος της προτίμησης των Ο ή Μ ως σημείων αναφοράς, θα αναδειχτεί γρήγορα μόνος του Στο κείμενο αυτό επιλέχτηκε το Μ ως σημείο αναφοράς Ο λόγος που προτίμησα το Μ και όχι στο Ο, είναι για να αποφύγω να ονομάζω κάθε τόσο το Ο «πηγή» Αν επιλέξουμε το Ο ως σημείο αναφοράς μπορούμε να φτάσουμε στην εξίσωση κύματος ακολουθώντας την ίδια ακριβώς μεθοδολογία 6

Αξίζει να τονίσουμε, ότι στα αρμονικά (μονοχρωματικά) κύματα που εξετάζουμε πρέπει να συμβιβαστούμε με την εξής αρκετά «παράξενη» ιδιότητά: Όταν κατά τη διάδοσή τους φτάνουν σε κάποιο σημείο του γραμμικού μέσου, τότε το σημείο αυτό αποκτά ακαριαία ταχύτητα μέγιστου μέτρου, ενώ μέχρι τότε ήταν ακίνητο. Δηλαδή αποκτά ξαφνικά άπειρη επιτάχυνση και άρα του ασκείται άπειρη δύναμη!! ( * ) Σε ευθύγραμμο μέσο άπειρης έκτασης, διαδίδεται προς τα θετικά με ταχύτητα μέτρου υ, αρμονικό κύμα κυκλικής συχνότητας ω και πλάτους Α. Τα σημεία του μέσου εκτελούν ταλαντώσεις στο επίπεδο xoy. Στο σχήμα 1 δίνεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 0 R Το κύμα, που μόλις έφτασε στο Μ, προφανώς προσδίδει ακαριαία στο εν λόγω (υλικό) σημείο Μ ταχύτητα μέγιστου μέτρου, κάθετη στον άξονα x προς τα θετικά του y. Επιλέγουμε να περιγράψουμε την ταλάντωση του Μ με εξίσωση που περιέχει ημίτονο. Επιλέγουμε συνεπώς η αρχική φάση φ0 στην εξίσωση ταλάντωσης του Μ να είναι μηδέν.. Άρα: Σχήμα 1: Στιγμιότυπο αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή t 0 Η εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης του Μ είναι [βλέπε σχέσεις (8) και (9)] ym=αημω(t t0) t t 0 R Α>0 ω>0 (6) Η φάση φμ της απομάκρυνσης του Μ στην εξίσωση κίνησης (6) είναι φμ= ω(t t0) t t 0 R (7) Η αρχική φάση φμ,ο της απομάκρυνσης του Μ στην εξίσωση κίνησης (6) είναι όπως έχουμε ήδη επιλέξει φμ,ο=0 rad ( * ) Στην ομιλία μου επισημάνθηκε ότι αυτό το άτοπο οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ τα μονοχρωματικά κύματα είναι άπειρης έκτασης, ενώ έχουν άπειρη διάρκεια και δεν διαδίδονται, ενώ δεν έχουν μέτωπο κύματος και ενώ εκείνο που διαδίδεται δεν είναι η διαταραχή αλλά η φάση, εμείς εξαναγκασμένοι από το σχολικό βιβλίο, αδιαφορούμε για όλα αυτά και διδάσκουμε τα μονοχρωματικά κύματα λανθασμένα. 7

Για να προχωρήσουμε τώρα από την εξίσωση κίνησης του Μ, στην παραγωγή της εξίσωσης κύματος, ακολουθούμε τη «φιλοσοφία» του σχολικού που κάποτε ως παιδιά την είχαμε κάνει παιχνίδι και με την αθωότητα των παιδικών μας χρόνων το είχαμε ονομάσει «Ό,τι κάνει η μάνα, καν κι η παραμάνα» Σύμφωνα με αυτή την αθωότητα, πρέπει να δεχτούμε ότι στο αρμονικό κύμα, ό,τι κάνει τη χρονική στιγμή t το σημείο αναφοράς Μ, που η θέση ισορροπίας του έχει τετμημένη xμ (στον άξονα x), το έκαναν κάποτε τα σημεία του άξονα που βρίσκονται πριν το Μ και θα το κάνουν κάποτε και τα σημεία μετά το Μ. Αν λοιπόν Ν είναι ένα τυχαίο σημείο του μέσου με θέση ισορροπίας xn, τότε το Ν απέχει από το Μ xn xμ και συνεπώς θα κάνει (αν x N > x M ) ή έκανε (αν x N < x M ) ό,τι xn x και το Μ, αλλά μετά ή πριν από χρόνο M αντίστοιχα. Αφού λοιπόν, το σημείο αναφοράς Μ ξεκίνησε τη χρονική στιγμή t 0 R όταν έφτασε σε αυτό η διαταραχή και εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση A ( t t ) με t t 0 R Α>0 ω>0 ym 0 το σημείο Ν, αν x N >x M, θα ξεκινήσει τη χρονική στιγμή t0 =t0+τ και θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση με εξίσωση A ( t t ) με t t 0 R Α>0 ω>0 yn 0 ή πιο αναλυτικά yn 0 A ( t t ) με t t0+ xn x M Α>0 ω>0 υ>0 (8) αν x N <x M, ξεκίνησε τη χρονική στιγμή t0 =t0 τ και εκτελεί αρμονική ταλάντωση με εξίσωση A ( t t ) με t t 0 R Α>0 ω>0 yn 0 ή πιο αναλυτικά yn 0 A ( t t ) με t t0 xn x M Α>0 ω>0 υ>0 (9) 8

Εύκολα οι σχέσεις (8) και (9) συνδυάζονται σε μια ενιαία σχέση: Στο αρμονικό κύμα του σχήματος 1 που διαδίδεται προς τα θετικά του άξονα x, το τυχαίο σημείο Ν, τη χρονική στιγμή t θα έχει εξίσωση κίνησης y N xn xm A ( t t0 ) με t t 0 x N x M Συνοψίζουμε: Αν η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου αναφοράς Μ (σημείο με τη βοήθεια της εξίσωσης κίνησης του οποίου, καταστρώθηκε η εξίσωση κύματος) είναι Τότε: ym 0 A ( t t ) με t t 0 R Η εξίσωση του αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα θετικά είναι x xm y A ( t t0 ) με x xm t t0 (50) t R, x R, t 0 R, Α>0, ω>0, υ>0 Η φάση του κύματος στην εξίσωση (50) είναι x xm ( t t0 ) με t R, x R και x xm t t0 (51) Η αρχική φάση του κύματος στην εξίσωση (50) είναι η τιμή που μας x x δίνει η φάση για τη μικρότερη δεκτή τιμή του χρόνου t M 0 φ0=0 rad Τα παραπάνω θεωρούνται αυτονόητα, λόγω της φιλοσοφίας που υιοθετήσαμε για την κατάστρωση της εξίσωσης κύματος: Όλα τα σημεία του γραμμικού μέσου έκαναν, κάνουν και θα κάνουν αυτό που έκανε, κάνει και θα κάνει το σημείο αναφοράς Μ: Αρχικά ηρεμούν (ή ηρεμούσαν) και όταν φτάνει (ή έφτασε) η διαταραχή θα κινηθούν (ή κινήθηκαν) ακαριαία και με μέγιστη ταχύτητα προς τα θετικά του άξονα y. Συνεπώς, όλα τα σημεία του μέσου που ήδη ταλαντώνονται εξαιτίας του κύματος που εξετάζουμε, έχουν αρχική φάση φ0=0 rad 9